中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練(全國(guó)通用)第二講 與圓有關(guān)的位置關(guān)系-滿分之路（解析版）

模塊六圓第二講與圓有關(guān)的位置關(guān)系知識(shí)梳理夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)1：點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系1.點(diǎn)與圓有三種位置關(guān)系:點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓外.設(shè)圓O的半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系如下表所示：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系示意圖d與r的大小關(guān)系點(diǎn)A在圓內(nèi)點(diǎn)B在圓上點(diǎn)C在圓外2.直線與圓的三種位置關(guān)系：相交、相切、相離.設(shè)圓O的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則直線與圓的位置關(guān)系如下表所示：位置關(guān)系相離相切相交示意圖與的關(guān)系交點(diǎn)的個(gè)數(shù)知識(shí)點(diǎn)2：切線的性質(zhì)與判定1.性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。注意：(1)圓的切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；(2)圓心到切線的距離等于圓的半徑；(3)“有切線，連半徑，得垂直”，這是已知圓的切線時(shí)常用的輔助線的作法。2.判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端點(diǎn)且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。注意：切線判定定理中的兩個(gè)條件“經(jīng)過(guò)半徑的外端點(diǎn)”和“垂直于這條半徑”，二者缺一不可。3.切線長(zhǎng)：過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。*切線長(zhǎng)定理：過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，兩條切線長(zhǎng)相等，圓心與這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。知識(shí)點(diǎn)3：三角形的外接圓與內(nèi)切圓名稱示意圖內(nèi)、外心性質(zhì)三角形的外接圓三邊垂直平分線的交點(diǎn)稱為三角形的外心。三角形的外心到三角形的距離相等。三角形的內(nèi)切圓三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)稱為三角形的內(nèi)心。三角形的內(nèi)心到三角形的距離相等。直角三角形內(nèi)切圓及外切圓半徑長(zhǎng)的確定直角三角形的外心為其斜邊的中點(diǎn)，其外接圓半徑；其內(nèi)切圓半徑（其中，為直角邊長(zhǎng)，為斜邊長(zhǎng)）。知識(shí)點(diǎn)4：正多邊形與圓的關(guān)系設(shè)正邊形的外接圓半徑為，邊長(zhǎng)為。邊心距正六邊形的邊長(zhǎng)等于其外接圓的半徑；正三角形的邊長(zhǎng)等于其外接圓半徑的倍；正方形的邊長(zhǎng)等于其外接圓半徑的正六邊形的邊長(zhǎng)等于其外接圓的半徑；正三角形的邊長(zhǎng)等于其外接圓半徑的倍；正方形的邊長(zhǎng)等于其外接圓半徑的倍。正邊形的周長(zhǎng)正邊形的面積正邊形中心角的度數(shù)正邊形每個(gè)外角的度數(shù)直擊中考勝券在握1.在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以C

為圓心r為半徑畫⊙C，使⊙C與線段AB有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，則r的取值范圍是（）A．6≤r≤8 B．6≤r＜8 C．＜r≤6 D．＜r≤8【答案】C【解析】【詳解】解：由題意可知，線段AB必須經(jīng)過(guò)圓C才有兩個(gè)交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，因?yàn)锳C＝6，BC＝8，通過(guò)等面積法計(jì)算得出垂線段為，當(dāng)r<，AB與圓C沒(méi)有交點(diǎn)，當(dāng)r>6時(shí)與AB最多只有一個(gè)交點(diǎn)，所以.考點(diǎn)：圓于直線的位置關(guān)系點(diǎn)評(píng)：該題是常考題，主要考查學(xué)生對(duì)圓與直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)與半徑長(zhǎng)度之間的關(guān)系，建議學(xué)生通過(guò)作圖分析計(jì)算．2．(2023·嘉興中考）已知平面內(nèi)有和點(diǎn)，，若半徑為，線段，，則直線與的位置關(guān)系為（）A．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切【答案】D【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵⊙O的半徑為2cm，線段OA=3cm，線段OB=2cm，即點(diǎn)A到圓心O的距離大于圓的半徑，點(diǎn)B到圓心O的距離等于圓的半徑，∴點(diǎn)A在⊙O外．點(diǎn)B在⊙O上，∴直線AB與⊙O的位置關(guān)系為相交或相切，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．3．(2023·上海中考）如圖，已知長(zhǎng)方形中，，圓B的半徑為1，圓A與圓B內(nèi)切，則點(diǎn)與圓A的位置關(guān)系是（）

