中考九年級數(shù)學訓練-三角形動點問題

中考九年級數(shù)學高頻考點專題訓練一三角形動點問題

一、綜合題

1.如圖，在□ABC中，AC=BC=4,CACB=90°,動點P從點A出發(fā)，沿AB以每

秒乎個單位長度的速度向點B運動，點Q從點A出發(fā)，沿折線AC-CB向點B以

每秒2個單位長度的速度運動，過點P作AC的平行線與過點Q作AB的平行線交于

點D,當有一個點到達終點時，另一個點也停止運動，設□PQD與□ABC重疊部分圖

形的面積為S,運動的時間為t(秒)

(1)點P到AC的距離為(用含t的代數(shù)式表示)

(2)當點D落在BC上時，求t的值

(3)當IPQD與IABC重疊部分圖形是三角形時，求S與t的函數(shù)關(guān)系式(S>

2.如圖1,在等腰Rt匚NBC中，□5∕iC=90o,4B=4C=2,點、M為BC中點、.點、P為

/8邊上一動點，點。為8C邊上一動點，連接DP,以點P為旋轉(zhuǎn)中心，將線段PO

逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段PE,連接EC

圖1圖2

備用圖備用圖

(I)當點P與點/重合時，如圖2.

①根據(jù)題意在圖2中完成作圖；

②判斷EC與BC的位置關(guān)系并證明.

(2)連接EA/,寫出一個8尸的值，使得對于任意的點?？傆蠩M=EC,并證明.

3.(模型建立)

(2)如圖2,已知直線h：y=∣χ+3與X軸交于點A,與y軸交于點B,將直線

Ii繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45。至直線Ii則直線I2的函數(shù)表達式為.

(3)如圖3,將圖1四邊形放到平面直角坐標系中，點E與O重合，邊ED放到X

軸上，若OB=2,OC=I,在X軸上存在點M使的以0、A、B、M為頂點的四邊形

面積為4,請直接寫出點M的坐標.

(4)如圖4,平面直角坐標系內(nèi)有一點B(3,-4),過點B作BA□x軸于點A,

BC□y軸于點C,點P是線段AB上的動點，點D是直線y=-2x+l上的動點且在第

四象限內(nèi).若△CPD是等腰直角三角形.請直接寫出點D的坐標.

4.如圖，AE與BD相交于點C,AC=EC,BC=DC,AB=8cm,點P從點A出發(fā)，

沿ATBTA方向以2cm∕s的速度運動，點Q從點D出發(fā)，沿DTE方向以ICmzS的速

度運動，P、Q兩點同時出發(fā)，當點P到達點A時，P、Q兩點同時停止運動，設點P

的運動時間為t(s).

(1)求證：ABODE.

(2)寫出線段AP的長(用含t的式子表示).

(3)連接PQ,當線段PQ經(jīng)過點C時?，求t的值.

5.如圖，已知HABC中，AB=AC=6cm,□B=C,BC=4cm,點D為AB的中點.

(1)如果點P在線段BC上以IemZs的速度由點B向點C運動，同時，點Q在線

段CA上由點C向點A運動.

①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，口BPD與□CQP是否

全等，請說明理由；

②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能

夠使□BPD與□CQP全等？

(2)若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出

發(fā)，都逆時針沿口ABC三邊運動，則經(jīng)過后，點P與點Q第一次在

匚ABC的邊上相遇？(在橫線上直接寫出答案，不必書寫解題過程)

6.已知等腰Rt匚ZBC和等腰RtHEF中，U4CB=CUFE=90。,AC=BC,AF=EF,

連接點。為線段BE的中點.

E

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當點E在線段/C上，點F在線段/8上時，連接CQ,若NC=8,

EF=2√2,求線段。。的長度.

(2)如圖2,B、A、E三點不在同一條直線上，連接CE,且點E正好落在線段

CE上時，連接C0、FQ,求證：CQ=FQ.

(3)如圖3,AC=S,AE=4√2，以BE為斜邊，在BE的右側(cè)作等腰Rtt8EP,

在邊CB上取一點使得MB=2,連接P/W、PQ,當尸/W的長最大時，請直接寫出

此時PQ2的值.

