2023-2024學(xué)年高一下數(shù)學(xué)《平面向量及立體幾何初步》測試卷及答案解析

2023?2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)《平面向量及立體幾何初步》

一.選擇題（共12小題）

1.（2022春?鼓樓區(qū)校級期中）已知向量Z=（Irr1,IAb=（2,4＞若a〃b，則實(shí)數(shù)加

=()

3

A.1B.-1C.d

2?4

2.（2022春?鼓樓區(qū)校級期中）已知向量［二（通，1）,E是單位向量，若［2之-芯=√記,

則之與式的夾角為（）

兀

C.2

（春?鼓樓區(qū)校級期中）是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若混二瓦+瓦，則

3.2022P445C3SZM8P:S

△ABC=（）

A.1：4B.1：3C.2：3D.2：1

4.（2022?福州模擬）已知向量之，E為單位向量，l,??b-則自（42-3芯）=（）

A.-3B.3C.-5D.5

5.（2022春?馬尾區(qū)校級月考）已知C的內(nèi)角4,B,C對邊分別為a,b,c,若2csinC

=（α+?）（sin5-siιU）,則當(dāng)角C取得最大值時(shí)，B=（）

A.—B.—C.—D.22L

3623

6.（2022春?福州期中）在四邊形/88中，若AB=DC，且IAB-AD=IAB+ADI，則該四邊

形一定是（）

A.正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯形

7.（2022?鼓樓區(qū)校級三模）已知Z8,CD分別是圓柱上、下底面圓的直徑，且/8J_CA.O?,

。分別為上、下底面的圓心，若圓柱的底面圓半徑與母線長相等，且三棱錐N-JBC。的

體積為18,則該圓柱的側(cè)面積為（）

A.9πB.12πC.16πD.18π

8.（2022?福州模擬）在底面半徑為1的圓柱OOi中，過旋轉(zhuǎn)軸OOi作圓柱的軸截面ABCD,

其中母線/8=2,E是BC的中點(diǎn)，尸是43的中點(diǎn)，則（）

A.AE=CF,ZC與E尸是共面直線

第1頁（共25頁）

B.AE≠CF,NC與EF是共面直線

C.AE=CF,NC與EF是異面直線

D.AE≠CF,/C與EE是異面直線

9.（2022?鼓樓區(qū)校級模擬）已知一個(gè)直三棱柱的高為2,如圖，其底面/8C水平放置的直

觀圖（斜二測畫法）為H8。，其中O'A'=O'B'=O'C=?,則此三棱柱的表面積為（）

C.8+4√5D.8+8√5

10.（2016春?福州校級月考）已知一個(gè)平放的棱長為4的三棱錐內(nèi)有一小球。（重量忽略

不計(jì)），現(xiàn)從該三棱錐頂端向內(nèi)注水，小球慢慢上浮，若注入的水的體積是該三棱錐體積

的工時(shí)，小球與該三棱錐各側(cè)面均相切（與水面也相切），則球的表面積等于（）

8

A.?rtB.ArrC.2ττD.?n

6332

11.（2017秋?鼓樓區(qū)校級月考）三棱錐尸-NBC中，必，平面∕8C,ACVBC,AC=BC=

1,PA=M,則該三棱錐外接球的表面積為（）

A.5ττB.√2兀C.20πD.4π

12.（2021春?福州期中）下列關(guān)于空間幾何體的敘述，正確的是（）

A.直角三角形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)得到的幾何體是一個(gè)圓錐

B.棱柱的側(cè)面都是平行四邊形

C.用一個(gè)平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺

D.直平行六面體是長方體

二.填空題（共4小題）

13.（2021春?平潭縣校級期末）已知圓錐的母線長為3a”，圓錐的底面圓半徑為lew,一

只螞蟻從圓錐的底面圓周上Z點(diǎn)出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行一周回到點(diǎn)/,則螞蟻爬行的最

短路程為cm.

14.（2021?福州一模）在三棱錐尸-/8C中，側(cè)面RIC與底面/8C垂直，NBAC=90：

NPC4=30°,/8=3,PA=2.則三棱錐P-/8C的外接球的表面積為.

