盤點(diǎn)求二面角的三種方法-2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型講解訓(xùn)練（新高考）（解析版）

2023高考二輪復(fù)習(xí)講與練

專題10盤點(diǎn)求二面角的四種方法

定義法

盤

點(diǎn)

求

二空間向量法

面

角

的

五

面積射影法

種

方

法

三垂線定理法

柒的轉(zhuǎn)解

方法一：二面角的定義法

如圖，在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平

面角，如圖在二面角的棱上任取一點(diǎn)以。為垂足，分別在半平面。和￡內(nèi)作垂直于棱的射線

α-∕-y?O,OA

和OB,則射線和OB所成的角稱為二面角的平面角（當(dāng)然兩條垂線的垂足點(diǎn)可以不相同，那求二面角

就相當(dāng)于求兩條異面直線的夾角即可）.

1、如圖，已知P4JLO,PB1/3,垂足為A、B,若NAP3=60。，則二面角α-/-力的大小是

【答案】120。##才

［分析】根據(jù)NAPB與二面角大小互補(bǔ)進(jìn)行求解.

【詳解】設(shè)二面角α-∕-6的大小為8,因?yàn)镻A_La，尸8_1_6，垂足為A、8,所以6+NAP8=180。,

又NAP8=60。，所以6=180。-NAP8=120。.

2、如圖在三棱錐S-ABe中，SAJ_底面ABC,AB_LBC,DE垂直平分SC,且分別交AC、SC于D、E,又SA=AB,

BS=BC,則以BD為棱，BDE與BDC為面的二面角的大小為

【答案】600

【詳解】VBS=BC,又DE垂直平分SC,ΛBE±SC,SC_L面BDE

ΛBDlSC,又SA_1面人8(：,ΛSAlBD,BDl.面SAC

二BD±DE,?BDlDC,則/EDC就是所要求的平面角

設(shè)SA=AB=a,貝UBC=SB=JΣa且AC=Ji

易證ZkSACsZXDEC,，ZCDE=ZSAC=60°。

3、如圖所示,弧AEC是半徑為。的半圓,AC為直徑,點(diǎn)E為弧AC的中點(diǎn),點(diǎn)8和點(diǎn)C為線段AD的三等分

點(diǎn),平面AEC外點(diǎn)F滿足FB=FD=√5a,FE=娓a.

(1)證明:FO.

22

(2)已知點(diǎn)Q,R為線段FE,FB上的點(diǎn),E0=§FE,E/?=§ES.求平面BED與平面RQD所成的二面角

的正弦值.

［解析】⑴證明：0E為弧AC的中點(diǎn),AB=BC,AC為直徑MEB=AB.

EF2=βa2=(√5α)2+a1=BF^+BE2,:.EBlFB

又回BFCBD=B,:.EBJ_平面BDF.又回EDU平面80F,.?.EBI.FD.

22

(2)如圖所示，過點(diǎn)。作HDHQR,?.?PQ=-FE,FR=個FB,:.QR/∕EB,：.HDHEB

又13OW平面BEDc平面RQD,:.HD為平面BED與平面RQD的交線.

,/BD,RDU平面BDF,EB±平面BDF,：.HDLBD,HD±RD

.?.NRC)B是平面BEO與平面RQD所成:面角的平面角.

FB=FD=非a,BC=CD=a,:.CoSNFBC=見=*=旦,SinNFSC=撞

BF45a55

在ABDR中,MFR=2FB,知BR=LFB=叵

333

由余弦定理,得RD=√BD2+BR1-2BD-BRcosZRBD

√5√29

RD—------=-?-,解得sinNRDB=宜空

由k弦定理,得——=,得

sinZRDBsinNRBDsinZRDB229

忑

：.平面BED與平面RQo所成的二面角的正弦值為智習(xí).

2.如圖所示，點(diǎn)。是邊長為4的正方形ABCD的中心,點(diǎn)E,F分別是AD,BC的中點(diǎn),沿對角線AC把正方

形ABCo折成直二面角。一AC—3.

(1)求NEOF的大小.(2)求二面角E-OF-A的平面角的正切值.