7.已知點O是線段/8的中點，點P是直線/上的任意一點,分別過點/和點3作直

線/的垂線，垂足分別為點C和點我們定義垂足與中點之間的距離為“足中距

(1)［猜想驗證］如圖1,當點P與點。重合時，請你猜想、驗證后直接寫出“足中

距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是.

(2)［探究證明］如圖2,當點P是線段/8上的任意一點時，“足中距”O(jiān)C和。。的

數(shù)量關(guān)系是否依然成立，若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

(3)［拓展延伸］如圖3,①當點P是線段8/延長線上的任意一點時，“足中距”O(jiān)C

和。。的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；

②若NCoD=60。,請直接寫出線段/C、BD、Oe之間的數(shù)量關(guān)系.

8.如圖①，線段BC=6,過點B、C分別作垂線，在其同側(cè)取AB=A,另一條

垂線上任取一點D.動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿BC向終點C運

動；同時動點Q從點C出發(fā)，以每秒a個單位的速度沿射線CD運動，當點P停止

時，點Q也隨之停止運動.設點P的運動的時間為t(s).

(1)當t=1,CP=，用含a的代數(shù)式表示CQ的長為

(2)當α=2,t=1時

①求證：AABP三XPCQ.

②求證：AP1PQ.

(3)如圖②，將，過點B、C分別作垂線”改為“在線段BC的同側(cè)作乙ABC=

乙DCB”，其它條件不變.若AABP與APCQ全等，直接寫出對應的a、t的值.

9.如圖，在□ABC中，AC=BC=4,CACB=90°,動點P從點A出發(fā)，沿AB以每

秒乎個單位長度的速度向點B運動，點Q從點A出發(fā)，沿折線AC-CB向點B以

每秒2個單位長度的速度運動，過點P作AC的平行線與過點Q作AB的平行線交于

點D,當有一個點到達終點時，另一個點也停止運動，設□PQD與□ABC重疊部分圖

形的面積為S,運動的時間為t(秒)

(1)點P到AC的距離為(用含t的代數(shù)式表示)

(2)當點D落在BC上時，求t的值

(3)當口PQD與口ABC重疊部分圖形是三角形時，求S與t的函數(shù)關(guān)系式(S>

0)

10.如圖，Rt□ABC中，EC=90o,BC=8cm,AC=6cm.點P從B出發(fā)沿BA向A運

動，速度為每秒ICm,點E是點B以P為對稱中心的對稱點.點P運動的同時，點Q

從A出發(fā)沿AC向C運動，速度為每秒2cm.當點Q到達頂點C時，P,Q同時停止

運動.設P,Q兩點運動時間為t秒.

(1)當t為何值時，PQ□BC?

(2)設四邊形PQCB的面積為y,求y關(guān)于t的函數(shù)解析式；

(3)四邊形PQCB的面積與口APQ面積比能為3：2嗎？若能，求出此時t的值；

若不能，請說明理由；

(4)當t為何值時，□AEQ為等腰三角形？

11.已知：如圖，在Zk∕BC中，CDJ.4B,垂足D,BD=CD=4cm,AD=

2cm；點P從點A出發(fā)，沿AD方向勻速運動，速度為lcm∕s,同時，點Q從

點D出發(fā)，沿DB方向勻速運動，速度為2cm∕s；以PQ為底邊作等腰三角形△

PQM,使NMPQ=乙4,并且&PQM與XABC分別在AB的兩側(cè)，連接

PC、QC,設運動時間為t(s).

解答下列問題:

(1)當0<t≤2時，是否存在某一時刻t,使MP//CQ?若存在，求出此時

t的值：若不存在，請說明理由；

(2)設四邊形MQCP的面積為y(cm2),求當0<t≤2時y與t之間的

函數(shù)關(guān)系式；

(3)是否存在某一時刻t,使APQM與以4、P、C為頂點的三角形相似？若

存在，請直接給出此時t的值；若不存在，請說明理由.

12.如圖，在RtAABC中，ZB=90o,AC=60cm,4/1=60。，點D從點

C出發(fā)沿CA方向以4cm∕s的是速度向點A勻速運動，同時點E從4出發(fā)沿AB

方向以2cm∕s的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時?，另一個點也隨之停

止運動，設點D、E運動的時間是ts.過點D作DFIBC于點F,連接

DE、EF.

(2)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能，請

說明理由；

(3)當t為何值時，XDEF為直角三角形？請說明理由.

