2023年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編四十六-綜合型問題

一、選擇題

1.（2023江蘇蘇州）如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2,0）、（0,2）,G）C的圓心坐標(biāo)為（一1,

0）,半徑為1.假設(shè)D是。C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段DA與y軸交于點(diǎn)E,那么AABE面

積的最小值是

C2應(yīng)

A.2B.1D.2-y/2

2

【答案】C

2.（2023湖北十堰）如圖，點(diǎn)C、。是以線段AB為公共弦的兩條圓弧的中點(diǎn)，AB=4,點(diǎn)E、

F分別是線段CD，AB上的動(dòng)點(diǎn),設(shè)AF=X,AE2-FE1=y,那么能表示y與X的函數(shù)關(guān)

系的圖象是（)

（第10題）（第10題分析圖）

A.C.D.

【答案】C

3.（2023重慶江津）如圖，等腰RtZ?ABC（ZACB=90°）的直角邊與正方形DEFG的邊

長均為2,月.AC與DE在同一直線上，開始時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，讓AABC沿這條直線向右

平移，直到點(diǎn)A與點(diǎn)E重合為止.設(shè)CD的長為X,Z?ABC與正方形DEFG重合局部（圖

中陰影局部）的面積為y,那么y與X之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）

【答案】A

二、填空題

1.（2023浙江寧波）如圖，OP的半徑為2,圓心P在拋物線y=gχ2-i上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)。P

與X軸相切時(shí)，圓心尸的坐標(biāo)為上.

【答案】（痣,2）或（-指,2）（對一個(gè)得2分）

三、解答題

1.（2023安徽蕪湖）（本小題總分值14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一矩形A3C。,

其頂點(diǎn)為A[0,1）、8（-3√3,1）＞C[-3√3,0）,O[0,0）.將此矩形沿著過E

（-√3,?）?F（一羋，0）的直線EF向右下方翻折，B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為8'、

C.

（1）求折痕所在直線E尸的解析式；

（2）一拋物線經(jīng)過8、E、B1三點(diǎn)，求此二次函數(shù)解析式；

（3）能否在直線Er上求一點(diǎn)P,使得APBC周長最小？如能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不

能，說明理由.

【答案】

2.（2023廣東廣州，24,14分）如圖，OO的半徑為1,點(diǎn)尸是O。上一點(diǎn)，弦A8垂直平

分線段OP,點(diǎn)。是APB上任一點(diǎn)〔與端點(diǎn)A、3不重合），Z）EJ_AB于點(diǎn)E,以點(diǎn)。為圓

心、OE長為半徑作。。，分別過點(diǎn)A、8作。。的切線，兩條切線相交于點(diǎn)C.

（1）求弦AB的長；

（2）判斷N4C8是否為定值，假設(shè)是，求出NAeB的大??；否那么，請說明理由；

（3）記aABC的面積為S,假設(shè)/方=4有，求AABC的周長.

DE2

C

【答案】解：（1）連接。A,取OP與AB的交點(diǎn)為尸，那么有OA=1.

,.?弦AB垂直平分線段0P,：.OF=-OP=-,AF=BF.

22

在RtAOA尸中，"：AF=y]θA2-OF2=Jl2-(?)2=?,ΛΛS=2AF=√3.

(2)/AC3是定值.

理由：由(1)易知，NAOB=120。，

因?yàn)辄c(diǎn)。為△ABC的內(nèi)心,所以,連結(jié)A￡>、3￡>,那么NC48=2NoAE,∕C3A=2∕Q3A,

因?yàn)?D4E+/O54=」NAO8=60。，所以∕CAB+∕C8A=120。，所以NAC8=60。；

2

(3)記AABC的周長為/,取AC,BC與。。的切點(diǎn)分別為G,H,連接。G,DC,

DH,那么有QG=OH=QE,DGlAC,DHLBC.