A．點(diǎn)C在圓A外，點(diǎn)D在圓A內(nèi) B．點(diǎn)C在圓A外，點(diǎn)D在圓A外C．點(diǎn)C在圓A上，點(diǎn)D在圓A內(nèi) D．點(diǎn)C在圓A內(nèi)，點(diǎn)D在圓A外【答案】C【分析】根據(jù)內(nèi)切得出圓A的半徑，再判斷點(diǎn)D、點(diǎn)E到圓心的距離即可【詳解】

∵圓A與圓B內(nèi)切，，圓B的半徑為1∴圓A的半徑為5∵<5∴點(diǎn)D在圓A內(nèi)在Rt△ABC中，∴點(diǎn)C在圓A上故選：C【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系、勾股定理，熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是關(guān)鍵4．(2023·臨沂中考）如圖，、分別與相切于、，，為上一點(diǎn)，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由切線的性質(zhì)得出∠OAP=∠OBP=90°，利用四邊形內(nèi)角和可求∠AOB=110°，再利用圓周角定理可求∠ADB=55°，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)可求∠ACB．【詳解】解：如圖所示，連接OA，OB，在優(yōu)弧AB上取點(diǎn)D，連接AD，BD，∵AP、BP是切線，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°，∴∠ADB=55°，又∵圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，∴∠ACB=180°-∠ADB=180°-55°=125°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是連接OA、OB，求出∠AOB．5．(2023·山西中考）如圖，在中，切于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接．若，則為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，根據(jù)與相切易得，在中，已知，可以求出的度數(shù)，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半得出的度數(shù)，最后根據(jù)可得．【詳解】如下圖，連接，∵切于點(diǎn)，∴，在中，∵，∴，∴，又∵，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考察了切線的性質(zhì)，圓周角定理以及平行線的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．6．(2023·廣西賀州中考）如圖，在中，，，點(diǎn)在上，，以為半徑的與相切于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．1【答案】B【分析】連接OD，EF，可得OD∥BC，EF∥AC，從而得，，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：連接OD，EF，∵與相切于點(diǎn)，BF是的直徑，∴OD⊥AC，F(xiàn)E⊥BC，∵，∴OD∥BC，EF∥AC，∴，，∵，，∴OD=OB=2，AO=5-2=3，BF=2×2=4，∴，，∴BC=，BE=，∴CE=-=．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，掌握?qǐng)A周角定理的推論，添加輔助線，是解題的關(guān)鍵．7．如圖，⊙O是等邊△ABC的內(nèi)切圓，分別切AB，BC，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，D，P是上一點(diǎn)，則∠EPF的度數(shù)是（）A．65° B．60° C．58° D．50°【答案】B【分析】連接OE，OF．求出∠EOF的度數(shù)即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，連接OE，OF．

∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，E，F(xiàn)是切點(diǎn)，

∴OE⊥AB，OF⊥BC，

∴∠OEB=∠OFB=90°，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=60°，

∴∠EOF=120°，

∴∠EPF=∠EOF=60°，

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，切線的性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．8．(2023·山東青島中考）如圖，是的直徑，點(diǎn)，在上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)畫的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到BA⊥AD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠B，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，進(jìn)而求出∠BAC，根據(jù)垂徑定理得到BA⊥EC，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵AD是⊙O的切線，∴BA⊥AD，∵∠ADB=58.5°，∴∠B=90°-∠ADB=31.5°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=90°-∠B=58.5°，∵點(diǎn)A是弧EC的中點(diǎn)，∴BA⊥EC，∴∠ACE=90°-∠BAC=31.5°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．9．(2023·江蘇宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）如圖，是的直徑，切于點(diǎn)，線段交于點(diǎn)，連接．若，則等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用切線的性質(zhì)得出∠PAO=90°，再求出∠POA=50°，結(jié)合圓周角定理即可得出答案．【詳解】解：∵是的直徑，切于點(diǎn)，∴∠PAO=90°，∵∠P=40°，∴∠POA=90°?40°=50°，∵，∴∠B=．故選：C【點(diǎn)睛】此題主要考查了切線的性質(zhì)以及圓周角定理，正確得出∠POA的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．10．(2023·貴州安順中考）如圖，與正五邊形的兩邊相切于兩點(diǎn)，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)，可得∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，結(jié)合正五邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為108°，即可求解．【詳解】解：∵AE、CD切⊙O于點(diǎn)A、C，∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，∴正五邊形ABCDE的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：，∴∠AOC＝540°?90°?90°?108°?108°＝144°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查正多邊形的內(nèi)角和公式的應(yīng)用，以及切線的性質(zhì)定理，掌握正多邊形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．11．(2023·江蘇鎮(zhèn)江中考）如圖，∠BAC＝36°，點(diǎn)O在邊AB上，⊙O與邊AC相切于點(diǎn)D，交邊AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接FD，則∠AFD等于（）A．27° B．29° C．35° D．37°【答案】A【分析】連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ADO＝90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠AOD＝90°﹣36°＝54°，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接OD，∵⊙O與邊AC相切于點(diǎn)D，∴∠ADO＝90°，∵∠BAC＝36°，∴∠AOD＝90°﹣36°＝54°，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．12．(2023·貴州遵義中考）如圖，AB是⊙O的弦，等邊三角形OCD的邊CD與⊙O相切于點(diǎn)P，連接OA，OB，OP，AD．若∠COD+∠AOB＝180°，AB＝6，則AD的長(zhǎng)是（）A．6 B．3 C．2 D．【答案】C【分析】如圖，過(guò)作于過(guò)作于先證明三點(diǎn)共線，再求解的半徑，證明四邊形是矩形，再求解從而利用勾股定理可得答案.【詳解】解：如圖，過(guò)作于過(guò)作于是的切線，三點(diǎn)共線，為等邊三角形，四邊形是矩形，故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，靈活應(yīng)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.13．(2023·湖南湘潭中考）如圖，為⊙O的直徑，弦于點(diǎn)E，直線l切⊙O于點(diǎn)C，延長(zhǎng)交l于點(diǎn)F，若，，則的長(zhǎng)度為（）A．2 B． C． D．4【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理求得，AE=DE=2，即可得到∠COD=2∠ABC=45°，則△OED是等腰直角三角形，得出，根據(jù)切線的性質(zhì)得到BC⊥CF，得到△OCF是等腰直角三角形，進(jìn)而即可求得CF=OC=OD=．【詳解】解：∵BC為⊙O的直徑，弦AD⊥BC于點(diǎn)E，，，∴AE=DE=2，∴∠COD=2∠ABC=45°，∴△OED是等腰直角三角形，∴OE=ED=2，∴，∵直線l切⊙O于點(diǎn)C，∴BC⊥CF，∴△OCF是等腰直角三角形，∴CF=OC，∵，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，等弧所對(duì)的圓心角和圓周角的關(guān)系，切線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，求得CF=OC=OD是解題的關(guān)鍵．14．(2023·浙江省湖州中考）如圖，已知OT是Rt△ABO斜邊AB上的高線，AO=BO．以O(shè)為圓心，OT為半徑的圓交OA于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線CD，交AB于點(diǎn)D．則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．DC=DT B．AD=DT C．BD=BO D．2OC=5AC【答案】D【分析】根據(jù)切線的判定知DT是⊙O的切線，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可判斷選項(xiàng)A正確；可證得△ADC是等腰直角三角形，可計(jì)算判斷選項(xiàng)B正確；根據(jù)切線的性質(zhì)得到CD=CT，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DOC=∠TOC，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)C正確；【詳解】解：如圖，連接OD．∵OT是半徑，OT⊥AB，∴DT是⊙O的切線，∵DC是⊙O的切線，∴DC=DT，故選項(xiàng)A正確；∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠A=∠B=45°，∵DC是切線，∴CD⊥OC，∴∠ACD=90°，∴∠A=∠ADC=45°，∴AC=CD=DT，∴AD=CD=DT，故選項(xiàng)B正確；∵OD=OD，OC=OT，DC=DT，∴△DOC≌△DOT（SSS），∴∠DOC=∠DOT，∵OA=OB，OT⊥AB，∠AOB=90°，∴∠AOT=∠BOT=45°，∴∠DOT=∠DOC=22.5°，∴∠BOD=∠ODB=67.5°，∴BO=BD，故選項(xiàng)C正確；∵OA=OB，∠AOB=90°，OT⊥AB，設(shè)⊙O的半徑為2，∴OT=OC=AT=BT=2，∴OA=OB=2，∴，2OC5AC故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓的有關(guān)知識(shí)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形、靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．15．(2023·寧波中考）如圖，⊙O的半徑OA＝2，B是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線BC，BC＝OA，連結(jié)OC，AC．當(dāng)△OAC是直角三角形時(shí)，其斜邊長(zhǎng)為__．【答案】2或2【分析】先根據(jù)切線的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定方法證得△OBC是等腰直角三角形，當(dāng)∠AOC＝90°，連接OB，根據(jù)勾股定理可得斜邊AC的長(zhǎng)，當(dāng)∠OAC＝90°，同理可求．【詳解】解：連接OB，∵BC是⊙O的切線，∴∠OBC＝90°，∵BC＝OA，∴OB＝BC＝2，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠BCO＝45°，∴∠ACO≤45°，當(dāng)∠AOC＝90°，△OAC是直角三角形時(shí)，∴OC＝OB＝2，∴AC＝＝＝2；當(dāng)∠OAC＝90°，四邊形OACB是正方形，OC=2；故答案為：2或2．【點(diǎn)睛】本題考查切斜的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)求出OC．16．(2023·浙江杭州中考）如圖，已知的半徑為1，點(diǎn)是外一點(diǎn)，且．若是的切線，為切點(diǎn)，連接，則_____．【答案】【分析】根據(jù)圓的切線的性質(zhì)，得，根據(jù)圓的性質(zhì)，得，再通過(guò)勾股定理計(jì)算，即可得到答案．【詳解】∵是的切線，為切點(diǎn)∴∴∵的半徑為1∴∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓、勾股定理的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A、圓的切線、勾股定理的性質(zhì)，從而完成求解．17．(2023·陜西·西安益新中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，圓O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓，連接AO、BO、CO、DO，記△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面積分別為S1、S2、S3、S4，則S1、S2、S3、S4的數(shù)量關(guān)系為________．【答案】S1+S3=S2+S4【分析】設(shè)切點(diǎn)分別為E、F、G、H，由切線性質(zhì)可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BCOH⊥AB，OE=OF=OG=OH=r，設(shè)DE=DF=a，AE=AH=b，BH=BG=c，CG=CF=d，推出S1+S3=r（a+b）r+

