基于單個(gè)均值檢驗(yàn)的第二類錯(cuò)誤成因及計(jì)算

期末研究學(xué)習(xí)論文

基于單個(gè)均值檢驗(yàn)的第Ⅱ類錯(cuò)誤成因及計(jì)算姓名：教師：時(shí)間：2013.12基于單個(gè)均值檢驗(yàn)的第Ⅱ類錯(cuò)誤成因及計(jì)算摘要在統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)中,不可避免會(huì)遭遇兩種類型的錯(cuò)誤:第Ⅰ類錯(cuò)誤（拒真錯(cuò)誤）與第Ⅱ類錯(cuò)誤（納偽錯(cuò)誤）?？梢哉J(rèn)為，第一類錯(cuò)誤由檢驗(yàn)中的實(shí)際推斷原理引起，第二類錯(cuò)誤由檢驗(yàn)中的邏輯謬誤引起。第一類錯(cuò)誤出現(xiàn)的概率為顯著性水平，即小概率事件發(fā)生的概率。第二類錯(cuò)誤的計(jì)算方法是闡述的重點(diǎn)，也是在解決這一問題上與目前的方法不一致的地方。本文基于對單個(gè)均值的檢驗(yàn)，著重分析了第Ⅱ類錯(cuò)誤的成因、能否計(jì)算及如何計(jì)算。本文發(fā)現(xiàn)，犯第Ⅰ類錯(cuò)誤的概率為,是可以控制的；而另一方面，由于非真狀態(tài)不唯一，真實(shí)分布的未知，的數(shù)值通常是不可控制。一般地，的數(shù)值也與顯著性水平，樣本容量，真實(shí)參數(shù)的值有密切關(guān)系。特別地，的數(shù)值隨著真實(shí)和原假設(shè)中的偏離程度而變化，越小，犯第Ⅱ類錯(cuò)誤的值會(huì)顯著增大。本文傾向于認(rèn)為的數(shù)值在實(shí)際情況中是不能計(jì)算的。事實(shí)上，當(dāng)且僅當(dāng)真實(shí)已知，才能計(jì)算得到的精確值，這與樣本方差是否看作一個(gè)統(tǒng)計(jì)量相關(guān)性不大（這種情況可用檢驗(yàn)解決）。而在這種情況下，已然是個(gè)已知數(shù)，那么也無從談起進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。對于將作為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，我們得到了其分布，可求得其方差為（為修偏系數(shù)）當(dāng)時(shí)，隨著修偏系數(shù)，，用樣本數(shù)據(jù)代替誤差將越來越小關(guān)鍵詞：假設(shè)檢驗(yàn)，第Ⅱ類錯(cuò)誤，修偏系數(shù)，成因，計(jì)算四、第Ⅱ類錯(cuò)誤概率值的計(jì)算4.1與已知，檢驗(yàn)設(shè)其中已知,接受原假設(shè)時(shí)所犯第二類錯(cuò)誤的值:若檢驗(yàn)的顯著水平為，易知其拒絕域?yàn)轱@然，拒絕域所犯第I類錯(cuò)誤的概率為。若考慮第Ⅱ類錯(cuò)誤，則由基本公式:以下以實(shí)例進(jìn)行說明.例4.1已知某公司員工收入服從正態(tài)分布?，F(xiàn)作50人的抽樣調(diào)查，人均收人的結(jié)果，元.求接受原假設(shè)時(shí)所犯第二類錯(cuò)誤的值.解：這是一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)的問題，總體，待檢驗(yàn)的原假設(shè)與備擇假設(shè)分別為：這是一個(gè)雙側(cè)檢驗(yàn)問題，檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?取顯著性水平，查表知.則可得接受域的臨界值:是對于真實(shí)總體來說，樣本均值為的部分(圖1的陰影部分)，都將誤認(rèn)為而被接受。這部分面積就是犯第二類錯(cuò)誤的數(shù)值:圖14.2未知，已知，檢驗(yàn)回到期末研究學(xué)習(xí)問題上來，當(dāng)未知時(shí)，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差替換，這就形成了檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：當(dāng)時(shí)，.此時(shí)接受原假設(shè)時(shí)所犯第二類錯(cuò)誤的值：4.3小結(jié)表1：在已知情況下正態(tài)總體的第二類錯(cuò)誤概率檢驗(yàn)法條件原假設(shè)備擇假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)已知檢驗(yàn)未知五、第Ⅱ類錯(cuò)誤概率值影響因素分析由前結(jié)果便可分析比較得到與、與n之間的關(guān)系。現(xiàn)以已知情況下雙側(cè)檢驗(yàn)為例說明：此時(shí)，,（）5.1隨的減少而增大這是因?yàn)椋?dāng)與n確定時(shí):為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)。