函數(shù)周期性對(duì)稱性奇偶性問題（解析版）2023年高考數(shù)學(xué)技巧練習(xí)

專題05函數(shù)周期性，對(duì)稱性，奇偶性問題

一、結(jié)論(同號(hào)周期，異號(hào)對(duì)稱.)

1、周期性：

已知定義在R上的函數(shù)/(%),若對(duì)任意X∈R,總存在非零常數(shù)兀使得/(x+T)=/(x),則稱/(x)

是周期函數(shù)，T為其一個(gè)周期.除周期函數(shù)的定義外,還有一些常見的與周期函數(shù)有關(guān)的結(jié)論如下：

⑴如果f(x+。)=一/(幻(α≠0),那么/(x)是周期函數(shù),其中的一個(gè)周期T=Ia

⑵如果/(?+。)=?(α≠0),那么/(x)是周期函數(shù),其中的一個(gè)周期T=Ia.

fM

⑶如果f(x+a)=-?(α≠0),那么/(x)是周期函數(shù),其中的一個(gè)周期T=2a.

f(x)

(4)如果f(x+a)+f(x)=c(α。0),那么/(%)是周期函數(shù),其中的一個(gè)周期T=Ia.

⑸如果/(x+α)=/(x+A)(α≠O/≠O),那么/(%)是周期函數(shù),其中的一個(gè)周期T=Ia一切.

(6)如果/(x)=/(x+α)+/(x-α)(。工())，那么/(%)是周期函數(shù),其中的一個(gè)周期T=6a.

2、對(duì)稱性：

已知函數(shù)/(?)是定義在R上的函數(shù).

(1)軸對(duì)稱：若/(χ+α)=∕3-χ)恒成立,則y=∕G)的圖象關(guān)于直線X=等對(duì)稱,特別地,若

f(a+x)=f(a-x)恒成立,則y=/(%)的圖象關(guān)于直線x="對(duì)稱；

'f(a+x)=f(a-x)

最常逆應(yīng)用：若y=∕(x)關(guān)于％=。對(duì)稱：可得到如下結(jié)論中任意一個(gè)：＜/(x)=∕(2α-x)；

f(-x)=f(2a+x)

周期性與對(duì)稱性記憶口訣：同號(hào)周期，異號(hào)對(duì)稱.

(2)點(diǎn)對(duì)稱：若/3+X)=—/S-x)+c,則y=∕(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(應(yīng)吆,￡)對(duì)稱.

22

特別地,^f(a+x)=-f(a-x)+2h恒成立,則y=/(?)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱.

特別地,若f?a+X)=-f{a-X)恒成立,則y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱.

,f(a+x)=-f(a-x)

最常逆應(yīng)用：若y=∕(x)關(guān)于％=。對(duì)稱：可得到如下結(jié)論中任意一個(gè)：＜/(?v)=~√(2α-x)

f(-x)=-f(,2a+x)

二、典型例題

例題L(2023秋?廣東?高二校聯(lián)考期末)已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足:

/(-x)+∕(x)=0,∕(2-x)=∕(x),且〃x)在(TI)內(nèi)單調(diào)遞增，則()

A./(-5.3)</(5,5)</(2)

B./(-5.3)</(2)</(5.5)

C./(2)</(-5.3)</(5.5)

D./(5.5)</(2)</(-5.3)

【答案】B

【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)"x)滿足"τ)+"x)=0,f(2-x)=f(x),

則有/(2-x)=-/(-x),變形可得/(x+2)=-f(x),

則有/(x+4)="x),即函數(shù)/(x)是周期為4的周期函數(shù)，

對(duì)稱軸為X=1，"x)在(Tl)內(nèi)單調(diào)遞增，所以〃x)在(L3)內(nèi)單調(diào)遞減，/(1.5)=/(5.5),

/(-5.3)=/(2.7-8)=/(2.7),1<1.5<2<2,7<3,

/./(1.5)>/(2)>/(2.7),即/(-5.3)</(2)</(5.5).

故選：B.