r（c+d）=r（a+b+c+d）=S2+S4．【詳解】解：如圖設(shè)切點(diǎn)分別為E、F、G、H，由切線性質(zhì)可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BCOH⊥AB，OE=OF=OG=OH=r，設(shè)DE=DF=a，AE=AH=b，BH=BG=c，CG=CF=d，S1=r（a+b）r，S2=r

（b+c）S3=

r（c+d），S4=r（a+d），∴S1+S3=r（a+b）r+

r（c+d）=r（a+b+c+d），S2+S4=r（a+d）+r

（b+c）=r（a+b+c+d），∴S1+S3=S2+S4．故答案為：S1+S3=S2+S4．【點(diǎn)睛】本題考查了內(nèi)切圓的性質(zhì)，熟練運(yùn)用切線的性質(zhì)和三角形面積公式是解題的關(guān)鍵．18．(2023·江蘇南京中考）如圖，是五邊形的外接圓的切線，則______．

【答案】【分析】由切線的性質(zhì)可知切線垂直于半徑，所以要求的5個(gè)角的和等于5個(gè)直角減去五邊形的內(nèi)角和的一半．【詳解】如圖：過(guò)圓心連接五邊形的各頂點(diǎn)，則．故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，多邊形的內(nèi)角和公式（n為多邊形的邊數(shù)）,由半徑相等可得“等邊對(duì)等角”，正確的理解題意作出圖形是解題的關(guān)鍵．19．(2023·內(nèi)蒙古中考）如圖，在中，，以AD為直徑的與BC相切于點(diǎn)E，連接OC．若，則的周長(zhǎng)為____________．

【答案】【分析】連接OE，作AF⊥BC于F，先證明為矩形，進(jìn)而證明Rt△ABF≌Rt△OCE，得到BF=CE=3，利用勾股定理求出OC=，即可求出的周長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，連接OE，作AF⊥BC于F，∵BE為的切線，∴∠OEC=∠OEB=90°，∵AD∥BC，∴AF∥OE，∴四邊形AFEO為平行四邊形，∵∠OEF=90°，∴為矩形，∴AF=OE，EF=AO==6,∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB=CD，BC=AD=12，∵AB=OC∴Rt△ABF≌Rt△OCE，∴BF=CE=3，∵OE=OA=6，∴在Rt△OCE中，，∴AB=CD=OC=，∴的周長(zhǎng)為為（）×2=．

