中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘（全國(guó)通用）專題5二次函數(shù)與面積最值定值問(wèn)題（全國(guó)通用）（原卷版+解析）

專題5二次函數(shù)與面積最值定值問(wèn)題面積是平面幾何中一個(gè)重要的概念，關(guān)聯(lián)著平面圖形中的重要元素邊與角，由動(dòng)點(diǎn)而生成的面積問(wèn)題，是拋物線與直線形結(jié)合的覺形式，常見的面積問(wèn)題有規(guī)則的圖形的面積（如直角三角形、平行四邊形、菱形、矩形的面積計(jì)算問(wèn)題）以及不規(guī)則的圖形的面積計(jì)算，解決不規(guī)則的圖形的面積問(wèn)題是中考?jí)狠S題?？嫉念}型，此類問(wèn)題計(jì)算量較大。有時(shí)也要根據(jù)題目的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題產(chǎn)生解的不確定性或多樣性。解決這類問(wèn)題常用到以下與面積相關(guān)的知識(shí)：圖形的割補(bǔ)、等積變形、等比轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)方法.面積的存在性問(wèn)題常見的題型和解題策略有兩類：一是先根據(jù)幾何法確定存在性，再列方程求解，后檢驗(yàn)方程的根．二是先假設(shè)關(guān)系存在，再列方程，后根據(jù)方程的解驗(yàn)證假設(shè)是否正確．解決動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問(wèn)題，常用到的知識(shí)和方法，如下：如圖1，如果三角形的某一條邊與坐標(biāo)軸平行，計(jì)算這樣“規(guī)則”的三角形的面積，直接用面積公式．如圖2，圖3，三角形的三條邊沒(méi)有與坐標(biāo)軸平行的，計(jì)算這樣“不規(guī)則”的三角形的面積，用“割”或“補(bǔ)”的方法．圖1圖2圖3計(jì)算面積長(zhǎng)用到的策略還有：如圖4，同底等高三角形的面積相等．平行線間的距離處處相等．如圖5，同底三角形的面積比等于高的比．如圖6，同高三角形的面積比等于底的比．圖4圖5圖6

【例1】(2023?青海）如圖1，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)E是拋物線的對(duì)稱軸與直線BC的交點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線的頂點(diǎn)，求EF的長(zhǎng)；（3）設(shè)點(diǎn)P是（1）中拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在滿足S△PAB＝6的點(diǎn)P？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（請(qǐng)?jiān)趫D2中探討）【例2】(2023?隨州）如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）與x軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，且OA＝OC，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）如圖2，連接AC，當(dāng)點(diǎn)P在直線AC上方時(shí)，求四邊形PABC面積的最大值，并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)M為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P，M運(yùn)動(dòng)時(shí)，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)N，使四邊形PMCN為矩形？若存在，直接寫出點(diǎn)P及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【例3】(2023?成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝kx﹣3（k≠0）與拋物線y＝﹣x2相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為B'．（1）當(dāng)k＝2時(shí)，求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）連接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面積與△OAB的面積相等，求k的值；（3）試探究直線AB'是否經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn)．若是，請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【例4】(2023?岳陽(yáng)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線F1：y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B（1，0）．（1）求拋物線F1的解析式；（2）如圖2，作拋物線F2，使它與拋物線F1關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，請(qǐng)直接寫出拋物線F2的解析式；（3）如圖3，將（2）中拋物線F2向上平移2個(gè)單位，得到拋物線F3，拋物線F1與拋物線F3相交于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)）．①求點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)；②若點(diǎn)M，N分別為拋物線F1和拋物線F3上C，D之間的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M，N與點(diǎn)C，D不重合），試求四邊形CMDN面積的最大值．1．(2023?金壇區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝x2+bx﹣2的圖象與x軸交于點(diǎn)A（3，0），B（點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，作直線AD．（1）填空：b＝；（2）將△AOC平移到△EFG（點(diǎn)E，F(xiàn)，G依次與A，O，C對(duì)應(yīng)），若點(diǎn)E落在拋物線上且點(diǎn)G落在直線AD上，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)P是第四象限拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為H，交AC于點(diǎn)T．若∠CPT+∠DAC＝180°，求△AHT與△CPT的面積之比．2．(2023?羅城縣模擬）如圖，已知拋物線y＝ax2+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，6），B（﹣4，0），其中E、F（m，n）為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式并寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若C（x，y）是拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)﹣4＜x＜2且S△ABC最大時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）若EF∥x軸，點(diǎn)A到EF的距離大于8個(gè)單位長(zhǎng)度，求m的取值范圍．3．(2023?老河口市模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+2mx的頂點(diǎn)為A，直線l：y＝x﹣1與x軸交于點(diǎn)B．（1）如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），拋物線與直線l在第一象限交于點(diǎn)C．①求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；②點(diǎn)M為線段BC上不與B，C重合的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)t．當(dāng)EM＞BD時(shí)，求t的取值范圍；（2）過(guò)點(diǎn)A作AP⊥l于點(diǎn)P，作AQ∥l交拋物線于點(diǎn)Q，連接PQ，設(shè)△APQ的面積為S．直接寫出①S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；②S的最小值及S取最小值時(shí)m的值．4．(2023?新吳區(qū)二模）如圖，已知拋物線y＝+bx過(guò)點(diǎn)A（﹣4，0）、頂點(diǎn)為B，一次函數(shù)y＝x+2的圖象交y軸于M，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）已知P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于AP的對(duì)稱點(diǎn)為N．①若點(diǎn)N恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；②請(qǐng)直接寫出△MHN面積的最大值．5．(2023?開福區(qū)校級(jí)二模）如圖，拋物線y＝（x+1）（x﹣a）（其中a＞1）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．（1）直接寫出∠OCA的度數(shù)和線段AB的長(zhǎng)（用a表示）；（2）如圖①，若a＝2，點(diǎn)D在拋物線的對(duì)稱軸上，DB＝DC，求△BCD與△ACO的周長(zhǎng)之比；（3）如圖②，若a＝3，動(dòng)點(diǎn)P在線段OA上，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線分別與AC交于點(diǎn)M，與拋物線交于點(diǎn)N．試問(wèn)：拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得△PQN與△BPM的面積相等，且線段NQ的長(zhǎng)度最?。咳绻嬖?，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由．6．(2023?官渡區(qū)二模）拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸正半軸于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線．（1）如圖1，若點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2），則b＝，c＝；（2）若點(diǎn)P為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在（1）的條件下，求四邊形ABCP面積最大時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)和四邊形ABCP的最大面積；（3）如圖2，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作MN∥CD別交拋物線于點(diǎn)M，N，當(dāng)MN＝3CD時(shí)，求c的值．7．(2023?徐州二模）如圖，四邊形ABCD中，已知AB∥CD，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿邊AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)由A點(diǎn)出發(fā)，沿折線AD﹣DC﹣CB運(yùn)動(dòng)點(diǎn)B停止，在移動(dòng)過(guò)程中始終保持PQ⊥AB，已知點(diǎn)P的移動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)點(diǎn)P的移動(dòng)時(shí)間為x秒，△APQ的面積為y，已知y與x之間函數(shù)關(guān)系如圖②，其中MN為線段，曲線OM，NK為拋物線的一部分，根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題：（1）圖①AB＝，BC＝；（2）分別求線段MN，曲線NK所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（3）當(dāng)x為何值，△APQ的面積為6？