??S=SΔΛBD+SΔACz)+SgCD

=-AB?DE+-BC?DH+-AGoG=-(AB+BC+AQ?E>E=-l?DE.

22222

?-1.DE

":~丁=4E,.?.∕=8>ΛDE.

DE2DE2

"."CG,C”是。。的切線，NGCo=INACB=30。，

2

/.在Rt?CGD中，CG=-DG==√3DE,；.CH=CG=后DE.

tan30√3

T

又由切線長定理可知4G=AE,BH=BE,

.,.l=AB+BC+AC=2y∕3+2√3DE=8√3D￡,解得OE=」，

3

,△ABC的周長為生叵.

3

3.（2023江蘇南京）（8分）如圖，正方形ABCD的邊長是2,M是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E從點(diǎn)

A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，連接EM并延長交射線CD于點(diǎn)F,過M作EF的垂線交

射線BC于點(diǎn)G,連結(jié)EG、FGo

（1）設(shè)AE=X時(shí)，AEGF的面積為y,求y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量X的取值

范圍；

（2）P是MG的中點(diǎn)，請直接寫出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線的長。

【答案】

4.（2023江蘇南通）（本小題總分值12分）

如圖，在矩形ABCo中，AB=,"（,"是大于0的常數(shù)），BC=S,E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（不

與8、C重合）.連結(jié)DE,EFLDE,EP與射線BA交于點(diǎn)F,設(shè)CE=x,BF=y.

（1）求y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式；

（2）假設(shè)團(tuán)=8,求X為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？

（3）假設(shè)y=U,要使△￡>￡尸為等腰三角形，根的值應(yīng)為多少？

m

（第27題）

【答案】⑴在矩形ABCO中，ZB=ZC=RtZ,

???在RtFE中，Zl+ZβFE=90o,

又9：EF±DE：.Zl+Z2=90o,/.Z2=ZBFE,：.Rt?BFE^RtΔCED

BFBEy8-X8X-Λ2

.φ.—=——即ππ—=----???y=-------------

CECDXmm

βV—χ21?

⑵當(dāng)〃7=8時(shí)，y=----------,化成頂點(diǎn)式：丁=一上（X—4）-+2,

88

???當(dāng)工=4時(shí)，y的值最大，最大值是2.

1?Qv-元2

⑶由），=&，及>=—得X的方程：X2-8Λ+12=0,得，玉=2;々=6,

mm

???ADEF中ZFED是直角，

.?.要使△￡)￡尸是等腰三角形，那么只能是EF=E。，

此時(shí)，Rt?BFE^RtΔCED,

當(dāng)EC=2時(shí)，m=CD=BE=6;

當(dāng)EC=6時(shí)，In=CD=BE=2.

即加的值應(yīng)為6或2時(shí)，ZXOE尸是等腰三角形.

5.(2023江蘇南通)1本小題總分值14分)

拋物線y=αχ2+bχ+c經(jīng)過A(—4,3)、B(2,0)兩點(diǎn)，當(dāng)廣3和產(chǎn)一3時(shí)，這條拋

物線上對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等.經(jīng)過點(diǎn)C(0,-2)的直線/與X軸平行，。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求直線AB和這條拋物線的解析式；

(2)以A為圓心，AO為半徑的圓記為。A,判斷直線/與。A的位置關(guān)系，并說明理

由；

(3)設(shè)直線AB上的點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為一1,P{m,〃)是拋物線y=0√+?r+c上的動(dòng)

點(diǎn)，當(dāng)

△尸。0的周長最小時(shí)，求四邊形C。。P的面積.

y

4

3

2

1

-4-3-2-101234X

-1-

(第28題)

【答案】(1)因?yàn)楫?dāng)尸3和廣一3時(shí)，這條拋物線上對?應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，故b=0.

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,把A(-4,3)、B(2,0)代入到y(tǒng)=0χ2+?r+c,得

1

。+

16c=3,解,得/《

4a+c=0.

C=-L

這條拋物線的解析式為尸泊.

