《角平分線的性質(zhì)》教案、導學案、同步練習

《12.3第1課時角平分線的性質(zhì)》教學設計教學目標知識與技能1.能夠利用三角形全等，證明角平分線的性質(zhì)和判定．2.會用尺規(guī)作已知角的平分線．3.能利用角平分線性質(zhì)進行簡單的推理，解決一些實際問題．過程與方法經(jīng)歷探索、猜想、證明的過程，進一步發(fā)展學生的推理證明意識和能力．情感態(tài)度價值觀在探討作角的平分線的方法及角的平分線的性質(zhì)的過程中，培養(yǎng)學生探究問題的興趣，增強解決問題的信心，獲得解決問題的成功體驗，逐步培養(yǎng)學生的理性精神教學重點角平分線畫法、性質(zhì)和判定．教學難點角的平分線的性質(zhì)的探究教學準備平分角的儀器(自制)三角尺、多媒體課件等．教學過程（師生活動）設計理念創(chuàng)設情境，導入新課1.在紙上任意畫一個角，用剪刀剪下，用折紙的方法，如何確定角的平分線？2.有一個簡易平分角的儀器（如圖），其中AB=AD,BC=DC,將A點放角的頂點，AB和AD沿AC畫一條射線AE,AE就是∠BAD的平分線，為什么？復習舊知識，回憶角的平分線的定義讓學生體驗利用證明三角形全等的方法來對畫法做出說明．要求學生能說明所作的射線是角平分線的理由．探索新知，建立模型探究1.(1)從上面對平分角的儀器的探究中，可以得出作已知角的平分線的方法。已知什么？求作什么？【已知：∠AOB求作：∠AOB的平分線】(2)把簡易平分角的儀器放在角的兩邊.且平分角的儀器兩邊相等,從幾何角度怎么畫?【以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N.】(3)簡易平分角的儀器BC=DC,從幾何角度如何畫【分別以點M，N為圓心，大于二分之一MN長為半徑畫弧，兩弧在角的內(nèi)部交于點C.(4)OC與簡易平分角的儀器中,AE是同一條射線嗎?【是】(5)你能說明OC是∠AOB的平分線嗎?【提示：利用全等的性質(zhì)】探究2.(1)在已畫好的角的平分線OC上任意找一點P,過P點分別作OA、OB的垂線交OA、O于M、N,PM、PN的長度是∠AOB的平分線上一點到∠AOB兩邊的距離。量出它們的長度，你發(fā)現(xiàn)了什么？【多媒體課件動態(tài)演示(可用“幾何畫板”制作)，當拖動∠AOB平分線OC上的點P時，觀察PM、PN(PM⊥OA，PN⊥OB)度量值的變化規(guī)律.探究結(jié)果后可得到：PM⊥OA，PN⊥OB，且PM＝PN】(2)你能歸納角的平分線的性質(zhì)嗎?【角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等】(3)你能用三角形全等證明這個性質(zhì)嗎?探究3.那么若一個點到角兩邊的距離相等，這個點是否在這個角的平分線上呢？如圖，已知PD⊥OA,PE⊥OB,且PD=PE，那么P點在∠AOB的平分線上嗎？為什么？歸納：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上．從實驗中抽象出幾何模型,明確幾何作圖的基本思路和方法.培養(yǎng)學生運用直尺和圓規(guī)作已知角的平分線的能力.讓學生體驗成功在已有成功經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，繼續(xù)探究與應用，提升分析解決問題的能力并增進運用數(shù)學的情感體驗．在說理的過程中加深對角平分線性質(zhì)、判定定理的理解．解析、應用與拓展思考：如圖所示，要在S區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路、鐵路距離相等，離公路與鐵路交叉處500m，這個集貿(mào)市場應建于何處（在圖上標出它的位置，比例尺為1：20000）？問題1．集貿(mào)市場建于何處，和本節(jié)學的角平分線性質(zhì)有關(guān)嗎？用哪一個性質(zhì)可以解決這個問題？2．比例尺為1：20000是什么意思？結(jié)論：1．應該是用第二個性質(zhì)．這個集貿(mào)市場應該建在公路與鐵路形成的角的平分線上，并且要求離角的頂點500米處．2．圖中1cm表示實際距離200m的意思．作圖如下：第一步：作∠AOB的平分線OP．第二步：在射線OP上截取OC=2.5cm，確定C點，C點就是集貿(mào)市場所建地了．例題講解：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P．求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等．分析：點P到AB、BC、CA的垂線段PD、PE、PF的長就是P點到三邊的距離，也就是說要證：PD=PE=PF．而BM、CN分別是∠B、∠C的平分線，根據(jù)角平分線性質(zhì)和等式的傳遞性可以解決這個問題．鞏固練習教材50頁練習1,2發(fā)展學生應用數(shù)學的意識與能力只要作法合理，均應給予肯定．小結(jié)與作業(yè)小結(jié)提高我們學習了關(guān)于角平分線的兩個性質(zhì)：①角平分線上的點到角的兩邊的距離相等；②角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上．它們具有互逆性．與角平分線有關(guān)的求證線段相等、角相等問題，可以直接利用角平分線的性質(zhì)，而不必再去證明三角形全等來得出線段相等．通過小結(jié)歸納，完善學生對知識的梳理．布置作業(yè)1．必做題：2．選做題：本題是對所學內(nèi)容的復習，又為下節(jié)課學習做準備．《12.3第1課時角平分線的性質(zhì)》教學設計年級八年級課題角的平分線的性質(zhì)課型新授教學媒體多媒體教學目標知識技能鞏固三角形全等的性質(zhì)和判定的應用.會用不同作圖工具作已知角的平分線.掌握角平分線的性質(zhì)，并會簡單應用.了解證明幾何命題的一般步驟和格式.過程方法提高學生綜合運用三角形全等的有關(guān)知識解決問題的能力.了解我的平分線的性質(zhì)在生活、生產(chǎn)中的應用.情感態(tài)度在探究角的平分線的作法及性質(zhì)的過程中，培養(yǎng)學生探究問題的興趣，獲得解決問題的成功體驗，增強解決問題的信心.教學重點角的平分線的性質(zhì)的證明及運用.教學難點角平分線的性質(zhì)的探究.教學過程設計教學程序及教學內(nèi)容師生行為設計意圖一、情境引入1.復習角平分線的定義；2.提出問題：給定一個角，你能做出它的角平分線嗎？方法都有哪些？二、探究新知探究一：角的平分線的畫法多媒體展示：已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分線。思考：1.用圓規(guī)和直尺作已知角的平分線的依據(jù)是什么？2.在角平分線作法的第二步中，去掉“大于MN的長”這個條件行嗎3.第二步中所作的兩弧交點一定在∠AOB的內(nèi)部嗎？鞏固練習：教材第19頁練習。探究二：角的平分線的性質(zhì)實驗：1.讓學生在已經(jīng)畫好的角平分線上任取一點P.2.分別過P點向OA、OB邊作垂線PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E。3.測量PD和PE的長，觀察PD與PE的數(shù)量關(guān)系。4.再換一個新的位置比較一下，并試著說明理由。歸納角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。應用：如圖，已知中，D為BC中點，且AD恰好平分∠BAC。求證：AB=AC三、課堂訓練1.如圖，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，BE、CD相交于點O，若∠1=∠2，求證OB=OC.2.