8．(2023?茌平區(qū)一模）如圖，已知二次函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)B（﹣8，0），C（2，0），交y軸點(diǎn)A．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）連接AC，AB，若點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B，C重合），過(guò)點(diǎn)P作PD∥AC，交AB于點(diǎn)D，試猜想△PAD的面積有最大值還是最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）連接OD，在（2）的條件下，求出的值．9．(2023?碑林區(qū)校級(jí)模擬）拋物線W1：y＝a（x+）2﹣與x軸交于A（﹣5，0）和點(diǎn)B．（1）求拋物線W1的函數(shù)表達(dá)式；（2）將拋物線W1關(guān)于點(diǎn)M（﹣1，0）對(duì)稱后得到拋物線W2，點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A'，B'，拋物線W2與y軸交于點(diǎn)C，在拋物線W2上是否存在一點(diǎn)P，使得S△PA′B′＝S△PA'C，若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．(2023秋?欽北區(qū)期末）如圖，拋物線y＝ax2+bx+6與直線y＝x+2相交于A（，）、B（4，6）兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與A、B兩點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)C，點(diǎn)E是直線AB與x軸的交點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，求△BCE的面積；（3）是否存在點(diǎn)P，使得△BCE的面積最大？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．(2023?保定一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)t秒（t＞0），拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)O和點(diǎn)P，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)為A（1，0），B（1，﹣5），D（4，0）．（1）求c，b（含t的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)4＜t＜5時(shí)，設(shè)拋物線分別與線段AB，CD交于點(diǎn)M，N．①在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，你認(rèn)為∠AMP的大小是否會(huì)變化？若變化，說(shuō)明理由；若不變，求出∠AMP的值；②求△MPN的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式．并求t為何值時(shí)，△MPN的面積為．12．(2023?黃石模擬）如圖，已知拋物線與x軸交于A（2，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣4），直線與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E，交直線l于點(diǎn)F．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是拋物線上位于第三象限的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是m，四邊形PCOB的面積是S．①求S關(guān)于m的函數(shù)解析式及S的最大值；②點(diǎn)Q是直線PE上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)S取最大值時(shí)，求△QOC周長(zhǎng)的最小值及FQ的長(zhǎng)．13．(2023?哈爾濱模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝ax2﹣2ax+3與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與x的正半軸交于點(diǎn)B，與y軸正半軸交于點(diǎn)C，OB＝2OA．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接AD交y軸于點(diǎn)E，過(guò)C作CF⊥y軸交拋物線于點(diǎn)F，連接DF，設(shè)四邊形DECF的面積為S，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)的t，求S與t的函數(shù)解析式；（3）在（2）的條件下，過(guò)F作FM∥y軸交AD于點(diǎn)M，連接CD交FM于點(diǎn)G，點(diǎn)N是CE上一點(diǎn)，連接MN、EG，當(dāng)∠BAD+2∠AMN＝90°，MN：EG＝，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．14．(2023?利川市模擬）如圖，等腰直角三角形OAB的直角頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，直角邊OA，OB分別在y軸和x軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4），且AC平行于x軸．（1）求直線AB的解析式；（2）求過(guò)B，C兩點(diǎn)的拋物線y＝﹣x2+bx+c的解析式；（3）拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，試判定OC與BD的大小關(guān)系；（4）若點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ABM的面積與△ABC的面積相等時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．15．(2023?襄陽(yáng)）如圖，直線y＝x+1與x，y軸分別交于點(diǎn)B，A，頂點(diǎn)為P的拋物線y＝ax2﹣2ax+c過(guò)點(diǎn)A．（1）求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)及c的值；（2）若函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c在3≤x≤4時(shí)有最大值為a+2，求a的值；（3）連接AP，過(guò)點(diǎn)A作AP的垂線交x軸于點(diǎn)M．設(shè)△BMP的面積為S．①直接寫出S關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式及a的取值范圍；②結(jié)合S與a的函數(shù)圖象，直接寫出S＞時(shí)a的取值范圍．16．(2023?遼寧）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)C（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，3），連接AB，BC，點(diǎn)P是拋物線第一象限上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，作PF⊥PD于點(diǎn)P，使PF＝OA，以PE，PF為鄰邊作矩形PEGF．當(dāng)矩形PEGF的面積是△BOC面積的3倍時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q在直線PD上，若以點(diǎn)Q、A、B為頂點(diǎn)的三角形是銳角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q縱坐標(biāo)n的取值范圍．17．(2023?賀州）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且A（﹣1，0），對(duì)稱軸為直線x＝2．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）直線l過(guò)點(diǎn)A且在第一象限與拋物線交于點(diǎn)C．當(dāng)∠CAB＝45°時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)D在拋物線上與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，令P（xP，yP），當(dāng)1≤xP≤a，1≤a≤5時(shí)，求△PCD面積的最大值（可含a表示）．18．(2023?常德）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，平行四邊形ABCD的AB邊與y軸交于E點(diǎn)，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，B、C、D的坐標(biāo)分別為（﹣2，0），（8，0），（13，10）．（1）求過(guò)B、E、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）試判斷拋物線的頂點(diǎn)是否在直線EF上；（3）設(shè)過(guò)F與AB平行的直線交y軸于Q，M是線段EQ之間的動(dòng)點(diǎn)，射線BM與拋物線交于另一點(diǎn)P，當(dāng)△PBQ的面積最大時(shí)，求P的坐標(biāo)．19．(2023?福建）已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)．（1）若拋物線過(guò)點(diǎn)P（0，1），求a+b的最小值；（2）已知點(diǎn)P1（﹣2，1），P2（2，﹣1），P3（2，1）中恰有兩點(diǎn)在拋物線上．①求拋物線的解析式；②設(shè)直線l：y＝kx+1與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)A在直線y＝﹣1上，且∠MAN＝90°，過(guò)點(diǎn)A且與x軸垂直的直線分別交拋物線和l于點(diǎn)B，C．求證：△MAB與△MBC的面積相等．20．(2023?柳州）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線：y＝ax2+bx+c交x軸于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣）．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）如圖1，點(diǎn)D為第四象限拋物線上一點(diǎn)，連接OD，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥OD，垂足為E，若BE＝2OE，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)M為第四象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM，交BC于點(diǎn)N，連接BM，記△BMN的面積為S1，△ABN的面積為S2，求的最大值．21．(2023?聊城）如圖，拋物線y＝ax2+x+c與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，已知A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（1，0），C（0，﹣2），連接AC，BC．（1）求拋物線的表達(dá)式和AC所在直線的表達(dá)式；（2）將△ABC沿BC所在直線折疊，得到△DBC，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D是否落在拋物線的對(duì)稱軸上？