設(shè)直線A8的解析式為y=fcv+b,把A(—4,3)、B(2,0)代入到y(tǒng)=fcv+b,得

解得卜T

r-4k+b=3,

2女+0=0.

b=l.

.?.這條直線的解析式為y=-；x+l.

(2)依題意，OA=序方=5.即。A的半徑為5.

而圓心到直線/的距離為3+2=5.

即圓心到直線/的距離=。A的半徑，

，直線/與。A相切.

(3)由題意，把k-1代入產(chǎn),x+l,得產(chǎn)士，即。(-1,-).

2'22

由(2)中點(diǎn)A到原點(diǎn)距離跟到直線產(chǎn)-2的距離相等，且當(dāng)點(diǎn)A成為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

時(shí)，仍然具有這樣的性質(zhì)，于是過點(diǎn)。作。直線/于H,交拋物線于點(diǎn)尸，此時(shí)易得D”

是。點(diǎn)到/最短距離，點(diǎn)尸坐標(biāo)(-1,--)此時(shí)四邊形PDOC為梯形，面積為

48

6.(2023江蘇鹽城)(此題總分值12分)如圖1所示，在直角梯形ABCo中，AD//BC,

ABLBC,NDCB=75。,以Cf)為一邊的等邊4Z>CE的另一頂點(diǎn)E在腰AB上.

(1)求NAEf)的度數(shù)；

(2)求證：AB=BC;

(3)如圖2所示，假設(shè)尸為線段CO上一點(diǎn)，ZFBC=30o.

DF

求定的值.

【答案】

7.(2023山東煙臺(tái))(此題總分值14分)

如圖，拋物線y=x>bχ-3a過點(diǎn)A(1,0),如0,-3),與X軸交于另一點(diǎn)C。

(1)求拋物線的解析式；

(2)假設(shè)在第三象限的拋物線上存在點(diǎn)P,使APBC為以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的直角三角

形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，在拋物線上是否存在一點(diǎn)Q,使以P,Q,B,C為頂點(diǎn)的四邊形為直角

梯形？假設(shè)存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由。

【答案】

8.(2023四川涼山)：拋物線y=czχ2+∕u+c(αkθ),頂點(diǎn)C(I,-4),與X軸交于A、B兩

點(diǎn)，A(TO)O

(1)求這條拋物線的解析式;

(2)如圖，以A8為直徑作圓，與拋物線交于點(diǎn)O,與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)尸，依

次連接A、D、B、E,點(diǎn)。為線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(。與A、B兩點(diǎn)不重合)，

過點(diǎn)。作QE_LAE于F,。6，。3于6,請判斷”+變是否為定值;

BEAD

假設(shè)是，請求出此定值，假設(shè)不是，請說明理由；

（3）在（2）的條件下，假設(shè)點(diǎn)”是線段EQ上一點(diǎn)，過點(diǎn)H作MNLEQ,MN分

別與邊AE、6E相交于A/、N,（Λ∕與4、E不重合，N與E、8不重合），

QAEM

請判斷為=是否成立；假設(shè)成立，請給出證明，假設(shè)不成立，請說明理

QBEN

由。

【答案】

9.（2023四川眉山）如圖，RfZVlBO的兩直角

邊OA、OB分別在X軸的負(fù)半軸和y軸的正

半軸上，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)

分別為（一3,0）、（0,4）,拋物線

9

y=-χ2+fer+c經(jīng)過B點(diǎn)，且頂點(diǎn)在直線

3

5卜

X=—上.

2

（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）假設(shè)AOCE是由Z?ABO沿X軸向右平

移得到的，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí),

試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線

上，并說明理由；

第26題圖

（3）假設(shè)M點(diǎn)是CD所在直線下方該拋物

線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN平行于y軸交Cn于點(diǎn)M設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為f,

MN的長度為/.求/與r之間的函數(shù)關(guān)系式，并求/取承環(huán)：值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo).

