小學奧數(shù)題庫《幾何》-直線型-等積變形-0星題（含解析）全國通用版

幾何-直線型幾何-等積變形-。星題

課程目標

知識點__________________考試要求具體要求________________________考察頻率

等積變形B1.了解等積變形的概念

2.能夠熟練的應用等積變形來解決

有關的幾何題目__________________

知識提要

等積變形

?概念

等積變形：如果兩個三角形同底等高，那么他們的面積相等.

?夾在一組平行線之間的等積變形

SAABC=SABCD

AD

BC

精選例題

等積變形

1.如下圖所示，正方形ABCO的面積為12,AE=ED,且EF=2FC,則三角形48尸的面積

等于________

【答案】5

【分析】如下圖所示，連接DF,容易得到SMBF+SACDF=^S正方形ABC。=6.

因為4E=ED,所以SAECD=IS正方形ABCD=3.

又因為EF=2FC,所以SACDF=ISAECD=L

所以SMBF=6—SACDF=5.

2.如下圖所示，正方形ABCD和正方形ECGF并排放置BF與CD相交于點H,已知AB=6

厘米，則陰影部分的面積是平方厘米.

【分析】如下圖所示，連接DF、CF,

那么顯然△DHG與△DHF同底等高，兩者面積相等，我們?nèi)菀字繠D∣∣CF,可知△DHF

與HC面積相等，那么陰影部分的面積等于ABCD的面積，恰好為正方形ABCD的一

半.即6X6÷2=18（平方厘米）.

3.如下圖所示，BD是平行四邊形ABCD的對角線，EF平行于B。，如果三角形ABE的面積

是12平方厘米，那么三角形AFD的面積是平方厘米.

【答案】12

【分析】如下圖所不，連接DE、BF,等積變形，S1^ABE=S^BED=S^BFD=SAAFD=12（

平方厘米）.

4.如下圖所示，正方形每條邊上的三個點（端點除外）都是這條邊的四等分點，則陰影部分

的面積是正方形面積的.

【答案】I

【分析】將陰影部分的上半部分翻下來，根據(jù)四等分點的條件，不難算出陰影是大正方形面

積的

O

5.梯形ABCD∣∣>,AE與DC平行，SMBE=15,SABCF=.

【答案】15

【分析】如下圖所示，連接DE,三角形ABF的面積和三角形。EF的面積相等，三角形

DEF的面積和三角形CEF的面積相等，所以三角形ABE的面積和三角形BCF的面積相等.

6.如下圖所示，一大一小兩個正方形拼在一起，若陰影部分的面積是10平方米，小正方形的

面積是平方米.

G

【答案】20

【分析】如下圖所示，連接BF,BF和AC平行，陰影部分面積等于三角形ABC的面積，而

三角形ABC的面積是小正方形面積的一半，所以小正方形的面積是陰影部分面積的2倍，為

20平方米.

7.如圖，在梯形HBCD中，OEHAD.如果三角形4。B的面積是7平方厘米，則三角形OEC

的面積是平方厘米.

【答案】14

【分析】由平行線間的等積變形可知，

SAAEO=SXDE0,

所以

SADEC=SADEo+SACEO+SACDO

=2SXAOB

=7×2

=14（平方厘米）.

8.如圖，正十二邊形的面積是2016平方厘米，那么圖中陰影部分的面積是平方厘米.

【答案】672

【分析】如下圖所示，陰影部分可以等積變形成下圖形狀，并設正三角形面積為ɑ,四邊形

面積為6則整個正十二邊形是由12個α和6個b組成，而陰影部分由4個a和2個b組成,

所以陰影部分面積為672平方厘米.

b

9.圖中由3個邊長是6的正方形組成，則圖中陰影部分的面積是

【答案】36

陰影部分面積:

(6X2)X6÷2=36,

10.如下圖所示，矩形ABCD的面積是24平方厘米，三角形4DM與三角形BCN的面積之和

是7.8平方厘米，則四邊形PMoN的面積是平方厘米.

【答案】1.8

1

【分析】長方形，

SAADM+S^BCN=SAMPB+SABCN=SACoB+SPMON，SACoB=ZSABCD

所以SPMON=7.8-24÷4=1.8（平方厘米）.