若點(diǎn)D在對(duì)稱軸上，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若點(diǎn)D不在對(duì)稱軸上，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若點(diǎn)P是拋物線位于第三象限圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AP交BC于點(diǎn)Q，連接BP，△BPQ的面積記為S1，△ABQ的面積記為S2，求的值最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．22．(2023?賀州）如圖，拋物線y＝a（x﹣2）2﹣2與y軸交于點(diǎn)A（0，2），頂點(diǎn)為B．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P（t，y1），Q（t+3，y2）都在拋物線上，且y1＝y(tǒng)2，求P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)C是線段QB上一動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的直線y＝﹣x+m與y軸交于點(diǎn)D，連接DQ，DB，求△BDQ面積的最大值和最小值．專題5二次函數(shù)與面積最值定值問(wèn)題面積是平面幾何中一個(gè)重要的概念，關(guān)聯(lián)著平面圖形中的重要元素邊與角，由動(dòng)點(diǎn)而生成的面積問(wèn)題，是拋物線與直線形結(jié)合的覺形式，常見的面積問(wèn)題有規(guī)則的圖形的面積（如直角三角形、平行四邊形、菱形、矩形的面積計(jì)算問(wèn)題）以及不規(guī)則的圖形的面積計(jì)算，解決不規(guī)則的圖形的面積問(wèn)題是中考?jí)狠S題?？嫉念}型，此類問(wèn)題計(jì)算量較大。有時(shí)也要根據(jù)題目的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題產(chǎn)生解的不確定性或多樣性。解決這類問(wèn)題常用到以下與面積相關(guān)的知識(shí)：圖形的割補(bǔ)、等積變形、等比轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)方法.面積的存在性問(wèn)題常見的題型和解題策略有兩類：一是先根據(jù)幾何法確定存在性，再列方程求解，后檢驗(yàn)方程的根．二是先假設(shè)關(guān)系存在，再列方程，后根據(jù)方程的解驗(yàn)證假設(shè)是否正確．解決動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問(wèn)題，常用到的知識(shí)和方法，如下：如圖1，如果三角形的某一條邊與坐標(biāo)軸平行，計(jì)算這樣“規(guī)則”的三角形的面積，直接用面積公式．如圖2，圖3，三角形的三條邊沒(méi)有與坐標(biāo)軸平行的，計(jì)算這樣“不規(guī)則”的三角形的面積，用“割”或“補(bǔ)”的方法．圖1圖2圖3計(jì)算面積長(zhǎng)用到的策略還有：如圖4，同底等高三角形的面積相等．平行線間的距離處處相等．如圖5，同底三角形的面積比等于高的比．如圖6，同高三角形的面積比等于底的比．圖4圖5圖6

【例1】．(2023?青海）如圖1，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)E是拋物線的對(duì)稱軸與直線BC的交點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線的頂點(diǎn)，求EF的長(zhǎng)；（3）設(shè)點(diǎn)P是（1）中拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在滿足S△PAB＝6的點(diǎn)P？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（請(qǐng)?jiān)趫D2中探討）【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可求出拋物線頂點(diǎn)F的坐標(biāo)及拋物線的對(duì)稱軸，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)F的坐標(biāo)，即可求出線段EF的長(zhǎng)；（3）又點(diǎn)A，B的坐標(biāo)可求出線段AB的長(zhǎng)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，t2﹣2t﹣3），利用三角形的面積計(jì)算公式，結(jié)合S△PAB＝6，即可得出關(guān)于t的方程，解之即可得出t值，進(jìn)而可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解析】（1）將A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，得：，解得：，∴該拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3．（2）∵拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，∴拋物線的頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，﹣4），拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1．當(dāng)x＝0時(shí)，y＝02﹣2×0﹣3＝﹣3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3）．設(shè)直線BC的解析式為y＝mx+n（m≠0），將B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直線BC的解析式為y＝x﹣3．當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1﹣3＝﹣2，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，﹣2），∴EF＝|﹣2﹣（﹣4）|＝2．（3）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），∴AB＝|3﹣（﹣1）|＝4．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，t2﹣2t﹣3）．∵S△PAB＝6，∴×4×|t2﹣2t﹣3|＝6，即t2﹣2t﹣3＝3或t2﹣2t﹣3＝﹣3，解得：t1＝1﹣，t2＝1+，t3＝0，t4＝2，∴存在滿足S△PAB＝6的點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1﹣，3）或（1+，3）或（0，﹣3）或（2，﹣3）．【例2】．(2023?隨州）如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c（a＜0）與x軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，且OA＝OC，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）如圖2，連接AC，當(dāng)點(diǎn)P在直線AC上方時(shí)，求四邊形PABC面積的最大值，并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)M為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P，M運(yùn)動(dòng)時(shí)，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)N，使四邊形PMCN為矩形？若存在，直接寫出點(diǎn)P及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）判斷出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，可以假設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+3）（x﹣1），把（0，3）代入拋物線的解析式，得a＝﹣1，可得結(jié)論；（2）如圖（2）中，連接OP．設(shè)P（m，﹣m2﹣2m+3），構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）分兩種情形，點(diǎn)N在y軸上，點(diǎn)N在x軸上，分別求解即可．【解析】（1）∵拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝﹣1，拋物線交x軸于點(diǎn)A，B（1，0），∴A（﹣3，0），∴OA＝OC＝3，∴C（0，3），∴可以假設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+3）（x﹣1），把（0，3）代入拋物線的解析式，得a＝﹣1，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；（2）如圖（2）中，連接OP．設(shè)P（m，﹣m2﹣2m+3），S＝S△PAO+S△POC+S△OBC，＝×3×（﹣m2﹣2m+3）××3×（﹣m）+×1×3＝（﹣m2﹣3m+4）＝﹣（m+）2+，∵﹣＜0，∴當(dāng)m＝﹣時(shí)，S的值最大，最大值為，此時(shí)P（﹣，）；（3）存在，理由如下：如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)N在y軸上時(shí)，四邊形PMCN是矩形，此時(shí)P（﹣1，4），N（0，4）；如圖3﹣2中，當(dāng)四邊形PMCN是矩形時(shí)，設(shè)M（﹣1，n），P（t，﹣t2﹣2t+3），則N（t+1，0），由題意，，解得，消去n得，3t2+5t﹣10＝0，解得t＝，∴P（，），N（，0）或P′（，），N′（，0）．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P（﹣1，4），N（0，4）或P（，），N（，0）或P′（，），N′（，0）．【例3】(2023?成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝kx﹣3（k≠0）與拋物線y＝﹣x2相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為B'．（1）當(dāng)k＝2時(shí)，求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）連接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面積與△OAB的面積相等，求k的值；（3）試探究直線AB'是否經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn)．若是，請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）當(dāng)k＝2時(shí)，直線為y＝2x﹣3，聯(lián)立解析式解方程組即得A（﹣3，﹣9），B（1，﹣1）；（2）分兩種情況：當(dāng)k＞0時(shí)，根據(jù)△B'AB的面積與△OAB的面積相等，知OB'∥AB，可證明△BOD≌△BCD（ASA），得OD＝OC＝，D（0，﹣），可求B（，﹣），即可得k＝；當(dāng)k＜0時(shí)，過(guò)B'作B'F∥AB交y軸于F，由△B'AB的面積與△OAB的面積相等，可得OE＝EF＝3，證明△BGF≌△BGE（ASA），可得OG＝OE+GE＝，G（0，﹣），從而B（，﹣），即可得k＝﹣；（3）設(shè)x2+kx﹣3＝0二根為a，b，可得a+b＝﹣k，ab＝﹣3，A（a，﹣a2），B（b，﹣b2），B'（﹣b，﹣b2），設(shè)直線AB'解析式為y＝mx+n，可得，即可得m＝﹣（a﹣b）＝b﹣a＝＝，n＝﹣ab＝﹣（﹣3）＝3，從而直線AB'解析式為y＝?x+3，故直線AB'經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（0，3）．