解:

?521921">

所求函數(shù)關(guān)系式為：y=-(χ--)--=-χ~^-χ+4..............(4分)

3263

(2)在RfAABO中，OA=3,0B=4,

：.AB=yJθA2+OB2=5

Y四邊形ABCD是菱形

：.BC=CD=DA=AB=S....................................................（5分）

??.C、。兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（5,4）、（2,0）.....................（6分）

當(dāng)x=5時(shí)，y≈-×52--×5+4≈4

33

2ι∩

當(dāng)x=2時(shí)，V=-×22---×2+4=0

33

.?.點(diǎn)C和點(diǎn)。在所求拋物線上.......................（7分）

（3）設(shè)直線CO對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=履+6,那么

48

解得：Λ=-,

33

.*.y=-x--...........（9分）

33

，軸，M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為E,

???N點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為t.

那么為=?∣，一∕f+4,%=H,..................................（10分）

,「_48214202,7、23

J=YN-YM=~Z-^-t2÷—t----=一一Q——)+—

333322

273

V——<0,I.當(dāng)￡=一時(shí)，J夫=一

32最人2

此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（[，-）.......................................................（12分）

22

10.12023浙江杭州）（本小題總分值12分）

在平面直角坐標(biāo)系X。）'中，拋物線的解析式是y=L/+],（第24題）

4

點(diǎn)C的坐標(biāo)為（Y,0）,平行四邊形OABC的頂點(diǎn)A,B在拋物

線上，AB與y軸交于點(diǎn)M,點(diǎn)Q（x,y）在拋物線上，點(diǎn)

PQ,0）在X軸上.

（1）寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)四邊形CMQP是以MQ,PC為腰的梯形時(shí).

①求f關(guān)于X的函數(shù)解析式和自變量X的取值范圍；

②當(dāng)梯形CMQP的兩底的長度之比為1：2時(shí)，求r的值.

【答案】

（本小題總分值12分）

（1）；OABC是平行四邊形，ΛAB√OC,且AB=OC=4,（第24題）

VA,B在拋物線上，y軸是拋物線的對稱軸，

.?.A,B的橫坐標(biāo)分別是2和-2,

1,

代入y=-X+1得，A（2,2）,B（-2,2）,

4

.?.M（0,2）,—2分

⑵①過點(diǎn)Q作。HLC軸，設(shè)垂足為H,那么HQ=y,HP=XT,

yχ-l

由a∕∕QPs4θMC,得：-=——，即：t=x-2y,

24

?.?Q(xj)在y=上，Λ/=-??2+X-2.■一2分

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，梯形不存在，此時(shí)，r=-4,解得X=I土布,

當(dāng)Q與B或A重合時(shí)，四邊形為平行四邊形，此時(shí)?，X=±2

.?.x的取值范圍是m1±√5,?Λ*±2的所有實(shí)數(shù).-2分

②分兩種情況討論：

1)當(dāng)CM>PQ時(shí)，那么點(diǎn)P在線段OC上，

?,CM∕∕PQ,CM=IPQ,

.?.點(diǎn)“縱坐標(biāo)為點(diǎn)?？v坐標(biāo)的2倍，即2=2(!/+]),解得χ=o,

4

1,

.I=-—0~+O-2=-2.

2

一2分

2)當(dāng)CM<PQ時(shí)，那么點(diǎn)P在OC的延長線上，

tCCM//PQ,CM=?pɑ,

1

2

即X

???點(diǎn)Q縱坐標(biāo)為點(diǎn)M縱坐標(biāo)的2倍,4-+1=2×2,解得：x=±2√3.

—2分

當(dāng)工=_26時(shí)，W∕=-?（2√3）2-2√3-2=-8-2√3,

2

當(dāng)X=2當(dāng)時(shí)，得t-2V3-8.---2

分

∏.(2023浙江寧波)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，DABCO的頂點(diǎn)A的

坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)

。的坐標(biāo)為(0,26)，點(diǎn)B在X軸的正半軸上，點(diǎn)E為線段AZ)的中點(diǎn)，過點(diǎn)E的直

線/與X軸交于點(diǎn)凡與射線。C交于點(diǎn)G.

