專題30等比數(shù)列通項與前n項和-2024年數(shù)學高頻考點重點題型（原卷版）

專題30等比數(shù)列通項與前n項和公式一、核心體系等比數(shù)列定義：二、關鍵能力1.理解等比數(shù)列的概念．2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式．3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關系，并能用有關知識解決相應的問題．4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系．三、教學建議從近三年高考情況來看，本講一直是高考的熱點．預測2022年高考將會:1．利用方程思想應用等比數(shù)列通項公式、前n項和公式求基本量；2．等比數(shù)列的性質及應用.3．更傾向于與等差數(shù)列或其他內容相結合的問題，其中涉及到方程的思想、等價轉化的思想、分類討論的思想等．從思維品質上看更講究思維的靈活性及深刻性．四、自主梳理 1.等比數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．數(shù)學語言表達式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q為非零常數(shù))，或eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q為非零常數(shù))．2.等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式(1)若等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比是q，則其通項公式為an＝a1qn－1；通項公式的推廣：an＝amqn－m.(2)等比數(shù)列的前n項和公式：當q＝1時，Sn＝na1；當q≠1時，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3.等比數(shù)列及前n項和的性質(1)如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項．即：G是a與b的等比中項?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab.(2)若{an}為等比數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak·al＝am·an．(3)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm．(4)當q≠－1，或q＝－1且n為奇數(shù)時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn．【必會結論】等比數(shù)列的常用性質(1)通項公式的推廣：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則am·an＝ap·aq＝aeq\o\al(2,k).(3)若數(shù)列{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))(λ≠0)仍然是等比數(shù)列．(4)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項也構成一個等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.(5)公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.(6)等比數(shù)列{an}滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,q>1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,0<q<1))時，{an}是遞增數(shù)列；滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,0<q<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,q>1))時，{an}是遞減數(shù)列．五、高頻考點+重點題型考點一、等比數(shù)列的基本量運算例11.【2022年全國乙卷】已知等比數(shù)列an的前3項和為168，a2?A．14 B．12 C．6 D．3例12.(2020·全國卷Ⅱ)數(shù)列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman.若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，則k＝()A．2 B．3C．4 D．5例13、若{an}為等比數(shù)列，a5＋a8＝－3，a4a9＝－18，則a2＋a11＝______________.訓練題組一1.(2020·全國卷Ⅱ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，則eq\f(Sn,an)＝()A．2n－1 B．2－21－nC．2－2n－1 D．21－n－12.（浙江高考真題）設公比為q(q＞0)的等比數(shù)列{an}的前n項和為{Sn}．若，，則q＝______________．訓練題組二在數(shù)列中，，且，則___________.2.【2020年新高考2卷（海南卷）】已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項公式；（2）求.訓練題組三設各項為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，則a3·a6·a9·…·a30等于()A.230B.210C.220D.215考點二、等比數(shù)列的性質應用例21.（2020·全國高三二模（理））已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，則（）A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值例22.在等比數(shù)列{an}中，公比為q，已知a1＝1，則是數(shù)列{an}單調遞減的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件例23.（2023·全國Ⅱ高考T8）記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．例24.(2021·沈陽二模)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝1，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn(n＝1,2,3，…)，則an＝___________________.訓練題組一（項的性質）1.已知數(shù)列{an}滿足log2an＋1＝1＋log2an(n∈N*)，且a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1，則log2(a101＋a102＋…＋a110)＝________.2.(2020·全國卷Ⅰ)設{an}是等比數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，則a6＋a7＋a8＝()A．12B．24C．30 D．32題組二（單調性）1．（2021·全國高考真題（理））等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，設甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件2.記數(shù)列{an}的前n項積為Tn，寫出一個同時滿足①②的數(shù)列{an}的通項公式：an＝_____．①{an}是遞增的等比數(shù)列；②T3＝T6.訓練題組三（前n項和的性質）1.（2021·全國高考真題（文））記為等比數(shù)列的前n項和.若，，則（）A．7 B．8 C．9 D．102.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝2，S3n＝14，則S4n等于()A．80B．30C．26 D．16訓練題組四（1.已知等比數(shù)列的公比為，前項和為，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件考點三、等比數(shù)列通項及前n項和的綜合應用例31.（多選）在公比為q的等比數(shù)列{an}中，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝1，a5＝27a2，則下列說法正確的是()A.q＝3B.數(shù)列{Sn＋2}是等比數(shù)列C.S5＝121D.2lgan＝lgan－2＋lgan＋2(n≥3)例32.已知是公比為的等比數(shù)列，為其前項和.若對任意的，恒成立，則（