【解析】（1）當(dāng)k＝2時(shí)，直線為y＝2x﹣3，由得：或，∴A（﹣3，﹣9），B（1，﹣1）；（2）當(dāng)k＞0時(shí)，如圖：∵△B'AB的面積與△OAB的面積相等，∴OB'∥AB，∴∠OB'B＝∠B'BC，∵B、B'關(guān)于y軸對(duì)稱，∴OB＝OB'，∠ODB＝∠ODB'＝90°，∴∠OB'B＝∠OBB'，∴∠OBB'＝∠B'BC，∵∠ODB＝90°＝∠CDB，BD＝BD，∴△BOD≌△BCD（ASA），∴OD＝CD，在y＝kx﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，∴C（0，﹣3），OC＝3，∴OD＝OC＝，D（0，﹣），在y＝﹣x2中，令y＝﹣得﹣＝﹣x2，解得x＝或x＝﹣，∴B（，﹣），把B（，﹣）代入y＝kx﹣3得：﹣＝k﹣3，解得k＝；當(dāng)k＜0時(shí)，過(guò)B'作B'F∥AB交y軸于F，如圖：在y＝kx﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，∴E（0，﹣3），OE＝3，∵△B'AB的面積與△OAB的面積相等，∴OE＝EF＝3，∵B、B'關(guān)于y軸對(duì)稱，∴FB＝FB'，∠FGB＝∠FGB'＝90°，∴∠FB'B＝∠FBB'，∵B'F∥AB，∴∠EBB'＝∠FB'B，∴∠EBB'＝∠FBB'，∵∠BGE＝90°＝∠BGF，BG＝BG，∴△BGF≌△BGE（ASA），∴GE＝GF＝EF＝，∴OG＝OE+GE＝，G（0，﹣），在y＝﹣x2中，令y＝﹣得﹣＝﹣x2，解得x＝或x＝﹣，∴B（，﹣），把B（，﹣）代入y＝kx﹣3得：﹣＝k﹣3，解得k＝﹣，綜上所述，k的值為或﹣；（3）直線AB'經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（0，3），理由如下：由得：x2+kx﹣3＝0，設(shè)x2+kx﹣3＝0二根為a，b，∴a+b＝﹣k，ab＝﹣3，A（a，﹣a2），B（b，﹣b2），∵B、B'關(guān)于y軸對(duì)稱，∴B'（﹣b，﹣b2），設(shè)直線AB'解析式為y＝mx+n，將A（a，﹣a2），B'（﹣b，﹣b2）代入得：，解得：，∵a+b＝﹣k，ab＝﹣3，∴m＝﹣（a﹣b）＝b﹣a＝＝，n＝﹣ab＝﹣（﹣3）＝3，∴直線AB'解析式為y＝?x+3，令x＝0得y＝3，∴直線AB'經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（0，3）．【例4】．(2023?岳陽(yáng)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線F1：y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B（1，0）．（1）求拋物線F1的解析式；（2）如圖2，作拋物線F2，使它與拋物線F1關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，請(qǐng)直接寫出拋物線F2的解析式；（3）如圖3，將（2）中拋物線F2向上平移2個(gè)單位，得到拋物線F3，拋物線F1與拋物線F3相交于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)）．①求點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)；②若點(diǎn)M，N分別為拋物線F1和拋物線F3上C，D之間的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M，N與點(diǎn)C，D不重合），試求四邊形CMDN面積的最大值．【分析】（1）將點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B（1，0）代入y＝x2+bx+c，即可求解；（2）利用對(duì)稱性求出函數(shù)F1頂點(diǎn)（﹣1，﹣4）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為（1，4），即可求函數(shù)F2的解析式；（3）①通過(guò)聯(lián)立方程組，求出C點(diǎn)和D點(diǎn)坐標(biāo)即可；②求出直線CD的解析式，過(guò)點(diǎn)M作MF∥y軸交CD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)N作NE∥y軸交于點(diǎn)E，設(shè)M（m，m2+2m﹣3），N（n，﹣n2+2n+5），則F（m，2m+2），N（n，2n+1），可求MF＝﹣m2+4，NE＝﹣n2+4，由S四邊形CMDN＝S△CDN+S△CDM＝2（MF+NE），分別求出MF的最大值4，NE的最大值4，即可求解．【解析】（1）將點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B（1，0）代入y＝x2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2+2x﹣3；（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴拋物線的頂點(diǎn)（﹣1，﹣4），∵頂點(diǎn)（﹣1，﹣4）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為（1，4），∴拋物線F2的解析式為y＝﹣（x﹣1）2+4，∴y＝﹣x2+2x+3；（3）由題意可得，拋物線F3的解析式為y＝﹣（x﹣1）2+6＝﹣x2+2x+5，①聯(lián)立方程組，解得x＝2或x＝﹣2，∴C（﹣2，﹣3）或D（2，5）；②設(shè)直線CD的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴y＝2x+1，過(guò)點(diǎn)M作MF∥y軸交CD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)N作NE∥y軸交于點(diǎn)E，設(shè)M（m，m2+2m﹣3），N（n，﹣n2+2n+5），則F（m，2m+1），E（n，2n+1），∴MF＝2m+1﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2+4，NE＝﹣n2+2n+5﹣2n﹣1＝﹣n2+4，∵﹣2＜m＜2，﹣2＜n＜2，∴當(dāng)m＝0時(shí)，MF有最大值4，當(dāng)n＝0時(shí)，NE有最大值4，∵S四邊形CMDN＝S△CDN+S△CDM＝×4×（MF+NE）＝2（MF+NE），∴當(dāng)MF+NE最大時(shí)，四邊形CMDN面積的最大值為16．1．(2023?金壇區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y＝x2+bx﹣2的圖象與x軸交于點(diǎn)A（3，0），B（點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，作直線AD．（1）填空：b＝﹣；（2）將△AOC平移到△EFG（點(diǎn)E，F(xiàn)，G依次與A，O，C對(duì)應(yīng)），若點(diǎn)E落在拋物線上且點(diǎn)G落在直線AD上，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)P是第四象限拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為H，交AC于點(diǎn)T．若∠CPT+∠DAC＝180°，求△AHT與△CPT的面積之比．【分析】（1）把A（3，0）代入y＝x2+bx﹣2，求出b；（2）令x＝0，y＝﹣2，求出C（0，﹣2），根據(jù)點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，求出D（0，2），進(jìn)而得到直線AD解析式：y＝﹣x+2，根據(jù)平移的性質(zhì)及點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，得出E（m，m2﹣m﹣2），則G[m﹣3，﹣（m﹣3）+2]，F(xiàn)[m﹣3，﹣（m﹣3）+4]，再根據(jù)平行于x軸的直線點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，得出m2﹣m﹣2＝﹣（m﹣3），解出即可；（3）如圖所示：過(guò)C作CK⊥AD，CQ⊥HP，根據(jù)勾股定理及等面積法，求出AD＝，CK＝，DK＝，AK＝，再根據(jù)銳角三角函數(shù)定義，得出tan∠CPQ＝tan∠CAK＝，tan∠OAC＝＝＝，進(jìn)而求出△AHT與△CPT的面積之比．【解析】（1）把A（3，0）代入y＝x2+bx﹣2，得×9+3b﹣2＝0，解得b＝﹣；故答案為：﹣；（2）如圖所示：由（1）得y＝x2﹣x﹣2，令x＝0，y＝﹣2，∴C（0，﹣2），∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，∴D（0，2），設(shè)直線AD：y＝kx+2，把A（3，0）代入y＝kx+2，得3k+2＝0，解得k＝﹣，∴直線AD解析式：y＝﹣x+2，∵將△AOC平移到△EFG，∴OA＝EF＝3，F(xiàn)G＝OC＝2，設(shè)E（m，m2﹣m﹣2），則G（m﹣3，﹣（m﹣3）+2），F(xiàn)（m﹣3，﹣（m﹣3）+4），∵EF∥x軸，∴m2﹣m﹣2＝﹣（m﹣3）2+4，解得m＝﹣3或m＝4，∴E（﹣3，8）或（4，）；（3）如圖所示：過(guò)C作CK⊥AD，CQ⊥HP，∵OD＝2，OA＝3∴AD＝，∵CK⊥AD∴CD?AO＝AD?CK，∴CK＝，DK＝，AK＝，∴tan∠CAK＝＝，∵CQ⊥HP，∴∠CPQ+∠CPT＝180°，∵∠CPT+∠DAC＝180°，∴∠CPQ＝∠CAK，∴tan∠CPQ＝tan∠CAK＝，∴＝，設(shè)P（n，n2﹣n﹣2），∴PQ＝n2﹣n，CQ＝n，∴＝，解得n＝，∴P（，﹣），∴CQ＝，AH＝3﹣＝，∵tan∠OAC＝＝＝，∴TH＝AH＝×＝，∴TP＝，∴＝＝，即△AHT與△CPT的面積之比為8：147．2．(2023?羅城縣模擬）如圖，已知拋物線y＝ax2+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，6），B（﹣4，0），其中E、F（m，n）為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式并寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若C（x，y）是拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)﹣4＜x＜2且S△ABC最大時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）若EF∥x軸，點(diǎn)A到EF的距離大于8個(gè)單位長(zhǎng)度，求m的取值范圍．【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD∥y軸交AB于點(diǎn)D，運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式為y＝x+4，可得S△ABC＝CD?（xA﹣xB）＝（x+1）2+，利用二次函數(shù)性質(zhì)即可求得答案；（3）根據(jù)EF∥x軸，可得點(diǎn)A到EF的距離為|6﹣n|＝，進(jìn)而可得|6﹣（﹣m2+8）|＞8，求解即可．【解析】（1）∵拋物線y＝ax2+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，6），B（﹣4，0），∴，解得：，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+8，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，8）；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD∥y軸交AB于點(diǎn)D，設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+d，則，解得：，∴直線AB的解析式為y＝x+4，∵C（x，﹣x2+8），∴D（x，x+4），∴CD＝﹣x2+8﹣（x+4）＝﹣x2﹣x+4，∴S△ABC＝CD?（xA﹣xB）＝×（﹣x2﹣x+4）×6＝（x+1）2+，∵＜0，∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，S△ABC最大，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，）；（3）∵EF∥x軸，∴點(diǎn)A到EF的距離為|6﹣n|，∵F（m，n）在拋物線y＝﹣x2+8上，∴n＝﹣m2+8，∴|6﹣（﹣m2+8）|＞8，∴m2﹣2＞8或m2﹣2＜﹣8（無(wú)解），∴m＞2或m＜﹣2．