(1)求/OCB的度數(shù)；

(2)當(dāng)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-4,0)時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

(3)連結(jié)OE,以O(shè)E所在直線為對稱軸，AOEF經(jīng)軸對稱變換后得到AOEF,記直線EF'

與射線QC的交點(diǎn)為”.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)H的左側(cè)時(shí)，求證：∕?DEGsADHE;

②假設(shè)AEHG的面積為3百，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo).

（圖2）

（圖1）

【答案】

解：(1)?RtAAOD中,

Zλ92√3∕τ

u*tanADAO=-----=-------=√3

AO2

.?.ND45=60°.2分

???四邊形ABCo是平行四邊形

，NDCB=∕DAB=60°3分

(2)Y四邊形ABCO是平行四邊形

.?CD∕∕AB

：.NDGE=∕AFE

又?：∕DEG=∕AEF,DE=AE

.β.?DEG^?AEF4分

JDG=AF

?*AF=OF-OA=4-2=2

：.DG=2

???點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2,2√3)6分

(3)@"：CD//AB

：.ZDGE=ZOFE

":Δ0EF經(jīng)軸對稱變換后得到AOEF

/OFE=NOFE7分

ZDGE=ZOF,E

在RtZXAOO中，是4。的中點(diǎn).,.OE=-AD=AE

2

又?.?∕EAO=60°

.,.ZEOA=60°,NAEO=60°

又?//EOF'=/EOA=60°

ZEOF,=ZOEA

.".AD∕∕OF,8分

ΛAOF'E=ZDEH

：.NDEH=NDGE

又,：NHDE=NEDG

XDHEMDEG9分

②點(diǎn)尸的坐標(biāo)是B(—√il+l,O),F2(-√13-5,0).12分

(給出一個(gè)得2分)

對孑此小題，我們提供如下詳細(xì)解答，對學(xué)生無此要求.

過點(diǎn)E作EML直線CD于點(diǎn)M,

9：CD//AB

：.^EDM=^DAB=60°

￡M=￡>￡-sin60o=2×-=√3

2

,.?S-H=；.GH?ME=g?GH忑=3出

：.GH=6

?/∕?DHE^∕?DEG

...DEL=DH_即de2=DG?DH

DGDE

當(dāng)點(diǎn)”在點(diǎn)G的右側(cè)時(shí)，設(shè)。G=X,OH=X+6

/.4=x(x÷6)

=

解得：x1——3÷J13,X2-3—?χ∕13(舍)

〈ADEG@AAEF

ΛAF=DG=-3+√13

,/OF=AO+AF=-3+√13+2=√13-1

.?.點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(―JiM+ι,0)

當(dāng)點(diǎn)〃在點(diǎn)G的左側(cè)時(shí)，設(shè)。G=X,DH=X-6

.*.4=x(x—6)

解得：%,=3+√13,Λ2=3-√13(舍)

?：XDEG//XAEF

ΛAF=DG=3+√13

,/OF=AO+AF=3+√13+2=√13+5

.?.點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(―而一5,0)

綜上可知，點(diǎn)尸的坐標(biāo)有兩個(gè)，分別是K(-JH^+1,0),F2(-√13-5,0).

2

12.(2023浙江紹興〕如圖,設(shè)拋物線G:y=α(x+I)?-5,C2:y=-a(x-l)+5,Cl與C2

的交點(diǎn)為A,B,點(diǎn)、A的坐標(biāo)是(2,4),點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是一2.