【解析】(1)如答圖55-2所示.過點(diǎn)E作EG_LAC,垂足為G,過

點(diǎn)F作FH_LAC,垂足為H,則EG=FH=√2,GH=2√2,?二面角?！狝C—5為直二面角,

.?.EF2=(EG+GH+HF)2EG2+GH+HF~+IEG-GH+2EGHF+GHHF

-2-2-2

=EG+GH+HF=2+8+2=12.又在?石OF中，OE=O尸=2,

,LCLOE-+OF2-EF222+22-(2√3)2

.?cos∕EOF=----------------------=--------------------^EOF=UO.

20E?0F2×2×22

⑵如答圖55-2所示,過點(diǎn)G作GM垂直FO的延長線于點(diǎn)M,連接EM.

二面角O—AC—B為直二面角，平面ZMCJ.平面BAC,交線為AC

又，.EG,AC,;.EG，平面EACGM_LOE,由三垂線定理,得EWLOE.

.?.NZEMG就是二面角E-O/一A的平面角.

在Rt；EGM也/EGM=9。，EG=叵GM=LOE=1,LtanNEMG=四=叵

2GM

.?.二面角E—O尸一A的平面角的正切值為a.

方法二：空間向量法

二面角的平面角的向量求法：平面α與B相交于直線1,平面ɑ的法向量為nι,平面B的法向量

為）則二面角為。或.設(shè)二面角大小為貝

ιi2,<nι,n2=0,α-Bn—0φ,∣J∣cosΦ∣=∣cosOI=K叫

2.已知43C-ABG是各棱長均等于a的正三棱柱，。是側(cè)棱Ca的中點(diǎn)，則平面ABC與平面ABQ所成的

銳二面角為（）

A.45oB.60°C.75oD.30"

【答案】A

【詳解】以A為原點(diǎn)，以垂直AC的直線為X軸，以AC為y軸，以4A為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

?.?ABC-AgG是各條棱長均等于。的正三棱柱，。是側(cè)棱CG的中點(diǎn)，；.4(),0,0),B,(^a,∣,a),

O(O,a,/，C1(0,a,a),:.AB、=(￡~a,；a,a),AD=(0,a,^),DC1=(0,0,9,設(shè)平面ABiD的法向量〃=(X,y,z),

Gaa八

------X+—J+6ZZ=0

22

n-ABl=01nAD=0t?\,?w=(√3J,-2),又因?yàn)槠矫鍭BC向量法加二(0,0,1)

aC

ay+—z=0

COS,.")=ME=則平面43C與平面ABQ所成的銳二面角為45。.

\'IWIl/71√3+71+42

2.如圖，三棱錐P—ABC中，已知PA_L平面ABC,PA=3,PB=PC=BC=6.則二面角尸一BC—A

的正弦值為。

B

【答案】昱

3

【分析】取BC的中點(diǎn)D,連結(jié)PD,AD,根據(jù)線面垂直關(guān)系可知NPD4即為二面角P—5C—A的平面角,

根據(jù)所給邊長關(guān)系可求得ZPDA的正弦值.

【詳解】

取BC的中點(diǎn)D,連結(jié)PD,AD,：PB=PC,：P4，平面ABC,

.??，BC,且BCJ_面P4。，即BC，AD,NPDA即為二面角P-BC-A的平面角

：PB=PC=BC=6，；.PD=X6=3-73>sinZPDA==—=，

2PD363

即二面角P-BC-A的正弦值是也。

3

3.如圖，AB為圓。的直徑，點(diǎn)E,F在圓。上，ABHEF,矩形ABC。和圓。所在的平面互相垂直，已知

AB=2,EF=I.

(1)求證：平面D4尸1?平面CB尸；

(2)當(dāng)Ao的長為何值時，二面角。-尸C-B的大小為120.

【詳解】(1)證明：平面ABCoj■平面ABEF,月.CBJ_AB,平面A6CZ))平面ABEF=Aβ,

所以CBjL平面AfiEF,因?yàn)锳FU平面ABEF,所以CBjLAF,

又因?yàn)锳B為圓的直徑，所以EB_LAF,所以AF_L平面CFB,

又由A戶U平面AZ)尸，所以平面4￡＞尸_L平面CF5.