3．(2023?老河口市模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+2mx的頂點(diǎn)為A，直線l：y＝x﹣1與x軸交于點(diǎn)B．（1）如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），拋物線與直線l在第一象限交于點(diǎn)C．①求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；②點(diǎn)M為線段BC上不與B，C重合的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)t．當(dāng)EM＞BD時(shí)，求t的取值范圍；（2）過(guò)點(diǎn)A作AP⊥l于點(diǎn)P，作AQ∥l交拋物線于點(diǎn)Q，連接PQ，設(shè)△APQ的面積為S．直接寫出①S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；②S的最小值及S取最小值時(shí)m的值．【分析】（1）①利用拋物線的頂點(diǎn)可得y＝﹣（x﹣2）2+4，聯(lián)立方程組求解即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；②先證得△OBC是等腰直角三角形，進(jìn)而得出△BDM是等腰直角三角形，可得：EM＝﹣t2+3t+1，BD＝MD＝t﹣1，由EM＞BD，可得﹣t2+3t+1＞t﹣1，即t2﹣2t﹣2＜0，令y＝t2﹣2t﹣2，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得答案；（2）①如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AG∥y軸交直線l于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AG于點(diǎn)H，則AG＝m2﹣m+1，利用三角函數(shù)可得AP＝AG?sin45°＝（m2﹣m+1），根據(jù)AQ∥直線l，可得直線AG的解析式為y＝x+m2﹣m，進(jìn)而求得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m﹣1，故QH＝m﹣（m﹣1）＝1，AQ＝，運(yùn)用三角形面積公式可求得S＝m2﹣m+；②運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案．【解析】（1）①∵拋物線y＝﹣x2+2mx的頂點(diǎn)為A（2，4），∴y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+4x，聯(lián)立方程組，解得：，，∵點(diǎn)C在第一象限，∴C（，）；②設(shè)直線l：y＝x﹣1與y軸交于點(diǎn)F，則F（0，﹣1），∴OF＝1，∵B（1，0），∴OB＝1，∴OB＝OF，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBF＝∠OFB＝45°，∴∠MBD＝∠OBF＝45°，∵∠BDM＝90°，∴△BDM是等腰直角三角形，∴BD＝MD，∵M(jìn)（t，t﹣1），D（t，0），E（t，﹣t2+4t），∴EM＝﹣t2+4t﹣（t﹣1）＝﹣t2+3t+1，BD＝MD＝t﹣1，∵EM＞BD，∴﹣t2+3t+1＞t﹣1，∴t2﹣2t﹣2＜0，令y＝t2﹣2t﹣2，當(dāng)y＝0時(shí)，t2﹣2t﹣2＝0，解得：t＝1±，∴當(dāng)y＜0，即t2﹣2t﹣2＜0時(shí)，1﹣＜t＜1+（i），∵點(diǎn)M為線段BC上不與B，C重合的一動(dòng)點(diǎn)，∴1＜t＜（ii），由（i）（ii）得：1＜t＜1+，故t的取值范圍為：1＜t＜1+；（2）①如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AG∥y軸交直線l于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AG于點(diǎn)H，∵y＝﹣x2+2mx＝﹣（x﹣m）2+m2，∴A（m，m2），∴G（m，m﹣1），∴AG＝m2﹣（m﹣1）＝m2﹣m+1，由（1）②知：∠OFB＝45°，∵AG∥y軸，∴∠AGP＝∠OFB＝45°，∵AP⊥直線l，∴∠APG＝90°，∴AP＝AG?sin45°＝（m2﹣m+1），∵AQ∥直線l，∴設(shè)直線AG的解析式為y＝x+n，把A（m，m2）代入得：m+n＝m2，∴n＝m2﹣m，∴直線AG的解析式為y＝x+m2﹣m，令﹣x2+2mx＝x+m2﹣m，解得：x1＝m，x2＝m﹣1，∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m﹣1，∴QH＝m﹣（m﹣1）＝1，∵AQ∥l，∴∠QAH＝∠AGP＝45°，∠PAQ＝90°，∵∠AHQ＝90°，∴△AHQ是等腰直角三角形，∴AQ＝QH＝，∴S＝AP?AQ＝×（m2﹣m+1）×＝m2﹣m+，故S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式為S＝m2﹣m+；②∵S＝m2﹣m+＝（m﹣）2+，∴當(dāng)m＝時(shí)，S的最小值為．4．(2023?新吳區(qū)二模）如圖，已知拋物線y＝+bx過(guò)點(diǎn)A（﹣4，0）、頂點(diǎn)為B，一次函數(shù)y＝x+2的圖象交y軸于M，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）已知P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于AP的對(duì)稱點(diǎn)為N．①若點(diǎn)N恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；②請(qǐng)直接寫出△MHN面積的最大值．【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求拋物線的表達(dá)式．（2）①先求出拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣2，設(shè)N（﹣2，n），則NH＝|n|，由軸對(duì)稱性質(zhì)可得AN＝AM，即AN2＝AM2，建立方程求解即可得出答案．②連接MH，以點(diǎn)A為圓心，AM為半徑作⊙A，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥MH于點(diǎn)F，交⊙A于點(diǎn)N，則AN＝AM，連接AM，AN，此時(shí)△MHN面積最大．運(yùn)用勾股定理、三角函數(shù)、三角形面積公式即可求得答案．【解析】（1）∵拋物線y＝+bx過(guò)點(diǎn)A（﹣4，0），∴×（﹣4）2﹣4b＝0，解得：b＝2，∴該拋物線的表達(dá)式為y＝x2+2x；（2）①∵y＝x2+2x，∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝﹣2，∵對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，∴H（﹣2，0），∴AH＝1，∵直線y＝x+2交y軸于M，∴M（0，2），∴AM2＝OA2+OM2＝42+22＝20，設(shè)N（﹣2，n），則NH＝|n|，如圖1、圖2，∵M(jìn)、N關(guān)于直線AP對(duì)稱，∴AN＝AM，即AN2＝AM2，∴12+n2＝20，∴n±，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣2，﹣）或（﹣2，）；②如圖，連接MH，以點(diǎn)A為圓心，AM為半徑作⊙A，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥MH于點(diǎn)F，交⊙A于點(diǎn)N，則AN＝AM，在Rt△AMO中，OM＝2，OA＝4，∴AM＝＝＝2，∴AN＝2，∵OH＝OM＝2，∠HOM＝90°，∴△HOM是等腰直角三角形，∠MHO＝45°，MH＝2，∴∠AHF＝∠MHO＝45°，在Rt△AFH中，AH＝OA﹣OH＝4﹣2＝2，∴AF＝AH×sin45°＝2×＝，∴NF＝AN+AF＝2+，∴S△MHN＝MH?NF＝×2×（2+）＝2+2，故△MHN面積的最大值為2+2．5．(2023?開福區(qū)校級(jí)二模）如圖，拋物線y＝（x+1）（x﹣a）（其中a＞1）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．（1）直接寫出∠OCA的度數(shù)和線段AB的長(zhǎng)（用a表示）；（2）如圖①，若a＝2，點(diǎn)D在拋物線的對(duì)稱軸上，DB＝DC，求△BCD與△ACO的周長(zhǎng)之比；（3）如圖②，若a＝3，動(dòng)點(diǎn)P在線段OA上，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線分別與AC交于點(diǎn)M，與拋物線交于點(diǎn)N．試問(wèn)：拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得△PQN與△BPM的面積相等，且線段NQ的長(zhǎng)度最??？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由．【分析】（1）在y＝（x+1）（x﹣a）中，令x＝0得y＝﹣a，令y＝0得x＝﹣1或x＝a，得A（a，0），B（﹣1，0），C（0，﹣a），即可得∠OCA的度數(shù)為45°，線段AB的長(zhǎng)是a+1；（2）當(dāng)a＝2時(shí)，拋物線為y＝（x+1）（x﹣2），設(shè)D（，m），根據(jù)DB＝DC，有（﹣1﹣）2+（0﹣m）2＝（﹣0）2+（m+2）2，解得D（，﹣），可證△BCD是等腰直角三角形，△BCD∽△ACO，即知△BCD與△ACO的周長(zhǎng)之比＝＝；（3）過(guò)Q作QR⊥PN，垂足為R，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（n，0），則PB＝n+1，PA＝PM＝3﹣n，PN＝﹣n2+2n+3．由S△PQN＝S△BPM，可得QR＝1，分兩種情況：①點(diǎn)Q在直線PN的左側(cè)時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（n﹣1，n2﹣4n），R點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，n2﹣4n），N點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，n2﹣2n﹣3），在Rt△QRN中，NQ2＝1+（2n﹣3）2，即得n＝時(shí)，NQ取最小值1．此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（，﹣）；②點(diǎn)Q在直線PN的右側(cè)時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（n+1，n2﹣4），同理可得n＝時(shí)，NQ取最小值1．此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（，﹣）．【解析】（1）在y＝（x+1）（x﹣a）中，令x＝0得y＝﹣a，令y＝0得x＝﹣1或x＝a，∴A（a，0），B（﹣1，0），C（0，﹣a），∴OA＝a，OB＝1，OC＝a，∴AB＝a+1，OA＝OC，∴∠OCA＝45°；答：∠OCA的度數(shù)為45°，線段AB的長(zhǎng)是a+1；（2）當(dāng)a＝2時(shí)，拋物線為y＝（x+1）（x﹣2），結(jié)合（1）知A（2，0），B（﹣1，0），C（0，﹣2），∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝＝，設(shè)D（，m），∵DB＝DC，∴（﹣1﹣）2+（0﹣m）2＝（﹣0）2+（m+2）2，解得m＝﹣，∴D（，﹣），∴DB2＝DC2＝，而BC2＝（﹣1﹣0）2+（0+2）2＝5，∴DB2+DC2＝BC2，∴△BCD是等腰直角三角形，由（1）知∠OCA＝45°，∴△ACO是等腰直角三角形，∴∠DBC＝∠DCB＝45°＝∠OCA＝∠OAC，∴△BCD∽△ACO，∴△BCD與△ACO的周長(zhǎng)之比＝＝＝；（3）a＝3時(shí)，存在點(diǎn)Q，使得△PQN與△BPM的面積相等，且線段NQ的長(zhǎng)度最小，理由如下：過(guò)Q作QR⊥PN，垂足為R，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（n，0），則PB＝n+1，PA＝PM＝3﹣n，PN＝﹣n2+2n+3．