11.正方形ABC。的邊長為6米，E是BC的中點（見下圖）.四邊形OECD的面積

為.平方米.

D

【答案】15

【分析】如下圖所示，連接DE,根據(jù)等積變形，設SABEO=I份，那么S-BO=SAOEO=2

份，SAADO=4份，所以SADCE=SADBE=3份，正方形ABCD共為1+2+2+4+3=12

（份），四邊形OECO的面積為6X6+12X（2+3）=15（平方米）.

D

12.如下圖所示，長方形ABCO內(nèi)的陰影部分的面積之和為70,AB=8,AD=15.四邊形

EFGO面積為

【答案】10

【分析】SAABE=SAEFD,所以陰影部分面積等于長方形面積的一半加四邊形EFG。的面積,

故四邊形EFGO面積等于70-15X8+2=10.

13.如下圖所示，四邊形ABCD的面積是10,對角線4C、8D交于E.已知4F=CE,BG=

DE.則△EFG的面積是.

D

【答案】

【分析】如下圖所示，連接4G、CG,由“等底等高的三角形面積相等“可得

SAGF4=SAGEC，SbAED~SAABG'SACDE=SACBG?

所以

SREFG=SMFG+^ΔABG+SAABE

=SAGEC+SAAED+ShABE

=SADBC+?DAB

=S四邊形ABCD

所以AEFG的面積等于10.

B

C

14.如下圖所示，點C在線段4E上，三角形48C和三角形CDE都是正三角形，且F是線段

BC的中點，G是線段DE的中點.若三角形4BC的面積為27,三角形4FG（陰影部分）的

面積是.

【答案】13.5

【分析】如下圖所示，連接CG,那么4尸IlCG,根據(jù)梯形蝴蝶模型，得到

11,

SAAFG=^ΔAFC=]SAABC='*27=13.5.

15.如圖，正方形的邊長為12,陰影部分的面積為60,那么四邊形EFGH的面積是

D

【答案】6

【分析】如圖所示，設4。上的兩個點分別為“、N.連接CN.

根據(jù)面積比例模型，ACMF與ACNF的面積是相等的，那么△CMF與△BNF的面

積之和，等于ACNF與ABN尸的面積之和，即等于ABCN的面積.而△BCN的面積為正方

形48C。面積的一半，為122x]=72.

又△CMF與△BNF的面積之和與陰影部分的面積相比較，多了2個四邊形EFGH的

面積，所以四邊形EFGH的面積為：(72-60)÷2=6.

16.下圖中，48CD是平行四邊形，E為CD的中點，4E和BD的交點為F,AC和BE的交點

為H,AC和8。的交點為G,四邊形E//GF的面積是15平方厘米，則ABCD的面積

是平方厘米.

AB

DEC

【答案】180

【分析】解法一：蝴蝶模型與一半模型.

(1)E是CC的中點，DE-.AB=1:2,所以

^DEF-^?DAF^?^J?BEF?^l^ABF=1：2：2：4.

(2)設平行四邊形面積為'T'.E是CD的中點，所以SMBG、S-DG、SABEC占平行四邊形面

積的%梯形SlBED占平行四邊形面積的右

(3)所以

_32_1

SWF="+2+2+4=M

_11_1

SAGAF=H史

同理可知SXGHB—石?

(4)根據(jù)一半模型，SUBE=5

_1111_1

S四邊形EHGF=2-4-12-12=12；

(5)ABCD的面積是

1,

15?÷?—180(Cm).

解法二：相似模型、等積變形與一半模型.

(I)E是CD的中點，DEtAB=1:2,所以。F:FB=I:2,而DG=GB,

=2:1;

(2)設平行四邊形面積為“1”.E是CO的中點，所以SMBG、S△冊G占平行四邊形面積的：，

4

所以

_11_1

SAGAF=彳X2+1=運，

理可知SAGHB=石.

(3)根據(jù)一半模型，SΔABE=i,

_1111_1

S四邊形EHGF=2-4-T2-12=12：

(4)ABCD的面積是

1,

15÷-=180(cm2).

解法三：燕尾模型與一半模型.

(1)設平行四邊形面積為'T'?S^ADC=1.