(2)設(shè)EECO的中點(diǎn)分別為G,H,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

c,n、

設(shè)A。=，，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為(l,0,f),C(-l,0,r),4(l,0,0),B(-l,0,0),F-,?,θ,

則CQ=(2,0,0),FQ=2'2”,設(shè)平面QCP的一個法向量為%=(x,y,z)),

2x=0

AVCO=O,即,取可得則(，，由⑴可知

則I√3Z=√LX=O,y=2r,4=0,2,6)AFJ_

7

n1FD=O---y+tz=O\

—-,-^?,0,貝IJkOS

平面CFB,平面CFB的一個法向量為M2=AF

|?1|-|?2|"/+3'

因?yàn)槎娼荄-FC-JB的大小為120,可得?L=r畫=解得f=邁，所以線段AD的長為好

2√4?44

4.如圖，三棱柱ABe-AgCl中，點(diǎn)A在平面ABC內(nèi)的射影Z)在線段AC上,

∕AC8=90°,8C=1,AC=CG=2.

(1)證明：ACiIAlB;

(2)設(shè)直線AA∣與平面ABC所成角為60。，求二面角A-AB-C平面角的余弦值.

【詳解】(1)因?yàn)?。，平面ABeAOU平面AAC,所以平面ACGAL平面ABC且交于AC,

又因?yàn)锽C_LAC,所以BC_L平面ACG4，因此BC_LAG.在平行四邊形ACGA中，

AC=CC1=2,所以四邊形ACClA為菱形，故ACJ?AC∣,又AGnBC=。，所以AG，平面C，

而ABU平面CBA,因此AG，48.

(2)由于4。，平面ABC,所以NAA。即為直線AAl與平面ABC所成的角,

故/AAD=60。，4。=。。=1,。4=百，在平面ABe1內(nèi)，過點(diǎn)。作AC的垂線小，，Dy,DA,DA1

兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，

則A(l,0,0),8(—1,1,0),A(0,0,百)，所以AB=(—2,1,0),A4l=(—1,0,百卜

設(shè)平面AAB的一個法向量為加=(X,y,z),

〃??AB=-2x+y=0LLirr\

則〈L，令z=l，則x=6,y=2G,所以〃?=J3,2√3,l,

m?AAi=-x+√3z=0

易知平面ABC的一個法向量為〃=(0,0,1),所以cos<m,n>=——=

ImII川4

即二面角A-AB-C的平面角的余弦值為L.

4

方法三：面積射影法

公式c0,α=射影面的面積，射影面就是指一個平面在另一個平面上的投影：原面就是指第一個

原面的面積

平面，角α為射影面與原面所成的二面角的平面角。

1、如圖AABC與aBCD所在平面垂直，且AB=BC=BD,ZABC=ZDBC≈120°,則二面角A-BD-C的余弦值

為O

【答案】一9

5

【分析】過A作AE±CB的延長線于E,連結(jié)DE,

：平面ABC_L平面BCD,AE_L平面BCD

E點(diǎn)即為點(diǎn)A在面BCD內(nèi)的射影，二?EBD為AABD在面BCD內(nèi)的射影,

√3√61√15

設(shè)AB=a,則AE=DE=ABSin60°.*.AD=-----COSNABD=-,「?sinNABD=-------

2244

，2

.c12√15√152/BE=Ia,SΔBDE??-^-a-?a??a,

a--

??SΔABD=2=ξ^a

ZZZZo

S亞

.?.CoSe=ABDE=」。因?yàn)橐蟮氖嵌娼茿-BD-E,而二面角A-BD-C與A-BD-C互補(bǔ),

SΔABD5

?，?二面角A-BD-C的余弦值為-o

2、己知正方體AC,M、N分別是BB',D?的中點(diǎn)，則截面AMCN與平面ABCD所成角的余弦值為.

截面AMCN與平面CC,D,D所成角的余弦值為.