∵S△PQN＝S△BPM，∴（n+1）（3﹣n）＝（﹣n2+2n+3）?QR，∴QR＝1，①點(diǎn)Q在直線PN的左側(cè)時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（n﹣1，n2﹣4n），R點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，n2﹣4n），N點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，n2﹣2n﹣3）．∴在Rt△QRN中，NQ2＝1+（2n﹣3）2，∴n＝時(shí)，NQ取最小值1．此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（，﹣）；②點(diǎn)Q在直線PN的右側(cè)時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（n+1，n2﹣4），同理，NQ2＝1+（2n﹣1）2，∴n＝時(shí)，NQ取最小值1．此時(shí)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（，﹣）．綜上可知存在滿足題意的點(diǎn)Q，坐標(biāo)為（，﹣）或?yàn)椋?，﹣）?．(2023?官渡區(qū)二模）拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸正半軸于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線．（1）如圖1，若點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2），則b＝﹣，c＝2；（2）若點(diǎn)P為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在（1）的條件下，求四邊形ABCP面積最大時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)和四邊形ABCP的最大面積；（3）如圖2，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作MN∥CD別交拋物線于點(diǎn)M，N，當(dāng)MN＝3CD時(shí)，求c的值．【分析】（1）由點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2）得c＝2，根據(jù)對(duì)稱軸為直線x＝﹣可得b的值；（2）設(shè)點(diǎn)P（x，），根據(jù)S四邊形ABCP＝S△APC+S△ABC，列出四邊形面積關(guān)于m的二次函數(shù)即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)和四邊形ABCP面積的最大值；（3）求出，C（0，c），求出直線CD的解析式為：，進(jìn)而求出直線MN的解析式為，聯(lián)立y＝﹣x2﹣x+2，得，分別過(guò)C，N作x軸的平行線，過(guò)D，M作y軸的平行線交于點(diǎn)G，H，證明△MHN∽△DGC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【解析】（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c交y軸正半軸于點(diǎn)C，點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2），對(duì)稱軸為直線x＝﹣．∴c＝2，x＝﹣＝﹣，∴，故答案為：﹣，2；（2）∵c＝2，，∴y＝﹣x2﹣x+2，令y＝﹣x2﹣x+2＝0，整理得（x﹣1）（x+4）＝0解得x＝1或x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（1，0）；∵C（0，2），∴AB＝5，OC＝2，∴S△ABC＝AB×OC＝5，∵A（﹣4，0），C（0，2）；∴l(xiāng)AC：y＝x+2，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交AC于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P（x，）（x＜0），則點(diǎn)Q（x，x+2），PQ＝﹣（x+2）＝，∴S△APC＝S△APQ+S△PCQ＝PQ×（xC﹣xA）＝﹣x2﹣4x（x＜0），∴S四邊形ABCP＝S△APC+S△ABC＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，∵﹣1＜0，函數(shù)圖象開口向下，又x＜0，∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，S四邊形ABCP最大＝9，此時(shí)點(diǎn)P（﹣2，3），∴當(dāng)點(diǎn)P（﹣2，3）時(shí)，四邊形ABCP的最大面積，最大面積為9；（3）∵，∴，∵，C（0，c）∴設(shè)直線CD的解析式為y＝kx+b1（k≠0），代入點(diǎn)D，C的坐標(biāo)得，解得，∴直線CD的解析式為：，∵M(jìn)N∥CD，∴直線MN的解析式為：，由題意，聯(lián)立得：，解得：，由題意，，，∴，分別過(guò)C，N作x軸的平行線，過(guò)D，M作y軸的平行線交于點(diǎn)G，H，∴∠G＝∠H，∠DCG＝∠MOA＝∠MNH，∴△MHN∽△DGC，∴，∵M(jìn)N＝3CD，∴，∵，C（0，c），∴，∴，又∵，∴．7．(2023?徐州二模）如圖，四邊形ABCD中，已知AB∥CD，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿邊AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)由A點(diǎn)出發(fā)，沿折線AD﹣DC﹣CB運(yùn)動(dòng)點(diǎn)B停止，在移動(dòng)過(guò)程中始終保持PQ⊥AB，已知點(diǎn)P的移動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)點(diǎn)P的移動(dòng)時(shí)間為x秒，△APQ的面積為y，已知y與x之間函數(shù)關(guān)系如圖②，其中MN為線段，曲線OM，NK為拋物線的一部分，根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題：（1）圖①AB＝10，BC＝5；（2）分別求線段MN，曲線NK所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（3）當(dāng)x為何值，△APQ的面積為6？【分析】（1）如圖①，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，觀察圖形②可得：AB＝10，AE＝4，AF＝7，CD＝EF＝3，S△ADE＝8，利用三角形面積公式可求得DE＝4，再運(yùn)用勾股定理可求得BC＝5；（2）如圖①，連接AC，可得S△ACF＝AF?CF＝×7×4＝14，即N（7，14），運(yùn)用待定系數(shù)法可得出答案；（3）分三種情況：當(dāng)0＜x≤4時(shí)，根據(jù)三角形面積公式建立方程求解即可得出x＝2，當(dāng)4＜x≤7時(shí)，由于S△APQ＞8，無(wú)解；當(dāng)7＜x≤10時(shí)，令y＝6，則﹣（x﹣7）2+14＝6，可求得x＝7+．【解析】（1）如圖①，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，由圖②可知：AB＝10，AE＝4，AF＝7，CD＝EF＝3，S△ADE＝8，∴BF＝AB﹣AF＝10﹣7＝3，∵S△ADE＝AE?DE＝×4DE＝2DE，∴2DE＝8，∴DE＝4，∵AB∥CD，∠DEF＝∠CFE＝90°，∴∠CDE＝180°﹣∠DEF＝90°，∴∠DEF＝∠CFE＝∠CDE＝90°，∴四邊形CDEF是矩形，∴CF＝DE＝4，在Rt△BCF中，BC＝＝＝5，故答案為：10，5；（2）如圖①，連接AC，則S△ACF＝AF?CF＝×7×4＝14，∴N（7，14），設(shè)直線MN的解析式為y＝kx+b，把M（4，8），N（7，14）代入得：，解得：，∴線段MN所在直線的解析式為y＝2x；設(shè)曲線NK所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝a（x﹣7）2+14，把B（10，0）代入得：a×（10﹣7）2+14＝0，解得：a＝﹣，∴曲線NK所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣（x﹣7）2+14；（3）如圖①，∵AE＝DE＝4，∠AED＝90°，∴∠DAE＝45°，當(dāng)0＜x≤4時(shí)，∵PQ⊥AB，∴PQ＝AP?tan∠DAE＝x?tan45°＝x，∴y＝x2＝6，∵x＞0，∴x＝2，當(dāng)4＜x≤7時(shí)，點(diǎn)Q在線段CD上，此時(shí)S△APQ＞8；當(dāng)7＜x≤10時(shí)，令y＝6，則﹣（x﹣7）2+14＝6，解得：x＝7﹣（舍去）或x＝7+，綜上所述，當(dāng)x為2或7+時(shí)，△APQ的面積為6．8．(2023?茌平區(qū)一模）如圖，已知二次函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)B（﹣8，0），C（2，0），交y軸點(diǎn)A．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）連接AC，AB，若點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B，C重合），過(guò)點(diǎn)P作PD∥AC，交AB于點(diǎn)D，試猜想△PAD的面積有最大值還是最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）連接OD，在（2）的條件下，求出的值．【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）設(shè)P（m，0）（﹣8＜m＜2），則PB＝m+8，PC＝2﹣m，利用三角形面積公式可得S△PAB＝2m+16，由PD∥AC，可得，進(jìn)而得出＝＝，即S△PAD＝﹣（m+3）2+5，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案；（3）當(dāng)P（﹣3，0）時(shí)，P為BC邊的中點(diǎn)，進(jìn)而推出D為AB邊的中點(diǎn)，得出，即可求得答案．【解析】（1）∵點(diǎn)B（﹣8，0），C（2，0）在二次函數(shù)的圖象上，∴，解得：，∴二次函數(shù)的表達(dá)式是y＝x2+x﹣4．（2）猜想：△PAD的面積有最大值．設(shè)P（m，0）（﹣8＜m＜2），則PB＝m+8，PC＝2﹣m，∵B（﹣8，0），C（2，0），∴BC＝2﹣（﹣8）＝10，在y＝x2+x﹣4中，令x＝0，得y＝﹣4，∴A（0，﹣4），∴OA＝4，∴S△PAB＝PB?OA＝（m+8）×4＝2m+16，∵PD∥AC，∴，∴＝＝，∴S△PAD＝S△PAB＝×（2m+16）＝﹣（m+3）2+5，∵，∴當(dāng)m＝﹣3時(shí)，△PAD的面積存在最大值，此時(shí)P（﹣3，0）．（3）當(dāng)P（﹣3，0）時(shí)，P為BC邊的中點(diǎn)，∴，∴D為AB邊的中點(diǎn)，∴，在Rt△AOB中，，∴，∴．9．(2023?碑林區(qū)校級(jí)模擬）拋物線W1：y＝a（x+）2﹣與x軸交于A（﹣5，0）和點(diǎn)B．（1）求拋物線W1的函數(shù)表達(dá)式；（2）將拋物線W1關(guān)于點(diǎn)M（﹣1，0）對(duì)稱后得到拋物線W2，點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A'，B'，拋物線W2與y軸交于點(diǎn)C，在拋物線W2上是否存在一點(diǎn)P，使得S△PA′B′＝S△PA'C，若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)求出拋物線W2的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣（x﹣）2+，進(jìn)而得出A′（3，0），B′（﹣2，0），A′B′＝5，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線A′C的解析式為y＝﹣x+4，設(shè)P（t，﹣t2+t+4），過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸交A′C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，則Q（t，﹣t+4），由S△PA′B′＝S△PA'C，建立方程求解即可得出答案．