13.已知：如圖，在RtABC中，DC=%。，AC=4cm,BC=3cm,點P由B點出發(fā)

沿BA方向向點A勻速運動，速度為ICm/s,點Q由A點出發(fā)沿AC方向向點C勻速

運動，速度為2cm∕s;若設運動的時間為t(s)(0<t<2),解答下列問題：

三角形與□ACB相似.

(2)如圖②，當點P,Q運動時，是否存在某一時刻t,使得PQ=PC,若存在，

求出t的值，若不存在，請說明理由；

(3)如圖③，當點P,Q運動時，線段BC上是否存在一點G,使得四邊形PQGB

為菱形？若存在，試求出BG長；若不存在，請說明理由.

14.如圖，在Rt□ABC中，□ACB=90o,BC是□ABC中最短的邊，邊AC的長度比

BC長IOCm,斜邊AB的長度比BC長度的2倍短10cm.

(1)求Rt口ABC的各條邊的長.

(2)求AB邊上的高.

(3)點D從點B出發(fā)在線段AB上以2cm∕s的速度向終點A運動，設點D的運動

時間為t(s).

①用含t的代數(shù)式表示線段BD的長為；

②當DBCD為等腰三角形時，請求出t的值.

15.如圖，在Rt4ABC中，ZByIC=90。，AB=AC,點D是BC邊上一動點，

連接AD,把AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到AE,連接CE,DE.點F是DE的中

點，連接CF.

⑴求證：CF=辱AD；

(2)如圖2所示，在點D運動的過程中，當BD=2CD時，分別延長CF,BA,

相交于點G,猜想AG與BC存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你猜想的結(jié)論；

(3)在點D運動的過程中，在線段AD上存在一點P,使PA+PB+PC的值最

小.當PA+PB+PC的值取得最小值時，AP的長為m,請直接用含m的式子表示

CE的長.

16.如圖1,在△/BC中，?ACB=90o,CA=CB,點D,E分別在邊CB上，

CD=CE,連接DE,AE,BD.點F在線段BD上，連接C尸交AE于點H.

圖1圖2

（1）①比較NeAE與NCB。的大小，并證明；

②若CFj.AE,求證：AE=2CF；

（2）將圖1中的△CoE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)a（0。<a<90°）,如圖2.若F是BD的

中點，判斷AE=2C/是否仍然成立.如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由.

答案解析部分

L【答案】(1)At

(2)解：當D落在BC上，D與Q不重合時，如圖2,CD=CQ,

.?.4-2t=?t,t=I,

當D落在BC上，D與Q重合時，如圖3,CD=CQ,

.?.2t-4=Jt,t=I,

圖3

綜上所述，t的值是卷或§;

(3)解:①當O<tW∣時，如圖4,Q在AC上，過點P作PE□AC于點E,

VPD∕∕AQ,QD//AP,

.?.四邊形APDQ是平行四邊形,

ΛPD=AQ=2t,

ΛS=APD?PE=∣×2t×Jtt=Jt2;

圖4

②當2Wt<g時，如圖5,Q在BC上，CQ=2t-4,PF=BF=BC-CF=4-?t,

FQ=CF-CQ=At-(2t-4),

?"?S=?PF?FQ=??(4—?t)[^t—(2t—4)]g^4t+8；

③當E<t<4時?，Q在BC上，如圖6,延長PD交BC于F點，

CQ=2t-AC=2t-4,DF=FQ=CQ-CF=2t-4-4t=∣t-4,

PD=PF-DF=4-1t-(It-4)=8-2t,

/.S=?PD-FQ=??(8-2t)(∣t-4)=-∣t2+IOt-16,

#(0<t≤|)

綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式(S>0):S=∣t2-4t+8(2<t<f)

、一^產(chǎn)+Iot—16(g<t<4)

2.【答案】（1）解：①圖形如圖2中所示:

②結(jié)論：EC□BC.

理由：VAB=AC,DBAC=90°,

???匚B=口ACB=45°,

VDEAD=DBAD=90°,

ΛLBAD=□CAE,

VAD=AE,

ΛBAD□ICAE(SAS),

，匚B=口ACE=45o,

.?.CBCE=□ACB÷□ACE=90o,

ΛECDBC

(2)解：當BP=ξ時，總有EM=EC

理由：如圖3中，作PS□BC于S,作PN□PS,并使得PN=PS,連接NE,延長NE

交BC于Q,連接EM,EC.

