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文檔簡介
中考九年級數(shù)學高頻考點專題訓練一三角形動點問題
一、綜合題
1.如圖,在□ABC中,AC=BC=4,CACB=90°,動點P從點A出發(fā),沿AB以每
秒乎個單位長度的速度向點B運動,點Q從點A出發(fā),沿折線AC-CB向點B以
每秒2個單位長度的速度運動,過點P作AC的平行線與過點Q作AB的平行線交于
點D,當有一個點到達終點時,另一個點也停止運動,設□PQD與□ABC重疊部分圖
形的面積為S,運動的時間為t(秒)
(1)點P到AC的距離為(用含t的代數(shù)式表示)
(2)當點D落在BC上時,求t的值
(3)當IPQD與IABC重疊部分圖形是三角形時,求S與t的函數(shù)關(guān)系式(S>
2.如圖1,在等腰Rt匚NBC中,□5∕iC=90o,4B=4C=2,點、M為BC中點、.點、P為
/8邊上一動點,點。為8C邊上一動點,連接DP,以點P為旋轉(zhuǎn)中心,將線段PO
逆時針旋轉(zhuǎn)90。,得到線段PE,連接EC
圖1圖2
備用圖備用圖
(I)當點P與點/重合時,如圖2.
①根據(jù)題意在圖2中完成作圖;
②判斷EC與BC的位置關(guān)系并證明.
(2)連接EA/,寫出一個8尸的值,使得對于任意的點??傆蠩M=EC,并證明.
3.(模型建立)
(2)如圖2,已知直線h:y=∣χ+3與X軸交于點A,與y軸交于點B,將直線
Ii繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45。至直線Ii則直線I2的函數(shù)表達式為.
(3)如圖3,將圖1四邊形放到平面直角坐標系中,點E與O重合,邊ED放到X
軸上,若OB=2,OC=I,在X軸上存在點M使的以0、A、B、M為頂點的四邊形
面積為4,請直接寫出點M的坐標.
(4)如圖4,平面直角坐標系內(nèi)有一點B(3,-4),過點B作BA□x軸于點A,
BC□y軸于點C,點P是線段AB上的動點,點D是直線y=-2x+l上的動點且在第
四象限內(nèi).若△CPD是等腰直角三角形.請直接寫出點D的坐標.
4.如圖,AE與BD相交于點C,AC=EC,BC=DC,AB=8cm,點P從點A出發(fā),
沿ATBTA方向以2cm∕s的速度運動,點Q從點D出發(fā),沿DTE方向以ICmzS的速
度運動,P、Q兩點同時出發(fā),當點P到達點A時,P、Q兩點同時停止運動,設點P
的運動時間為t(s).
(1)求證:ABODE.
(2)寫出線段AP的長(用含t的式子表示).
(3)連接PQ,當線段PQ經(jīng)過點C時?,求t的值.
5.如圖,已知HABC中,AB=AC=6cm,□B=C,BC=4cm,點D為AB的中點.
(1)如果點P在線段BC上以IemZs的速度由點B向點C運動,同時,點Q在線
段CA上由點C向點A運動.
①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等,經(jīng)過1秒后,口BPD與□CQP是否
全等,請說明理由;
②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等,當點Q的運動速度為多少時,能
夠使□BPD與□CQP全等?
(2)若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā),點P以原來的運動速度從點B同時出
發(fā),都逆時針沿口ABC三邊運動,則經(jīng)過后,點P與點Q第一次在
匚ABC的邊上相遇?(在橫線上直接寫出答案,不必書寫解題過程)
6.已知等腰Rt匚ZBC和等腰RtHEF中,U4CB=CUFE=90。,AC=BC,AF=EF,
連接點。為線段BE的中點.
E
圖1圖2圖3
(1)如圖1,當點E在線段/C上,點F在線段/8上時,連接CQ,若NC=8,
EF=2√2,求線段。。的長度.
(2)如圖2,B、A、E三點不在同一條直線上,連接CE,且點E正好落在線段
CE上時,連接C0、FQ,求證:CQ=FQ.
(3)如圖3,AC=S,AE=4√2,以BE為斜邊,在BE的右側(cè)作等腰Rtt8EP,
在邊CB上取一點使得MB=2,連接P/W、PQ,當尸/W的長最大時,請直接寫出
此時PQ2的值.