(2)E是CD的中點，G為AC的中點，連接FC,

設SADEF為1份，SAECF也為1份，根據(jù)燕尾SMPF為2份，再根據(jù)燕尾SAACF也為2份，根

據(jù)按比例分配，SMGF、SAGCF都為1份，所以

1,1

S&GAF=，+(2+1+1+1+1)=正，

同理可知SKGHB=石.

(3)根據(jù)一半模型，SAABE=5

_1111_1

S四邊形EHGF=2-4^T2-12=12；

(4)ABCD的面積是

1

15÷-=180(cm2).

解法四：風箏模型與一半模型.

連接EG同樣可解.

AB

DEC

17.如下圖所示，四邊形ABCD是梯形，上底是8厘米，下底是16厘米，點E是BC邊上任

意一點，如果A4EC的面積是30平方厘米，那么梯形ABCD的面積是平方厘米.

【答案】90

【分析】方法一：三角形ADE的高為30x2÷8=7.5（厘米），那么梯形面積為（8+

16）×7.5÷2=90（平方厘米）.

方法二：由于BC=2AD,ΔAEB與△ECD的面積和是△AED面積的2倍，所以梯形的面積是

30X（1+2）=90（平方厘米）.

18.如圖，ABCD為平行四邊形，EF平行AC,如果△4。E的面積為4平方厘米.求三角形

CDF的面積.

DC

【答案】4平方厘米

【分析】

連結力尸、CE.因為SMOE=SfCE;S^CDF=S&ACF，

又因為AC與EF平行,所以,S>ACE=SA<CF;^Δ,ADE=SACDF=4（平方厘米）.

19.如圖，將三個邊長為1的正方形組合在一起，中間的正方形的兩個頂點恰好是另外兩個正

方形的中心.請問：圖中陰影部分的面積是多少？

【答案】I

【分析】如下圖所示，連接BE、FE,FG、AD.由于四邊形AMEF為梯形，則三角形

AMO的面積與三角形OFE的面積相等.而三角形OFE的面又與三角形OFG的面積相等.所

以三角形AMF的面積與四邊形AoGF的面積相等.由于三角形。BG的面積為：-；三角形

4

ABD的面積為：j所以四邊形4。G尸的面積為：?所以所有陰影部分面積之和為：i×4=∣.

Z882

A

D

20.下圖是一個由兩個正方形拼合而成的圖形，它們的邊長分別是Tn厘米及n厘米，且C、D、

E三點在同一條直線上.已知m和n都是兩位數(shù)，且血2=2兒若三角形4BC的面積等于ɑ

平方厘米.求ɑ的最大值.

【答案】98厘米

【分析】如下圖所示，連接BD,A4BC與AABO同底等高，所以SMBC=S“BO=??

當Tn最大時α取最大值，由于n是兩位數(shù)，故n<100,所以m?=2∏<200,由此可得,

加的最大值為14,此時α=98（厘米）.

21.如圖，把四邊形力BCD改成一個等積的三角形.

D

【答案】見解析.

【分析】本題有兩點要求，一是把四邊形改成一個三角形，二是改成的三角形與原四邊形面

積相等.我們可以利用三角形等積變形的方法，如圖把頂點4移到CB的延長線上的4處，△

ABO與AABD面積相等，從而AADC面積與原四邊形力BCD面積也相等.這樣就把四邊形

4BCD等積地改成了三角形A4DC.問題是4位置的選擇是依據(jù)三角形等積變形原則，過4

作一條和DB平行的直線與CB的延長線交于A'點.

具體做法：

(1)連接BD；

(2)過4作Bo的平行線，與CB的延長線交于A';

(3)連接4D,則△ACD與四邊形力BCC等積.

22.如圖，過平行四邊形ABCD頂點D作直線交BC于點E,交48的延長線于點F,已知△

AEF的面積為10平方厘米，求FC的面積.

【答案】10平方厘米

【分析】連結BD,因為4FIlCD,SABFC=SABFD,又因為BCII4D,SAABE=SABDE，所以

SABDF=SAAEF,SABFC=SAAEF=IO（平方厘米）?

23.如圖，正方形HEFG的邊長是10厘米，四邊形ABCD的面積是6平方厘米.那么，陰影

的面積是多少平方厘米？

EB

【答案】44平方厘米

【分析】

因為SAGEB=SAH￡8,所以SAGAB=SAH￡4經(jīng)過移補，原陰影面積等于右圖陰影面積，是

IOXIo÷2-6=44（平方厘米）.