如圖，四邊形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，求證：AD=CD四、小結(jié)歸納1.用尺規(guī)作圖法作出已知角的角平分線的方法；2.角的平分線的性質(zhì)；3.角的平分線的性質(zhì)是證明線段相等的又一種方法。五、作業(yè)設計1.教材習題11.3第2、4小題；2.補充作業(yè)：①如圖，AB∥CD，∠BAC與∠ACD的平分線交于點O，OE⊥AC于E，且OE=2，求AB、CD間的距離.②如圖，在△ABC中∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于點D，DE⊥AB，垂足為E，且AB=6㎝，則△DEB的周長為_________㎝。②思考題：已知：如圖，任意中，AD為∠BAC的平分線。求證：BD∶DC=AB∶AC（提示：可參照例題［點撥］，利用面積證明）思考并回答問題。提出問題，學生自學教材19頁探究題，并獨立作∠AOB的平分線，教師巡視指導。學生思考并回答。學生做練習。學生畫圖，教師巡視指導。觀察、討論PD與PE的數(shù)量系。學生通過三角形全等，說明PD=PE。教師引導學生歸納出角的平分線的性質(zhì)。教師引導，學生思考并解題，寫出證明過程。學生充分討論，綜合運用所學知識解決問題。學生小結(jié)本節(jié)所學的知識點及知識點的應用。搞好新舊知識的銜接，創(chuàng)設問題情境。培養(yǎng)學生的自學能力，強化角平分線的畫法。培養(yǎng)學生用全等三角形解決問題的能力。鞏固用尺規(guī)作圖法作已知角的角平分線的方法。通過學生實驗得到結(jié)論，重視知識的發(fā)生發(fā)展過程。使學生明確角的平分線的性質(zhì)是證明線段相等的又一種方法。鞏固本節(jié)課所學知識及提升綜合應用所學知識解決問題的能力。從總體上把握學知識。板書設計課題11.3角的平分線的性質(zhì)一、角的平分線的作法：作已知角的角平分線例題分析二、角的平分線的性質(zhì)：教學反思22《第1課時角平分線的性質(zhì)》教案總課題全等三角形總課時數(shù)第15課時課題角的平分線的性質(zhì)主備人課型新授教學目標1．應用三角形全等的知識，解釋角平分線的原理．2．會用尺規(guī)作一個已知角的平分線．教學重點利用尺規(guī)作已知角的平分線教學難點角的平分線的作圖方法的提煉教學過程教學內(nèi)容一．提出問題，創(chuàng)設情境問題1：三角形中有哪些重要線段．問題2：你能作出這些線段嗎？三角形中有三條重要線段，它們分別是：三角形的高，三角形的中線，三角形的角的平分線．過三角形的頂點作這個頂點的對邊的垂線，交對邊于一點，頂點與垂足的連線就是這個三角形的高．取三角形一邊的中點，此中點與這個邊對應頂點的連線就是這條邊的中線．用量角器量出三角形的角的大小，量角器零度線與這個角的一邊重合，這個角一半所對應的線就是這個角的角平分線．三角形的角平分線是一條線段，而一個已知角的平分線是一條射線，這兩個概念是有區(qū)別的．如果老師手里只有直尺和圓規(guī)，你能設計一個作角的平分線的操作方案嗎？二．導入新課在∠AOB的兩邊OA和OB上分別取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB．MC與NC交于C點．求證：∠MOC=∠NOC．通過證明Rt△MOC≌Rt△NOC，即可證明∠MOC=∠NOC，所以射線OC就是∠AOB的平分線．受這個題的啟示，我們能不能這樣做：在已知∠AOB的兩邊上分別截取OM=ON，再分別過M、N作MC⊥OA，NC⊥OB，MC與NC交于C點，連接OC，那么OC就是∠AOB的平分線了．（學生思考、討論后，統(tǒng)一思想，認為可行）議一議：下圖是一個平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC．將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是角平分線．你能說明它的道理嗎？學生活動：討論操作原理．要說明AC是∠DAC的平分線，其實就是證明∠CAD=∠CAB．∠CAD和∠CAB分別在△CAD和△CAB中，那么證明這兩個三角形全等就可以了．看看條件夠不夠．所以△ABC≌△ADC（SSS）．所以∠CAD=∠CAB．即射線AC就是∠DAB的平分線．原來用三角形全等，就可以解決角相等．線段相等的一些問題．看來溫故是可以知新的．提出問題：通過上述探究，能否總結(jié)出尺規(guī)作已知角的平分線的一般方法．自己動手做做看．然后與同伴交流操作心得．（分小組完成這項活動，教師可參與到學生活動中，及時發(fā)現(xiàn)問題，給予啟發(fā)和指導，使講評更具有針對性）討論結(jié)果展示：作已知角的平分線的方法：已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分線．作法：（1）以O為圓心，適當長為半徑作弧，分別交OA、OB于M、N．（2）分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑作弧．兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點C．（3）作射線OC，射線OC即為所求．議一議：1．在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的長”這個條件行嗎？2．第二步中所作的兩弧交點一定在∠AOB的內(nèi)部嗎？（設計這兩個問題的目的在于加深對角的平分線的作法的理解，培養(yǎng)數(shù)學嚴密性的良好學習習慣）學生討論結(jié)果總結(jié)：1．去掉“大于MN的長”這個條件，所作的兩弧可能沒有交點，所以就找不到角的平分線．2．若分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫兩弧，兩弧的交點可能在∠AOB的內(nèi)部，也可能在∠AOB的外部，而我們要找的是∠AOB內(nèi)部的交點，否則兩弧交點與頂點連線得到的射線就不是∠AOB的平分線了．3．角的平分線是一條射線．它不是線段，也不是直線，所以第二步中的兩個限制缺一不可．4．這種作法的可行性可以通過全等三角形來證明．練一練：任意畫一角∠AOB，作它的平分線．三．隨堂練習：課本P50練習．練后總結(jié)：平角∠AOB的平分線OC與直線AB垂直．將OC反向延長得到直線CD，直線CD與AB也垂直．四．課時小結(jié)本節(jié)課中我們利用已學過的三角形全等的知識，探究得到了角平分線儀器的操作原理，由此歸納出角的平分線的尺規(guī)畫法，進一步體會溫故而知新是一種很好的學習方法．五．課后作業(yè)課本P51習題12．2第1、2題．課后反思《第2課時角平分線的性質(zhì)》教案總課題全等三角形總課時數(shù)第16課時課題角平分線的性質(zhì)主備人課型新授時間教學目標1．會敘述角的平分線的性質(zhì)，即“到角兩邊距離相等的點在角的平分線上”．2．能應用這兩個性質(zhì)解決一些簡單的實際問題．教學重點角平分線的性質(zhì)及其應用．教學難點靈活應用兩個性質(zhì)解決問題．教學過程教學內(nèi)容一．創(chuàng)設情境，引入新課師：請同學們拿出一張紙，自己動手，撕下一個角，把撕下的角對折，使角的兩邊疊合在一起，再把紙片展開，你看到了什么？把對折的紙片再任意折一次，然后把紙片展開，又看到了什么？生：我發(fā)現(xiàn)第一次對折后的折痕是這個角的平分線；再折一次，又會出現(xiàn)兩條折痕，而且這兩條折痕是等長的．這種方法可以做無數(shù)次，所以這種等長的折痕可以折出無數(shù)對．師：你的敘述太精彩了．這說明角的平分線除了有平分角的性質(zhì)，還有其他性質(zhì)，今天我們就來研究這個問題．二．導入新課角平分線的性質(zhì)即已知角的平分線，能推出什么樣的結(jié)論．操作：1．折出如圖所示的折痕PD、PE．2．