【解析】（1）把A（﹣5，0）代入y＝a（x+）2﹣，得：0＝a（﹣5+）2﹣，解得：a＝，∴拋物線W1的函數(shù)表達(dá)式為y＝（x+）2﹣；（2）存在．∵拋物線W1關(guān)于點(diǎn)M（﹣1，0）對(duì)稱后得到拋物線W2，∴拋物線W2的開口大小不變，方向相反，∵拋物線W1的a1＝，∴拋物線W2的a2＝﹣，設(shè)拋物線W2的頂點(diǎn)為（m，n），∵拋物線W1的頂點(diǎn)為（﹣，﹣），M（﹣1，0），∴m﹣＝（﹣1）×2，n﹣＝0，∴m＝，n＝，∴拋物線W2的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣（x﹣）2+．∴C（0，4），∵y＝（x+）2﹣與x軸交于A（﹣5，0）和點(diǎn)B，∴點(diǎn)B和A（﹣5，0）關(guān)于直線x＝﹣對(duì)稱，∴B（0，0），∵點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A'，B'，∴A′（3，0），B′（﹣2，0），∴A′B′＝3﹣（﹣2）＝5，∵y＝﹣（x﹣）2+＝﹣x2+x+4，設(shè)P（t，﹣t2+t+4），設(shè)直線A′C的解析式為y＝kx+b，則，解得：，∴直線A′C的解析式為y＝﹣x+4，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸交A′C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，則Q（t，﹣t+4），∴PQ＝﹣t+4﹣（﹣t2+t+4）＝t2﹣2t，∴S△PA′C′＝PQ×（xA′﹣xC）＝×（t2﹣2t）×3＝t2﹣3t，S△PA′B′＝A′B′?|yP|＝|﹣t2+t+4|，∵S△PA′B′＝S△PA'C，∴|﹣t2+t+4|＝t2﹣3t，解得：t＝3或t＝﹣5或t＝﹣，當(dāng)t＝3時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A′重合，舍去，當(dāng)t＝﹣5時(shí)，﹣t2+x+4＝﹣×（﹣5）2+×（﹣5）+4＝﹣16，∴P（﹣5，﹣16）；當(dāng)t＝﹣時(shí)，﹣t2+x+4＝﹣×（﹣）2+×（﹣）+4＝，∴P（﹣，）；綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣5，﹣16）或（﹣，）．10．(2023秋?欽北區(qū)期末）如圖，拋物線y＝ax2+bx+6與直線y＝x+2相交于A（，）、B（4，6）兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與A、B兩點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)C，點(diǎn)E是直線AB與x軸的交點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，求△BCE的面積；（3）是否存在點(diǎn)P，使得△BCE的面積最大？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）把A（，）、B（4，6）代入拋物線y＝ax2+bx+6中列方程組解出即可；（2）利用配方法計(jì)算拋物線頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，計(jì)算PC的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積公式可得結(jié)論；（3）設(shè)P（m，m＝2），表示點(diǎn)C的坐標(biāo)，計(jì)算PC的長(zhǎng)，同理根據(jù)（2）中△BCE的面積公式可得結(jié)論．【解析】（1）把A（，）、B（4，6）代入拋物線y＝ax2+bx+6中得：，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝2x2﹣8x+6；（2）如圖1，∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，∴頂點(diǎn)C（2，﹣2），當(dāng)x＝2時(shí)，y＝2+2＝4，∴PC＝4﹣（﹣2）＝6，當(dāng)y＝0時(shí)，x+2＝0，∴x＝﹣2，∴E（﹣2，0），∴△BCE的面積＝△PCE的面積+△PBC的面積＝PC?ED+PC?（xB﹣xD）＝PC?（xB﹣xE）＝×6×（4+2）＝18；（3）存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m+2），則C（m，2m2﹣8m+6），∴PC＝m+2﹣（2m2﹣8m+6）＝﹣2m2+9m﹣4，∴△BCE的面積＝PC?（xB﹣xE）＝×（﹣2m2+9m﹣4）×（4+2）＝﹣6（m﹣）2+；∵﹣6＜0，∴當(dāng)m＝時(shí)，△BCE的面積最大，這個(gè)最大值是．11．(2023?保定一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)t秒（t＞0），拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)O和點(diǎn)P，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)為A（1，0），B（1，﹣5），D（4，0）．（1）求c，b（含t的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)4＜t＜5時(shí)，設(shè)拋物線分別與線段AB，CD交于點(diǎn)M，N．①在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，你認(rèn)為∠AMP的大小是否會(huì)變化？若變化，說(shuō)明理由；若不變，求出∠AMP的值；②求△MPN的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式．并求t為何值時(shí)，△MPN的面積為．【分析】（1）將（0，0），P（t，0）代入y＝x2+bx+c，即可求解；（2）①求出AM＝AP＝t﹣1，則△AMP是等腰直角三角形，可知∠AMP不變；②利用割補(bǔ)法可知S△MNP＝S△DPN+S梯形NDAM﹣S△PAM，再求解即可．【解析】（1）將（0，0）代入y＝x2+bx+c，∴c＝0，由題可知P（t，0），∴t2+bt＝0，∴b＝﹣t；（2）①∠AMP的大小不會(huì)變化，理由如下：由（1）知y＝x2﹣tx，∵四邊形ABCD是矩形，∴M（1，1﹣t），∴AM＝t﹣1，∵P（t，0），A（1，0），∴AP＝t﹣1，∴AM＝AP，∵AM⊥AP，∴∠AMP＝45°；②∵A（1，0），D（4，0），∴M（1，1﹣t），N（4，16﹣4t），∴AM＝t﹣1，DN＝4t﹣16，∴S△MNP＝S△DPN+S梯形NDAM﹣S△PAM＝×（t﹣4）×（4t﹣16）+×（4t﹣16+t﹣1）×3﹣×（t﹣1）2＝t2﹣t+6，∵△MPN的面積為，∴t2﹣t+6＝，解得t＝或t＝，∵4＜t＜5，∴t＝．12．(2023?黃石模擬）如圖，已知拋物線與x軸交于A（2，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣4），直線與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E，交直線l于點(diǎn)F．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是拋物線上位于第三象限的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是m，四邊形PCOB的面積是S．①求S關(guān)于m的函數(shù)解析式及S的最大值；②點(diǎn)Q是直線PE上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)S取最大值時(shí)，求△QOC周長(zhǎng)的最小值及FQ的長(zhǎng)．【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得拋物線解析式；（2）①如圖1，連接BP，先求得B（﹣10，0），設(shè)P（m，m2+m﹣4），可得S＝﹣m2﹣10m+20＝﹣（m+5）2+45，利用二次函數(shù)性質(zhì)即可求得答案；②由①可得：P（﹣5，﹣7），E（﹣5，0），可得OE＝BE＝5，故點(diǎn)B與點(diǎn)O關(guān)于直線PE對(duì)稱，連接BC交PE于點(diǎn)Q，則QO＝QB，可得QO+QC＝QB+QC＝BC，此時(shí)QO+QC最小，即△QOC的周長(zhǎng)最小，運(yùn)用勾股定理可得BC＝2，即可得出△QOC的周長(zhǎng)的最小值為：BC+OC＝2+4；運(yùn)用待定系數(shù)法可得直線BC的解析式為y＝﹣x﹣4，進(jìn)而可得Q（﹣5，﹣2），F(xiàn)（﹣5，﹣），即可求得FQ的值．【解析】（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)A（2，0）、C（0，﹣4），∴，解得：，∴該拋物線的表達(dá)式為y＝x2+x﹣4；（2）①如圖1，連接BP，∵拋物線y＝x2+x﹣4，令y＝0，得x2+x﹣4＝0，解得：x1＝﹣10，x2＝2，∴B（﹣10，0），設(shè)P（m，m2+m﹣4），∵PE⊥x軸，∴E（m，0），∴OE＝﹣m，BE＝m+10，PE＝﹣（m2+m﹣4）＝﹣m2﹣m+4，∴S＝S△PBE+S梯形OCPE＝×（m+10）×（﹣m2﹣m+4）+×（﹣m2﹣m+4+4）×（﹣m）＝﹣m2﹣10m+20，∵S＝﹣m2﹣10m+20＝﹣（m+5）2+45，∴當(dāng)m＝﹣5時(shí)，S的最大值為45；②由①得：當(dāng)m＝﹣5時(shí)，S的最大值為45，∴P（﹣5，﹣7），E（﹣5，0），∴OE＝BE＝5，∵PE⊥x軸，∴直線PE是線段OB的垂直平分線，∴點(diǎn)B與點(diǎn)O關(guān)于直線PE對(duì)稱，連接BC交PE于點(diǎn)Q，則QO＝QB，∴QO+QC＝QB+QC＝BC，此時(shí)QO+QC最小，即△QOC的周長(zhǎng)最小，在Rt△BCO中，BC＝＝＝2，∴△QOC的周長(zhǎng)的最小值為：BC+OC＝2+4，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，把B（﹣10，0），C（0，﹣4）代入，得，解得：，∴直線BC的解析式為y＝﹣x﹣4，當(dāng)x＝﹣5時(shí)，y＝﹣×（﹣5）﹣4＝﹣2，∴Q（﹣5，﹣2）；∵直線l的解析式為y＝﹣x﹣4，∴當(dāng)x＝﹣5時(shí)，y＝﹣×（﹣5）﹣4＝﹣，∴F（﹣5，﹣），∴FQ＝﹣﹣（﹣2）＝，故△QOC周長(zhǎng)的最小值為2+4，F(xiàn)Q的長(zhǎng)為．13．(2023?哈爾濱模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝ax2﹣2ax+3與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與x的正半軸交于點(diǎn)B，與y軸正半軸交于點(diǎn)C，OB＝2OA．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接AD交y軸于點(diǎn)E，過(guò)C作CF⊥y軸交拋物線于點(diǎn)F，連接DF，設(shè)四邊形DECF的面積為S，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)的t，求S與t的函數(shù)解析式；（3）在（2）的條件下，過(guò)F作FM∥y軸交AD于點(diǎn)M，連接CD交FM于點(diǎn)G，點(diǎn)N是CE上一點(diǎn)，連接MN、EG，當(dāng)∠BAD+2∠AMN＝90°，MN：EG＝，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)解析式可以計(jì)算拋物線的對(duì)稱軸，再根據(jù)OA、OB關(guān)系即可得出點(diǎn)A、B坐標(biāo)，把其中一個(gè)代入解析式即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)D作DT⊥y軸于點(diǎn)T，根據(jù)題意得到點(diǎn)D坐標(biāo)，分別計(jì)算S△CED、S△CFD，最后根據(jù)S四邊形CEDF＝S△CED+S△CFD進(jìn)行解答；（3）過(guò)點(diǎn)E作EL⊥FM于點(diǎn)L，過(guò)點(diǎn)M作MS⊥x軸于點(diǎn)S，所以四邊形CFMS、四邊形CFLE是矩形，SM＝CF＝2＝OA，用含t的式子表示出ES、SM、EM的長(zhǎng)，最后在Rt△ESM中，利用勾股定理得：ES2+SM2＝EM2，即可解答．