7.已知點O是線段/8的中點,點P是直線/上的任意一點,分別過點/和點3作直
線/的垂線,垂足分別為點C和點我們定義垂足與中點之間的距離為“足中距
(1)[猜想驗證]如圖1,當點P與點。重合時,請你猜想、驗證后直接寫出“足中
距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是.
(2)[探究證明]如圖2,當點P是線段/8上的任意一點時,“足中距”O(jiān)C和。。的
數(shù)量關(guān)系是否依然成立,若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由.
(3)[拓展延伸]如圖3,①當點P是線段8/延長線上的任意一點時,“足中距”O(jiān)C
和。。的數(shù)量關(guān)系是否依然成立,若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由;
②若NCoD=60。,請直接寫出線段/C、BD、Oe之間的數(shù)量關(guān)系.
8.如圖①,線段BC=6,過點B、C分別作垂線,在其同側(cè)取AB=A,另一條
垂線上任取一點D.動點P從點B出發(fā),以每秒2個單位的速度沿BC向終點C運
動;同時動點Q從點C出發(fā),以每秒a個單位的速度沿射線CD運動,當點P停止
時,點Q也隨之停止運動.設點P的運動的時間為t(s).
(1)當t=1,CP=,用含a的代數(shù)式表示CQ的長為
(2)當α=2,t=1時
①求證:AABP三XPCQ.
②求證:AP1PQ.
(3)如圖②,將,過點B、C分別作垂線”改為“在線段BC的同側(cè)作乙ABC=
乙DCB”,其它條件不變.若AABP與APCQ全等,直接寫出對應的a、t的值.
9.如圖,在□ABC中,AC=BC=4,CACB=90°,動點P從點A出發(fā),沿AB以每
秒乎個單位長度的速度向點B運動,點Q從點A出發(fā),沿折線AC-CB向點B以
每秒2個單位長度的速度運動,過點P作AC的平行線與過點Q作AB的平行線交于
點D,當有一個點到達終點時,另一個點也停止運動,設□PQD與□ABC重疊部分圖
形的面積為S,運動的時間為t(秒)
(1)點P到AC的距離為(用含t的代數(shù)式表示)
(2)當點D落在BC上時,求t的值
(3)當口PQD與口ABC重疊部分圖形是三角形時,求S與t的函數(shù)關(guān)系式(S>
0)
10.如圖,Rt□ABC中,EC=90o,BC=8cm,AC=6cm.點P從B出發(fā)沿BA向A運
動,速度為每秒ICm,點E是點B以P為對稱中心的對稱點.點P運動的同時,點Q
從A出發(fā)沿AC向C運動,速度為每秒2cm.當點Q到達頂點C時,P,Q同時停止
運動.設P,Q兩點運動時間為t秒.
(1)當t為何值時,PQ□BC?
(2)設四邊形PQCB的面積為y,求y關(guān)于t的函數(shù)解析式;
(3)四邊形PQCB的面積與口APQ面積比能為3:2嗎?若能,求出此時t的值;
若不能,請說明理由;
(4)當t為何值時,□AEQ為等腰三角形?
11.已知:如圖,在Zk∕BC中,CDJ.4B,垂足D,BD=CD=4cm,AD=
2cm;點P從點A出發(fā),沿AD方向勻速運動,速度為lcm∕s,同時,點Q從
點D出發(fā),沿DB方向勻速運動,速度為2cm∕s;以PQ為底邊作等腰三角形△
PQM,使NMPQ=乙4,并且&PQM與XABC分別在AB的兩側(cè),連接
PC、QC,設運動時間為t(s).
解答下列問題:
(1)當0<t≤2時,是否存在某一時刻t,使MP//CQ?若存在,求出此時
t的值:若不存在,請說明理由;
(2)設四邊形MQCP的面積為y(cm2),求當0<t≤2時y與t之間的
函數(shù)關(guān)系式;
(3)是否存在某一時刻t,使APQM與以4、P、C為頂點的三角形相似?若
存在,請直接給出此時t的值;若不存在,請說明理由.
12.如圖,在RtAABC中,ZB=90o,AC=60cm,4/1=60。,點D從點
C出發(fā)沿CA方向以4cm∕s的是速度向點A勻速運動,同時點E從4出發(fā)沿AB
方向以2cm∕s的速度向點B勻速運動,當其中一個點到達終點時?,另一個點也隨之停
止運動,設點D、E運動的時間是ts.過點D作DFIBC于點F,連接
DE、EF.