你與同伴用三角板檢測你們所折的折痕是否符合圖示要求．畫一畫：按照折紙的順序畫出一個角的三條折痕，并度量所畫PD、PE是否等長？拿出兩名同學的畫圖，放在投影下，請大家評一評，以達明確概念的目的．[生]同學乙的畫法是正確的．同學甲畫的是過角平分線上一點畫角平分線的垂線，而不是過角平分線上一點畫兩邊的垂線段，所以同學甲的畫法不符合要求．[生甲]噢，對，我知道了．[師]同學甲，你再做一遍加深一下印象．問題1：你能用文字語言敘述所畫圖形的性質(zhì)嗎？[生]角平分線上的點到角的兩邊的距離相等．問題2：（出示投影片）能否用符號語言來翻譯“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”這句話．請?zhí)钕卤恚簩W生通過討論作出下列概括：已知事項：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E為垂足．由已知事項推出的事項：PD=PE．于是我們得角的平分線的性質(zhì)：在角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．[師]那么到角的兩邊距離相等的點是否在角的平分線上呢？（出示投影）問題3：根據(jù)下表中的圖形和已知事項，猜想由已知事項可推出的事項，并用符號語言填寫下表：[生討論]已知事項符合直角三角形全等的條件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠PDE=∠POD．由已知推出的事項：點P在∠AOB的平分線上．[師]這樣的話，我們又可以得到一個性質(zhì)：到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上．同學們思考一下，這兩個性質(zhì)有什么聯(lián)系嗎？[生]這兩個性質(zhì)已知條件和所推出的結(jié)論可以互換．[師]對，這是自己的語言，這一點在數(shù)學上叫“互逆性”．下面請同學們思考一個問題．思考：如圖所示，要在S區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路、鐵路距離相等，離公路與鐵路交叉處500m，這個集貿(mào)市場應建于何處（在圖上標出它的位置，比例尺為1：20000）？1．集貿(mào)市場建于何處，和本節(jié)學的角平分線性質(zhì)有關(guān)嗎？用哪一個性質(zhì)可以解決這個問題？2．比例尺為1：20000是什么意思？（學生以小組為單位討論，教師可深入到學生中，及時引導）討論結(jié)果展示：1．應該是用第二個性質(zhì)．這個集貿(mào)市場應該建在公路與鐵路形成的角的平分線上，并且要求離角的頂點500米處．2．在紙上畫圖時，我們經(jīng)常在厘米為單位，而題中距離又是以米為單位，這就涉及一個單位換算問題了．1m=100cm，所以比例尺為1：20000，其實就是圖中1cm表示實際距離200m的意思．作圖如下：第一步：尺規(guī)作圖法作出∠AOB的平分線OP．第二步：在射線OP上截取OC=2.5cm，確定C點，C點就是集貿(mào)市場所建地了．總結(jié)：應用角平分線的性質(zhì)，就可以省去證明三角形全等的步驟，使問題簡單化．所以若遇到有關(guān)角平分線，又要證線段相等的問題，我們可以直接利用性質(zhì)解決問題．[例]如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P．求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等．[師生共析]點P到AB、BC、CA的垂線段PD、PE、PF的長就是P點到三邊的距離，也就是說要證：PD=PE=PF．而BM、CN分別是∠B、∠C的平分線，根據(jù)角平分線性質(zhì)和等式的傳遞性可以解決這個問題．證明：過點P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足為D、E、F．因為BM是△ABC的角平分線，點P在BM上．所以PD=PE．同理PE=PF．所以PD=PE=PF．即點P到三邊AB、BC、CA的距離相等．三．隨堂練習1．課本P50練習．2．課本P51習題12．3第3題．在這里要提醒學生直接利用角平分線的性質(zhì)，無須再證三角形全等．四．課時小結(jié)今天，我們學習了關(guān)于角平分線的兩個性質(zhì)：①角平分線上的點到角的兩邊的距離相等；②到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上．它們具有互逆性，可以看出，隨著研究的深入，解決問題越來越簡便了．像與角平分線有關(guān)的求證線段相等、角相等問題，我們可以直接利用角平分線的性質(zhì)，而不必再去證明三角形全等而得出線段相等．五．課后作業(yè)：課本P51頁習題12．3第4、5、6題．課后反思12.3角的平分線的性質(zhì)《第1課時角平分線的性質(zhì)》教案一、教學目標（一）知識與技能1.會作已知角的平分線；2.了解角的平分線的性質(zhì),能利用三角形全等證明角的平分線的性質(zhì)；3.會利用角的平分線的性質(zhì)進行證明與計算.（二）過程與方法在探究作角的平分線的方法及角的平分線的性質(zhì)的過程中,進一步發(fā)展學生的推理證明意識和能力.（三）情感、態(tài)度與價值觀在探究作角的平分線的方法及角的平分線的性質(zhì)的過程中,培養(yǎng)學生探究問題的興趣、合作交流的意識、動手操作的能力與探索精神,增強解決問題的信心,獲得解決問題的成功體驗.二、教學重點、難點重點：角的平分線的性質(zhì)的證明及應用；難點：角的平分線的性質(zhì)的探究.三、教法學法三步導學的教學模式；自主探索,合作交流的學習方式.四、教與學互動設計（一）激情導課如圖是小明制作的風箏，他根據(jù)AB=AD，BC=DC.不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分線，你知道其中的道理嗎？（二）民主導學1、探究一：角的平分線的作法Ⅰ、議一議ADADBCE請你拿出準備好的角，用你自己的方法畫出它的角平分線.問題2如圖是一個平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC.將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下，畫一條射線AE，AE就是∠DAB的平分線.你能說明它的道理嗎?問題3通過上面的探究，你有什么啟發(fā)？你能用尺規(guī)作圖作已知角的平分線嗎？請你試著做一做，并與同伴交流.已知：∠MAN求作：∠MAN的角平分線.CADCADBMN（2）分別以B、D為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在∠MAN的內(nèi)部交于點C.（3）畫射線AC.∴射線AC即為所求.Ⅱ、練一練平分平角∠AOB.通過上面的步驟得到射線OC以后，把它反向延長得到直線CD.直線CD與直線AB是什么關(guān)系？思考：你能總結(jié)出“過直線上一點作這條直線的垂線”的方法嗎？請說明你的方法。2、探究二：角的平分線的性質(zhì)Ⅰ、做一做如圖，將∠AOB對折，再折出一個直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開.觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？試著證明你的結(jié)論.CACABOABO（1）角的平分線的性質(zhì):角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.（2）角的平分線性質(zhì)的證明步驟：①明確命題中的已知和求證;已知:一個點在一個角的平分線上.結(jié)論:這個點到這個角兩邊的距離相等.