基于Matlab-的-n階非奇異方陣的LU分解實現(xiàn)

基于Matlab的n階方陣的LDU分解實現(xiàn)引言矩陣的LDU分解是“矩陣理論與方法”課程中非常重要的一部分。LDU分解在實際工程應用中也非常廣泛。LDU分解可以將一個矩陣分解為一個下三角矩陣和一個對角矩陣和一個上三角矩陣的乘積。LDU分解主要應用在數(shù)值分析中，用來解線性方程、求反矩陣或計算行列式。將系數(shù)矩陣A轉變成等價兩個矩陣L和U和對角矩陣的乘積，其中L和U分別是下三角和上三角矩陣，D為對角矩陣。當A的所有順序主子式都不為0時，矩陣A可以分解為A=LDU。即：Matlab是很好的處理矩陣的工具。它的功能非常強大，包括創(chuàng)建矩陣，對矩陣求逆，轉置等操作非常簡單，使其成為圖像處理，信號分析等領域常用的工具。Matlab官方已經(jīng)包括了對非奇異矩陣的LU分解函數(shù)[L,U]=lu(A)，為了加深對矩陣分解的理解，本文不采用Matlab官方的LU分解函數(shù)對矩陣A進行LDU分解，而是根據(jù)理論推導和編程實現(xiàn)LDU分解。程序設計輸入合法檢驗LU分解需要被分解矩陣A滿足如下條件：矩陣A為方陣A的順序主子式故LU分解需先檢驗A為n階方陣，然后檢驗A的n-1個順序主子式全不為0，才可進行LU分解。而檢驗主子式可以在n-1次循環(huán)LU分解中進行，故先檢驗矩陣是否為方陣。代碼如下n-1次循環(huán)LDU分解LDU分解本質上是高斯消元法。實質上是將A通過初等行變換變成一個上三角矩陣，其變換矩陣就是一個單位下三角矩陣。從下至上地對矩陣A做初等行變換，將對角線左下方的元素變成零，然后再證明這些行變換的效果等同于左乘一系列單位下三角矩陣，這一系列單位下三角矩陣的乘積的逆就是L矩陣，它也是一個單位下三角矩陣。LDU分解主要分為兩步：1根據(jù)高斯消元法對消元，消元矩陣為；2計算以產(chǎn)生下一步迭代的。根據(jù)構造高斯消元，使第i+1列從第i+2行至n行都為0。構造消元矩陣。首先判斷是否為0，為0則無法繼續(xù)分解，退出；否則繼續(xù)。代碼如下計算心得體會通過“矩陣理論與方法”的理論指導和Matlab編程的實踐經(jīng)驗，我基本掌握了矩陣分解中的LDU分解的推導過程和算法步驟。熟練掌握LDU分解，對今后研究LU分解、Doolittle分解、Crout分解、QR分解等矩陣分解方法的實現(xiàn)有非常大的幫助。對LDU分解的推導過程進行步驟分解和歸納，我將N維矩陣的LDU分解歸納總結為n-1次循環(huán)，每步循環(huán)進行n-i次元素除法（計算高斯消元系數(shù)），2次N維矩陣乘法（計算和）和1次元素乘法（計算順序主子式的值）。按乘法計算，即時間復雜度為。因為計算過程中需要輔助計算矩陣和，即空間復雜度為。該LDU分解設計還不夠快速，占用空間相對較多，是以后改進的方向。附錄：程序源碼function[L,D,U]=MyLU(A)%checkvalidityif(isempty(A))%checkAifisemptyerror('Aisempty!');end[N,D]=size(A);if(N~=D)%checkAifissquareerror('Aisnotasquare!');end%LDUdecomposingL=eye(N);det_k=A(1,1);forstep_n=1:N-1if(det_k==0)%checkifSequenceprincipalminorappears0error('Sequenceprincipalminoris0');endLi=eye(N);Li_inv=eye(N);forstep_row=step_n+1:Nmod=A(step_row,step_n)/A(step_n,step_n);Li(step_row,step_n)=mod;Li_inv(step_row,step_n)=-mod;endA=Li_inv*A;det_k=det_k*A(step_n+1,step_n+1);L=L*Li;endL=L;D=eye(N);U=zeros(N);fori=1:Nif(A(i,i)~=0)D(i,i)=A(