24.如圖，直角梯形ABCD中，SMBE=75平方厘米，陰影部分的面積為15平方厘米.問長

方形ABCF的面積是多少平方厘米？

【答案】180平方厘米

【分析】

連BF.根據(jù)等積變形，SABEF=S陰影=15（平方厘米），因此長方形ABCD的面積是S=

（15+75）×2=180（平方厘米）.

25.邊長分別為8cm和6cm的兩個正方形ABCD與BEFG如下圖并排放在一起.連接DE交

BG于P,則圖中陰影部分APEG的面積是多少？

【答案】18

【分析】將△力PG移至I]△0PG（如下面中圖），連接DB,DB與GE平行.△DGE等于△

BGE的面積（如下面右圖）.6×6÷2=18.

HEABEAH

26.如圖，BC=CD,AF∣∣BE,請比較△ABC、ΔBCE.ABCF,△CDF的面積大小.

【答案】一樣大.

【分析】平行線之間的等積變形，這四個三角形底和高都相等，所以面積是一樣大.

27.如圖，在平行四邊形48CD中，直線CF交ZB于E,交DA延長線于尸，若SMDf?=l,

求三角形BEF的面積是多少？

CBB

【答案】1

【分析】連接4C,因為4B平行CD,所以

SAADE=SA4CE'

又因為AD平行BC,所以

SA4CF=SAABF，

而SAACF=SAACE+^?AEF?^?ABF=SABEF+SAAEF，所以

SAACE=SABEF=SAzIDE=?-

28.如下圖所示，三角形ABC和三角形EFD是面積為2004平方厘米的全等的直角三角形，

AB=EF,BC=FD,/.ABC=^DFE=90°,點8在。E邊上，點尸在AC邊上，形成長方形

GBHF，求長方形ADEC的面積.

E

【答案】4008平方厘米

【分析】如下圖所示，連接BF,因為三角形ADB的面積等于三角形BDF的面積，同時減

去三角形BDG的面積，可得三角形4。G的面積與三角形BGF的面積相等，三角形CEH的面

積與三角形BHF的面積相等，所以長方形ADEC的面積為三角形48C面積的2倍，為4008

平方厘米.也可以利用一半模型得出結論.

E

29.已知四邊形ABe7）、BEFG.CHIJ為正方形,正方形ABCD邊長為10,正方形BEFG邊長

為6,求陰影部分的面積.

D

BECH

【答案】20

【分析】如果注意到DF為一個正方形的對角線（或者說一個等腰直角三角形的斜邊），那

么容易想到DF與C/是平行的.所以可以連接C/、CF,如下圖.

由于Z）F與C/平行，所以△CF/的面積與△DFC的面積相等.而△DFC的面積為10x4X

：=20,所以△。/=7的面積也為20.

30.如圖，ABCD為平行四邊形，EF平行AC,如果三角形ADE的面積為4平方厘米.求三角

形CDF的面積.

【答案】4平方厘米.

【分析】連結4F、CE.

DC

所以SAADE=SMCE；ACDF=^?ACFf又因為=C與EF平仃，所以S沙CE=SfCF，所以

SMDE=S^CDF=4（平方厘米）.

31.如下圖所示，E、AG、”分別是四邊形/BCO各邊的中點，EG與FH交于點0,SI、S2、

S3及S4分別表示4個小四邊形的面積.試比較Sl+S3與S2+S4的大小.

【答案】相等

【分析】如下圖所示，連接4。、BO.CO、DO,則可判斷出，每條邊與。點所構成的三角

形都被分為面積相等的兩部分，且每個三角形中的兩部分都分屬于Si+S3,S2+S4這兩個不

同的組合，所以可知Si+S3=$2+S*

32.如圖，ABCD為平行四邊形，EF||AC,如果△4。E的面積為4平方厘米.求三角形CDF

的面積.

AEIi

【答案】4平方厘米

【分析】

連結AF、CE.因為SAADE=SAACE，S^CDF=S^ACF，又因為4C與EF平行,所以,SAACE=

SAAC尸，SAADE=SACDF=4（平方厘米）.