②M根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學符號表示已知和求證;已知：如圖，∠AOC=∠BOC，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點D、E.求證:PD=PE.③M經(jīng)過分析,找出由已知推出求證的途徑,寫出證明過程.BPBPOACED∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定義)在△PDO和△PEO中∠PDO=∠PEO（已證）∠AOC=∠BOC（已證）OP=OP（公共邊）∴△PDO≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的對應邊相等）符號語言：∵∠AOC=∠BOC,PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點D、E.（已知）∴PD=PE（角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等）Ⅱ、練一練BPOACEBPOACEDPOABCEDPOABCEDPOABCEDDACBDCB(2)下圖中,PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分別為點D、E，則圖中PD＝PE嗎?DACBDCBBBPOACED(3)在S區(qū)有一個貿(mào)易市場P，它建在公路與鐵路所成角的平分線上，要從P點建兩條路，一條到公路，一條到鐵路，怎樣修才能使路最短？它們有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？SS公路鐵路P思考：角的平分線的性質(zhì)在應用時應該注意什么問題?3、角的平分線性質(zhì)的應用（1）如圖,△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝3cm，則點D到AB的距離為cm．CDACDABEBADCCDBAEF（第1題圖）（第2題①圖）（第2題②圖）（2）變式訓練，深化新知變式①，如圖,△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足為點E，AC=8cm，則AD+DE=cm.變式②，如圖,△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，F(xiàn)在BC上，AD=DF求證：CF=EA（三）檢測導結(jié)1、目標檢測(本測試題共三道題，相信大家一定會做得非常棒！)(1)如圖，OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E，PD=4cm，則PE=_____cm.DEDEPAOBCBBAC(第1題圖)(第2題圖)(第3題圖)(2)如圖，點C為直線AB上一點，過點C作直線MN，使MN⊥AB.（不寫作法，保留作圖痕跡，寫出結(jié)論）(3)已知:如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F.求證:EB=FC.2、請你談談學習這節(jié)課的收獲.（四）布置作業(yè)1.必做題：習題2.思考題如圖，要在Ｓ區(qū)建一個集貿(mào)市場,使它到公路、鐵路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個集貿(mào)市場應建在何處（在圖上標出它的位置，比例尺1：20000）?（五）結(jié)束寄語嚴格性之于數(shù)學家,猶如道德之于人.條理清晰,因果相應,言必有據(jù),是學習者謹記和遵循的原則.希望每一個同學都能用聰明和智慧編織出更加精彩的人生！五、板書設計第1課時角的平分線的性質(zhì)角的平分線的作法2.角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.3.應用已知：∠MAN已知：如圖，∠AOC=∠BOC，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，求作：∠MAN的角平分線垂足分別為點D、E.求證:PD=PE.BPBPOACEDCADNBMNM∴射線AC即為所求.符號語言：∵∠AOC=∠BOC,PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點D、E.∴PD=PE第十二章全等三角形12.3角平分線的性質(zhì)《第1課時角平分線的性質(zhì)》導學案學習目標：1.通過操作、驗證等方式，探究并掌握角平分線的性質(zhì)定理.2.能運用角的平分線性質(zhì)解決簡單的幾何問題.重點：掌握角的平分線的性質(zhì)定理，用直尺和圓規(guī)作角的平分線.難點：角平分線定理的應用.一、知識鏈接1.判定兩個三角形全等的方法有哪幾種？2.如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，則∠=∠.過點D作DE⊥BC，垂足為E，則圖中線段的長度表示點D到BC的距離.二、新知預習1.OC是∠AOB的平分線，點P是射線OC上的任意一點，操作測量：取點P的三個不同的位置，分別過點P作PD⊥OA，PE⊥OB,點D、E為垂足，測量PD、PE的長.將三次數(shù)據(jù)填入下表：觀察測量結(jié)果,猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，寫出結(jié)論PDPE第一次第二次第三次下面四個圖中,點P都在∠AOB的平分線上,則PD＝PE的是（）ABCD3.猜想：角平分線的性質(zhì)：角平分線上任意一點到兩邊的相等.三、我的疑惑___________________________________________________________________________________________________________________________________要點探究探究點1：角平分線的尺規(guī)作圖活動1：如圖,是一個平分角的儀器,其中AB=AD,BC=DC.將點A放在角的頂點,AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線.你能說明它的道理嗎?活動2：已知∠AOB，類比平分角儀器的原理，用尺規(guī)作∠AOB的平分線．并書寫主要步驟.提示：(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的儀器放在角的兩邊，儀器的頂點與角的頂點重合，且儀器的兩邊相等，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個過程呢?(3)在平分角的儀器中，BC=DC，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個過程呢？(4)你能說明為什么OC是∠AOB的平分線嗎？注意:作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖,大家一定要掌握.針對訓練已知：平角∠AOB.求作：平角∠AOB的角平分線.探究點2：角平分線的性質(zhì)畫一畫：如圖，任意作一個角∠AOB，作出∠AOB的平分線OC.在OC上任取一點P,過點P畫出OA,OB的垂線，分別記垂足為D、E，測量PD，PE并作比較，你得到什么結(jié)論？在OC上再取幾個點試一試.證明結(jié)論：已知：如圖，∠AOC=∠BOC,點P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E.求證：PD=PE.要點歸納：角的平分線上的點到角的兩邊的相等.