15.（2022春?廣東期中）如圖，矩形O'HB1C是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，

第2頁（共25頁）

16.（2022春?鼓樓區(qū)校級期中）若平面向量之、芯滿足∣Z∣=2,IEl=1，則∣Z+E∣的取

值范圍是.

Ξ.解答題（共6小題）

17.（2022春?馬尾區(qū)校級月考）設(shè)向量|胃=1,∣^3=1,且:與K具有關(guān)系KW+^Q=√EG-

內(nèi)（?>0）.

（1）是否存在％,使得Z與贏直，請說明理由；

（2）若Z與式夾角為60°,求A的值.

18.（2022春?馬尾區(qū)校級月考）在△中，角4,B,C的對邊分別是α,b,c且

b+c=a（V3sinC+cosC）?

（1）求角/：

（2）求sinβ+sinC的最大值.

19.（2022春?福州期中）在A∕8C中，向量等式正=族+&獲+前+以=[,溝通了幾

何與代數(shù)的聯(lián)系，利用它并結(jié)合向量的運(yùn)算，可以很好地幫助我們研究問題，體現(xiàn)向量

法的特性.

（1）如圖4/8C的三個(gè)角力,B,C所對的邊分別為α,b,c.設(shè)向量彳為C所在平

>.,?,?l,?,■,■

面的一個(gè)單位向量，記向量e?AB的夾角為立現(xiàn)構(gòu)造等式（AB+BC+CA）?e=θ>據(jù)此

請你探究6=0及的邊和角之間的等量e關(guān)系；

2

（2）已知/。是4/8C的角平分線，請你用向量法證明：空典.

ACCD

第3頁（共25頁）

C

20.(2017秋?閩侯縣校級期中)如圖，已知三棱錐/-BPC中，APLPC,ACLBC,M為

的中點(diǎn)，。為PB的中點(diǎn)，且4PΛ"為正三角形.

(1)求證：8CJ_平面ZPC；

(2)若8C=6,AB=IO,求三棱錐D-8CM的體積.

21.(2021春?鼓樓區(qū)校級期中)如圖，在正三棱柱容器Z8C-/向CI中，AB=a(α>0),

力小=4由頂點(diǎn)B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱/小到頂點(diǎn)Ci的最短路線與AA↑的交點(diǎn)記為M,求:

(D求該最短路線的長；(用含α的表達(dá)式表示)；

(2)若該正三棱柱容器外接球的表面積為32n,求能放入該容器的最大的球的體積.

22.(2021秋?倉山區(qū)校級期中)如圖，已知三棱柱∕8C-Zι8ιCι,點(diǎn)。為棱/8的中點(diǎn).

(1)求證：BCi〃平面4CO；

(2)若4/8C是等邊三角形，且N8=44ι=2,∕Zι∕8=60°,平面/小8|8_L平面/8C,

求三棱錐4-88Ie的體積.

第4頁(共25頁)

第5頁（共25頁）

2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)《平面向量及立體幾何初步》

參考答案與試題解析

一.選擇題(共12小題)

1.(2022春?鼓樓區(qū)校級期中)已知向量Z=(m-1,1>E=(2,4>若a〃b，則實(shí)數(shù)加

=()

A.1B.-1C.?D.-A

22

【考點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.

【專題】計(jì)算題：對應(yīng)思想；綜合法：平面向量及應(yīng)用：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用向量平行的等價(jià)條件得4(W-1)-2=0,從而求得.

【解答】解：(m-l,1)，b=(2,4>a〃b，

Λ4(∕n-1)-2=0,

解得m--?,

2

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了向量平行的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.(2022春?鼓樓區(qū)校級期中)已知向量Z=(J1),E是單位向量，若∣2Z-El=J石,

則之與式的夾角為()

A.2LB.2_c.2ZLD.IZL

6336

【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】設(shè)；與E的夾角為0,把|2；-芯=7正兩邊平方可求得CoS仇然后可求得以

【解答】解：設(shè)之與E的夾角為0，

因?yàn)閆=(√E,IA芯是單位向量，所以把|22一4=0與兩邊平方可求得：4X4-2X2

Xa*b+1=13,所以a?b=1，

所以2Xlcosθ=l,所以COSe=工，所以θ=2L.

23

第6頁(共25頁)

故選:B.