33.如圖所示，梯形力BC。中，E是對角線AC上的一點.已知。E和AB平行，那么與AAOC

面積相等的三角形一共有哪幾個？

【答案】Δ>1BDftΔABE.

【分析】觀察圖中哪些線段平行，AD平行于8C,48平行于DE.根據(jù)4。平行于BC,可

以知道AADC的面積等于AHBD;根據(jù)平行于DE,可以知道△4B。的面積等于△

ABE.所以與△ADC面積相等的三角形有△ABD和△ABE.

34.如圖，有三個正方形的頂點。、G、K恰好在同一條直線上，其中正方形GFEB的邊長為

10厘米，求陰影部分的面積.

【答案】IOO平方厘米

【分析】連結BD,EG,FK.由BDIlEG知SADGE=SABGE，由EGIlFK知SAGEK=S.EF，

所以陰影部分的面積為ABGE和AGEF的面積之和，即為正方形GFEB的面積，10X10=

100（平方厘米）.

35.如圖，在平行四邊形ABCD中，直線C尸交AB于E,交ZM延長線于F,若SADAE=1,

求48EF的面積.

【答案】1

【分析】連接4C,在梯形CAFB中,

SABEF=SASE?又因為，CDIlAB,S^CAE=S^DAE=L所以，SABEF=L

36.正方形4BC。和正方形CEFG,且正方形ABCD邊長為20厘米，則圖中陰影面積為多少平

方厘米?

【答案】200平方厘米

【分析】

連接CF,那么CFHBD,所以$\text｛陰影面積｝=?text｛三角形$BCD$的面積｝=20?times20?div

2｛?text｛=｝｝200?text｛（平方厘米）｝$.

37.如圖，在梯形ABCD中，E是AB的中點.已知梯形4BCD的面積為35平方厘米，三角形

ABD的面積為13平方厘米.三角形BCE的面積為多少平方厘米？

【答案】11平方厘米

【分析】如圖，連接4C,根據(jù)題意，由于梯形的面積為35平方厘米，而三角形ABD的面

積為13平方厘米，所以三角形。BC的面積也為22平方厘米.所以三角形ABC的面積也為

22平方理米，則三角形BCE的面積為11平方厘米.

38.如圖，P為長方形ABCD外的一點，并且PC=P。，已知長方形的面積是2008平方厘

米.問：陰影三角形4PD的面積是多少平方厘米？

PP

【答案】502平方厘米

【分析】連結DE和PE,五邊形ABCPD關于PE是軸對稱圖形，所以4D∣∣PE,根據(jù)等積

變形陰影面積等于△AED的面積也就是長方形ABCD面積的一半的一半，所以

S陰影=2008÷2÷2=502（平方厘米）.

39.如下圖所示，在長方形4BCD中，EF||AB,GH||AD,EF與GH相交于O,HC與EF相

交于/.已知AH:=4E:Eo=I:3,△CO/的面積為9平方厘米，求長方形ABCD的面積.

【答案】128平方厘米

【分析】如下圖所示，連接G/,顯然4GO/的面積=ACO/的面積=9平方厘米，于是△

，。/的面積=3平方厘米，所以AHOC的面積=12平方厘米.

因此△OGC的面積=36平方厘米，于是長方形OFCG的面積=72平方厘米，

從而$\text｛長方形$HBFO$的面積｝=?text｛長方形$EOGD$的面積｝=24$平方厘米，長方形

4H0E的面積=8平方厘米.

故長方形ABCD的面積為8+24+24+72=128（平方厘米）.

40.如圖，在平行四邊形ABCO中，EF平行于AC,連結BE、AE.CF.BF.那么與ABEC

等積的三角形有哪幾個三角形？

【答案】SABEC=S44EC=SAAFC=SAnBF

【分析】因為ABllC0,所以SABEC=SMEC，因為AD?parallelBC,所以S“FB=SAAFc，

因為EFIlAC,所以SAAEC=SA4FC?即SABEC=SAAEC=SfFC=SM8F?

41.你有什么方法將任意一個三角形分成6個面積相等的三角形？

【答案】見解析.

42.如圖，梯形48CD中，共有幾個三角形？其中面積相等的三角形共有哪兒對？

【答案】共8個三角形；AABC與△DBC、△48。與44?！辏尽ABOCDO.