故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形等知識(shí)，熟知相關(guān)定理，并根據(jù)題意添加輔助線是解題關(guān)鍵．20．(2023·陜西中考真題）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，的半徑為1．若在正方形內(nèi)平移（可以與該正方形的邊相切），則點(diǎn)A到上的點(diǎn)的距離的最大值為______．【答案】【分析】由題意易得當(dāng)與BC、CD相切時(shí)，切點(diǎn)分別為F、G，點(diǎn)A到上的點(diǎn)的距離取得最大，進(jìn)而根據(jù)題意作圖，則連接AC，交于點(diǎn)E，然后可得AE的長(zhǎng)即為點(diǎn)A到上的點(diǎn)的距離為最大，由題意易得，則有△OFC是等腰直角三角形，，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，最后問(wèn)題可求解．【詳解】解：由題意得當(dāng)與BC、CD相切時(shí)，切點(diǎn)分別為F、G，點(diǎn)A到上的點(diǎn)的距離取得最大，如圖所示：連接AC，OF，AC交于點(diǎn)E，此時(shí)AE的長(zhǎng)即為點(diǎn)A到上的點(diǎn)的距離為最大，如圖所示，∵四邊形是正方形，且邊長(zhǎng)為4，∴，∴△OFC是等腰直角三角形，，∵的半徑為1，∴，∴，∴，∴，即點(diǎn)A到上的點(diǎn)的距離的最大值為；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、切點(diǎn)的性質(zhì)定理及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)、切點(diǎn)的性質(zhì)定理及等腰直角三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．21．(2023·四川涼山中考）如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，的半徑為，P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作的切線PQ，切點(diǎn)為Q，則PQ的最小值為________．【答案】3【分析】連接OC和PC，利用切線的性質(zhì)得到CQ⊥PQ，可得當(dāng)CP最小時(shí)，PQ最小，此時(shí)CP⊥AB，再求出CP，利用勾股定理求出PQ即可．【詳解】解：連接QC和PC，∵PQ和圓C相切，∴CQ⊥PQ，即△CPQ始終為直角三角形，CQ為定值，∴當(dāng)CP最小時(shí)，PQ最小，∵△ABC是等邊三角形，∴當(dāng)CP⊥AB時(shí)，CP最小，此時(shí)CP⊥AB，∵AB=BC=AC=4，∴AP=BP=2，∴CP==，∵圓C的半徑CQ=，∴PQ==3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意得到當(dāng)PC⊥AB時(shí)，線段PQ最短是關(guān)鍵．22．(2023·山東省濟(jì)寧中考）如圖,在四邊形ABCD中，以AB為直徑的半圓O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,D．AC與BD相交于點(diǎn)E，CD2=CE·CA,分別延長(zhǎng)AB,DC相交于點(diǎn)P，PB=BO，CD=2．則BO的長(zhǎng)是_________．【答案】4【分析】連結(jié)OC，設(shè)⊙O的半徑為r，由DC2=CE?CA和∠ACD=∠DCE，可判斷△CAD∽△CDE，得到∠CAD=∠CDE，再根據(jù)圓周角定理得∠CAD=∠CBD，所以∠CDB=∠CBD，利用等腰三角形的判定得BC=DC，證明OC∥AD，利用平行線分線段成比例定理得到，則，然后證明，利用相似比得到，再利用比例的性質(zhì)可計(jì)算出r的值即可．【詳解】解：連結(jié)，如圖，設(shè)的半徑為，，，而，，，，，，，，，，，，，，，即，，即OB=4.故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：三角形相似的判定一直是中考考查的熱點(diǎn)之一，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形，判定三角形相似的方法有時(shí)可單獨(dú)使用，有時(shí)需要綜合運(yùn)用，無(wú)論是單獨(dú)使用還是綜合運(yùn)用，都要具備應(yīng)有的條件方可．也考查了圓周角定理．23．如圖，以等邊三角形ABC的BC邊為直徑畫圓，交AC于點(diǎn)D，于點(diǎn)F，連接OF，且．（1）求證：DF是的切線；（2）求線段OF的長(zhǎng)度．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）連接OD，先說(shuō)明是等邊三角形得到，說(shuō)明，進(jìn)而得到即可證明；（2）根據(jù)三角形中位線的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)得到，最后運(yùn)用勾股定理解答即可．【詳解】（1）證明：連接OD∵是等邊三角形∴∵∴是等邊三角形∴∴OD//AB∵∴∴∴DF是的切線；（2）∵OD//AB，∴OD為的中位線∴∵，∴∴由勾股定理，得：∴在中，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線的證明、三角形中位線的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．24．(2023·武漢中考）如圖，是的直徑，是上兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足是．連接交于點(diǎn)．