【答案由S

【分析】設(shè)邊長為a,易證ANC'N是菱形且MN=J^a,A,C=√3a,

2

?*?S□AMC,N=MN—AC=——a,

22

由于AMC'N在面ABCD上的射影，即為正方形ABCD,

2/r

S∏ABCD=32>?*?cosθ.=―產(chǎn)=,截面AMClN與平面ABCD所成角的余弦值為---。

√633

a2

2

(2)取CC'的中點(diǎn)M',連結(jié)DM則平行四邊形DMcN是四邊形AMC'N在CC,D,D上的射影,

]7-a'r∑√6

又SEMPM=-a,Λcosθ=N—=坐解：，，截面AMe'N與平面CCDD所成角的余弦值,。

2`2√666

——a^2

2

3、如圖，正三棱錐0-工8。的三條側(cè)棱OC兩兩垂直，且長度均為

2,民尸分別是的中點(diǎn)，月是E戶的中點(diǎn)，過初？的一個平面與側(cè)

棱OAoB,OC或其延長線分別交于4?4?CI,已知=；.則二面角

2

0-AxBx-G的余弦值為。

√6

【答案】

6

【分析】如圖，過O作。N^14用于W，連結(jié)G"，因?yàn)镺g?L平面與，根據(jù)三垂線定理知：

CiNLAiBr則/ONCi是二面角0?44-Ci的平面角。作￡M，依題意知：OCll平面。4i片,

所以平面4瓦CI在平面044上的射影是Ao44.又=A1C1=學(xué).BG=3√2，

2

所以S“AG=gx3√59#不。13,9

A3224

設(shè)二面角。”「G的大小為α,則。。3瓷邛。

4、如圖所示,在幾何體ABCZ)E中,四邊形ABCZ)是矩形,AB_L平面BEC,BELEC,AB=BE=EC=2,

G,F分別是線段BE,OC的中點(diǎn).

(1)證明:GF〃平面AOE.(2)求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值.

【解析】(1)如圖所示,取AE的中點(diǎn)”,連接“G,"。,又G是BE的中點(diǎn)，

GW//AB目.6”=34瓦又/是。。的中點(diǎn),回。/?=：?！?gt;.

由四邊形ABCD是矩形得AB//CD,AB=CDmGHUDF且GH=DF.

從而四邊形"GF。是平行四邊形，

0GFHHD.HDU平面ADE,GFU平面AOE,GF//平面Ar)E.

(2)由圖可知,小4￡^中,4七=2血，EF=卮A/7=3.由余弦定理,cosNAEf=需,

則sinZAEF=.SMEF=LAEEFsinZAEF=3.易得S=-BECE=2.

L?nL.ILAXBD?C^LE

?1

Sl2

由已知,ΔβCE是AM尸在平面BCE上的射影.設(shè)所求二面角的平面角為氏則CoSe==-.

SMEF3

2

即平面AEF與平面BEC所成銳:面角的余弦值為二.

3

方法四：三垂線法

已知二面角其中一個面內(nèi)一點(diǎn)到另一個面的垂線,用三垂線定理或其逆定理作出平面角,在直角三角

形中計(jì)算求出.

1、如圖：ABCD是矩形，AB=8,BC=4,AC與BD相交于。點(diǎn)，P是平面ABCD外一點(diǎn)，PC），面ABCD,

PO=4,M是PC的中點(diǎn)，則二面角M-BD-C的正切值為.

【答案】S

【分析】取。C之中點(diǎn)N,則MN√P0,VPoJ"面ABCD,

/.MNj"面ABCD且MN=P0∕2=2,過N作NRlBD于R,連MR,

則NMRN即為二面角M-BD-C的平面角，過C作CEJ_BD于S,

則RN=LCE,在RtZ?BCD中，CD?BC=BD?CE,

2

MN√5

.??CE=^^=,ΛRN,tanZMRN

?=?RFΓ^V

.?.二面角M-BD-C的正切值為』I。

2

2、如圖所示，在四邊形ABC。中，ΛD/∕BC,ABLAD,A。=現(xiàn)將沿8。折起，使得點(diǎn)

A到E的位置.

E

（1）試在BC邊上確定一點(diǎn)F,使得Br），斯；

（2）若平面￡B￡>,平面BCr）,求二面角E-BC-D所成角的正切值.