【點(diǎn)評】本題考查平面向量數(shù)量積應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.（2022春?鼓樓區(qū)校級期中）尸是ANBC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若而=3血+荏，則S09：S

△ABC=（）

A.I：4B.I：3C.2：3D.2：I

【考點(diǎn)】平面向量的基本定理?

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法：平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算求出而=3百，再利用三角形的面積公式求解即可.

【解答】解：：而=3證+而，

/.CB-PB=3PA-BPCB<-BP=3PA,

?CP=3PA-BpAC=APA,

?'?SΛABP!SiiABC=PA:AC—1：4,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查平面向量的線性運(yùn)算，三角形的面積公式，屬于中檔題.

4.（2022?福州模擬）已知向量之，K為單位向量，且Zl則E?（42-34）=（）

A.-3B.3C.-5D.5

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】計(jì)算題：對應(yīng)思想；分析法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】由題意可得Q1=1,IE∣=ι,?.^=o-根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可求得答案.

【解答】解：由題意可得，GI=I,E∣=1,l?b=0'

貝∣R?（）=4之吊-2=-3b2=-3

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查數(shù)量積的應(yīng)用，考查學(xué)生運(yùn)算能力，屬于中檔題.

5.（2022春?馬尾區(qū)校級月考）已知448C的內(nèi)角4B,C對邊分別為α,b,c,若2csinC

=（α+?）（Sin8-sin√O,則當(dāng)角C取得最大值時(shí)，B=（）

A.—B.—C.—D.

3623

第7頁（共25頁）

【考點(diǎn)】正弦定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；解三角形：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得2d-a1,進(jìn)一步利用余弦定理及基本不等式可知當(dāng)cosC

取得最小值返時(shí)，角C取得最大值工，此時(shí)房=3『，d=『，再利用余弦定理可求得

26

cos8的值，進(jìn)而得到答案.

【解答】解：V2csinC=(α+b)(SinB-SiiL4),

，由正弦定理可得，2c1=(α+6)Qb-a)=b2-a2,

,22

2.,2b--a

2八22a÷bn

Ca+b-c2

由余弦定理可得cosC=-2^b―=2^b

l?kl>2√3ab.=2ZL,當(dāng)且僅當(dāng)廬=3『時(shí)等號成立，

4ab4ab2

.?.當(dāng)COSC取得最小值近時(shí)，角C取得最大值？L,且此時(shí)后=3『，則c?2="2,

26

a2工+c2-b,2?-t???i=-1,則B至

??cosB="

2ac2a223

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查正余弦定理與基本不等式的綜合運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想及運(yùn)算求解能力,

屬于中檔題.

6.（2022春?福州期中）在四邊形/58中，若AB=DC,且IAB-ADTAB+A∏，則該四邊

形一定是（）

A.正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯形

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算.

【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

'一?,?l?'.1?l?'

【分析】根據(jù)題意，由AB=DC可得四邊形為平行四邊形，又由IAB-AD=IAB+AO,變

形分析可得標(biāo)，菽，即/8與4。垂直，由此分析可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，在四邊形/88中，若標(biāo)=前，即/8〃。C且∕8=Z）C,四邊

形為平行四邊形，

■,,,.?'.?l—??∣.01'+.

AI>2=∣AB+A∏2,

又由IAB-AnTAB^AD,則旬AB-變形可得AB?AD=O,則有ABLAD,

即/8與垂直,

第8頁（共25頁）

則該四邊形一定是矩形,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量相等和向量模的定義，屬于基礎(chǔ)題.

7.（2022?鼓樓區(qū)校級三模）已知/8,CD分別是圓柱上、下底面圓的直徑，且CDO?,

。分別為上、下底面的圓心，若圓柱的底面圓半徑與母線長相等，且三棱錐4-BC。的

體積為18,則該圓柱的側(cè)面積為（）

A.9πB.12πC.16πD.18π

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積；旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）；棱柱、棱錐、棱臺的

側(cè)面積和表面積.

【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；立體幾何.

【分析】結(jié)合圖形分析得三棱錐Z-BCD的體積為兩個(gè)全等四棱錐C-48/芯減去兩個(gè)全

等三棱錐A-CDE,利用錐體體積V=?∣Sh代入計(jì)算求外再利用圓柱的側(cè)面積S=如，M?