【反思】奇偶性，周期性，對(duì)稱性問題，在高考中往往是同時(shí)呈現(xiàn)，題目比較綜合，在本例中由

"-χ)=-f(χ)

/(τ)+f(x)=OJ(2-x)="x)聯(lián)立,兩式相加，得到“2-X)=-/(τ),用“-X”替

f(2-x)=f?x)

換/(2-x)=—/(-力中的“X”變形可得/(x+2)=-∕(x),從而得到周期T=4,進(jìn)而再利用周期性和已

知的單調(diào)性求解問題。

例題2.(2022春?貴州遵義?高一統(tǒng)考期末)對(duì)X∕x∈R,函數(shù)"x)滿足"1T)="x+l),

“x+4)+∕(T)=O.當(dāng)O<x≤l時(shí)Mx)=1?.設(shè)”=/出，?=∕[∣],c=/[等],則叫b,C的大

小關(guān)系為.

【答案】c>b>aUUa<b<c

【詳解】???/(l-x)=∕(x+l),/(x+4)÷∕(-x)=0,

/(r)=∕(x+2),/(x+4)=-∕(-x),

/(x+4)=-∕(x+2),即/(x+2)=-∕(x),

?(x+4)=-/(x+2)=/(%),

.??函數(shù)”X)的周期為4,

又當(dāng)0<x≤l時(shí)/(x)=l-

?'?c>b>a.

故答案為：c>b>a.

【反思】在本例中，由"1T)="%+l)=>∕(幻關(guān)于直線X=I對(duì)稱，進(jìn)而得到：/(r)=∕(2+x)與

“x+4)+∕(T)=O聯(lián)立，<1J八,得到/(x+4)=-∕(x+2,即/(x+2)=-∕(x),從而根

J(τ)=-J(x+4)

據(jù)周期的公式得到周期為T=4,進(jìn)而利用周期，再結(jié)合題意已知條件解題.

三、針對(duì)訓(xùn)練舉一反三

1.(2023,新疆烏魯木齊?統(tǒng)考一模)已知定義在R上的奇函數(shù)/(x),滿足"x+3)=-∕(x),且當(dāng)Xe(Oq

時(shí)，/(X)=X2-6X+8,則/(0)+/(1)+/(2)+…+/(100)=()

A.6B.3C.0D.-3

【答案】B

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)X,恒有/(x+3)=?√?(x),

所以f(x+6)=-∕(x+3)=∕(x),

所以函數(shù)"x)是以6為周期的周期函數(shù)，

又"x)定義在R上的奇函數(shù)，

所以/(O)=0,/(3)=-/(0)=0,

又當(dāng)Xe(O,1]時(shí)，〃X)=X2-6X+8,

所以f(l)=3j(2)="T+3)=-/(T)=f(l)=3,

/(4)="l+3)f⑴=-3,〃5)=/(2+3)=-/(2)=-3,

所以/(0)+〃1)+/(2)+...+〃100),

=[∕(0)+∕(l)+∕(2)+-+∕(5)]×16+/(0)+/(1)+/(2)+/(3)+/(4),

=0×16+3=3,

故選：B.

2.(2023?河南鄭州?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)定義域?yàn)镽,/(x+l)為偶函數(shù)，/(x+2)為奇函數(shù)，且滿

2023

足/⑴+/(2)=2,則2/的=()

k=?

A.-2023B.OC.2D.2023

【答案】B

【詳解】因?yàn)?(x+l)為偶函數(shù)，所以/(-X+D=/(x+1),所以/(τ+2)=/(x),

因?yàn)?(x+2)為奇函數(shù)，所以/(-x+2)=-∕(x+2),

所以/(χ+2)=-f{x},所以f(x+4)=-F(X+2)=/(x),

所以f(χ)是以4為周期的周期函數(shù)，

由/(f+2)=-F(X+2),令χ=0,得/'(2)=-f(2),則/(2)=0,

又/⑴+/(2)=2,得/(1)=2,

?∕(-x+2)=-∕(x+2),令χ=l,得/⑴=-/(3),則f(3)=-2,

由/(x+2)=-/(X),令χ=2,/(4)=-/(2)=0,

則/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=0,

2023

所以Z/(?)="⑴+/(2)+/(3)+/(4)]X505+/(1)+/(2)+∕(3)=0×505+2+(-2)=0.