由的性質(zhì)可知，越大值越小，已知，，所以,是關(guān)于的單減函數(shù)，隨的減少而增大。5.2隨n的增大而減少是關(guān)于n的單減函數(shù)，隨n的增大而減少。5.3隨的減少而增大所以是的嚴(yán)格增函數(shù)。而從正態(tài)分布的性質(zhì)知，又是的嚴(yán)格減函數(shù)，于是是的嚴(yán)格減函數(shù)。這就表明，當(dāng)樣本容量n不變時(shí)，要減少犯第一類錯(cuò)誤的概率，必將導(dǎo)致犯第二類錯(cuò)誤的概率的增大。六、第Ⅱ類錯(cuò)誤概率值計(jì)算的反思6.1關(guān)于回到原題目，“但另一部分同學(xué)則認(rèn)為，由于右端表達(dá)式中，是一統(tǒng)計(jì)量，是隨機(jī)變量，不能用樣本數(shù)據(jù)來代替，此問應(yīng)從長計(jì)宜。”將作為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，那么可用一個(gè)概率分布去描述。以下是對概率密度函數(shù)的理論推論：設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本，其樣本方差為。由定理可得，,其密度函數(shù)為為嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，則有從而這說明不是的無偏估計(jì)。令，稱為修偏系數(shù)，表2結(jié)出了的部分取值，則，可以證明,當(dāng)時(shí)，有，這說明是的漸近無偏估計(jì)，同時(shí)在樣本容量較大時(shí)，，說明這時(shí)用樣本數(shù)據(jù)代替誤差將會(huì)幾乎為零。表2：正態(tài)標(biāo)準(zhǔn)差的修偏系數(shù)表51.063891.0317131.021021.253361.0509101.0281141.019431.128471.0424111.0253151.018041.085481.0362121.0230161.01686.2關(guān)于回到例4.1，我們已經(jīng)得到當(dāng)，在顯著性水平時(shí)，現(xiàn)令，同理可計(jì)算得到：可見的值在減小5便增長了10倍左右。不難驗(yàn)證當(dāng)時(shí)：可見當(dāng)減小到1時(shí)，已經(jīng)超過了90%！這讓筆者想到，在假設(shè)檢驗(yàn)中，是人為提到的接近已知的“理想”值了，恰恰反映了總體分布均值與理想值的偏差，偏差的范圍通常是有控制的，即給定最大偏差允許值，凡是偏差不超過這個(gè)充許值的，就應(yīng)該認(rèn)為是“允許”、“合格”或是“正?！钡?。因此，對于例4.1，當(dāng)，我們就應(yīng)該更有理由認(rèn)為就是“真實(shí)值”了，此時(shí)，便也不在存在犯第二類錯(cuò)誤的問題。從另一個(gè)角度，筆者認(rèn)為，此時(shí)的也失去了其實(shí)際意義。針對上述情況，本文提出了改進(jìn)的已知時(shí)的計(jì)算方法。依然以例4.1作說明，對于真實(shí)分布,考慮時(shí)的“理想接受域”。即將代入，則在顯著性水平時(shí)，“理想接受域”的臨界值：對于真實(shí)總體來說，樣本均值為的部分(圖2的陰影部分)，都將誤認(rèn)為而被接受。這部分面積就是犯第二類錯(cuò)誤的數(shù)值:筆者認(rèn)為此時(shí)的的數(shù)值較之前方法計(jì)算的在處理很小的情形下更合理。圖二七、結(jié)論對于：當(dāng)時(shí)，隨著修偏系數(shù)，，用樣本數(shù)據(jù)代替誤差將越來越小對于：在已知的情況下：1、犯兩類錯(cuò)誤的概率是相互有關(guān)聯(lián)的,當(dāng)樣本容量n固定時(shí),犯第一類錯(cuò)誤的概率的減小會(huì)導(dǎo)致犯另一類錯(cuò)誤的增加.2、當(dāng)零假設(shè)不真時(shí),參數(shù)的真值越接近零假設(shè)下的值時(shí),犯第二類錯(cuò)誤的概率就越大.3、要同時(shí)降低犯兩類錯(cuò)誤的概率和,或者要在保持(或)的條件下降低(或),需要增加樣本容量n.另一方面，若未知，可將依據(jù)表1列出的關(guān)系式視作的函數(shù)，這樣一來，要得到的真實(shí)值將不在可能。八、參考文獻(xiàn)【1】劉瓊蓀.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].高等教育出版社.2013【2】邱芳.統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)中的兩類錯(cuò)誤[J].濱州師專學(xué)報(bào).

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