(1)求。的值及點(diǎn)8的坐標(biāo)；

⑵點(diǎn)。在線段AB上,過。作X軸的垂線,垂足為點(diǎn)H,

在OH的右側(cè)作正三角形。HG記過C2頂點(diǎn)M的

直線為1,且/與X軸交于點(diǎn)M

①假設(shè)/過aOHG的頂點(diǎn)G,點(diǎn)D的坐標(biāo)為

(1,2),求點(diǎn)N的橫坐標(biāo)；

②假設(shè)/與△￡>//G的邊QG相交,求點(diǎn)N的橫

坐標(biāo)的取值范圍.

【答案】

解：⑴

?.?點(diǎn)A(2,4)在拋物線C1上，；.把點(diǎn)A坐標(biāo)代入y:

拋物線C∣的解析式為y=x2+2x-4,

設(shè)B(—2,?)>：.b=-4,8(—2,—4).

第24題囤

⑵①如圖1,

VM(1,5),0(1,2),且。H_Lx軸，點(diǎn)M在。H上，MH=5.

過點(diǎn)G作GEVDH,垂足為E,

由△。/7G是正三角形,可得EG=百，EH=I,

/.ME=4.

設(shè)N(X,0),那么NH=Ll,

MEEG

由AMEGsAMHN,得

MH-HN'

4√3

Λx=-√3+l,

5-7≡T4

.?.點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為3√5+l?

4

②當(dāng)點(diǎn)〃移到與點(diǎn)A重合時(shí),如圖2,

直線/與。G交于點(diǎn)G,此時(shí)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)最大.

過點(diǎn)G,M作X軸的垂線,垂足分別為點(diǎn)Q,F,

設(shè)N(χ,0),

VA(2,4),ΛG(2+2√3,2),

：.NQ=X-2-2也,NF=X-1,GQ=2,M尸=5.

?/XNGQS^NMF,

?NQ_GQ

''~NF~~MF,

.x-2-2√32

??=一,

x-15

10√3+8

..X=-----------.

3

當(dāng)點(diǎn)。移到與點(diǎn)B重合時(shí),如圖3,

直線,與。G交于點(diǎn)即點(diǎn)民

此時(shí)點(diǎn)N的橫坐標(biāo)最小.

?.?B(-2,—4),.?.H(-2,0),H(-2,-4),

設(shè)N(x,0),

.NHBH

?.?ABHNSAMFN,

''~FN~14F

.x+242

??-----=—?*.X——.

1-x53

K)

???點(diǎn)N橫坐標(biāo)的范圍為二8占￥

33

13.(2023山東聊城)如圖，拋物線y=θr2+fcr+c(α≠0)的對稱軸為X=1,且拋物線經(jīng)過

A(-1,0)、C(0,一3)兩點(diǎn)，與X軸交于另一點(diǎn)B.

(1)求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)在拋物線的對稱軸x=l上求一點(diǎn)M,使點(diǎn)“到點(diǎn)A

的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對稱軸上的一動(dòng)點(diǎn)，求使NPC8=90。的點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】解：(1)：拋物線經(jīng)過點(diǎn)C(0,-3)：.C=-3,.?.y=ax2+bx-3,又拋物線

a—h—3=O9r?

經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0),對稱軸為Al,所以1b解得廠='

——=1.b=-2.

I2a

.?.拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=√-2x-3

⑵?.?點(diǎn)A(-1,0),對稱軸為X=1,；.點(diǎn)B(2,0).

設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式為產(chǎn)區(qū)+也根據(jù)題意得|一"+"=°'解得，”=一3’

b=-3.b=—3.

直線8C的函數(shù)關(guān)系式為廣一3x—3,當(dāng)戶1時(shí)，＞=—6,...點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,-6).

(3)如圖，過點(diǎn)P作PDLOC,設(shè)P(?,y),那么PE=Iy∣,DC=I-3一yI,

在RtAPEB中，PB2=22+∣γ∣2=4+y2,在RtΔPCD中PC2=1?+|—3—W=IO+6y+y2,在

Rt△(9BC中，BC2=32+32=I8,；NPCD=90°,：.PB2+PC2=BC2,Λ4+y2+10+6γ+y2=18,

整理得V+3y-2=0解得力=T+歷,y?=-3F.

