5．2．2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（五大題型）（原卷版）

5．2．2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系【題型歸納目錄】題型一：已知某個(gè)三角函數(shù)值求其余的三角函數(shù)值題型二：已知的值，求關(guān)于、的齊次式的值問(wèn)題題型三：與關(guān)系的應(yīng)用題型四：利用同角關(guān)系化簡(jiǎn)三角函數(shù)式題型五：利用同角關(guān)系證明三角恒等式【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（1）平方關(guān)系：（2）商數(shù)關(guān)系：知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）這里“同角”有兩層含義，一是“角相同”，二是對(duì)“任意”一個(gè)角（使得函數(shù)有意義的前提下）關(guān)系式都成立；（2）是的簡(jiǎn)寫(xiě)；（3）在應(yīng)用平方關(guān)系時(shí)，常用到平方根，算術(shù)平方根和絕對(duì)值的概念，應(yīng)注意“”的選?。R(shí)點(diǎn)二：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形1、平方關(guān)系式的變形：，，2、商數(shù)關(guān)系式的變形，．【方法技巧與總結(jié)】（1）求值題型：已知一個(gè)角的某個(gè)三角函數(shù)值，求該角的其他三角函數(shù)值．①已知一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值及這個(gè)角所在象限，此類(lèi)情況只有一組解；②已知一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值但該角所在象限沒(méi)有給出，解題時(shí)首先要根據(jù)已知的三角函數(shù)值確定這個(gè)角所在的象限，然后分不同情況求解；③一個(gè)角的某一個(gè)三角函數(shù)值是用字母給出的，這時(shí)一般有兩組解．求值時(shí)要注意公式的選取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒”的順序很容易求解，但要注意開(kāi)方時(shí)符號(hào)的選取．（2）化簡(jiǎn)題型：化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的一般要求是：①化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱(chēng)，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的．②對(duì)于含有根號(hào)的，常把根號(hào)里面的部分化成完全平方式，然后去根號(hào)達(dá)到化簡(jiǎn)的目的．③對(duì)于化簡(jiǎn)含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造，以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的．（3）證明題型：證明三角恒等式和條件等式的實(shí)質(zhì)是消除式子兩端的差異，就是有目標(biāo)的化簡(jiǎn)．化簡(jiǎn)、證明時(shí)要注意觀(guān)察題目特征，靈活、恰當(dāng)選取公式．證明恒等式常用以下方法：①證明一邊等于另一邊，一般是由繁到簡(jiǎn)．②比較法：即證左邊－右邊＝0或＝1（右邊）．【典型例題】題型一：已知某個(gè)三角函數(shù)值求其余的三角函數(shù)值例1．（23·24·湖北·學(xué)業(yè)考試）已知，且，則（

）A． B． C． D．例2．（23·24上·重慶·階段練習(xí)）已知第二象限角的終邊過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．1例3．（23·24上·定西·開(kāi)學(xué)考試）已知，，則（