【分析】這是一個經(jīng)典的梯形模型，共有三對三角形面積相等.根據(jù)4D平行于BC,可以

知道△48C的面積等于△8CD的面積；AABD的面積等于△4CD的面積.△ABD和△ACD

有一個共同的AAOD,所以AABO和△OCD的面積相等，我們稱梯形的兩翼面積相等.

43.正方形4BCD和正方形CEFG,如果兩個正方形的邊長分別為6和4,那么△AEG的面積

為多少?

【答案】8

【分析】

連接4C,那么4CIlGE,陰影部分的面積與三角形GCE的面積相等，為：4×4÷2=8.

44.在梯形ABCD中，E是ABDE的中點，尸是4。的中點，已知SABCE=6平方厘米,

SXABF=4平方厘米，則梯形ABDC的面積是多少平方厘米？

【答案】20平方厘米

【分析】連結AC、FC.因為E是AB的中點，所以

SAABC=2SABCE=2X6=12（平方厘米），

因為△4CF與△48F同底同高，面積相等，因為F是AD的中點，所以

?^?ΛDC=2SAACF=2X4=8（平方厘米）.

那么梯形ABCD的面積是

12+8=20（平方厘米）.

45.如圖，在AABC中，。是BC中點，E是力。中點，連結BE、CE,那么與aABE等積的

三角形一共有哪幾個三角形？

【答案】SAOBE、?^ΔDCE`SAAEC

【分析】等底等局的二角形面積相Rl,所以SAABE=SAOBE=SADCE=SAAEC.

46.用面積為1、2、3、4的4張長方形紙片拼成如圖所示的一個大長方形.問：圖中陰影部

分面積是多少？

【答案】≡

【分析】如下圖所示，大長方形面積為1+2+3+4=10,延長RA交底邊于Q,延長SB

交底邊于P,矩形ABPR面積是上部陰影三角形面積的2倍，矩形4BSQ是下部陰影三角形面

積的2倍，所以矩形RQSP的面積是陰影部分面積的2倍.

易知CA=；CC,CB="D.

37

所以4B=CB-CA=-CD--CD=-CD.

7321

因此矩形RQSP的面積是大矩形面積的?,陰影部分面積是大矩形面積的?,陰影部分面積

47.如圖，ABCO是一個直角梯形.以AO為邊長向外做一個長方形ADE凡其面積是10平方

厘米，連結BE交4。于P,再連接PC,則圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？

【答案】5平方厘米

【分析】連結BD,如下圖.因為4Dll8C,所以SAPCD=SAP80,所以陰影部分的面積等于

SbEBD,再根據(jù)尸BllED,所以陰影的面積就是長方形AFED面積的一半，即10+2=5（

平方厘米）.

48.如下圖所示，三角形AEF、三角形BD尸、三角形BCD都是正三角形，其中AE:BD=I:3,

三角形AEF的面積是L求陰影部分的面積.

【答案】15

22

【分析】S^AEF-.S^BDF=AE-.BD=1:9,△?!EF面積是1,那么SABDF=SABoC=%

因為AAEF與AACE的高之比是1:7,所以SMCE=7,因為AO與BC平行，所以SAABC=

SABCD=9，所以?^?4BC?SAAEC=B/：/E=9：7.

假設BE為16份，那么B/=9,/E=7,又知道BF:FE=3:1,所以BF=I2,FE=4,所以

22

IF=3,S“EF：SAAlF=FE:Fl=4:3,所以S^A∣F=0.75,又有S^A∣F?.S^BC∣=AF:BC=1:9,

所以SABa=6.75,于是可求陰影部分面積是(0.75+6.75)×2=15.

49.正方形HBCD和正方形CEFG,且正方形ABCD邊長為10厘米，則圖中陰影面積為多少平

方厘米？

【答案】50

【分析】方法一：三角形BEF的面積=BEXEF÷2,

梯形EFDC的面積={EF+CD）×CE÷2=BE×EF÷2=三角形BEF的面積，而四邊形

CEFH是它們的公共部分，所以，三角形DHF的面積等于三角形BCH的面積，進而可得,

陰影面積=三角形BoF的面積=三角形BCD的面積=10×10÷2=50（平方厘米）.