【解答】解：分別過48作圓柱的母線ZE,BF,連接CE,DE,CF,DF,

則三棱錐A-BCD的體積為兩個(gè)全等四棱錐C-ABFE減去兩個(gè)全等三棱錐A-CDE,

即2X^?XrX2rXr-2X^?XrX,X2rXr='r3=18,則〃=3，

圓柱的側(cè)面積為2πr×r≈18π.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了圓柱側(cè)面積的計(jì)算，屬于中檔題.

8.（2022?福州模擬）在底面半徑為1的圓柱OO\中，過旋轉(zhuǎn)軸OOl作圓柱的軸截面ABCD,

其中母線/8=2,E是BC的中點(diǎn)，尸是43的中點(diǎn)，則（）

A.AE=CF,ZC與E尸是共面直線

第9頁（共25頁）

B.AE≠CF,NC與EF是共面直線

C.AE=CF,/C與EF是異面直線

D.AE≠CF,/C與EE是異面直線

【考點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】/E=[AB2+BE2=遙,CFrBC2+B#=爬,在AZBC中，E是BC的中

點(diǎn)，下是48的中點(diǎn)，EF//AC,由此能求出結(jié)果.

【解答】解：在底面半徑為1的圓柱OOi中，過旋轉(zhuǎn)軸OOI作圓柱的軸截面/BCO,

其中母線/8=2,E是BC的中點(diǎn)，尸是48的中點(diǎn)，如圖，

4E=√AB2+BE2-√4+1=Vδ'CF=VBC2+BF2=丫4+1=Vδ'

：.AE=CF,

在4/8C中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是48的中點(diǎn)，J.EF//AC,

.?.∕C與EF是共面直線，

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查命題真假的判斷，考查勾股定理、中位線定理等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算

求解能力，是基礎(chǔ)題.

9.（2022?鼓樓區(qū)校級模擬）己知一個(gè)直三棱柱的高為2,如圖，其底面/8C水平放置的直

觀圖（斜二測畫法）為ZEC,其中O'A'=O'B'=O'C=?,則此三棱柱的表面積為（）

第10頁（共25頁）

A

B'∕o'C

A.4+4√2B.8+4√2C.8+4√5D.8+8√5

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積.

【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用斜二測畫法的“三變”“三不變”得到直三棱柱的底面平面圖，由此能求出

此三棱柱的表面積.

【解答】解：斜二測畫法的“三變”“三不變”得到直三棱柱的底面平面圖，如圖，

其中OA=2OB=2OC=2,

??AB-AC-yfζ>>

，此三棱柱的表面積為S=2×-?-×2×2+（2+2>/5）×2=8+4代.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查三棱柱的表面積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系

等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

10.（2016春?福州校級月考）已知一個(gè)平放的棱長為4的三棱錐內(nèi)有一小球。（重量忽略

不計(jì)），現(xiàn)從該三棱錐頂端向內(nèi)注水，小球慢慢上浮，若注入的水的體積是該三棱錐體積

的工時(shí)，小球與該三棱錐各側(cè)面均相切（與水面也相切），則球的表面積等于（）

8

第11頁（共25頁）

A.?nB.AπC.2πD.?n

6332

【考點(diǎn)】球的體積和表面積.

【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；立體幾何.

【分析】先求出沒有水的部分的體積是2巨，再求出棱長為2,可得小球的半徑，即可

3

求出球的表面積.

【解答】解：由題意，沒有水的部分的體積是正四面體體積的工，

8

?.?正四面體的各棱長均為4,

.?.正四面體體積為,XqX42XJI6號=彎臣

???沒有水的部分的體積是2亞，

_3__

設(shè)其棱長為“，則工X爽?a2χ限2=2場，

3433

?.4=2,

設(shè)小球的半徑為r,貝∣J4X工XYIXo2r=2√l,

34z3

Λ

?Γ=∕6

6

球的表面積5=4兀.JL=Z兀.

63

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查球的表面積，考查體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確

求出半徑是關(guān)鍵.

11.（2017秋?鼓樓區(qū)校級月考）三棱錐尸-ZBC中，以_L平面N8C,ACLBC,AC=BC=

1,PA=M,則該三棱錐外接球的表面積為（）

A.5πB.V2兀C.20πD.4π

【考點(diǎn)】球的體積和表面積.