（1）求證：是的切線；（2）若，求的值．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）連接交于點(diǎn)．由點(diǎn)是的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理⊥．DG=BG，可證四邊形是矩形，可得即可．（2）連接，設(shè)，．設(shè)，可得．證明．可得，即．解得，可求，．在中，由勾股定理得．，解得，．根據(jù)余弦三角函數(shù)定義求即可．【詳解】1）證明：連接交于點(diǎn)．∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，BD為弦，OC為半徑，∴⊥．DG=BG，∵是的直徑，∴，∴．∵，∴．∴四邊形是矩形，∴．∴EC⊥OC，又∵OC為半徑，∴是的切線．

（2）解：連接，設(shè)，．

∵，設(shè)，∴．由（1）得，,．∵是的直徑，∴．∴，，∴，∴．，∴，∴．解得，，（不符合題意，舍去）．∴，．在中，由勾股定理得．∴，解得，．∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線判定，直徑所對(duì)圓周角性質(zhì)，垂徑定理，三角形相似判定與性質(zhì)，勾股定理，余弦三角函數(shù)定義，利用相似三角形的性質(zhì)與勾股定理構(gòu)造方程是解題關(guān)鍵．25．(2023·江蘇連云港中考）如圖，中，，以點(diǎn)C為圓心，為半徑作，D為上一點(diǎn)，連接、，，平分．（1）求證：是的切線；（2）延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)E，若，求的值．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）利用SAS證明，可得，即可得證；（2）由已知條件可得，可得出，進(jìn)而得出即可求得；【詳解】（1）∵平分，∴．∵，，∴．∴．∴，∴是的切線．（2）由（1）可知，，又，∴．∵，且，∴，∴．∵，∴．∵∴【點(diǎn)睛】此題考查了切線的判定與性質(zhì)，正切的性質(zhì)，以及相似三角形的性質(zhì)判定，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是解本題的關(guān)鍵．26．(2023·四川瀘州中考）如圖，ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，AE是⊙O的直徑，連接EC（1）求證：；（2）若，于點(diǎn)，，，求的值【答案】（1）證明見詳解；（2）18．【分析】（1）連接，根據(jù)是⊙O的切線，AE是⊙O的直徑，可得，利用，得到，根據(jù)圓周角定理可得，則可證得；（2）由（1）可知，易得，則有,則可得，并可求得，連接，易證，則有，可得．【詳解】解：（1）連接∵是⊙O的切線，AE是⊙O的直徑，∴，∴∴又∵∴根據(jù)圓周角定理可得：∴，∴；（2）由（1）可知，∵∴∴∴,∵，，∴∴∴又∵中，∴，如圖示，連接∵，∴∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．27．(2023·甘肅蘭州中考）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，為上一點(diǎn)，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)，可得，根據(jù)對(duì)頂角相等可得，進(jìn)而可得，根據(jù)，可得，結(jié)合，根據(jù)角度的轉(zhuǎn)化可得，進(jìn)而即可證明是的切線；（2）根據(jù)，可得，設(shè)，則，分別求得，進(jìn)而根據(jù)勾股定理列出方程解方程可得，進(jìn)而根據(jù)即可求得．【詳解】（1），，，，，，是直徑，，，是的切線；（2），，，設(shè)，則，，，在中，，即，解得（舍去），．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，勾股定理解直角三角形，正切的定義，利用角度相等則正切值相等將已知條件轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．28．(2023·中考預(yù)測(cè)）如圖，已知，在ABC中，O為AB上一點(diǎn)，CO平分∠ACB，以O(shè)為圓心，OB長(zhǎng)為半徑作⊙O，⊙O與BC相切于點(diǎn)B，交CO于點(diǎn)D，延長(zhǎng)CO交⊙O于點(diǎn)E，連接BD，BE．（1）求證：AC是⊙O的切線．（2）若tan∠BDE，BC=6，求⊙O的半徑．【答案】（1）見解析；（2）4.5【分析】（1）作OF⊥AC于F，利用角平分線的性質(zhì)證明OF=OB，即可證明AC是⊙O的切線．（2）利用圓周角定理證明△CBE∽△CDB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：作OF⊥AC于F，∵⊙O與BC相切于點(diǎn)B，∴OB⊥BC，∵CO平分∠ACB，∴OF=OB，又OB是半徑，OF⊥AC于F，∴AC是⊙O的切線．（2）解：∵DE是直徑，∴∠DBE=90°，又tan∠BDE，∴，由（1），知∵OE=OB，OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠DBC=∠OBE，∴∠E=∠OBE，∴∠E=∠DBC，又∠C=∠C，∴△CBE∽△CDB，∴，∵BC=6，∴，∴，∴DE=9，∵OD=4.5，即⊙O的半徑是4.5．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正切函數(shù)，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．29．(2023·中考預(yù)測(cè)）如圖，是的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，是的弦，．（1）求證：直線是的切線；（2）若，求的半徑；（3）若于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，，，請(qǐng)找出，，之間的關(guān)系，并證明．【答案】（1）見解析；（2）3；（3），理由見解析【分析】（1）先求出∠BAD＝120°，再求出∠OAB，進(jìn)而得出∠OAD＝90°，即可得出結(jié)論；