方法二：連接CF,那么CF平行BD,

所以，陰影面積=三角形BDF的面積=三角形BCD的面積=50（平方厘米）.

50.在邊長為6厘米的正方形ABCD內(nèi)任取一點P,將正方形的一組對邊二等分，另一組對邊

三等分，分別與P點連接，求陰影部分面積.

【答案】15平方厘米

【分析】方法一：從特殊情況考慮：讓點P與點A重合，如圖中的兩個陰影三角形的面積

分別占正方形面積的;和士所以陰影部分的面積為

46

62X（?+?）=15（平方厘米）.

方法二：從一般情況考慮：連接P4、PC,APAD與APBC的面積之和等48CD面積的一半,

上、下兩個陰影三角形的面積之和為48CD面積的；；同理左、右兩個陰影三角形的面積之和

4

等于ABCD面積的;；所以陰影部分的面積為

6

62Xɑ+?）=15（平方厘米）.

51.四邊形ABCD是一個直角梯形.以上底AD為邊向外作正方形ADE/，面積為9平方厘米,

連接BE交4。于P,再連接PC.試求圖中陰影部分的面積.

【答案】4.5平方厘米

【分析】連接BD,mADIlBC,所以，S“DC=S“BD，由于BFIlDE,所以SABDE=

S^ade,所以陰影部分的面積和三角形4DE的面積相等，為9÷2=4.5（平方厘米）.

52.在長方形NoPQ中，NQ=I5厘米，N。=8厘米，四邊形STUR的面積是9平方厘米,

求陰影的面積是多少？

【答案】69平方厘米

【分析】長方形NoPQ的面積是15x8=120（平方厘米），空白的面積是

SANTP+SAOTQ-S四STUR=120÷2-9=51（平方厘米），那么陰影的面積是120-51=69（

平方厘米）.

53.在圖中，正方形力。EB和正方形ECFG底邊對齊，兩個正方形邊長分別為6和4.三角形

BDF的面積是多少？

【答案】18

【分析】連接FE,則三角形BFO的面積與三角形DoE的面積相等.則圖中陰影部分的面

積為正方形力BoE面積的一半，為6x6+2=18.

54.如圖，正方形的邊長是10厘米，圖中陰影部分的面積是40平方厘米，四邊形ABCD的面

積是多少平方厘米？

【答案】10

【分析】根據(jù)等積變形有

SXGEB=SAHEB，

而SAHFB+SAHEB與陰影部分面積相比多了中間四邊形的面積，所以

SABCD=50-40=10（平方厘米）.

55.如圖，兩個正方形擺放在一起，其中大正方形邊長為12,那么陰影部分面積是多少？（IT

取3.14）

【答案】陰影部分面積為113.04.

【分析】方法一：設小正方形的邊長為ɑ,則三角形ABF與梯形48CD的面積均為

(Q+12)×ɑ÷2.

陰影部分為：

大正方形+梯形-三角形ABF-右上角不規(guī)則部分

=大正方形-右上角不規(guī)則部分

1L

=；圓,

4

因此陰影部分面積為：

3.14×12×12÷4=113.04.

方法二：

連接AC、DF,設4F與CD的交點為M,由于四邊形ACDF是梯形，根據(jù)梯形蝴蝶模型有

SAADM=SACMF，所以

S陰影=S扇形DCF=3.14×12×12÷4=113.04.

56.如圖所示，ED垂直于等腰梯形力BCD的上底AC,并交BC于G,AE平行于BO,

?DCB=45",且三角形ABD和三角形EDC的面積分別是75、45,那么三角形4ED的面積

是多少？

【答案】30

【分析】已知的ACDE的底邊是ED,高是CG；所求的△4ED的底邊是ED,高是4D；它

們有公共的底邊ED.另一個己知的三角形是A4BD,如果能找到一個以ED為底邊的三角形,

它的面積等于△ABD的面積，那么底邊ED就成了這三個三角形的公共底邊.

如圖1,連結BE.由于AEIlB0,把AABD作等積變換，變成ABDE,此時△8。E以OE

為底邊以BG為高，且面積是75.這樣一來，這3個三角形有相同的底邊。E.于是來看看它

們的高BG、CG、4。之間有什么關系.