VPD=PE,□DPE=匚SPN=90°,

???匚DPS=口EPN,

VCPSD=□N=90o,

ΛCDPS□□EPN(AAS),

???PH=PS,ΓIPSD=□N=90o,

Y匚PEQ=CPSQ=□SPN=90°,

.?.四邊形PNQS是矩形，

VPS=PN,

，四邊形PNQS是正方形，

YBP=I,□B=45o,AB=2,

/.BS=PS=逗，BC=2√2,

4

ΛBQ=2BS=挈,QC=苧,

TM是BC的中點，

ΛMC=√2,

AMQ=QC=乎，

VEQ□CM,

JNQ是CM的垂直平分線，

.?EM=EC

3.【答案】(1)證明：VAD1ED,BELED,

???乙BEC=?ADC=90°,

?Z-ACD÷?DAC=90°,

???乙ACB=90°,

??BCE+?ACD=90°,

???乙BCE=乙CAD,

在ΔBEC和ΔCDA中，

NBEC=?ADC

?BCE=Z-DAC,

BC=AC

；?ABEC三ΔCDA{AAS}；

(2)y=-5x-10

(3)(2,0)或(-2,0)

(4)解：①若點P為直角頂點時，如圖，

設點P的坐標為(3,m)，則PB的長為4+m,

???Z-CPD=90o,CP=PD,乙CPM+乙CDP+(PDH=180°,

???Z-CPM+Z.PDH=90°,

又???乙CPM+乙DPM=90°,

???乙PCM=乙PDH,

在ΔMCP與ΔHPD中，

(?PCM=乙PDH

??CMP=Z.PHM,

(PC=PD

???□ΔMCP=ΔHPD{AAS},

?.CM=PH,PM=PD,

**?點D的坐標為(7+TTif-3+/Ti)9

又???點D在直線y=-2x+l上，

-2(7+7?1)+1=-3+TN,

解得：m=-?>

即點D的坐標為號，一給；

②若點C為直角頂點時，如圖，

同理可證明ΔPCM≡ΔCDH(AAS),

.?.PM=CH,MC=HD,

???點D的坐標為(4+n,-7),

又???點D在直線y=-2x+l上，

?-2(4+n)+1=-7,

解得：n=O,

???點P與點A重合，點M與點O重合,

即點D的坐標為(4,-7)；

③若點D為直角頂點時，如圖，

設點P的坐標為(3,k),則PB的長為(4+k),CD=PD,

同理可證明ΔCDM≤ΔPDQ(AAS),

???MD=PQ,MC=DQ,

.?.D（竽，一號）,

又點D在直線y=-2X+1上，

?k+7,7-k

-2X-2"~^+1=2，

解得：k=—,

?,?點P與點A重合，點M與點。重合，

即點D的坐標為（|,一給，

綜上所述，點D的坐標為得，-S或（4,-7）或（|，一韻，

故答案為：耳，—第或（4,—7）或（|,-?）.

4.【答案】（1）證明：在□ABC和□EDC中，

AC=EC

?ACB=Z-ECD,

.BC=DC

Λ□ABC□□EDC（SAS）,

Λ□A=□E,

ΛABDDE；

(2)解：當0≤t≤4時,AP=2tcm,

當4<￡8時，BP=(2t-8)cm,

.?.AP=8-(2t-8)=(16-2t)cm,

.?.線段AP的長為2tcm或(16-2t)cm；

(3)解：根據(jù)題意得DQ=tcm,

dQ→E

則EQ=(8-t)cm,

由(1)得：口A=口E,ED=AB=8cm,

在匚ACP和匚ECQ中，

乙4=乙E

AC=EC,

NACP=AECQ

???匚ACP□□ECQ(ASA),

ΛAP=EQ,

當0Wt≤4時,2t=8-t,

解得：t=I；

當4<tW8時，16-2t=8-t,

解得：t=8；

8

-

綜上所述，當線段PQ經(jīng)過點C時,3

5.【答案】（1）解：①全等，理由如下：

Vt=I秒，

ΛBP=CQ=1×1=1厘米，

VAB=6cm,點D為AB的中點，

BD=3cm.