(2)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎?如果能,求出相應的t值;如果不能,請
說明理由;
(3)當t為何值時,XDEF為直角三角形?請說明理由.
13.已知:如圖,在RtABC中,DC=%。,AC=4cm,BC=3cm,點P由B點出發(fā)
沿BA方向向點A勻速運動,速度為ICm/s,點Q由A點出發(fā)沿AC方向向點C勻速
運動,速度為2cm∕s;若設運動的時間為t(s)(0<t<2),解答下列問題:
三角形與□ACB相似.
(2)如圖②,當點P,Q運動時,是否存在某一時刻t,使得PQ=PC,若存在,
求出t的值,若不存在,請說明理由;
(3)如圖③,當點P,Q運動時,線段BC上是否存在一點G,使得四邊形PQGB
為菱形?若存在,試求出BG長;若不存在,請說明理由.
14.如圖,在Rt□ABC中,□ACB=90o,BC是□ABC中最短的邊,邊AC的長度比
BC長IOCm,斜邊AB的長度比BC長度的2倍短10cm.
(1)求Rt口ABC的各條邊的長.
(2)求AB邊上的高.
(3)點D從點B出發(fā)在線段AB上以2cm∕s的速度向終點A運動,設點D的運動
時間為t(s).
①用含t的代數(shù)式表示線段BD的長為;
②當DBCD為等腰三角形時,請求出t的值.
15.如圖,在Rt4ABC中,ZByIC=90。,AB=AC,點D是BC邊上一動點,
連接AD,把AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。,得到AE,連接CE,DE.點F是DE的中
點,連接CF.
⑴求證:CF=辱AD;
(2)如圖2所示,在點D運動的過程中,當BD=2CD時,分別延長CF,BA,
相交于點G,猜想AG與BC存在的數(shù)量關(guān)系,并證明你猜想的結(jié)論;
(3)在點D運動的過程中,在線段AD上存在一點P,使PA+PB+PC的值最
小.當PA+PB+PC的值取得最小值時,AP的長為m,請直接用含m的式子表示
CE的長.
16.如圖1,在△/BC中,?ACB=90o,CA=CB,點D,E分別在邊CB上,
CD=CE,連接DE,AE,BD.點F在線段BD上,連接C尸交AE于點H.
圖1圖2
(1)①比較NeAE與NCB。的大小,并證明;
②若CFj.AE,求證:AE=2CF;
(2)將圖1中的△CoE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)a(0。<a<90°),如圖2.若F是BD的
中點,判斷AE=2C/是否仍然成立.如果成立,請證明;如果不成立,請說明理由.
答案解析部分
L【答案】(1)At
(2)解:當D落在BC上,D與Q不重合時,如圖2,CD=CQ,
.?.4-2t=?t,t=I,
當D落在BC上,D與Q重合時,如圖3,CD=CQ,
.?.2t-4=Jt,t=I,
圖3
綜上所述,t的值是卷或§;
(3)解:①當O<tW∣時,如圖4,Q在AC上,過點P作PE□AC于點E,
VPD∕∕AQ,QD//AP,
.?.四邊形APDQ是平行四邊形,
ΛPD=AQ=2t,
ΛS=APD?PE=∣×2t×Jtt=Jt2;
圖4
②當2Wt<g時,如圖5,Q在BC上,CQ=2t-4,PF=BF=BC-CF=4-?t,
FQ=CF-CQ=At-(2t-4),
?"?S=?PF?FQ=??(4—?t)[^t—(2t—4)]g^4t+8;
③當E<t<4時?,Q在BC上,如圖6,延長PD交BC于F點,
CQ=2t-AC=2t-4,DF=FQ=CQ-CF=2t-4-4t=∣t-4,
PD=PF-DF=4-1t-(It-4)=8-2t,
/.S=?PD-FQ=??(8-2t)(∣t-4)=-∣t2+IOt-16,
#(0<t≤|)
綜上所述,S與t的函數(shù)關(guān)系式(S>0):S=∣t2-4t+8(2<t<f)
、一^產(chǎn)+Iot—16(g<t<4)
2.【答案】(1)解:①圖形如圖2中所示:
②結(jié)論:EC□BC.