應用所需要的條件：（1）（2）（3）幾何語言：∵OP是∠AOB的平分線，∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴典例精析例1:已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分別為E,F.求證：EB=FC.方法總結(jié)：先利用角平分線的性質(zhì)定理得到對應線段相等，再利用這個條件證明我們需要證明的兩個三角形全等.例2:如下左圖,AM是∠BAC的平分線,點P在AM上,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分別是D、E,PD=4cm,則PE=______cm..變式：如上右圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點P，若PC＝4,AB=14.（1）則點P到AB的距離為_______.（2）求△APB的面積.（3）求△PDB的周長.方法總結(jié)：利用角平分線的性質(zhì)作輔助線構(gòu)造三角形的高，再利用三角形面積公式求出線段的長度是常用的方法．針對訓練1.如圖1，∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，下列結(jié)論錯誤的是（）A.PD=PEB.OD=OEC.∠DPO=∠EPOD.PD=OD2.如圖2，Rt△ABC中，∠C=90°,∠ABC的平分線BD交AC于D，若CD=3cm，則點D到AB的距離DE是（）A.5cmB.4cmC.3cmD.2cm3.如圖3，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（）A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm

二、課堂小結(jié)屬于基本作圖，必須熟練掌握尺規(guī)作圖屬于基本作圖，必須熟練掌握尺規(guī)作圖一個點：角平分線上的點；一個點：角平分線上的點；角平分線角平分線性質(zhì)定理二距離：點到角兩邊的距離；性質(zhì)定理二距離：點到角兩邊的距離；兩相等：兩條垂線段相等兩相等：兩條垂線段相等過角平分線上一點向兩邊作垂線段添加輔助線過角平分線上一點向兩邊作垂線段添加輔助線如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F(xiàn)，DE=DF，∠EDB=60°，則∠EBF=度，BE=.第1題圖第2題圖第3題圖第4題圖2.如圖，△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,則點D到AB的距離是.3.用尺規(guī)作圖作一個已知角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC=∠BOC的依據(jù)是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分線上的點到角兩邊的距離相等4.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長是()A．6B．5C．4D．35.如圖，已知AD∥BC，P是∠BAD與∠ABC的平分線的交點，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD與BC之間的距離.6.如圖所示，D是∠ACG的平分線上的一點．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分別為E，F(xiàn).求證：CE＝CF.12.3角的平分線的性質(zhì)《第1課時角平分線的性質(zhì)》導學案學習目標1.經(jīng)歷角的平分線性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程，初步掌握角的平分線的性質(zhì)．2.通過測量操作，發(fā)現(xiàn)角的平分線的性質(zhì)定理3.能運用角的平分線性質(zhì)解決簡單的幾何問題.學習重點：掌握角的平分線的性質(zhì)和判定.學習難點：角的平分線的性質(zhì)和判定的應用學法指導：觀察思考，動手操作，合作探究學習過程一、學前準備1．什么是角的平分線？怎樣畫一個角的平分線？2.有一個簡易平分角的儀器（如圖），其中AB=AD,BC=DC,將A點放角的頂點，AB和AD沿AC畫一條射線AE,AE就是∠BAD的平分線，為什么？二、合作探究探究1.(1)從上面對平分角的儀器的探究中，可以得出作已知角的平分線的方法。已知什么？求作什么？(2)把簡易平分角的儀器放在角的兩邊.且平分角的儀器兩邊相等,從幾何角度怎么畫?(3)簡易平分角的儀器BC=DC,從幾何角度如何畫(4)OC與簡易平分角的儀器中,AE是同一條射線嗎?(5)你能說明OC是∠AOB的平分線嗎?探究2.在角的平分線OC上任意找一點P,過P點分別作OA、OB的垂線交OA、O于M、N,PM、PN的長度是∠AOB的平分線上一點到∠AOB兩邊的距離.(1)操作測量：取點P的三個不同的位置，分別過點P作PD⊥OA，PE⊥OB,點D、E為垂足，測量PD、PE的長.將三次數(shù)據(jù)填入下表：PMPN第一次第二次第三次觀察測量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，寫出結(jié)論：____________(2)你能歸納角的平分線的性質(zhì)嗎?(3)你能用三角形全等證明這個性質(zhì)嗎?三、新知應用1.思考：如圖所示，要在S區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路、鐵路距離相等，離公路與鐵路交叉處500m，這個集貿(mào)市場應建于何處（在圖上標出它的位置，比例尺為1：20000）？2.例題講解：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P．求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等．分析：點P到AB、BC、CA的垂線段PD、PE、PF的長就是P點到三邊的距離，也就是說要證：PD=PE=PF．而BM、CN分別是∠B、∠C的平分線，根據(jù)角平分線性質(zhì)和等式的傳遞性可以解決這個問題．四、鞏固練習教材練習五、課堂小結(jié)1.這節(jié)課你學到了哪些知識？2.你還有什么疑惑？六、當堂清1.在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分線，若BC＝5㎝，BD＝3㎝，則點D到AB的距離為。2.∠AOB的平分線上一點M，M到OA的距離為1.5㎝，則M到OB的距離為㎝。3.如圖,∠A＝90°,BD是△ABC的角平分線,AC＝8㎝,DC＝3DA,則點D到BC的距離為。4.如圖，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，下列結(jié)論錯誤的是（）A、PD＝PEB、OD＝OEC、∠DPO＝∠EPOD、PD＝OD5.三角形中到三邊距離相等的點是（）A、三條邊的垂直平分線的交點B、三條高的交點C、三條中線的交點D、三條角平分線的交點6.如圖，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB＝DC，求證：BE＝CF7.已知，如圖BD為∠ABC的平分線，AB＝BC，點P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于D，求證：PM＝PN8.如圖，某鐵路MN與公路PQ相交于點O且交角為90°，某倉庫G在A區(qū)，到公、鐵路距離相等，且到公路與鐵路的相交點O的距離為200ｍ。在圖上標出倉庫G的位置。（比例尺：1：10000。用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）參考答案：1.2㎝2.1.53.2㎝4.D5.D6.∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF∠E=∠DFC=90°∵DB＝DC，∴Rt△BDE≌Rt△CDF∴BE＝CF7.∵BD為∠ABC的平分線，∴∠ABD=∠CBD又AB＝BC，BD=DB∴△ABD≌△CBD∴∠ADB=∠CDB∵PM⊥AD，PN⊥CD∴PM＝PN8.作∠NOQ的平分線OP，在OP上截取OG=2cm12.3角的平分線的性質(zhì)《第1課時角平分線的性質(zhì)》導學案一、學習目標1、能用三角形全等的知識，解釋角平分線的原理；2、會用尺規(guī)作已知角的平分線．二、溫故知新圖1圖1求證：（1）Rt△MOC≌Rt△NOC（2）∠MOC=∠NOC．三、自主探究合作展示探究（一）1、依據(jù)上題我們應怎樣平分一個角呢？2、思考:把上面的方法改為“在已知∠AOB的兩邊上分別截取OM=ON，使MC=NC，連接OC，則OC即為∠AOB的平分線?！苯Y(jié)論是否仍然成立呢？圖2圖2探究（二）思考：如何作出一個角的平分線呢？已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分線．作法：（1）以O為圓心，適當長為半徑作弧，分別交OA、OB于M、N．（2）分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑作?。畠苫≡凇螦OB內(nèi)部交于點C．BOBOA請同學們依據(jù)以上作法畫出圖形。議一議：1、在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的長”這個條件行嗎？2、第二步中所作的兩弧交點一定在∠AOB的內(nèi)部嗎？探究（三）如圖3，OA是∠BAC的平分線，點O是射線AM上的任意一點.操作測量：取點O的三個不同的位置，分別過點O作OE⊥AB，OD⊥AC,點D、E為垂足，測量OD、OE的長.將三次數(shù)據(jù)填入下表：觀察測量結(jié)果，猜想線段OD與OE的大小關(guān)系，寫出結(jié)論：ODOEODOE第一次第二次第三次圖圖4下面用我們學過的知識證明發(fā)現(xiàn)：已知：如圖4，AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC。求證：OE=OD。四、雙基檢測1、如圖5所示，在△ABC中，∠C=，BC=40，AD是∠BAC的平分線交BC于D，且DC：DB=3：5，則點D到AB的距離是___________。2、如圖6所示，∠AOC=∠BOC，CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分別為M、N，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．CM=CNB.OM=ONC.∠MCO=∠NCOD.ON=CM圖7圖圖7圖6ABCD圖53、如圖7,在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，則：⑴圖中相等的線段有哪些？相等的角呢？⑵哪條線段與DE相等？《第1課時角平分線的性質(zhì)》導學案學習內(nèi)容：通過獨立思考和小組合作，掌握角的平分線的性質(zhì)學習目標：1、應用三角形全等的知識，解釋角平分線的原理．2．會用尺規(guī)作一個已知角的平分線．3.用角平分線的性質(zhì)定理解決課后習題.學習重點：利用尺規(guī)作已知角的平分線．學習難點：角的平分線的作圖方法的提煉學習過程：Ⅰ．提出問題，創(chuàng)設情境問題1：三角形中有哪些重要線段．問題2：你能作出這些線段嗎？Ⅱ．導入新課已知：∠AOB．AOB求作：∠AOB1．在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的長”這個條件行嗎？2．第二步中所作的兩弧交點一定在∠AOB的內(nèi)部嗎？基礎(chǔ)練習把一個平角三等分，則邊上的兩角的平分線的夾角是鄰補角的平分線的夾角為3,已知點O是⊿ABC內(nèi)的一點，且點O到三邊的距離相等，則點O是（）A,三條中線的交點B,三條高的交點C,三條角平分線的交點D,一條角平分線的中點4，⊿ABC中，∠C＝90°,AD平分∠BAC交BC于D,BD：DC＝3：2,點D到AB的距離為6，則BC等于（）A,10B,20C,15D,255.如圖，已知AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC。求證：OE=OD。鞏固練習：已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上BD=DF，求證：CF=EB。拓展延伸已知:如圖,在△ABC中,AD是它的角平分線,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F.求證:EB=FC.AEFBDC當堂檢測1、如圖：在△ABC中，∠C=90℃，AD平分∠BAC，DE⊥AB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，則DE=。2．已知：△ABC的角平分線BM,CN相交于點P,求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等3.如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F，求證：點F在∠DAE的平分線上．4.已知，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點B，C，D在一條直線上求證：BE=AD《第1課時角平分線的性質(zhì)》導學案學習內(nèi)容：教材P21，通過獨立思考和小組合作，能夠證明幾何命題。學習目標：1、進一步熟練角平分線的畫法，證明幾何命題的步驟2、進一步理解角平分線的性質(zhì)及運用學習重點：角平分線的性質(zhì)及運用學習難點：角平分線的性質(zhì)的靈活運用學習方法：探究、交流、練習學習過程：課前鞏固畫出三角形三個內(nèi)角的平分線你發(fā)現(xiàn)了什么特點嗎？2、如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P，求證：點P到三邊AB，BC，CA的距離相等學習新知思考：教材P21證明一個幾何命題的一般步驟：①；②；③。（二）應用：1、求證：到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上2、如圖所示，要在S區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路、鐵路距離相等，離公路與鐵路交叉處500m，這個集貿(mào)市場應建于何處（在圖上標出它的位置，比例尺為1：20000）？（1）．集貿(mào)市場建于何處，和本節(jié)學的角平分線性質(zhì)有關(guān)嗎？用哪一個性質(zhì)可以解決這個問題？（2．比例尺為1：20000是什么意思？三、基礎(chǔ)練習1.到角的兩邊距離相等的點在上。2.到三角形三邊的距離相等的點是三角形（）A.三條邊上的高線的交點；B.三個內(nèi)角平分線的交點；C.三條邊上的中線的交點；D.以上結(jié)論都不對。3.在△ABC中，∠C=90°,AD平分∠BAC，BC=8cm,BD=5cm,則D到AB的距離是。4.已知：AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E，BE，CD相交于點O，OB＝OC，求證:∠BAO=∠CAO四、拓展延伸已知:BD⊥AM于點D,CE⊥AN于點E,BD,CE交點F,CF=BF,求證:點F在∠A的平分線上.AAAAAAAAADNEBFMCA五、課堂小結(jié)六、當堂檢測1、圖中的直線表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有:()A.