【解析】（1）∵拋物線y＝ax2﹣2ax+3與y軸正半軸交于點(diǎn)C，與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與x的正半軸交于點(diǎn)B，∴C（0，3），對(duì)稱軸x＝1，BO﹣1＝AO+1，BO﹣AO＝2，∵BO＝2AO，∴AO＝2，BO＝4，即A（﹣2，0），B（4，0），把B（4，0）代入y＝ax2﹣2ax+3，得：0＝16a﹣8a+3，解得：a＝﹣，∴y＝﹣（x+2）（x﹣4），即y＝﹣x2+x+3；（2）過(guò)點(diǎn)D作DT⊥y軸于點(diǎn)T，由（1）得：C（0，3），∴點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，坐標(biāo)為F（2，3），CF＝2，∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)的t，點(diǎn)D是第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，∴D（t，﹣t2+t+3），∵A（﹣2，0），∴tan∠BAD＝＝＝（t﹣4），∵OE＝AO?tan∠BAD＝2[（t﹣4）]＝t﹣3，∴CE＝CO+OE＝3+（t﹣3）＝t，∵S△CED＝CE?DT＝×（t）t＝t2，S△CFD＝CF?CT＝2[3﹣（﹣t2+t+3）]＝t2﹣t，∴S四邊形CEDF＝S△CED+S△CFD＝t2+t2﹣t＝t2﹣t；即S＝t2﹣t；（3）過(guò)點(diǎn)E作EL⊥FM于點(diǎn)L，過(guò)點(diǎn)M作MS⊥x軸于點(diǎn)S，∴四邊形CFMS、四邊形CFLE是矩形，SM＝CF＝2＝OA，∵SM∥AO，∴＝＝1，∴OE＝ES＝t﹣3，∵CE＝t，∴CS＝CE+ES＝t﹣3，由（2）知：D（t，﹣t2+t+3），tan∠BAD＝（t﹣4），∴tan∠CDT＝＝t﹣，∵CF∥DT，∴∠FCG＝∠CDT，即tan∠FCG＝tan∠CDT，∴FG＝CF?tan∠CDT＝t﹣，∴GL＝FL﹣FG＝CE﹣FG＝t﹣（t﹣）＝，∴EG＝＝＝，∵M(jìn)N：EG＝2：5，∴MN＝，NS＝＝3，∴NE＝NS﹣ES＝3﹣（t﹣3）＝6﹣t＝ME，在Rt△ESM中，∠ESM＝90°，由勾股定理得：ES2+SM2＝EM2，∴（t﹣3）2+22＝（6﹣t）2，解得：t＝，∴D（，﹣）．14．(2023?利川市模擬）如圖，等腰直角三角形OAB的直角頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，直角邊OA，OB分別在y軸和x軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4），且AC平行于x軸．（1）求直線AB的解析式；（2）求過(guò)B，C兩點(diǎn)的拋物線y＝﹣x2+bx+c的解析式；（3）拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，試判定OC與BD的大小關(guān)系；（4）若點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ABM的面積與△ABC的面積相等時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)與點(diǎn)C的坐標(biāo)特征求得點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）直接把點(diǎn)B與點(diǎn)C的坐標(biāo)代入y＝﹣x2+bx+c即可求解；（3）由拋物線與x軸的交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸直線對(duì)稱求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，在利用點(diǎn)C的坐標(biāo)分別求得OC，BD的長(zhǎng)即可求解；（4）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)M在直線AB的上方時(shí)，如圖所示；當(dāng)點(diǎn)M在直線AB的下方時(shí)，如圖所示，利用鉛垂線法求得△ABM的面積，利用△ABM的面積與△ABC的面積相等列出方程求解即可．【解析】（1）∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4），且AC平行于x軸，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4）且OA＝4，∵△OAB是等腰直角三角形，∠AOB＝90°，∴OB＝OA＝4，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），設(shè)直線AB的解析式為：y＝mx+n，由題意得，解得：，∴直線AB的解析式為：y＝﹣x+4；（2）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c過(guò)B，C兩點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+3x+4；（3）BD＝OC；理由：∵拋物線的解析式為y＝﹣x2+3x+4＝﹣{x﹣）2+，∴拋物線的對(duì)稱軸直線為x＝，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，0），∴BD＝4﹣（﹣1）＝5，∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4），∴OC＝＝5，∴BD＝OC；（4）∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4），且AC平行于x軸，∴AC＝3，∴S△ABC＝?yC＝3×4＝6，當(dāng)點(diǎn)M在直線AB的上方時(shí)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)M作MN∥y軸，交直線AB于點(diǎn)N，設(shè)M的坐標(biāo)為（t，﹣t2+3t+4），則N的坐標(biāo)為（t，﹣t+4），∴MN＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，∴S△AMB＝MN?xB＝（﹣t2+4t）×4＝﹣2t2+8t，∵△ABM的面積與△ABC的面積相等，∴﹣2t2+8t＝6，解得：t＝1或t＝3（舍，該點(diǎn)為點(diǎn)C），此時(shí)M的坐標(biāo)為（1，6）或（3，4）；當(dāng)點(diǎn)M在直線AB的下方時(shí)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)M作MN∥x軸，交直線AB于點(diǎn)N，設(shè)M的坐標(biāo)為（t，﹣t2+3t+4），則N的坐標(biāo)為（t2﹣3t，﹣t2+3t+4），∴MN＝t2﹣3t﹣t＝t2﹣4t，∴S△ABM＝MN?yA＝（t2﹣4t）×4＝2t2﹣8t，∵△ABM的面積與△ABC的面積相等，∴2t2﹣8t＝6，解得：t＝2±，此時(shí)M的坐標(biāo)為（2+，﹣1﹣）或（2﹣，﹣1）；綜上可得，M的坐標(biāo)為（2+，﹣1﹣）或（2﹣，﹣1）或（1，6）．15．(2023?襄陽(yáng)）如圖，直線y＝x+1與x，y軸分別交于點(diǎn)B，A，頂點(diǎn)為P的拋物線y＝ax2﹣2ax+c過(guò)點(diǎn)A．（1）求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)及c的值；（2）若函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c在3≤x≤4時(shí)有最大值為a+2，求a的值；（3）連接AP，過(guò)點(diǎn)A作AP的垂線交x軸于點(diǎn)M．設(shè)△BMP的面積為S．①直接寫出S關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式及a的取值范圍；②結(jié)合S與a的函數(shù)圖象，直接寫出S＞時(shí)a的取值范圍．【分析】（1）先求出點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)B（﹣2，0），將點(diǎn)A坐標(biāo)代入解析式可求c的值；（2）分a＞0，a＜0兩種情況討論，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求解；（3）①分四種情況討論，由“AAS”可證△AOM≌△PNA，可得OM＝AN，由三角形的面積公式可求解；②分三種情況討論，解不等式可求解．【解析】（1）∵直線y＝x+1與x，y軸分別交于點(diǎn)B，A，∴點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)B（﹣2，0），∵拋物線y＝ax2﹣2ax+c過(guò)點(diǎn)A，∴c＝1；（2）∵y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，∴對(duì)稱軸為直線x＝1，當(dāng)a＞0，3≤x≤4時(shí)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝4時(shí)，y有最大值，∴9a+1﹣a＝a+2，解得：a＝；當(dāng)a＜0，3≤x≤4時(shí)，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝3時(shí)，y有最大值，∴4a+1﹣a＝a+2，解得：a＝（不合題意舍去），綜上所述：a＝；（3）①當(dāng)a＜0時(shí)，則1﹣a＞1，如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥y軸于N，∵y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，1﹣a），∴PN＝AO＝1，AN＝1﹣a﹣1＝﹣a，∵AM⊥AP，PN⊥y軸，∴∠PNA＝∠PAM＝90°＝∠AOM，∴∠PAN+∠OAM＝90°，∠OAM+∠AMO＝90°，∴∠PAN＝∠AMO，∴△AOM≌△PNA（AAS），∴OM＝AN＝﹣a，∴BM＝2﹣a，∴S＝×（2﹣a）（1﹣a）＝a2﹣a+1；當(dāng)a＞0，1﹣a＞0時(shí)，即0＜a＜1，如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥y軸于N，∴PN＝1＝OA，AN＝1﹣（1﹣a）＝a，同理可得△AOM≌△PNA，∴OM＝AN＝a，∴BM＝2﹣a，∴S＝×（2﹣a）（1﹣a）＝a2﹣a+1；當(dāng)a＞0，﹣1＜1﹣a＜0時(shí)，即1＜a＜2，如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥y軸于N，∴PN＝1＝OA，ON＝a﹣1，AN＝1+a﹣1＝a，同理可得△AOM≌△PNA，∴OM＝AN＝a，∴BM＝2﹣a，∴S＝×（2﹣a）（a﹣1）＝﹣a2+a﹣1；當(dāng)a＝2時(shí)，點(diǎn)B與點(diǎn)M重合，不合題意，當(dāng)a＞0，1﹣a＜﹣1時(shí)，即a＞2，如圖4，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥y軸于N，∴PN＝1＝OA，ON＝a﹣1，AN＝1+a﹣1＝a，同理可得△AOM≌△PNA，∴OM＝AN＝a，∴BM＝a﹣2，∴S＝×（a﹣2）（a﹣1）＝a2﹣a+1；綜上所述：S＝．②當(dāng)1＜a＜2時(shí)，S＝﹣a2+a﹣1＝﹣（a﹣）2+≤，∴當(dāng)1＜a＜2時(shí)，不存在a的值使S＞；當(dāng)a＜1且a≠0時(shí)，S＝a2﹣a+1＞，∴（a﹣）（a﹣）＞0，∴a＜或a＞（不合題意舍去）；當(dāng)a＞2時(shí)，S＝a2﹣a+1＞，∴（a﹣）（a﹣）＞0，∴a＜（不合題意舍去