理由:VAB=AC,DBAC=90°,
???匚B=口ACB=45°,
VDEAD=DBAD=90°,
ΛLBAD=□CAE,
VAD=AE,
ΛBAD□ICAE(SAS),
,匚B=口ACE=45o,
.?.CBCE=□ACB÷□ACE=90o,
ΛECDBC
(2)解:當BP=ξ時,總有EM=EC
理由:如圖3中,作PS□BC于S,作PN□PS,并使得PN=PS,連接NE,延長NE
交BC于Q,連接EM,EC.
VPD=PE,□DPE=匚SPN=90°,
???匚DPS=口EPN,
VCPSD=□N=90o,
ΛCDPS□□EPN(AAS),
???PH=PS,ΓIPSD=□N=90o,
Y匚PEQ=CPSQ=□SPN=90°,
.?.四邊形PNQS是矩形,
VPS=PN,
,四邊形PNQS是正方形,
YBP=I,□B=45o,AB=2,
/.BS=PS=逗,BC=2√2,
4
ΛBQ=2BS=挈,QC=苧,
TM是BC的中點,
ΛMC=√2,
AMQ=QC=乎,
VEQ□CM,
JNQ是CM的垂直平分線,
.?EM=EC
3.【答案】(1)證明:VAD1ED,BELED,
???乙BEC=?ADC=90°,
?Z-ACD÷?DAC=90°,
???乙ACB=90°,
??BCE+?ACD=90°,
???乙BCE=乙CAD,
在ΔBEC和ΔCDA中,
NBEC=?ADC
?BCE=Z-DAC,
BC=AC
;?ABEC三ΔCDA{AAS};
(2)y=-5x-10
(3)(2,0)或(-2,0)
(4)解:①若點P為直角頂點時,如圖,
設點P的坐標為(3,m),則PB的長為4+m,
???Z-CPD=90o,CP=PD,乙CPM+乙CDP+(PDH=180°,
???Z-CPM+Z.PDH=90°,
又???乙CPM+乙DPM=90°,
???乙PCM=乙PDH,
在ΔMCP與ΔHPD中,
(?PCM=乙PDH
??CMP=Z.PHM,
(PC=PD
???□ΔMCP=ΔHPD{AAS},
?.CM=PH,PM=PD,
**?點D的坐標為(7+TTif-3+/Ti)9
又???點D在直線y=-2x+l上,
-2(7+7?1)+1=-3+TN,
解得:m=-?>
即點D的坐標為號,一給;
②若點C為直角頂點時,如圖,
同理可證明ΔPCM≡ΔCDH(AAS),
.?.PM=CH,MC=HD,
???點D的坐標為(4+n,-7),
又???點D在直線y=-2x+l上,
?-2(4+n)+1=-7,
解得:n=O,
???點P與點A重合,點M與點O重合,
即點D的坐標為(4,-7);
③若點D為直角頂點時,如圖,
設點P的坐標為(3,k),則PB的長為(4+k),CD=PD,
同理可證明ΔCDM≤ΔPDQ(AAS),
???MD=PQ,MC=DQ,
.?.D(竽,一號),
又點D在直線y=-2X+1上,
?k+7,7-k
-2X-2"~^+1=2,
解得:k=—,
?,?點P與點A重合,點M與點。重合,
即點D的坐標為(|,一給,
綜上所述,點D的坐標為得,-S或(4,-7)或(|,一韻,
故答案為:耳,—第或(4,—7)或(|,-?).
4.【答案】(1)證明:在□ABC和□EDC中,
AC=EC
?ACB=Z-ECD,
.BC=DC
Λ□ABC□□EDC(SAS),
Λ□A=□E,
ΛABDDE;
(2)解:當0≤t≤4時,AP=2tcm,
當4<£8時,BP=(2t-8)cm,
.?.AP=8-(2t-8)=(16-2t)cm,
.?.線段AP的長為2tcm或(16-2t)cm;
(3)解:根據(jù)題意得DQ=tcm,
dQ→E
則EQ=(8-t)cm,
由(1)得:口A=口E,ED=AB=8cm,
在匚ACP和匚ECQ中,
乙4=乙E
AC=EC,
NACP=AECQ
???匚ACP□□ECQ(ASA),
ΛAP=EQ,
當0Wt≤4時,2t=8-t,
解得:t=I;
當4<tW8時,16-2t=8-t,
解得:t=8;
8
-
綜上所述,當線段PQ經(jīng)過點C時,3
5.【答案】(1)解:①全等,理由如下:
Vt=I秒,
ΛBP=CQ=1×1=1厘米,
VAB=6cm,點D為AB的中點,
BD=3cm.