【解析】(1)因?yàn)锳D〃8C,ABA.AD,AD=AB=-BC,

2

所以ZABZ)=ZADB=NDBC=45°,BD=血AB,BC=?∏BD,所以BAD^,.BDC,

所以NBAr)=/BDC=90。，所以BOLCO,

在四邊形ABCD內(nèi)過點(diǎn)A作AMJ_BD于點(diǎn)M,并延長交BC于F.

則點(diǎn)M為8。中點(diǎn)，所以F也為5C中點(diǎn).將4A5O沿BO折起，使得點(diǎn)A到E的位置時,

有EM工BD,MFlBD,所以BoL平面EFM,也為EFU平面EFM,所以BD,EF，

(2)過點(diǎn)M作MNLBC交BC丁點(diǎn)N.則MN=LAA

2

則在三棱鏈E-Be。中，因?yàn)槠矫鍱BO_L平面BCD,

所以￡Mj_平面88.因?yàn)镸NLBC,連接EM則有

所以NEMW即為二面角E-BC-。的平面角，設(shè)4D=4B=gBC=2,則EM=&,MN=L

所以在RtAEMN中，tanNENM=加=√Σ所以：面角E-Be-D所成角的正切值為√∑

MN

3、如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=2日。為AC的中點(diǎn).

(1)證明：PoJ_平面48C；

(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且P歷與面A8C所成角的正切值為迷，求二面角Λ∕-Λ4-C的平面角的余弦值.

【解析】(1)證明：連接。8.

?.?AB=BC=2,AC=2√Σ,ΛAB2+BC2=AC2,即aABC是直角三角形,

又。為AC的中點(diǎn)，：.OA=OB=OC又<PA=PB=PC,：.APOA≡APOB≡?POC

：.ZPOA=ZPOB=ZPOC=90.，Po?AC,PO±OB,OBAC=O,。8、ACU平面ABC：.POJ■平面ABC.

(2)由(1)知，PO，面ABCOM為PM在面48C上的射影，；./PM。為PM與面A8C所成角，

：?IanNPMO=空~=#-=娓,，0M=1,在△OMC中由正弦定理可得MC=I,為BC的中點(diǎn).

OMOM

作ME,AC于E,.?.E為OC的中點(diǎn)，作防_1_外交∕?于F,連MF

.?.M∕U∕?.?.NMFE即為所求二面角M-E4-C的平面角，ME=顯,

EF=-Λf=2√2×-×-=—

22424

?*/sMEe42.3√33√93

??tanZMrE=----=——×―J==—尸,??cosZΛ∕rE=—==--------。

EF23√63√3√3131

4.如圖，在四棱錐尸-ABCo中，平面PBCJ_平面ABCD/BOC=90。,BC=I,BP=6，PC=2.

D

C4p

(1)求證：8JL平面PBD；

(2)若Bo與底面PBC所成的角為三，求二面角B-Pc。的正切值.

4

【答案】(1)證明見解析；(2)正.

3

【分析】(1)由已知求解三角形證明BCJ_PB，再由平面與平面垂直的性質(zhì)可得_L平面ABeC>,則

LCD,又山己知可得BDJ_CD,利用直線與平血垂直的判定可得Ce)，平面尸比>；

(2)證明ΔBDC為等腰直角三角形，得DB=DC，取BC中點(diǎn)0,連接￡>0,則。O_L3C,可得Do_L

平面PBC,過0作LPC,垂足為“，連接￡>“，可得O",PC,則NDHo為二面角B-PC—D

的平面角，求解三角形可得:面角B-PC-D的正切值.

【詳解】(1)證明：在ΔPBC中，由BC=1,BP=g,PC=2,可得Be?+PB)=PC?,BCLPB，

又平面P8C_L平面ABCD，且平面PBC∩平面43CZ)=JBC,PBU平面PBC,

;.依，平面ABC。，則PBJLCD,又NBDC=90。，：.BD工CD，且尸JgC

?CD^平面PBD；

(2)平面「3。上平面48。。，8DU平面ABa)，.?.OB在底面PBC上的射影在BC上，則80與

TC

底面PBC所成的角為NDBC=―,由己知得，ΔfiZ)C為直角二角形，.?.A8OC為等腰自角：.角形，0.