【專題】空間位置關(guān)系與距離；球.

【分析】根據(jù)題意，證出8CL平面刃C,是三棱錐尸-48C的外接球直徑.利用勾

股定理結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出P8=√甘，得外接球半徑H=后，從而得到所求外接球的表面

2

積

【解答］解：%_L平面∕8C,ACLBC,

第12頁（共25頁）

.?.8C，平面EiC,尸8是三棱錐尸-48C的外接球直徑;

VRtΔPδ∕4中，AB=QPA=M

：.PB=45,可得外接球半徑R=L8=返

22

外接球的表面積S=4πΛ2=5π

故選：A.

B

【點(diǎn)評】本題在特殊三棱錐中求外接球的表面積，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、

勾股定理和球的表面積公式等知識，屬于中檔題.

12.（2021春?福州期中）下列關(guān)于空間幾何體的敘述，正確的是（）

A.直角三角形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)得到的幾何體是一個(gè)圓錐

B.棱柱的側(cè)面都是平行四邊形

C.用一個(gè)平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺

D.直平行六面體是長方體

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）；棱柱的結(jié)構(gòu)特征；棱錐的結(jié)構(gòu)特征；棱臺的結(jié)構(gòu)

特征.

【專題】整體思想；定義法；立體幾何；直觀想象.

【分析】由多面體與旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案.

【解答】解：直角三角形繞它的斜邊旋轉(zhuǎn)得到的幾何體是兩個(gè)圓錐的綜合題，故N錯(cuò)誤;

由棱柱的結(jié)構(gòu)特征可知，棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，故8正確；

用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺，

若截面與底面不平行，則不是棱臺，故C錯(cuò)誤；

正方體是直平行六面體，但直平行六面體不一定是長方體，故。錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查多面體與旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征，是基礎(chǔ)題.

第13頁（共25頁）

二.填空題（共4小題）

13.（2021春?平潭縣校級期末）已知圓錐的母線長為3cm,圓錐的底面圓半徑為一

只螞蚊從圓錐的底面圓周上/點(diǎn)出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行一周回到點(diǎn)/,則螞蟻爬行的最

短路程為—3^?[3-Cm.

【考點(diǎn)】多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題；弧長公式.

【專題】方程思想；定義法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】求得圓錐側(cè)面展開圖對應(yīng)扇形的弦長，也即是最短路程.

【解答】解：圓錐的母線長為3cτn,圓錐的底面圓半徑為1cm,

一只螞蟻從圓錐的底面圓周上/點(diǎn)出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行一周回到點(diǎn)

圓錐底面半徑為1,底面周長為2τr,

所以圓錐側(cè)面展開圖對應(yīng)的扇形的弧長為2n,

由于圓錐的母線長為3,所以圓錐側(cè)面展開圖對應(yīng)的扇形的圓心角為”，

所以最短路程為：^32+32-2×3×3×eos?^-=√9+9+9=3√3-

故答案為：3√3?

【點(diǎn)評】本題考查圓錐側(cè)面展形圖的性質(zhì)、扇形弦長、圓錐的結(jié)構(gòu)特征等基礎(chǔ)知識，考

查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

14.（2021?福州一模）在三棱錐尸-NBC中，側(cè)面BIC與底面/8C垂直，ZBAC=90°,

Npc4=30°,4B=3,P4=2.則三棱錐尸-AgC的外接球的表面積為25τr.

【考點(diǎn)】球的體積和表面積.

【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；直

觀想象；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】畫出幾何體的直觀圖，求解三角形RIC的外接圓的半徑，然后求解外接球的半

徑，進(jìn)而求出三棱錐尸-NBC外接球的表面積.

第14頁（共25頁）

【解答】解：?.?在三棱錐尸-48C中，側(cè)面R4C與底面48C垂直，NBAC=90°,

.?.R4，平面RlC,NpC4=30°,R1=2.

設(shè)的外接圓的半徑為廠，外接圓圓心為0,

則—"—=Ir,解得r=2,

sin30

過。作。。，平面PAC,則QOJLIAB,

2

外接球的半徑為我,球心為O,

A=Jr2+（?∣AB）2=J⑵2+仔）2=|_,

外接球的表面積為4TΓR2=251T.