XVPC=BC-BP,BC=4cm,
,PC=4-l=3cm,
ΛPC=BD.
又?.?AB=AC,
ΛCB=□C,
ΛΓBPD□□CQP;
②假設BPD□□CQP,
VVP≠VQ,
ΛBP≠CQ,
又;匚BPD□□CQP,□B=□C,則BP=CP=2,BD=CQ=3,
點P,點Q運動的時間t=早=2秒,
.*.VQ=?=I=1.5cm∕s
(2)24秒;AC
6.【答案】(1)解:,.?等腰Rt□ABC和等腰RtIAEF,
□ACB=□AFE=90o,
ΛAC=BC=8,AF=EF=2√2,
ΛAB=√χc2+SC2=V2AC=8√2-AE=√2EF=4,
.?.CE=AC-AE=8-4=4,
ΛBE=√CE2+BC2=4√5-
YQ是線段BE的中點,
ΛCQ=?E=2√5;
(2)證明:如圖,延長FQ至K,使KQ=FQ,連接KB,延長FC至G點,
???Q為BE的中點,ΛFQ=KQ,
在□EFQ與匚BKQ中,
(FQ=KQ
\乙FQE=乙KQB,
(EQ=BQ
:.LEFQLBKQ(SAS),
.?.EF=BK,□FEQ=CKBQ,
,AF=BK,EF□BK,
Λ□KBC=DBCG,
???匚ACB=90。,
Λ□FCA+□BCG=180o-□ACB=90o,
?/FAC+□FCA=[∕1AFE=900,
Λ□BCG=□FAC,
X□KBC=CBCG,
.,?匚FAC=口KBC,
在□AFC與□BKC中,
(AF=BK
??FAC=?KBC,
(AC=BC
:.AFC□C1BKC(SAS),
.?.CF=CK,□FCA=□KCB,
?,.FCK=!FCA+□ACK=CKCB+ACK=90°,
???匚FCK為等腰直角三角形,
又Q為FK中點,
:.CQ=FQ;
(3)680+128√17
17
7.【答案】(1)OC=OD
(2)解:數(shù)量關(guān)系依然成立.
證明(方法一):過點0作直線EF//CD,交BD于點F,延長AC交EF于點E.
?:EFIlCD
:.Z-DCE=NE=乙CDF=90°
???四邊形CEFD為矩形.
?"OFD=90o,CE=DF
由(1)知,OE=OF
J.LCOE≤?DOF(SΛS),
:.0C=OD.
證明(方法二):延長CO交BD于點E,
:?ACIlBD,
;?Z.A=乙B,
Y點。為AB的中點,
:.A0=BO,
又?;乙AOC=乙BoE,
,△40C三ZkBOE(TlSZ),
:.0C=OE,
VzCDE=90°,
:.OD=OC.
(3)解:①數(shù)量關(guān)系依然成立?
證明(方法一):
過點O作直線EF//CD,交BD于點F,延長CA交EF于點E.
?:EFuCD
:.Z.DCE=NE=乙CDF=90°
???四邊形CEFD為矩形.
:.Z.OFD=90o,CE=DF
由(1)知,OE=OF
Λ?COE=ΔDOF(?SAS),
:.0C=OD.10分
證明(方法二):延長CO交DB的延長線于點E,
ACLCD,BDLCD,
:.AC//BD,
Λ?ACO=Z-E,
???點O為AB的中點,
:.A0=BO,
又?:乙AoC=乙BoE,
J.LAOC=^BOE{AAS),
:.0C=OE,
?9?CDE=90o,
:.OD=OC.
?AC+BD=√3OC
8.【答案】(1)4;a
(2)解:①?.?AB口BC,CD□BC,
ΛCB=C=90o.
?α=2,t=1,
ΛBP=CQ=2,
?.?BC=6,
.?.CP=AB=4,
Λ□ABP□□PCQ;
(2)V□ABP□□PCQ,
Λ□A=□CPQ,
:匚APC=口CPQ+□APQ,□APC=□A+□B,
Λ□APQ=□B=90o.