Jl=I

故選:B.

3.(2023秋?江西撫州?高三臨川一中?？计谀?若函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且/(x+l)是偶函數(shù)，/(x+l)

關(guān)于點(diǎn)(2,0)成中心對(duì)稱，則函數(shù)f(x)的一條對(duì)稱軸為()

A.X=2023B.X=2022C.x=2()21D.x=2020

【答案】C

【詳解】因?yàn)?(x+l)是偶函數(shù)，所以/(x+l)=∕(-x+l),所以/(x)關(guān)丁F=I對(duì)稱，即/(x)=∕(2-x),

因?yàn)椤▁+l)關(guān)于點(diǎn)(2,0)成中心對(duì)稱，且“可向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度之后得到/(χ+l),

所以/(x)關(guān)于(3,0)對(duì)稱，所以“x)+∕(6-X)=0,

因?yàn)镴(X)=F(2-x),/(x)+∕(6-X)=0,

所以-〃6—x)=∕(2-X),故/(x)=?√(x+4)=∕(x+8),故/(x)的周期為8,

因?yàn)閒(x)關(guān)于X=I對(duì)稱，關(guān)于(3,0)對(duì)稱，所以“x)關(guān)于x=5對(duì)稱，

所以f(x)的對(duì)稱軸為x=l+8%,%eZ或x=5+8Z,keZ,

因?yàn)?020=252x8+4,2021=252x8+5,2022=252x8+6,2023=252x8+7,

所以函數(shù)"x)的一條對(duì)稱軸為x=2021,

故選：C

4.(2023秋,江蘇蘇州,高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,/(x+l)為奇函數(shù)，/(x+2)為偶函數(shù).

記函數(shù)g(x)=2∕(2x+l)+l,則斗(升()

A.25B.27C.29D.31

【答案】D

【詳解】/(x+l)為奇函數(shù)，/(x+D是由-3向左平移1個(gè)單位得到，

則/(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，所以/(2-X)=-/(X),/(1)=0,

/(x+2)為偶函數(shù)，/(x+2)是由/(X)向左平移2個(gè)單位得到，

則/O)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，所以/(2-X)=/(2+x),則f(3)=0,

所以/(A+2)=-f{x),從而/(x+4)=-f(x+2)=/(x),

/(X)是周期函數(shù)，且周期為4,所以/(2左-I)=OMeZ,

因?yàn)閒(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，也關(guān)于點(diǎn)(LO)對(duì)稱，

所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3,0)對(duì)稱，所以/(2)+/(4)=0,

所以/(2)+f(3)+f(4)+A5)=0,

31

所以Z/(k+1)=7[/(2)+/(3)+/(4)+"5)]+[/(2)+/(3)+/(4)]=0

k=?

因?yàn)間(g)=2∕(A+l)+l,keZ,

所以不=2￡/伏+1)+31=31,

k=?I，/k=l

故選：D.

二、多選題

5.(2023秋?湖南永州?高一統(tǒng)考期末)已知定義在R上的奇函數(shù)/(x)滿足/(2+x)=∕(r),若"1)=2,

則()

A.4為"x)的一個(gè)周期B.7(x)的圖象關(guān)于直線X=I對(duì)稱

C./(2022)=0D./(2023)=2

【答案】ABC

【詳解】對(duì)于A：函數(shù)解力為奇函數(shù),則/(2+x)"X)=-"x),

則/(4+X)=∕(2+2+X)=-∕(2+X)=∕(X),

則“力的一個(gè)周期為4,故A正確；

對(duì)于B：/(2+x)=∕(-x),則函數(shù)關(guān)于X=I=I對(duì)稱，故B正確；

對(duì)于C：/(x)的一個(gè)周期為4,

.?..∕?(2022)≈∕(505×4+2)≈∕(2),

令"2+x)=∕(T)中的χ=0,則/(2)=/⑼，

:函數(shù)f(x)為定義在R匕奇函數(shù)，

??J(O)=O,

"(2022)=0,故C正確；

對(duì)于D："x)的一個(gè)周期為4,

.??/(2023)=/(506×4-l)=/(-1),

函數(shù)〃x)為奇函數(shù)，

/(-1)=-/0)=-2,

.?.∕(2023)=-2,故D錯(cuò)誤；

故選：ABC.