）A． B． C． D．變式1．（22·23下·遂寧·階段練習(xí)）若，，則的值為（

）A． B． C． D．變式2．（22·23下·宜賓·期中）已知，其中，的值為（

）A．－ B．－ C． D．變式3．（22·23下·省直轄縣級(jí)單位·期中）若，且，則（

）A． B．C． D．變式4．（21·22下·黔東南·期中）若，且滿(mǎn)足，則（

）A． B． C． D．變式5．（21·22上·臨汾·期末）若，則的最小值是（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求值的常用技巧：（1）巧用“1”進(jìn)行變形，如等．（2）平方關(guān)系式需開(kāi)方時(shí)，應(yīng)慎重考慮符號(hào)的選?。}型二：已知的值，求關(guān)于、的齊次式的值問(wèn)題例4．（23·24上·奉賢·階段練習(xí)）若，那么．例5．（23·24上·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）若，則.例6．（23·24上·南昌·階段練習(xí)）若，則.變式6．（21·22上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知，則＝.變式7．（22·23·全國(guó)·隨堂練習(xí)）已知，計(jì)算：(1)；(2)變式8．（22·23上·商洛·階段練習(xí)）已知，求下列各式值．(1)(2)變式9．（22·23下·自貢·期中）已知，求下列各式的值.(1)；(2).變式10．（22·23·全國(guó)·單元測(cè)試）已知，.求:(1);(2).【方法技巧與總結(jié)】①減少不同名的三角函數(shù)，或化切為弦，或化弦為切，如涉及、的齊次分式問(wèn)題，常采用分子分母同除以（），這樣可以將被求式化為關(guān)于的式子，從而完成被求式的求值；②在求形如的值，注意將分母的1化為代入，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式后再求值．題型三：與關(guān)系的應(yīng)用例7．（23·24·鞍山·二模）已知是第四象限角，且滿(mǎn)足，則．例8．（22·23·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若，則.例9．（22·23下·遵義·期中）已知為第四象限角，且，則.變式11．（22·23上·紅河·期末）已知為第一象限角，則.變式12．（23·24上·長(zhǎng)壽·期末）已知，則.變式13．（22·23下·樂(lè)山·階段練習(xí)）已知，若，則的值為變式14．（22·23下·廣安·階段練習(xí)）已知，且，則．變式15．（22·23下·日照·階段練習(xí)）已知、是關(guān)于的方程的兩根，則的值是________.變式16．（22·23上·濟(jì)寧·期末）若，，則.變式17．（22·23上·蘇州·期末）已知，則．變式18．（22·23·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）已知，則．【方法技巧與總結(jié)】三角函數(shù)求值中常見(jiàn)的變形公式（1），，三個(gè)式子中，已知其中一個(gè)，可以求其他兩個(gè)，即“知一求二”，它們的關(guān)系是：；.（2）求或的值，要根據(jù)的范圍注意判斷它們的符號(hào)．題型四：利用同角關(guān)系化簡(jiǎn)三角函數(shù)式例10．（22·23·全國(guó)·隨堂練習(xí)）化簡(jiǎn)與求值(1)；(2)．例11．（22·23下·萍鄉(xiāng)·期中）已知，，求下列各式的值：(1)；(2)．例12．（22·23·全國(guó)·隨堂練習(xí)）化簡(jiǎn)．(1);(2)變式19．（22·23·全國(guó)·課堂例題）化簡(jiǎn)：(1)；(2)．變式20．（22·23·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）化簡(jiǎn)：.【方法技巧與總結(jié)】化簡(jiǎn)要求（1）項(xiàng)數(shù)盡量少；（2）次數(shù)盡量低；（3）分母、根式中盡量不含三角函數(shù)；（4）盡量不含根式；（5）能求值的盡可能求值．題型五：利用同角關(guān)系證明三角恒等式例13．（22·23下·濰坊·階段練習(xí)）（1）若，化簡(jiǎn)：；（2）求證：.例14．（22·23·全國(guó)·隨堂練習(xí)）求證：(1)；(2)；(3)；(4)．例15．（22·23下·許昌·期中）證明：.變式21．（20·21·全國(guó)·單元測(cè)試）求證:.變式22．（22·23下·浦東新·開(kāi)學(xué)考試）證明：．變式23．（22·23·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）證明下列恒等式：．變式24．（21·22·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）求證：(1)；(2).變式25．（21·22·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）求證：(1)(2)【方法技巧與總結(jié)】證明三角恒等式時(shí)，可以從左邊推到右邊，也可以從右邊推到左邊，本著化繁就簡(jiǎn)的原則，即從較繁的一邊推向較簡(jiǎn)的一邊；還可以將左、右兩邊同時(shí)推向一個(gè)中間結(jié)果；有時(shí)候改證其等價(jià)命題更為方便．但是，不管采取哪一種方式，證明時(shí)都要“盯住目標(biāo)，據(jù)果變形”．化簡(jiǎn)證明過(guò)程中常用的技巧有：弦切互化，運(yùn)用分式的基本性質(zhì)變形，分解因式，回歸定義等．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（23·24·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知，則（

）A．3 B． C． D．2．（23·24上·福建·期中）已知是三角形的內(nèi)角，且，則的值是（

）A． B． C． D．3．（23·24上·六安·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．4．（23·24上·連云港·階段練習(xí)）是第二象限角，則（

）A．1 B． C．1或 D．5．（23·24上·徐州·階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．6．（23·24上·咸陽(yáng)·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．7．（23·24上·湖北·階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的值為（

）A．2 B． C． D．18．（23·24上·銀川·階段練習(xí)）若，則α不可能是（

）A． B． C． D．二、多選題9．（22·23下·上饒·階段練習(xí)）（多選）已知，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．10．（22·23下·廣東·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后到達(dá)點(diǎn)，若，則可以?。?/p>

）A． B． C． D．11．（22·23下·遼寧·期中）若，則α可以是（

）A． B． C． D．12．（22·23下·長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心的圓與x軸正半軸交于點(diǎn)．已知點(diǎn)在圓O上，點(diǎn)T的坐標(biāo)是，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．，則 D．若，則三、填空題13．（24·25上·呼和浩特·開(kāi)學(xué)考試）若，，則．14．（22·23·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如果，那么，，．15．（22·23下·新疆·期末）已知α為第三象限的角，且，則．16．（22·23下·長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知，，則的值為．四、解答題17．（22·23·運(yùn)城·學(xué)業(yè)考試）已知，求下列各式的值：(1)；(2).18．（22·23·全國(guó)·隨