一處B.兩處C.三處D.四處2.如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上的一點，PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E，F(xiàn)是OC上的另一點，連接DF，EF，求證：DF＝EFA3.如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F(xiàn)，且BE＝CF。A求證：AD是△ABC的角平分線。FEFECDBCDB12.3角的平分線的性質(zhì)《第1課時角平分線的性質(zhì)》同步練習一、選擇題1．下列說法：①角的內(nèi)部任意一點到角的兩邊的距離相等；②到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上；③角的平分線上任意一點到角的兩邊的距離相等；④△ABC中∠BAC的平分線上任意一點到三角形的三邊的距離相等，其中正確的（）A．1個B．2個C．3個D．4個2.已知AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E,且DE=3cm,則點D到AC的距離是()A.2cm;B.3cm;C.4cm;D.6cm3．如圖1，已知CE、CF分別是△ABC的內(nèi)角和外角平分線，則圖中與∠BCE互余的角有（）A．4個B．3個C．2個D．1個4．如圖2，已知點P到AE、AD、BC的距離相等，則下列說法：①點P在∠BAC的平分線上；②點P在∠CBE的平分線上；③點P在∠BCD的平分線上；④點P是∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分線的交點，其中正確的是（）A．①②③④B．①②③C．④D．②③（1）(2)(3)二、填空題5．用直尺和圓規(guī)平分已知角的依據(jù)是______________．6．角的平分線上的點到_______________相等；到____________________相等的點在這個角的平分線上．7．如圖3，AB∥CD，AP、CP分別平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，且PE=2cm，則AB與CD之間的距離是___________．三、解題題8．請你畫一個角，并用直尺和圓規(guī)把這個角兩等分．9．如圖，四邊形ABCD中AB=AD，CB=CD，點P是對角線AC上一點，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，求證PE=PF．10．如圖，四邊形ABCD中AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，P是對角線AC上一點，求證：PB=PC．參考答案:1．B2．B3．C4．A5．SSS6．角的兩邊的距離；角的兩邊的距離7.4cm8．略9．證明AC平分∠BCD10．先證Rt△ABC≌Rt△ADC，再證△APB≌△APD12.3角的平分線的性質(zhì)《第1課時角平分線的性質(zhì)》同步練習一、選擇題1.用尺規(guī)作已知角的平分線的理論依據(jù)是（）A．SASB．AASC．SSSD．ASA2.如圖，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，下列結(jié)論錯誤的是（）A、PD＝PEB、OD＝OEC、∠DPO＝∠EPOD、PD＝OD3.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線BD交AC于D，若CD=3cm，則點D到AB的距離DE是（）A．5cmB．4cmC．3cmD．2cm4.如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6㎝，則△DEB的周長為（）A.4㎝B.6㎝C.10㎝D.不能確定第2題圖第3題圖第4題圖5.如圖，OP平分，，，垂足分別為A，B．下列結(jié)論中不一定成立的是（）A. B.平分C. D.垂直平分6.如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC交AC于點F．S△ABC=7，DE=2，AB=4，則AC長是（）A．4B．3C．6D．5第5題圖第6題圖第7題圖7.如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△AED的面積分別為50和39，則△EDF的面積為（）A、11 B、5.5C、7 D、3.58.已知：如圖，△ABC中，∠C＝90o，點O為△ABC的三條角平分線的交點，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，點D、E、F分別是垂足，且AB＝10cm，BC＝8cm，CA＝6cm，則點O到三邊AB、AC和BC的距離分別等于（）（A）2cm、2cm、2cm．（B）3cm、3cm、3cm．（C）4cm、4cm、4cm．（D）2cm、3cm、5cm．二、填空題9．如圖，P是∠AOB的角平分線上的一點，PC⊥OA于點C，PD⊥OB于點D，寫出圖中一對相等的線段（只需寫出一對即可）.10．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2cm，則點D到BC的距離為________cm．11.如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點A，點Q是射線OM上一個動點，若PA=3，則PQ的最小值為．第9題圖第10題圖第11題圖12.如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，AD=3，BC=10，則△BDC的面積是．第12題圖第13題圖第15題圖13.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=10，AD平分∠BAC交BC于點D，且BD：CD=3：2，則點D到線段AB的距離為．14.已知△ABC中，AD是角平分線，AB=5，AC=3，且S△ADC=6，則S△ABD=．15.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點E，F(xiàn)，連接EF，則EF與AD的關(guān)系是．16.通過學習我們已經(jīng)知道三角形的三條內(nèi)角平分線是交于一點的．如圖，P是△ABC的內(nèi)角平分線的交點，已知P點到AB邊的距離為1，△ABC的周長為10，則△ABC的面積為．17.如圖，AD∥BC，∠ABC的角平分線BP與∠BAD的角平分線AP相交于點P，作PE⊥AB于點E．若PE=2，則兩平行線AD與BC間的距離為．第16題圖第17題圖第18題圖18.如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA長分別為40、50、60．其三條角平分線交于點O，則S△ABO：S△BCO：S△CAO=．三、解答題AFAFCDEBBD＝CD，求證：∠B＝∠C.20.如圖，畫∠AOB=90°，并畫∠AOB的平分線OC，將三角尺的直角頂點落在OC的任意一點P上，使三角尺的兩條直角邊與∠AOB的兩邊分別相交于點E、F，試猜想PE、PF的大小關(guān)系，并說明理由．21.如圖，AB∥CD，以點A為圓心，小于AC長為半徑作圓弧，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點，再分別以E，F(xiàn)為圓心，大于EF長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點P，作射線AP，交CD于點M．