4

DB=DC,取BC中點(diǎn)0,連接。0,則。OJ_5C,

又平面PBC_L平面ABCO,且平面PBCn平面ABCI>=BC,Z)OU平面ABCD，

.?.OOJ<平面尸BC,過。作O"_LPC，垂足為“，連接可得。"LPC，

則NZ）Ho為二面角B-PC—。的平面角，在等腰直角三角形30C中，由BC=I,可得OO=CO=[,

2

由RtpBCSRtQHC,可得堡="，得C口0C×PB于&√3,

PCPBOH=--------=------=——

?PC24

DO?2^39A

在RfZ?OOH中，可得121!/。"。="77=春==一.，二面角8-2?！辏镜恼兄禐橥?

OH√333

4

雙（S秣R

1、如圖,正三棱柱ABC-A冉G的所有棱長都為2,則平面ABC與平面ABg夾角的余弦值為（）

A.一旦B."C.叵D.互

7777

【答案】C

【分析】根據(jù)面面垂直轉(zhuǎn)化面面夾角為另一個方便解答的面面夾角,分別向交線作垂線,即可得到面面夾角或

其補(bǔ)角,構(gòu)造三角形,求出各邊,用余弦定理求出夾角余弦值.

【詳解】解:山題知,平面A8C與平面A/G的夾角即為平面AAG與平面AIJ的夾角,

取AG的中點(diǎn)0,連接。8,。片,如圖所示:

因?yàn)檎庵鵄BC-AAG的所有棱長都為2,所以AB_LAA，48=AA=2,所以%=20,

同理可得:Ba=2√2,所以姐=g,又BM=BC,所以O(shè)B_LAG,。片±ΛlC,.

所以/B。片（或其補(bǔ)知）為平面ABC與平面ABG的夾角,

又AG=2,所以。8=√7,C>4=6,因?yàn)榻?2,所以CoSN8。A=孚，

2.如圖所示，點(diǎn)P是二面角a-AB一/棱上的一點(diǎn)，分別在a、/平面內(nèi)引射線PM、PN,若

NBPM=NBPN=45，NMPN=60，那么二面角々一AB一4的大小為（）

A.60B.70C.80D.90

【答案】D

【分析】過Ab上一點(diǎn)。分別在a、夕內(nèi)做AB的垂線，交PM、PN于點(diǎn)、M、N,則NMQN即為二

面角。一45一夕的平面角，設(shè)PQ=a,通過解三角形即可求出答案.

【詳解】過AB上一點(diǎn)。分別在a、夕內(nèi)做AB的垂線，交PM、PN于點(diǎn)、M、N,

則NMQN即為二面角a-AB-β的平面角，如下圖所示：

沒PQ=a,,：4QPN=4QPM=45,：.QN=QM=a,PN=PM=丘a，又,：NMPN=6G，：.

4MPN為等邊三角形，則MN=叵a，：,QN2+QM2=MN2,：.ZMQN=90,

3.已知長方體ABC。一AgGA的高AA=2,AC=2√6,AB1=x,ADt=y,則當(dāng)x+y最大時，二面角

A-42-G的余弦值為（）

AR屈C小?/?

A.-----t5.-------LZ.Un.------

5555

【答案】B

【分析】

先由基本不等式得確定當(dāng)且僅當(dāng)x=y=4時，x+y取得最大值8,接著求出α=b=2g,A5∣=AO∣=4,

BQl=AC=2幾，再取B1D1的中點(diǎn)T，連接AT，ClT,AC1,并確定NATG就是二面角A-耳。一C1

的平面角，最后在三角形AGT中由余弦定理求得COSNATG解題.

【詳解】設(shè)AB=a,BC=力，則由題意得：α2+?2=(2√6)2,a2+22^x2,b2+22=y2,

所以V+y2=32,由基本不等式得：(x+y)2≤2(∕+y2)=64,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=4時，％+>取得最大

值8,此時α=b=2√5,A旦=AA=4,所以4〃=AC=2#,取四。的中點(diǎn)丁，連接Aτ,C1T,

AC1,如圖，

則AT1BR,GT?BB,則NATG就是:面角A-BlDi-C1的平面角，在等腰三角形AAgQ中,

因?yàn)?A。=4,B1D1=2遙，所以AT=Jid,在等腰三角形C1B1D1中，因?yàn)镃g=G〃=2√3,

BJDl=2?所以GT=后，在長方體ABCr>-44GA,求得AG=2√7,故在三角形AGT中,

AT2+TC2-AC2_√15

由余弦定理得CoSNATCl=l1

24TTG5

4.如圖，若R4_L平面A8CD,四邊形ABCO為正方形，PA=AB,則二面角P-BC-A的大小為.