【點(diǎn)評】本題考查三棱錐外接球問題，解題的關(guān)鍵是找球心，考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算

的核心素養(yǎng)，屬于中檔題.

15.（2022春?廣東期中）如圖，矩形O'A'B'C是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，

其中O'A'=6,O'C'=3,B'C〃/軸，則原平面圖形的面積為36√2.

【考點(diǎn)】平面圖形的直觀圖.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】計(jì)算平面直觀圖的面積，根據(jù)原圖形與它的直觀圖面積比為2&,計(jì)算即可.

【解答】解：平面直觀圖是矩形O'A'B'C',且O'A,=6,O'C=3,

所以矩形。'A'B'C的面積為S'=6X3=18,

所以原平面圖形的面積為$=2五$'=36√5.

故答案為：36&.

第15頁（共25頁）

【點(diǎn)評】本題考查了平面直觀圖的面積與原圖形面積的關(guān)系應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

16.(2022春?鼓樓區(qū)校級期中)若平面向量之、京商足|7|=2，∣bI=L則G+EI的取

值范圍是「1,31.

【考點(diǎn)】向量的概念與向量的模.

【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用向量模長的性質(zhì)求解.

【解答】解：a∣TIa+bI《IaI+IbI,

，14Ia+bI43,

即∣Z+EI的取值范圍是[1,3],

故答案為：[1,3].

【點(diǎn)評】本題主要考查了向量模長的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

≡.解答題(共6小題)

17.(2022春?馬尾區(qū)校級月考)設(shè)向量偏=1,Ibi=I-且；與E具有關(guān)系K；+芯=√5G-

而(?>0).

(1)是否存在左,使得之與E垂直，請說明理由；

(2)若2與E夾角為60。，求％的值.

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算；數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.

【專題】綜合題；方程思想；綜合法：平面向量及應(yīng)用：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】利用兩向量垂直的充要條件、夾角公式列出方程求解即可.

【解答】解：(1)由pɑ+芯=√EG-珀兩邊平方整理得：

(k-3)a+8ka?b+(l-3k)b=O'

apk2+l=4ka?b≠0)

故不存在A,使得Z與彘直.

(2)由(1)可知，k2-4kW?E+l=0.......①，

當(dāng)<a,b>=60°時(shí)'a*b=cos600蔣，

第16頁(共25頁)

代入①式整理得（A-I）2=0,解得％=1.

【點(diǎn)評】本題考查平面向量數(shù)量積的定義，兩向量垂直的充要條件、夾角公式等，屬于

基礎(chǔ)題.

18.（2022春?馬尾區(qū)校級月考）在△中，角B,C的對邊分別是α,b,c且

b+c=a（V3sinC+cosC）?

（1）求角/：

(2)求SirL8+sinC的最大值.

【考點(diǎn)】正弦定理.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；邏輯

推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函數(shù)的關(guān)系式的變換求出/的值;

（2）利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.

【解答】解：（1）由正弦定理，bc

sinAsinBsinC

WsinB+sinC=sinAcosC+/3SinAsinC-

又sinfi=sin(J+C)=SirL4cosC+cos/SinC,

所以CeISASinC+sinC=V^SinASinC，

又SinC/0,

所以COSA+I=FsinA,

利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換，VssinA-cosA=L

兀、1

sinz(A-τ-)F

0N

因?yàn)?V∕Vτr,

ππ

所以A-

π

解得

A=T-

/??/2兀、Vs1

-

sinB+sinC=sinB+si∏Co-B)=si∏B+ξ^cosB+^ysinB

^?^^c0sB+?sinB=√3sin

因0<B<等，

.π

6<B4<甘

第17頁（共25頁）

Λ√3sin

當(dāng)且僅當(dāng)B吟時(shí)取等號，取得最大值為√E;

【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的變換，正弦定理的應(yīng)用，正弦型函數(shù)

的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題.

*.**,.■'*

19.(2022春?福州期中)在C中，向量等式AC=AB+B8tAB+BC+CA=0，溝通了幾

何與代數(shù)的聯(lián)系，利用它并結(jié)合向量的運(yùn)算，可以很好地幫助我們研究問題，體現(xiàn)向量

法的特性.