）A．是遞增數(shù)列B．是遞減數(shù)列C．是遞增數(shù)列D．是遞減數(shù)列訓練題組1、設等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，并滿足條件a1>1，a2022a2023>1，eq\f(a2022－1,a2023－1)<0，下列結論正確的是()A.S2022<S2023B.a2022·a2024－1<0C.T2023是數(shù)列{Tn}中的最大值D.數(shù)列{Tn}無最大值2．（2023·天津·統(tǒng)考高考T19）已知是等差數(shù)列，．(1)求的通項公式和．(2)已知為等比數(shù)列，對于任意，若，則，（Ⅰ）當時，求證：；（Ⅱ）求的通項公式及其前項和．考點四、等比數(shù)列證明與判定例41.(2021新高考八省聯(lián)考卷)已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an＋2＝2an＋1＋3an.(1)證明：數(shù)列{an＋an＋1}為等比數(shù)列；(2)若a1＝eq\f(1,2)，a2＝eq\f(3,2)，求數(shù)列{an}的通項公式．例42.在數(shù)列{an}中，aeq\o\al(2,n＋1)＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5.(1)證明：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.例43.（2020·江蘇卷）設{an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項和，則d+q的值是_______．訓練題組1.（2018·全國卷）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an，設bn＝eq\f(an,n).(1)求b1，b2，b3；(2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由；(3)求{an}的通項公式．2.（2021·江蘇高考真題）已知數(shù)列滿足，且.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）求數(shù)列的前項和.3.【2019年新課標2卷理科】已知數(shù)列和{bn}滿足a1=1，b1=0，，.（1）證明：是等比數(shù)列，是等差數(shù)列；（2）求{an}和{bn}的通項公式.考點五、數(shù)學文化小型應用題例5．（2023·北京·統(tǒng)考高考T14）我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質量的“環(huán)權”．已知9枚環(huán)權的質量（單位：銖）從小到大構成項數(shù)為9的數(shù)列，該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列，后7項成等比數(shù)列，且，則；數(shù)列所有項的和為．訓練題組1.中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中記載了這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還.”其大意為：有一個人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，問此人第二天走了（）A．6里 B．24里 C．48里 D．96里2.我國古代著作《莊子天下篇》引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”其含義是：一尺長的木棍，每天截去它的一半，永遠也截不完.那么，第6天截取之后，剩余木棍的長度是_________尺；要使剩余木棍的長度小于尺，需要經過________次截取.3．（2017新課標全國II理科）我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()A．1盞B．3盞C．5盞D．9盞鞏固訓練一、單項選擇題1．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝32n－1＋r，則r的值為()A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,9)D．－eq\f(1,9)2．設{an}是公比為q的等比數(shù)列，則“q>1”是“{an}為遞增數(shù)列”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件3．（2020·全國高考真題）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則=（）A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–14．設等比數(shù)列{an}的公比為q，則下列結論正確的是()A．數(shù)列{anan＋1}是公比為q的等比數(shù)列B．數(shù)列{an＋an＋1}是公比為q的等比數(shù)列C．數(shù)列{an－an＋1}是公比為q的等比數(shù)列D．數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是公比為eq\f(1,q)的等比數(shù)列5．如圖，“數(shù)塔”的第行第個數(shù)為(其中，，且).將這些數(shù)依次排成一列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，記作數(shù)列，設的前項和為.若，則（）A．46 B．47 C．48 D．496.(2023·鎮(zhèn)江期中)已知等比數(shù)列{an}中，an>0，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，且S2＝48，S4＝60，則使得Tn<1成立的正整數(shù)n的最小值為()A.9 B.10C.11 D.127．若正項等比數(shù)列{an}滿足anan＋1＝22n(n∈N*)，則a6－a5的值是()A.eq\r(2) B．－16eq\r(2)C．2 D．16eq\r(2)8．我國明代的數(shù)學家、音樂理論家朱載填創(chuàng)立了十二平均律是第一個利用數(shù)學使音律公式化的人．十二平均律的生律法是精確規(guī)定八度的比例，把八度分成13個半音，使相鄰兩個半音之間的頻率比是常數(shù)，如下表所示，其中a1，a2，…，a13表示這些半音的頻率，它們滿足log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ai＋1,ai)))12＝1(i＝1,2，…，12)．若某一半音與D#的頻率之比為eq\r(3,2)，則該半音為()頻率a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13半音CC#DD#EFF#GG#AA#BC(八度)A．F# B．GC．G# D．A二、多項選擇題9．已知數(shù)列滿足，，其前項和為，則下列結論中正確的有（）A．是遞增數(shù)列 B．是等比數(shù)列C． D．10．在等比數(shù)列{an}中，公比為q，其前n項積為Tn，并且滿足a1＞1，a99·a100－1＞0，eq\f(a99－1,a100－1)＜0，下列選項中，結論正確的是()A．0＜q＜1B．a99·a101－1＜0C．T100的值是Tn中最大的D．使Tn＞1成立的最大自然數(shù)n等于19811.設{an}(n∈N*)是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，q是其公比，Kn是其前n項的積，且K5<K6，K6＝K7>K8，則下列選項中成立的是()A.0<q<1B.a7＝1C.K9>K5D.K6與K7均為Kn的最大值12.(2022·龍巖三模)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公比為q，則下列選項正確的是()A.若a1＝1，q＝2，則S6＝63B.若q>1，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列C.若a1>0，q>0，bn＝lgan，則數(shù)列{bn}是公差為lgq的等差數(shù)列D.若a1>0，q>0，且(a1＋a10)2＝a5a6＋12，則a1＋a10的最小值為4三、填空題13．已知數(shù)列滿足，則________，________．14.如圖所示，正方形上連結著等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再連結正方形，…，如此繼續(xù)下去得到一個樹狀圖形，稱為“勾股樹”．若某勾股樹含有1023個正方形，且其最大的正方形的邊長為eq\f(\r(2),2)，則其最小正方形的邊長為________．15.已知等比數(shù)列{an}滿足a