XVPC=BC-BP,BC=4cm,

，PC=4-l=3cm,

ΛPC=BD.

又?.?AB=AC,

ΛCB=□C,

ΛΓBPD□□CQP;

②假設BPD□□CQP,

VVP≠VQ,

ΛBP≠CQ,

又；匚BPD□□CQP,□B=□C,則BP=CP=2,BD=CQ=3,

點P,點Q運動的時間t=早=2秒，

.*.VQ=?=I=1.5cm∕s

（2）24秒；AC

6.【答案】（1）解：,.?等腰Rt□ABC和等腰RtIAEF,

□ACB=□AFE=90o,

ΛAC=BC=8,AF=EF=2√2,

ΛAB=√χc2+SC2=V2AC=8√2-AE=√2EF=4,

.?.CE=AC-AE=8-4=4,

ΛBE=√CE2+BC2=4√5-

YQ是線段BE的中點，

ΛCQ=?E=2√5;

(2)證明：如圖，延長FQ至K,使KQ=FQ,連接KB,延長FC至G點,

???Q為BE的中點，ΛFQ=KQ,

在□EFQ與匚BKQ中，

(FQ=KQ

\乙FQE=乙KQB,

(EQ=BQ

：.LEFQLBKQ(SAS),

.?.EF=BK,□FEQ=CKBQ,

,AF=BK,EF□BK,

Λ□KBC=DBCG,

???匚ACB=90。，

Λ□FCA+□BCG=180o-□ACB=90o,

?/FAC+□FCA=[∕1AFE=900,

Λ□BCG=□FAC,

X□KBC=CBCG,

.,?匚FAC=口KBC,

在□AFC與□BKC中，

(AF=BK

??FAC=?KBC,

(AC=BC

：.AFC□C1BKC(SAS),

.?.CF=CK,□FCA=□KCB,

?,.FCK=!FCA+□ACK=CKCB+ACK=90°,

???匚FCK為等腰直角三角形，

又Q為FK中點，

：.CQ=FQ;

（3）680+128√17

17

7.【答案】（1）OC=OD

（2）解：數(shù)量關(guān)系依然成立.

證明（方法一）：過點0作直線EF//CD,交BD于點F,延長AC交EF于點E.

?：EFIlCD

：.Z-DCE=NE=乙CDF=90°

???四邊形CEFD為矩形.

?"OFD=90o,CE=DF

由(1)知，OE=OF

J.LCOE≤?DOF(SΛS),

：.0C=OD.

證明(方法二)：延長CO交BD于點E,

：?ACIlBD,

；?Z.A=乙B，

Y點。為AB的中點，

：.A0=BO，

又?；乙AOC=乙BoE,

，△40C三ZkBOE(TlSZ),

：.0C=OE,

VzCDE=90°，

：.OD=OC.

（3）解：①數(shù)量關(guān)系依然成立?

證明（方法一）：

過點O作直線EF//CD,交BD于點F,延長CA交EF于點E.

?：EFuCD

：.Z.DCE=NE=乙CDF=90°

???四邊形CEFD為矩形.

：.Z.OFD=90o,CE=DF

由(1)知，OE=OF

Λ?COE=ΔDOF(?SAS),

：.0C=OD.10分

證明(方法二)：延長CO交DB的延長線于點E,

ACLCD,BDLCD,

：.AC//BD,

Λ?ACO=Z-E,

???點O為AB的中點，

：.A0=BO,

又?：乙AoC=乙BoE,

J.LAOC=^BOE{AAS),

：.0C=OE,

?9?CDE=90o,

：.OD=OC.

?AC+BD=√3OC

8.【答案】(1)4；a

(2)解：①?.?AB口BC,CD□BC,

ΛCB=C=90o.

?α=2,t=1,

ΛBP=CQ=2,

?.?BC=6,

.?.CP=AB=4,

Λ□ABP□□PCQ;

(2)V□ABP□□PCQ,

Λ□A=□CPQ,

:匚APC=口CPQ+□APQ,□APC=□A+□B,

Λ□APQ=□B=90o.

ΛAP□PQ;

(3)解：當□ABP□□PCQ時，即PC=AB=4,QC=BP=2t,

ΛBP=BC-PC=2,

Λ2t=2,解得：t=l,

ΛQC=2,

?QC?