ΛAP□PQ;
(3)解:當□ABP□□PCQ時,即PC=AB=4,QC=BP=2t,
ΛBP=BC-PC=2,
Λ2t=2,解得:t=l,
ΛQC=2,
?QC?
??α=—=2,
?CABP□□QCP時,即QC=AB=4,BP=CP=∣BC=3
BP3
"彳=2
?∕nr—Q—C_―4__8_
??α-t-3-3
2
83
或α-t-
綜上所述,當AABP與APCQ全等時,a=2,3-2-
9.【答案】(I)Jt
(2)解:當D落在BC上,D與Q不重合時,如圖2,CD=CQ,
:.4-2t=;t,t=I,
當D落在BC上,D與Q重合時,如圖3,CD=CQ,
.*.2t-4=IUt=§,
(3)解:①當0<t≤∣時,如圖4,Q在AC上,過點P作PE□AC于點E,
VPD//AQ,QD//AP,
.?.四邊形APDQ是平行四邊形,
ΛPD=AQ=2t,
ΛS=?PD-PE=∣×2t×Jtt=∣t2;
B
圖4
②當2St<W時,如圖5,Q在BC上,CQ=2t-4,PF=BF=BC-CF=4-?t,
FQ=CF-CQ=?t-(2t-4),
ΛS=?PF?FQ=∣?(4-it)[∣t-(2t-4)]=∣t2-4t+8;
CQ=2t-AC=2t-4,DF=FQ=CQ-CF=2t-4-;t=∣t-4,
13
--
PD=PF-DF=4-22-4)=8-2t,
JS=?PD-FQ=??(8-2t)(It-4)=-|產(chǎn)+IOt-16,
2產(chǎn)(0<t≤-ξ)
3
-O
綜上所述,S與t的函數(shù)關(guān)系式(S>0):S=8—4t+8(2≤t<?)
3
-
-2+IOt-16(gVtV4)
10.【答案】(1)解:Rt□ABCΦ,<匚C=90°,BC=8cm,AC=6cm,
.?AB=IOcm.
?.?BP=t,AQ=2t,
.?.AP=AB-BP=IO-t.
VPQ□BC,
.AP_AQ
ΛΛAB~AC
?10—t_2t
?,^0-=^6
解得t=瑞
(2)解::SjjgiJgPQCB=SΛCB^SAPQ=?AC?BC-?AP?AQ?sinA
Λy=?×6×8-?×(10-t)?2t??
=24-&t(Io-t)
=It2-8t+24,
即y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為y=It2-8t+24
(3)解:四邊形PQCB面積能是ABC面積的I,理由如下:
由題意,得打-8t+24=I×24,
整理,得t?-10t+12=0,
解得L=5-√13,t2=5+√13(不合題意舍去).
故四邊形PQCB面積能是UABC面積的I,此時t的值為5-√13
(4)解:□AEQ為等腰三角形時,分三種情況討論:
①如I果AE=AQ,那么10-2t=2t,解得t=|;
②如果EA=EQ,那么(10-2t)×A=3解得t=胃;
③如果QA=QE,那么2txA=5-t,解得t=窘.
故當t為I秒得秒窘秒時,□AEQ為等腰三角形
11.【答案】(1)解:?.?MP∕∕QC,
?/.MPQ=4CQA,
又????A=乙MPQ,
???Z-A=Z-CQA,
VCDLAB,
???AD=QD,
由題意知DQ=23AD2,
?2t=2,t=1.
(2)解:如圖,過點M作MH1PQ,∕1P=3DP=23PQ=2—t+2t=2+
PH=WPQ=1+?t,
2<2
V?MPH=?A,?MHP=?ADC=90°,
?ΔMPH-ΔCAD,
...縹=綜即幽_1?,MH=2+t,
CDAD4-2
1I
???y=SΔPCQ+SAMPQ=2X(2+i?X4+aX(2+t)X(2+t),
1
???y=^產(chǎn)9+4£+6?
(3)解:①乙4PC=ZM此時PA=PC,
如圖,過P作PE_L4C,AC=24S
B
Pi
???AE=√5,ΔAEP?ΔADC,
.AP
Fy'
???HP=5,即t=5,
②NyICP=4M,CA=CP,
???CDLAP,
???AP=2AD=4,
?t=4.
綜上t=4或5s時,ΔPQM與以APC為頂點的三角形相似.
12.【答案】(1)證明::在RtΔABC中,ZB=90。,
AC=60cm,Z.A=60°,
ΛzC=90°-?A=30°.