（2）先判斷出△AOC是等邊三角形，得出AC＝OC，再判斷出AC＝CD，即可得出結(jié)論；

（3）先判斷出∠CAP＝∠CEM，進(jìn)而得出△ACP≌△ECM（SAS），進(jìn)而得出CM＝CP，∠APC＝∠M＝30°，再判斷出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，，，，，，，，點(diǎn)在上，∴直線是的切線；（2）解：如圖1，連接，由（1）知，，，，是等邊三角形，，，，，，即的半徑為3；（3），理由：如圖，，，連接，延長(zhǎng)至，使，連接，，為的直徑，，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，，，過(guò)點(diǎn)作于，，在中，，，，，，，即．【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，主要考查了切線的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和勾股定理，構(gòu)造出直角三角形是解本題的關(guān)鍵．30．(2023·四川省宜賓市第二中學(xué)校一模）如圖，為的直徑，是半圓的中點(diǎn)，延長(zhǎng)到，使，連結(jié)、．（1）求證：是的切線；（2）求證：；（3）若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）2【分析】（1）連接OA，可得∠P=∠CAP，∠OAC=∠OCA，從而得∠CAP+∠OAC=90°，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（2）證明△AMC∽△CMN，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（3）連接DM，可得是等腰直角三角形，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：（1）連接OA，∵，∴∠P=∠CAP，∠OAC=∠OCA，∴∠CAP+∠OAC=×180°=90°，∴OA⊥AP，∴是的切線；（2）∵⊙O中，M點(diǎn)是半圓CD的中點(diǎn)，∴，∴∠CAM＝∠DCM，又∵∠CMA＝∠NMC，∴△AMC∽△CMN，∴，即CM2＝MN?MA；（3）連接DM，∵為的直徑，是半圓的中點(diǎn)，∴CM=DM，∠CMD=90°，即是等腰直角三角形，∵=2，∴CD=4，∴=4÷=2．【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的判定，圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．31．(2023·青海西寧中考）如圖，內(nèi)接于，，是的直徑，交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接．（1）求證：是的切線；（2）已知，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）由題意根據(jù)圓周角定理得出，結(jié)合同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等并利用經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)題意利用相似三角形的判定即兩個(gè)角分別相等的兩個(gè)三角形相似得出，繼而運(yùn)用相似比即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）證明：∵是的直徑∴（直徑所對(duì)的圓周角是直角）即∵∴（等邊對(duì)等角）∵∴（同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等）∴∵，∴∴即∴又∵是的直徑∴是的切線（經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）．（2）解：∵，∴∵，∴（兩個(gè)角分別相等的兩個(gè)三角形相似）∴，∴∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的切線的判定、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握?qǐng)A周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．32．(2023·四川自貢中考）如圖，點(diǎn)D在以AB為直徑的⊙O上，過(guò)D作⊙O的切線交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連接AD，F(xiàn)D．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，，求EF的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）