三、填空題

6.(2023?四川南充?四川省南部中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)任意的XeR

都有/(x+∣)=-"x),當(dāng)χe?3θ］時(shí)，/(χ)=log2(l+χ),則”2021)+“2022)=

【答案】-1

【詳解】解：根據(jù)題意，f(x)滿足對(duì)任意的XeR都有/(x+?∣)=-"x),

所以〃x+3)=-f卜+∣)=∕(x),則/(x)是周期為3的周期函數(shù)，

則/(2021)=/(2022-1)=/(T),/(2022)=/(0),

又由f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，則/(0)=0,

又由時(shí)，/(x)=log2(l+x),則/(T)=_/(-l+|)=_/(￡|=/(_￡)=log2g=_l,

則J(2O21)=F(T)=T,/(2022)="0)=0,則〃2021)+/(2022)=-1+0=-1.

故答案為：-1

7.(2023春?安徽?高一淮北一中校聯(lián)考開學(xué)考試)設(shè)函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且/(x)=∕(2-x),

「35'

當(dāng)xe［0,l］時(shí)，于(x)=G,則函數(shù)g(x)=∣tanπx∣-∕(x)在-王萬上所有零點(diǎn)之和為.

【答案】6

【詳解】V=ItanmI是由y=tanX縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腖倍，再將X軸下方的圖象翻到X軸上方

π

即可得到，

又有F(X)是定義在R上的偶函數(shù)，且/(X)=/(2-X)=/(x-2),

所以f(χ)圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，且周期為2,

又因?yàn)閤e［0,l］時(shí)，/(χ)=4x.

^35'

在同一坐標(biāo)系卜，ISJ出y=∣tanτtv∣及/(χ)在的圖象如下所示：

山圖象可知V=ItanXrl與f(x)交點(diǎn)個(gè)數(shù)為10個(gè)，其零點(diǎn)之和為6.

故答案為：6

8.(2023秋?湖南婁底?高一?？计谀?已知函數(shù)AX)的定義域?yàn)镽,f(x+D為偶函數(shù)，〃x+2)-1為奇函

數(shù)，且F(O)=IJ⑴=2,則/⑴+/(2)++/(2022)=.

【答案】2023

【詳解】因?yàn)?(χ+l)為偶函數(shù)，所以F(X)的圖象關(guān)于直線X=I對(duì)稱，得/(X)=A-X+2)①.

因?yàn)閒(x+2)-l為奇函數(shù),所以/(x+2)-l=?√(-x+2)+l,得/(x+2)+∕(-x+2)=2②.

由①,②得/(x)+∕(x+2)=2J(X+2)+∕(x+4)=2,所以/(x)=F(X+4).

由/(x)+∕(x÷2)=2,得/(0)+/⑵=2,/(I)+/⑶=2J⑵+/(4)=2,得/⑵=1,

故/⑴+/(2)++/(2022)=5051/(1)+/(2)+/(3)+/(4)J+/(2021)+/(2022)

=505x4+2+1=2023.

故答案為：2023.

9.(2023?全國?高三專題練習(xí))對(duì)VXeR,函數(shù)/(x)滿足"1—x)=∕(x+l),f(x+4)+f(T)=O.當(dāng)OMXVl

時(shí)，"x)=l-x2.設(shè)〃=/(￡|,?=∕[∣],c=∕(等)，則”,b,C的大小關(guān)系為.

【答案】c>b>atttta<b<c

【詳解