VCD=4tcm,AE=2tcm,
在直角ΔCDF中,ZC=30°,
'?DF=^CD=2tcm,
:.DF=AE;
(2)解:':DFHAB,DF=AE,
.?.四邊形AEFD是平行四邊形,
當/D=AE時,四邊形AEFD是菱形,
即60-4t=2t,
解得:t=10,
即當t=10時,平行四邊形AEFD是菱形;
⑶解:當t=苧時ΔDEF是直角三角形(NEDF=90。);
當t=12時,ΔDEF是直角三角形(ZDEF=90。).
理由如下:
當NEoF=90。時,DE//BC
:.?ADE=4C=30°
:.AD=2AE
?:CD=4tcm,
:?DF=AE=2tcm,
?.AD—2AE=4tcm,
,4t÷4t=60,
.?.t=竽時,?EDF=90o.
當aDEF=90°時,DE1EF,
Y四邊形AEFD是平行四邊形,
:.AD1EF,
:.DEJLAD,
.".ΔADE是直角三角形,?ADE=90°,
,.2=60。,
Λ?DEA=30°,
?"?AD=^AE,AD=AC-CD=60-4t(cm),
AE=DF=ICD=2tcm,
?*-60—4t=2,2t,
解得t=12.
綜上所述,當t=竽時ΔDEF是直角三角形(ZEDF=90°);當t=12時,
ΔDEF是直角三角形(乙DEF=90°).
13.【答案】⑴孚或?qū)W
(2)解:存在,如圖,過P點作PMLAC于M點,
*??BP=tcm,AQ=2tcm,
??.CQ=AC—AQ=(4—2t)cm,
VPQ=PC,
11
??.QM=CM="Q=*(4-2t)=(2-t)cm,
:,AM=AQ+QM=2t+(2—t)=(2÷t)ycτn,
???PM∕∕BC
??.△APMABC,
AP_AM
'''AB=~AC
5—t2+1
10
?'?t=^9-
(3)解:不存在,BP-tcm,AQ-2tcm,AP=(5—t)cm,
假設線段BC上存在一點G,使得四邊形PQGB為平行四邊形,
.?.PQ//BG,PQ=BG
APQ~ΔABC
AP^AQPQL
''AB^AC=~BC
5—t2tPQ
'F-=4F
1015
???t=-y-,PQ=-y-cm
10
:.BP=t=-y-cm
:.PQ≠BP
???平行四邊形PQGB不可能是菱形,
???線段BC上不存在一點G,使得四邊形PQGB為菱形.
14.【答案】(1)解:設BC=XCτn,^?AC=(x+10)cm,AB=(2x-10)cm,
,.?ACB=90o,
.,.AC2+BC2=AB2,
??(x+IO)2+/=(2(-IO)2>
解得X=30或尤=0(舍去),
.'.BC=30cm,則AC=40cm,AB=50cm;
(2)解:如圖所示,過點C作CE□AB于E,
C
A—DEB
11
:?S&ABC=/c?BC=^AB?CE,
:?CE=笠金=24cm,
/.AB邊上的高為24cm;
(3)解:①2tczn
②如圖3-1所示,
C
ADB
圖3-1
當BD=BC=30cτn時,
Λ2t=30,
解得t=15;
如圖3-2所示,當CD=CB=30cm時,過點C作CE□AB于E,
C
ADEB
圖3-2
由(2)得CE=24cm,
:.BD=2BE=2√BC2-BE2=36cm,
,2t=36,
解得t=18;
如圖3?3所示,當CD=BD時,過點C作CE□AB于E,
由(2)得CE=24cm,
設Co=BD=ycm,
在直角□CEB中BE=√BC2-CE2=18cm,
:.DE=BD-BE=(y-18)cm,
在直角□CDE中,CD2=DE2+CE2,
??y2=ζy—18)2+242,
解得y=25,
:.2t=25,
解得t=棄
綜上所述,當t的值為15或18或竽時,ElBCD為等腰三角形.
15.【答案】(1)證明:VzBTlC=?DAE=90°,
J.?BAD=?CAE,
*:AB=AC,AD=AE,
AB=AC
,在AABD和LACE中??BAD=?CAE,
、AD=AE
.?ΔABD=ΔACE,
.??ABD=4ACE=45。,
LDCE=乙ACB+?
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