22

14.(2023福建晉江)(13分)：如圖，把矩形OeR4放置于直角坐標(biāo)系中，OC=3,BC=2,

取AB的中點(diǎn)用，連結(jié)MC,把AMBC沿X軸的負(fù)方向平移OC的長度后得到

ADAO.

(1)試直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)B與點(diǎn)。在經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線上，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的該拋物線上移動(dòng)，過點(diǎn)P

作PQLX軸于點(diǎn)。，連結(jié)。P.

①假設(shè)以。、P、。為頂點(diǎn)的三角形與AOAO相似，試求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②試問在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)τ,使得ITO-T目的值最大.

【答案】

解：⑴依題意得

4

........................（3分）

⑵①?.?OC=3,BC=2,8（3,2）.

???拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，

.?.設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+hx（a≠0）

又拋物線經(jīng)過點(diǎn)M3,2）與點(diǎn)。卜|,2）

4

Q-

9a+3b-2,9-

-93解得：,2

-a--b=2=

142-3-

42

，拋物線的解析式為y=二一-±x.（5分）

93

?.?點(diǎn)P在拋物線上，

二設(shè)點(diǎn)P卜q/一∣^χ）.

4√-2χ

1）假設(shè)APQOsS4θ,那么絲=絲

?j,解得:Xl=0（舍去）或

DAAO32

2

51

Xr2―—16：

?I點(diǎn)犒詈

（7分）

422

一X------X

2）假設(shè)A。。PSAZ）A。，那么絲=￡幺X_93

,解得：M=0（舍去）或

DAAOT^2

2

9

X

22

.?.點(diǎn)尸《,6）.

（9分）

②存在點(diǎn)T,使得ITO-7?|的值最大.

拋物線y==4χ2一?士X的對稱軸為直線X=3二，設(shè)拋物線與X軸的另一個(gè)交點(diǎn)為￡,那么點(diǎn)

934

E（∣,O）....................................................[10分）

3

點(diǎn)。、點(diǎn)E關(guān)于直線x=2對稱，

4

.-.TO=TE.................................................（11分）

要使得ITO—西的值最大，即是使得ITE-用的值最大，

根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊可知，當(dāng)T、E、8三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，|TE-用的值

大.（13分）

15.(2023四川南充)拋物線y=-；/+桁+4上有不同的兩點(diǎn)￡(左+3,—二+1)和

F(-k-l,-k2+l).

(1)求拋物線的解析式.

(2)如圖，拋物線丁=-；f+法+4與X軸和y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A和B,M為AB

的中點(diǎn)，/PMQ在A8的同側(cè)以M為中心旋轉(zhuǎn)，且NPMQ=45。，MP交y軸于點(diǎn)C,MQ

交X軸于點(diǎn)￡).設(shè)AD的長為(相＞0),8C的長為“，求〃和機(jī)之間的函數(shù)關(guān)系式.

(3)當(dāng)〃?，〃為何值時(shí)，/PM。的邊過點(diǎn)F.

【答案】

11.解：(1)拋物線y=--f+8x+4的對稱軸為X=——（1分）

22×

V拋物線上不同兩個(gè)點(diǎn)后(女+3,-％2+1)和尸(_左—1,一左2+])的縱坐標(biāo)相同，...點(diǎn)后

.=y"τ,且氏?2.,拋物

和點(diǎn)尸關(guān)于拋物線對稱軸對稱，那么z

線的解析式為y=—；/+尤+4.