【答案】45°

【分析】由已知條件可證NPBA是二面角尸一BC-A的平面角，在RfoRAB中，PA=AB,即可求出NPBA的

大小.

【詳解】解：24_1平面488,，玄_18。，又.438是正方形，；.BC_LA8,又?AβcE4=A,

.,.3CJ_平面F4B,.?.NP8A是二面角P-Be-A的平面角.在放P45中，PA=AB,.?ZPBA=45°,

???二面角P-BC-A的大小為45°,

5、攢尖是古代中國建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖,

如圖屬重檐四角攢尖，它的上層輪廓可近似看作一個正四棱錐，若此正四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍，

則側(cè)面與底面的夾角的正切值為.

【答案】√3

【分析】設(shè)此四棱錐P-ABC。底面邊長為。，斜高為〃'，根據(jù)條件列式，得到力'=4,再根據(jù)二面角的定義，

找到二面角的平面角，即可計(jì)算正切值.

【詳解】如圖，設(shè)此四棱錐尸-4BC。底面邊長為。，斜高為"，連結(jié)AC、BD交于點(diǎn)、O,連結(jié)OP,PO上底

面A88,取8的中點(diǎn)連結(jié)OM,PM,則PM=",OM=^,

則gM'χ4=2/,h'=a,PoM中，P0^Ja2-(^)2?-.

E

p∩—a

.PMLCD,OMVCD,所以NPΛ√0是側(cè)面和底面的夾角，tanZPΛ∕O=--==√3,

OMa

2

6.已知P是二面角α-∕-6內(nèi)的一點(diǎn)，垂直于α于A,PB垂直于夕于B,4B=8√J,A4=PB=8,則二面角

α-J〃的大小為.

JT

【答案】~

【分析】設(shè)平面R4B交直線/于點(diǎn)。，連接Q4,OB,可證得NAOB即二面角。一/一戶的平面角，在A4P8

由余弦定理求出ZAPB,即可求出二面角”-/一尸的大小.

【詳解】解：設(shè)平面RW交直線/于點(diǎn)。，連接OA,OB,山于PALα,PB1β,IUa,luβ,

故尸A_U,PBJJ,又尸APB=P,汽4*5<=平面以8,故//平面弘6,又。4,OBU平面RW,故/_LOA,

IA-OB,所以NAOB為二面角。-/一尸的平面角，由于∕?J-α,PBL0,OA<za,OBUβ,故PA_LQ4,

PBLoB,故在四邊形PAoB中，/APB與/AQB互補(bǔ)，XΛB=8√3,PA=PB=S,

在∕?APB中由余弦定理AB'=AP-+BP--2AP-BPcosNAPB,即R6)~=82+82-2×8×8cosZAPB,解得

COSZAPB=-I又0<ZAP3<I,所以乙49=耳，故4。8="一學(xué)=《，則二面角”心?的大小為/.

乙???J

7.如圖，在四棱錐產(chǎn)一ABC。中，底面是邊長為"的正方形，側(cè)棱PO=α,PA=PC=缶，求二面角

P-BC—。的平面角的大小.

【答案】二面角P—3C-。的平面角的大小為45。.

【分析】

根據(jù)條件可知P。LOC4),知Pz)_L平面ABCD,用6C?LDC,BCJ,尸。，可知BCL平面

POC,找到二面角P—BC—D的平面角，簡單計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】「。=”,。。=。,「。=缶，；.2。2=/3￡)2+。。2,.。。，￡)。同理可證。￡)，/10

QADoDC=D,且A。,。CU平面ABC。，平面ABcD?,由BeU平面ABCD，

PDLBC,乂QBC上DC,PDcDC=D,PD,。CU平面PQC

.?.Be,平面PQC.PCU平面PDC,,BCLPC.