由于四邊形力BCD是等腰梯形，如圖2所示，再作分別從4、。出發(fā)與BC垂直的垂線4H、

DG.

困2

容易看出，BH=GC,AD=HG,因此BG=BH+HG=GC+AD.

在等式兩邊同時乘以DE÷2,可得BG×DE÷2={GC+AD)×DE÷2.

用乘法分配律得BG×DE÷2=GC×DE÷2+AD×DE÷2.

而SKBDE=BGXDE+2,SΔDEC=CG×DE÷2,SXAED=AD×DE÷2,因此所求的三角形的面

積就是75-45=30.

57.如圖所示，大正方形的邊長是10厘米，小正方形的邊長是8厘米.求陰影部分的面積.

⑵

【答案】（1）50平方厘米；（2）32平方厘米.

【分析】（1）如圖，連小正方形對角線，兩個正方形對角線平行，所以陰影三角形與大正

方形左半個等腰直角三角形同底（共同的底為大正方形對角線）等高、面積相等，等于大正方

形面積的一半，為50平方厘米.

⑴

（2）如圖，連大正方形對角線，兩個正方形對角線平行，所以陰影三角形與小正方形右半個

等腰直角三角形同底（共同的底為小正方形對角線）等高、面積相等，等于小正方形面積的一

半，為32平方厘米.

⑵

58.如圖，有三個正方形的頂點0、G、K恰好在同一條直線上，其中正方形GFEB的邊長為

16厘米，求陰影部分的面積.

【答案】256平方厘米.

【分析】如圖所示，連接FK、GE、BD,

則這三條線互相平行，可以得到

SADGE=SAGBESAGEK-SXGEF?

所以陰影部分的面積就等于中間正方形的面積即為

S陰影=16×16=256（平方厘米）.

59.在圖中，正方形ADEB和正方形ECFG底邊對齊，兩個正方形邊長分別為6和4.陰影三

角形ACG的面積是多少？

【答案】8

【分析】根據(jù)題意，連接E4則根據(jù)等積變形，三角形4G。的面積與三角形EoC的面積

相等，所以陰影部分面積為正方形GFCE的一半，即為：4×4÷2=8.

60.E.M分別為直角梯形ABCO兩邊上的點，且。Q、CP、ME彼此平行，若4。=5,BC=

7,AE=5,EB=3.求陰影部分的面積.

A

Q

E

B

P

【答案】25

【分析】連接CE、DE.由于DQ、CP、ME彼此平行，所以四邊形CDQP是梯形，且ME

與該梯形的兩個底平行，那么三角形QME與DEM、三角形PME與CEM的面積分別相等，

所以三角形PQM的面積與三角形CDE的面積相等.而三角形CDE的面積根據(jù)已知條件很容

易求出來.由于ABCD為直角梯形，且力。=5,BC=7,AE=5,EB=3,所以三角形

CDE的面積為：

Ill

(5+7)X(5+3)×——5×5×——3×7×—=25.

所以三角形PQM的面積為25.

61.如圖，ABC是等腰直角三角形，。是半圓周的中點，BC是半圓的直徑.已知48=BC=

10,那么陰影部分的面積是多少？（n取3.14）

【答案】32.125

【分析】連接PO、AP.BD,如圖，PD平行于48,則在梯形ABDP中，對角線交于M點,

那么AABD與AABP面積相等，則陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為AABP與圓內(nèi)的小弓形的面積和.

△ABP的面積為：

10×(10÷2)÷2=25;

弓形面積：

3.14×5×5÷4-5×5÷2=7.125;

陰影部分面積為：

25+7.125=32.125.

62.如圖所示，梯形ABCE是由正方形ABC。和等腰直角三角形CDE構成.已知等腰直角三角

形的斜邊是10厘米，那么△BCE面積是多少平方厘米？

【答案】25平方厘米.

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的斜邊，可以知道等腰直角三角形和正方形的面積分別是25

平方厘米和50平方厘米.

方法一：ABCE的面積是正方形面積的一半，所以ABCE的面積是25平方厘米；

方法二：連結BD,CE和等腰直角三角形是同高等底的兩個三角形，所以面積相等，則4

BCE的面積也是25平方厘米.

63.如圖，BD是梯形ABCD的一條對角線，線段