??α=—=2,

?CABP□□QCP時，即QC=AB=4,BP=CP=∣BC=3

BP3

"彳=2

?∕nr—Q—C_―4__8_

??α-t-3-3

2

83

或α-t-

綜上所述，當AABP與APCQ全等時，a=2,3-2-

9.【答案】(I)Jt

(2)解：當D落在BC上，D與Q不重合時，如圖2,CD=CQ,

：.4-2t=；t,t=I,

當D落在BC上，D與Q重合時，如圖3,CD=CQ,

.*.2t-4=IUt=§,

(3)解：①當0<t≤∣時，如圖4,Q在AC上，過點P作PE□AC于點E,

VPD//AQ,QD//AP,

.?.四邊形APDQ是平行四邊形，

ΛPD=AQ=2t,

ΛS=?PD-PE=∣×2t×Jtt=∣t2;

B

圖4

②當2St<W時，如圖5,Q在BC上，CQ=2t-4,PF=BF=BC-CF=4-?t,

FQ=CF-CQ=?t-(2t-4),

ΛS=?PF?FQ=∣?(4-it)[∣t-(2t-4)]=∣t2-4t+8；

CQ=2t-AC=2t-4,DF=FQ=CQ-CF=2t-4-；t=∣t-4,

13

--

PD=PF-DF=4-22-4)=8-2t,

JS=?PD-FQ=??(8-2t)(It-4)=-|產(chǎn)+IOt-16,

2產(chǎn)(0<t≤-ξ)

3

-O

綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式（S>0）:S=8—4t+8(2≤t<?)

3

-

-2+IOt-16(gVtV4)

10.【答案】(1)解：Rt□ABCΦ,<匚C=90°,BC=8cm,AC=6cm,

.?AB=IOcm.

?.?BP=t,AQ=2t,

.?.AP=AB-BP=IO-t.

VPQ□BC,

.AP_AQ

ΛΛAB~AC

?10—t_2t

?,^0-=^6

解得t=瑞

(2)解：:SjjgiJgPQCB=SΛCB^SAPQ=?AC?BC-?AP?AQ?sinA

Λy=?×6×8-?×(10-t)?2t??

=24-&t(Io-t)

=It2-8t+24,

即y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為y=It2-8t+24

(3)解：四邊形PQCB面積能是ABC面積的I,理由如下：

由題意，得打-8t+24=I×24,

整理,得t?-10t+12=0,

解得L=5-√13,t2=5+√13(不合題意舍去).

故四邊形PQCB面積能是UABC面積的I,此時t的值為5-√13

(4)解：□AEQ為等腰三角形時，分三種情況討論:

①如I果AE=AQ,那么10-2t=2t,解得t=|；

②如果EA=EQ,那么(10-2t)×A=3解得t=胃；

③如果QA=QE,那么2txA=5-t,解得t=窘.

故當t為I秒得秒窘秒時，□AEQ為等腰三角形

11.【答案】(1)解：?.?MP∕∕QC,

?/.MPQ=4CQA,

又????A=乙MPQ,

???Z-A=Z-CQA,

VCDLAB,

???AD=QD,

由題意知DQ=23AD2,

?2t=2,t=1.

(2)解：如圖，過點M作MH1PQ,∕1P=3DP=23PQ=2—t+2t=2+

PH=WPQ=1+?t,

2<2

V?MPH=?A,?MHP=?ADC=90°,

?ΔMPH-ΔCAD,

...縹=綜即幽_1?,MH=2+t,

CDAD4-2

1I

???y=SΔPCQ+SAMPQ=2X(2+i?X4+aX(2+t)X(2+t),

1

???y=^產(chǎn)9+4￡+6?

(3)解：①乙4PC=ZM此時PA=PC,

如圖，過P作PE_L4C,AC=24S

B

Pi

???AE=√5,ΔAEP?ΔADC,

.AP

Fy'

???HP=5,即t=5,

②NyICP=4M,CA=CP,

???CDLAP,

???AP=2AD=4,

?t=4.

綜上t=4或5s時，ΔPQM與以APC為頂點的三角形相似.

12.【答案】（1）證明：：在RtΔABC中，ZB=90。，

AC=60cm,Z.A=60°,

ΛzC=90°-?A=30°.