(1)如圖44δC的三個(gè)角4B,C所對的邊分別為α,b,c.設(shè)向量Z為ZX∕8C所在平

面的一個(gè)單位向量，記向量Z與Q的夾角為。.現(xiàn)構(gòu)造等式(加前+不)?Z=O,據(jù)此,

請你探究e=o及e=?L時(shí)Z?∕8C的邊和角之間的等量e關(guān)系；

2

(2)已知/。是aNBC的角平分線，請你用向量法證明：組段.

ACCD

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算；數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角.

【專題】計(jì)算題；對應(yīng)思想：綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【分析】(I)e=o時(shí)，r=jg,代入條件由數(shù)量積的定義和運(yùn)算性質(zhì)可得答案.當(dāng)

IABI

∈∣T?,標(biāo)=0,代入條件由數(shù)量積的定義和運(yùn)算性質(zhì)可得答案；

(2)設(shè)elAD,可得出I或鄉(xiāng)|=傍:，再由

??

I囂∣Ic?;I=卜等+絲，41平ψ,從而得證?

(AD+DC)`e∣DCI

【解答】解：⑴0=0時(shí)，Z=里，則(AB+BC+H)`e=(AB+BC+CA),里=0,

IABIIABI

第18頁(共25頁)

.2~?,,~*?

ABAB-BCAB-CAC

即,+-→.+-→I=O即

IABIlIABIlIABI

KlIABI-∣BC∣cos(∏-B)IAB∣?∣CA∣cos

ABI—*II—*I工o,

IABIIABI

即IABI-1≡Ic。SB-I祿ICoSA=o,即IABI=∣≡∣∞sB+ICAICOSA.

當(dāng)8號時(shí)，>標(biāo)二0'由(族+前+&)?Z=o?

則(皮+CAAZ=Cr即正?e+CA`e=0)

則IBCIcos)+ICAIcos(-^-+A)=O或

IBCIcos)+ICAICOS(卷-A)=O

所以I前IsinB=∣CA∣sinA.即里1上圍L

sinAsinB

證明：(2)設(shè)el標(biāo),如圖，設(shè)∕cw=α,則直)號+a,Q,正〉f_a，

所以甌ZiI瓦卜c°s(專+a)瓦

所以I=；----------------------1=7=J

AC.eIACIfccos(?-ɑ)IACl

設(shè)GDB>=β,<e,DC>=π-β-

I(AD+DB)fceIIDBfceI∣DBI，cosp,二I而I

I1——<~~—==r-zr

(AD+DC)DLe∣DC∣>c□s(π-β)-∣DCI

所以叵I=叵L

IACIIDCI

第19頁（共25頁）

)

?

-------------------------------->B

【點(diǎn)評】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于難題.

20.（2017秋?閩侯縣校級期中）如圖，已知三棱錐/-8PC中，APA.PC,ACkBC,M為

/8的中點(diǎn)，。為PB的中點(diǎn)，且aPA四為正三角形.

（1）求證：8C_L平面ZPC：

（2）若8C=6,/8=20,求三棱錐。-BCN的體積.

A

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積：直線與平面垂直.

【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；綜合法；空間位置關(guān)系與距離.

【分析】（1）證明MO_LP8,APVPB,可證得平面P8C,推出ACLBC,

即可證明5C，平面/PC.

（2）說明M。是三棱錐。-8CM的高，求出三角形8CZ）的面積，然后求解三棱錐。-

8CM的體積.

【解答】解：（1）由為正三角形得MD,P8,由M為/8的中點(diǎn)，

得MD〃AP,所以可證得/尸_L平面P8C,

所以∕P"L8C,y.AClBC,所以得5C_L平面NPC

（2）由題意可知，Moj.平面PBC,M。是三棱錐。-BCM的高，

BMVAB=10,DM=^BM=5√3>BD寺B=5，

在直角三角形NBC中，M為斜邊的中點(diǎn)，CM=yAB=101

第20頁（共25頁）

在直角三角形中，CD=JCM2-DH2=5,

.?.三角形BCD為等腰三角形，底邊BC上的高為4,

VH-DBC=4×?×θ×4X5√3=20√3?

O4

【點(diǎn)評】本題考查幾何體的體積的求法，直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間

想象能力以及計(jì)算能力.

21.（2021春?鼓樓區(qū)校級期中）如圖，在正三棱柱容器/8C-小小CI中