：.NPCD為二面角P-BC—。的平面角.在RtAPDC中，PD=DC=a,:.ZPCD=45°.

.?.二面角P-BC-D的平面角的大小為45°.

8、如圖，直三棱柱ABe-ABC中，AB=AC=AAi=2,ZABC=45°.

⑴求直線BA與平面BCGg所成的角；

(2)求二面角A-AtC-B的正切值.

【答案】(1)??；(2)√2

O

【分析】(1)取BC的中點(diǎn)。，連接4。和3。，結(jié)合條件可證明AQi?平面8CG4，由直線與平面所成

角的定義可得直線BA與平面BCC內(nèi)所成的角,由解直角三角形即可求解；

(2)取AC的中點(diǎn)，連接A。，BO,先求得AB=AC=BC,再由二面角的定義找到二面角A-AC-B的

平面角NAOB,由解直角三角形即可求解.

【詳解】(1)取用G的中點(diǎn)。，連接4。和BD,如圖所示：

因?yàn)?4=AC,所以4。，線￡,

在直三棱柱ABC-AAG中，84，平面486,又AOU平面A4G，所以BB∣LAD,

因?yàn)?用BlCt=B1,BB∣、AGU平面8CGB∣,則AoJ?平面8CC/，又或>u平面BCGq,

所以AOLBQ,則在RtZsABO中，O<NABD<],即直線與平面BCC由所成的角為NABQ,

在直三棱柱ABC-中，AA，平面ABC,又因?yàn)锳BU平面ABC,所以A兒LAB,

因?yàn)锳B=AC=AA=2,所以NAC3=NASC=45。，即N84C=90。，

22

則AB=JA左+第=2&,βιcι=BC=4AB+AC=2√2.

所以A。=』BCl=0,則SinzAI8。=四=半='，又0<NABO<四，所以

2A32V2226

故直線網(wǎng)與平面BCCB所成的角為?.

116

(2)取AC的中點(diǎn)，連接40,B0,

在直三棱柱ABC-AAG中，AA，平面A8C,又因?yàn)锳Cu平面A8C,所以AALAC,

22

因?yàn)锳B=AC=A41=2,A1C=y∣AC+A4l=2√2.

由（1）知，AB=AC=8C=2√5,所以BOJ.AC，AOlAtC,

又3。U平面BAC,AoU平面AAC,所以4。5是二面角A-AC-?β的平面角;

又β4LAC,BAlAA,,AC∏AAi=A,AC,4A∣u平面AAe∣C,

所以54_L平面AAICC,AoU平面A4CC，則B4_LA0,又AO=3AC=及,

tanNAOB=^=-^=√2,故二面角A-AC-B的正切值為正.

在RtZXAOB中,

9.如圖，三棱柱ABC-A4G中，側(cè)棱AA_L平面ABC,AABC為等腰直角三角形，ZBAC=9(),

且A8=A4,=2,E,F分別是。6，8。的中點(diǎn).

(1)求證：上尸"L平面AB/；(2)求銳二面角g-AE—f"的余弦值;

√6

【答案】(1)詳見解析；(2)6.

【解析】（1）證明：AC=AB1且尸為BCLIJ點(diǎn)，/.AF±BC.又三棱柱中8耳，面ABC,A尸U

,

IiilABC,..BB1±AF,BB1BC=B,..AF上面BBlC。,EFU面8與CC,..AFLEF.

因?yàn)锳C=AB=A4=2經(jīng)計(jì)算得4/=Jd,ER=G,4E=3,.月后2=男P2十五戶2,即用戶,后尸，

又因?yàn)锳P=F,.?.EE_L平面AAF

（3）過E作RWLAE,連結(jié)用M,由（1）知用bJ.EE,AFIB1F,又EFAFF,

.'B/，面AE尸.AEU面AEF,：.ByF±AE.又AEJ_Mr,FMB1F=F,

.?.EA_L平面gMF,.?.E4，用M,.?.NgMF就是二面角g—4E—F的平面角，經(jīng)計(jì)算得

MF

MFBiM=-√5CosZB