（1）若∠ACD=114°，求∠MAB的度數(shù)；（2）若CN⊥AM，垂足為N，求證：△ACN≌△MCN．22.如圖，已知△ABC中，AB=AC，BE平分∠ABC交AC于E，若∠A=90°，那么BC、BA、AE三者之間有何關(guān)系？并加以證明．23.如圖，△ABC中，D為BC的中點，DE⊥BC交∠BAC的平分線AE于點E，EF⊥AB于F，EG⊥AG交AC的延長線于G．求證：BF=CG．12.3角的平分線的性質(zhì)第1課時角的平分線的性質(zhì)一、選擇題1.C2.D3.C4.B5.D6.B7.B8.A二、填空題9.PC=PD（答案不唯一）10.211.312.1513.414.1015.AD垂直平分EF16.517.418.4：5：6三、解答題19．證明：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，在Rt△DEB與Rt△DFC中，BD＝CD，DE＝DF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴∠B＝∠C．20.解：PE=PF，理由是：過點P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，則∠PME=∠PNF=90°，∵OP平分∠AOB，∴PM=PN，∵∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，∴∠MPN=90°，∵∠EPF=90°，∴∠MPE=∠FPN，在△PEM和△PFN中∴△PEM≌△PFN，∴PE=PF．21.（1）解：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°，又∵∠ACD=114°，∴∠CAB=66°，由作法知，AM是∠CAB的平分線，∴∠MAB=∠CAB=33°（2）證明：∵AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠MAB，∵AB∥CD，∴∠MAB=∠CMA，∴∠CAM=∠CMA，又∵CN⊥AM，∴∠ANC=∠MNC，在△ACN和△MCN中，∵，∴△ACN≌△MCN．22.解：BC、BA、AE三者之間的關(guān)系：BC=BA+AE，理由如下：過E作ED⊥BC交BC于點D，∵BE平分∠ABC，BA⊥CA，∴AE=DE，∠EDC=∠A=∠BDE=90°，∵在Rt△BAE和Rt△BDE中，∴Rt△BAE≌Rt△BDE（HL），∴BA=BD，∵AB=AC，∠A=90°∴∠C=45°，∴∠CED=45°=∠C，∴DE=CD，∵AE=DE，∴AE=CD=DE，∴BC=BD+DC=BA+AE．23.證明：連接BE、EC，∵ED⊥BC，D為BC中點，∴BE=EC，∵EF⊥ABEG⊥AG，且AE平分∠FAG，∴FE=EG，在Rt△BFE和Rt△CGE中，∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），∴BF=CG《第1課時角平分線的性質(zhì)》同步練習班級學號姓名得分一、填空題（每題3分，共30分）1．到一個角的兩邊距離相等的點都在_________.2．∠AOB的平分線上一點M，M到OA的距離為1.5cm，則M到OB的距離為_________.3．如圖，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，則∠DOC=_________.（第（第3題）（第4題）（第5題）4．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分線，DE⊥AB于E，且DE=3cm，BD=5cm，則BC=_________cm．5．如圖，已知AB、CD相交于點E，過E作∠AEC及∠AED的平分線PQ與MN，則直線MN與PQ的關(guān)系是_________．6．三角形內(nèi)一點到三角形的三邊的距離相等，則這個點是三角形_________的交點．7．△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，且BD：CD=3：2，BC=15cm，則點D到AB的距離是__________．8．角平分線的性質(zhì)定理：（第9（第9題）9．（1）如圖，已知∠1=∠2，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，則DE____DF．（2）已知DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，且DE=DF，則∠1_____∠2．10．直角三角形兩銳角的平分線所夾的鈍角為_______度．二、選擇題（每題3分，共24分）（第11題）11．如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C、（第11題）列結(jié)論中錯誤的是（）A．PC=PDB．OC=ODC．∠CPO=∠DPOD．OC=PC（第12題）12．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠（第12題）DE⊥AB于E，若AC=10cm，則△DBE的周長等于()A．10cmB．8cmC．6cmD．9cm13．到三角形三條邊的距離都相等的點是這個三角形的（）A．三條中線的交點 B．三條高的交點C．三條邊的垂直平分線的交點 D．三條角平分線的交點14．如圖所示，表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，=4\*GB3④=4\*GB3④=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③（第14題）Ａ．1處 Ｂ．2處 Ｃ．3處 Ｄ．4處15．給出下列結(jié)論，正確的有（）①到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上；②角的平分線與三角形平分線都是射線；③任何一個命題都有逆命題；④假命題的逆命題一定是假命題A．1個 B．2個 C．3個 D．4個16．已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，則D到AB的距離為（）A．18 B．16 C．14 D．12（第18題）（第18題）A．兩個三角形全等B．兩個三角形一定不全等C．如果還有一角相等，兩三角形就全等D．如果一對等角的角平分線相等，兩三角形全等18．如圖，OB、OC是∠AOD的任意兩條射線，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON=α，∠BOC=β，則表示∠AOD的代數(shù)式為（）A．2α－β B．α－βC．α+β D．2α三、解答題（共46分）19．（7分）如圖，已知OE、OD分別平分∠AOB和∠BOC，若∠AOB=90°，∠EOD=70°，求∠BOC的度數(shù)．20．（7分）已知：有一塊三角形空地，若想在空地中找到一個點，使這個點到三邊的距離相等，試找出該點．（保留畫圖痕跡）21．（8分）如圖，點D、B分別在∠A的兩邊上，C是∠A內(nèi)一點，AB=AD，BC=CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F．求證：CE=CF22．（8分）已知：如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC．求證：BC=AB+AD23．（8分）如圖，PB和PC是△ABC的兩條外角平分線．①求證：∠BPC=90°-∠BAC．②根據(jù)第①問的結(jié)論猜想：三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形按角分類屬于什么三角形？24．（8分）如圖，