（2分）

(2)拋物線y=-gf+χ+4與X軸的交點(diǎn)為A[4,0),與y軸的交點(diǎn)為B(0,4),

/.A8=4√Σ,AM=BM=2垃.....（3分〕在NPMQ繞點(diǎn)M在

AB同側(cè)旋轉(zhuǎn)過程中，ZMBC=ZDAM=ZPMQ=45°,在48CM中，NBMC+NBCM

+/MBC=180°,即/B例C+∕8CM=I35°,

在直線AB上，ZBMC+ZPMQ+ZAMD=180°,即NBMC+/AMO=135。.,/BCM

=ZAMD.故△BCMS△

AMD.....（4分）

.BC即;=述，〃=號.故”和機(jī)之間的函數(shù)關(guān)系式為〃=色（加

AMAD2√2mmm

>0）.....（5分）

(3)VF(-?-l,-?2+l)在y^-^x2+x+4上，

22

Λ-?(-A:-1)+(-?-1)+4?-?+1,化簡得，左2一4k+3=0,Λ?=l,k2

=3.即Q(—2,0)或尸2(-4,-8)............(6分)①M(fèi)F過M[2,2)

2k+b=2,k=~,

和Fl(-2,0),設(shè)為y=京+Z?,那么解得，!2：.

—2k+/?=0.

h=l.

直線M尸的解析式為y=；x+l.直線M尸與X軸交點(diǎn)為（-2,0）,與y軸交點(diǎn)

Q

為（0,1〕.假設(shè)MP過點(diǎn)尸（一2,0）,那么〃=4-1=3,機(jī)=一；假設(shè)MQ

3一

4

過點(diǎn)尸（—2,0）,那么m=4—（—2）=6,n=—..........（7分）

3

_上{2k+b=2,

②MF過M（2,2）和尸I（一4,一8）,設(shè)為y=依+0,那么＜

--4k+b=-S.

R544

解得，J’4，直線M尸的解析式為J7=]%—直線MF與X軸交點(diǎn)為（二，

h=----

44

0),與y軸交點(diǎn)為(0,假設(shè)MP過點(diǎn)尸(-4,-8),那么〃=4-(--)

=—,tn=~；假設(shè)MQ過點(diǎn)F(—4,—8),那么m=4——=—,n=—.............

32552

(8分)

8m=6,

呵2

故當(dāng)43.4時(shí)，NPMQ的邊過點(diǎn)尸.

=3,?2=§，

16.（2023四川南充）如圖，Z?ABC內(nèi)接于。O,ADLBC,OELBC,OE=-BC.

2

（1）求/84C的度數(shù).

（2）將AACO沿AC折疊為44Cr,將AABD沿AB折疊為AABG,延長FC和GB相交于

點(diǎn)H.求證：四邊形AHZG是正方形.13）假設(shè)8。=6,CD=A,求AQ的長.

AA

【答案】（1）解：連結(jié)。B和OC

VOElBC,：.BE=CE.

'：OE=-BC,：.ZBOC=90o,ΛZBAC=45o.

2

(2)證明：VADlfiC,ΛZΛDB=ZADC=90o.由折疊可知，AG=AF=AO,/AGH=

NAFH=9?！?NBAG=NBAD,ZCAF=ZCAD,：.ZBAG+ZCAF=ZBAD+ZCAD=

ZBAC=45o.

，ZGAF=ZBAG+ZCAF+NBAC=90°./.四邊形AFHG是正方形.

(3)解：由(2)得，NBHC=90。，GH=HF=AD,GB=BD=6,CF=CD=4.設(shè)A。的

長為X,那么BH=GH—GB=X—6,CH=HF~CF=x-4.在RtZ?8C”中，BH1+CH1

222

=BU,：.(χ-6)+(χ-4)=10.解得，x∣=12,x2=~2(不合題意，舍去).,AO

=12.

1k

17.（2023山東濟(jì)南）如圖,直線y=—X與雙曲線y=—（氏＞0）交于A,8兩點(diǎn)，且點(diǎn)

2X

A的橫坐標(biāo)為4.

⑴求攵的值;

k

(2)假設(shè)雙曲線y=±(Z>O)上一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8,求AAOC的面積；

X

k

(