VCD=4tcm,AE=2tcm,

在直角ΔCDF中，ZC=30°,

'?DF=^CD=2tcm，

：.DF=AE；

（2）解：'：DFHAB,DF=AE,

.?.四邊形AEFD是平行四邊形，

當/D=AE時，四邊形AEFD是菱形，

即60-4t=2t,

解得：t=10,

即當t=10時，平行四邊形AEFD是菱形；

⑶解：當t=苧時ΔDEF是直角三角形（NEDF=90。）；

當t=12時，ΔDEF是直角三角形（ZDEF=90。）.

理由如下：

當NEoF=90。時，DE//BC

：.?ADE=4C=30°

：.AD=2AE

?：CD=4tcm,

:?DF=AE=2tcm,

?.AD—2AE=4tcm,

，4t÷4t=60,

.?.t=竽時，?EDF=90o.

當aDEF=90°時，DE1EF,

Y四邊形AEFD是平行四邊形，

：.AD1EF,

：.DEJLAD,

.".ΔADE是直角三角形，?ADE=90°,

,.2=60。，

Λ?DEA=30°,

?"?AD=^AE,AD=AC-CD=60-4t(cm),

AE=DF=ICD=2tcm,

?*-60—4t=2,2t,

解得t=12.

綜上所述，當t=竽時ΔDEF是直角三角形(ZEDF=90°)；當t=12時,

ΔDEF是直角三角形(乙DEF=90°).

13.【答案】⑴孚或?qū)W

(2)解：存在，如圖，過P點作PMLAC于M點，

*??BP=tcm,AQ=2tcm,

??.CQ=AC—AQ=(4—2t)cm,

VPQ=PC,

11

??.QM=CM="Q=*(4-2t)=(2-t)cm,

：,AM=AQ+QM=2t+(2—t)=(2÷t)ycτn,

???PM∕∕BC

??.△APMABC,

AP_AM

'''AB=~AC

5—t2+1

10

?'?t=^9-

(3)解：不存在，BP-tcm,AQ-2tcm,AP=(5—t)cm,

假設線段BC上存在一點G,使得四邊形PQGB為平行四邊形，

.?.PQ//BG,PQ=BG

APQ~ΔABC

AP^AQPQL

''AB^AC=~BC

5—t2tPQ

'F-=4F

1015

???t=-y-,PQ=-y-cm

10

：.BP=t=-y-cm

：.PQ≠BP

???平行四邊形PQGB不可能是菱形，

???線段BC上不存在一點G,使得四邊形PQGB為菱形.

14.【答案】(1)解：設BC=XCτn,^?AC=(x+10)cm,AB=(2x-10)cm,

,.?ACB=90o,

.,.AC2+BC2=AB2,

??(x+IO)2+/=(2(-IO)2>

解得X=30或尤=0(舍去)，

.'.BC=30cm,則AC=40cm,AB=50cm；

(2)解：如圖所示，過點C作CE□AB于E,

C

A—DEB

11

:?S&ABC=/c?BC=^AB?CE,

:?CE=笠金=24cm，

/.AB邊上的高為24cm；

(3)解：①2tczn

②如圖3-1所示，

C

ADB

圖3-1

當BD=BC=30cτn時，

Λ2t=30,

解得t=15；

如圖3-2所示，當CD=CB=30cm時,過點C作CE□AB于E,

C

ADEB

圖3-2

由(2)得CE=24cm,

：.BD=2BE=2√BC2-BE2=36cm,

，2t=36,

解得t=18；

如圖3?3所示，當CD=BD時，過點C作CE□AB于E,

由(2)得CE=24cm,

設Co=BD=ycm,

在直角□CEB中BE=√BC2-CE2=18cm，

：.DE=BD-BE=(y-18)cm,

在直角□CDE中，CD2=DE2+CE2,

??y2=ζy—18)2+242,

解得y=25,

：.2t=25,

解得t=棄

綜上所述，當t的值為15或18或竽時，ElBCD為等腰三角形.

15.【答案】(1)證明：VzBTlC=?DAE=90°,

J.?BAD=?CAE,

*：AB=AC,AD=AE,

AB=AC

，在AABD和LACE中??BAD=?CAE，

、AD=AE

.?ΔABD=ΔACE,

.??ABD=4ACE=45。,

LDCE=乙ACB+?