新教材數(shù)學(xué)人教A版學(xué)案4-5-3函數(shù)模型的應(yīng)用

4．5.3函數(shù)模型的應(yīng)用必備知識·探新知基礎(chǔ)知識知識點(diǎn)1指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型y＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)對數(shù)函數(shù)模型y＝mlogax＋n(m，a，n為常數(shù)，m≠0，a>0且a≠1)知識點(diǎn)2解函數(shù)應(yīng)用題的基本思路與步驟1．建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的基本思路2．建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的解題步驟某些實(shí)際問題提供的變量關(guān)系是確定的，即設(shè)自變量為x，因變量為y.它們已建立了函數(shù)模型，我們可以利用該函數(shù)模型得出實(shí)際問題的答案．具體解題步驟為：第一步，審題，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型．了解變量的含義，若模型中含有待定系數(shù)，則需要進(jìn)一步用待定系數(shù)法或其他方法確定．第二步，求解數(shù)學(xué)模型．利用數(shù)學(xué)知識，如函數(shù)的單調(diào)性、最值等，對函數(shù)模型進(jìn)行解答．第三步，轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問題的解．知識點(diǎn)3擬合函數(shù)模型問題定量分析和研究實(shí)際問題時(shí)，要深入調(diào)查、研究、了解對象信息，作出簡化假設(shè)，用數(shù)學(xué)的符號和語言，把它表述為數(shù)學(xué)式子(也就是數(shù)學(xué)模型)，然后計(jì)算得到模型的結(jié)果，并進(jìn)行檢驗(yàn)，最后解釋實(shí)際問題．這個(gè)建立數(shù)學(xué)模型的全過程，就稱為數(shù)學(xué)建模．根據(jù)收集的數(shù)據(jù)或給出的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，然后選擇函數(shù)模型，并求出函數(shù)解析式，再進(jìn)行擬合、比較，選出最恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型的過程，稱為函數(shù)擬合(或數(shù)據(jù)擬合)．1．建立擬合函數(shù)模型的步驟(1)收集數(shù)據(jù)．(2)根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出散點(diǎn)圖．(3)根據(jù)點(diǎn)的分布特征，選擇一個(gè)能刻畫散點(diǎn)圖特征的函數(shù)模型．(4)選擇其中的幾組數(shù)據(jù)求出函數(shù)模型．(5)將已知數(shù)據(jù)代入所求出的函數(shù)模型中進(jìn)行檢驗(yàn)，看其是否符合實(shí)際，若不符合實(shí)際，則返回步驟(3)，若符合實(shí)際，則進(jìn)入下一步．(6)用所得函數(shù)模型解釋實(shí)際問題．2．建立擬合函數(shù)模型的一般流程根據(jù)建立擬合函數(shù)模型的步驟，我們用如圖來表示建立擬合函數(shù)模型的一般流程．基礎(chǔ)自測1．某廠2008年的產(chǎn)值為a萬元，預(yù)計(jì)產(chǎn)值每年以n%的速度遞增，則該廠到2020年的產(chǎn)值(單位：萬元)是(B)A．a(chǎn)(1＋n%)13 B．a(chǎn)(1＋n%)12C．a(chǎn)(1＋n%)11 D．a(chǎn)(1－n%)12[解析]2008年的產(chǎn)值為a萬元，2009年的產(chǎn)值為a＋a·n%＝a(1＋n%)，2010年的產(chǎn)值為a(1＋n%)＋a(1＋n%)·n%＝a(1＋n%)2，…，2020年的產(chǎn)值為a(1＋n%)12.2．某種細(xì)菌經(jīng)30分鐘個(gè)數(shù)變?yōu)樵瓉淼?倍，且該種細(xì)菌的繁殖規(guī)律為y＝ekt，其中k為常數(shù)，t表示時(shí)間(單位：時(shí))，y表示繁殖后細(xì)菌總個(gè)數(shù)，則k＝2ln_2，經(jīng)過5小時(shí)，1個(gè)細(xì)菌通過繁殖個(gè)數(shù)變?yōu)?_024．[解析]由題意知，當(dāng)t＝eq\f(1,2)時(shí)，y＝2，即2＝eeq\f(1,2)k，∴k＝2ln2，∴y＝e2tln2.當(dāng)t＝5時(shí)，y＝e2×5×ln2＝210＝1024.即經(jīng)過5小時(shí)，1個(gè)細(xì)菌通過繁殖個(gè)數(shù)變?yōu)?024.3．某種動(dòng)物繁殖數(shù)量y(只)與時(shí)間x(年)的關(guān)系為y＝alog2(x＋1)，設(shè)這種動(dòng)物第1年有100只，則第7年它們繁殖到300只．[解析]由題意，繁殖數(shù)量y(只)與時(shí)間x(年)的關(guān)系為y＝alog2(x＋1)，這種動(dòng)物第1年有100只，所以100＝alog2(1＋1)，所以a＝100，所以y＝100log2(x＋1)，所以當(dāng)x＝7時(shí)y＝100log2(7＋1)＝100×3＝300.4．某學(xué)校開展研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，一組同學(xué)獲得了下面的一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)：x1.99345.18y0.991.582.012.353.00現(xiàn)有如下5個(gè)模擬函數(shù)：①y＝0.58x－0.16； ②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8; ④y＝log2x；⑤y＝(eq\f(1,2))x＋1.74.請從中選擇一個(gè)模擬函數(shù)，使它能近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，應(yīng)選④(填序號)．[解析]畫出散點(diǎn)圖如圖所示：由圖可知上述散點(diǎn)大致在函數(shù)y＝log2x上，故函數(shù)y＝log2x可以近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律．關(guān)鍵能力·攻重難題型探究題型一一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)模型例1某市“網(wǎng)約車”的現(xiàn)行計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是：路程在2km以內(nèi)(含2km)按起步價(jià)8元收取，超過2km后的路程按1.9元/km收取，但超過10km后的路程需加收50%的返空費(fèi)(即單價(jià)為1.9×(1＋50%)＝2.85元/km)．(1)將某乘客搭乘一次“網(wǎng)約車”的費(fèi)用f(x)(單位：元)表示為行程x(0<x≤60，單位：km)的分段函數(shù)；(2)某乘客的行程為16km，他準(zhǔn)備先乘一輛“網(wǎng)約車”行駛8km后，再換乘另一輛“網(wǎng)約車”完成余下行程，請問：他這樣做是否比只乘一輛“網(wǎng)約車”完成全部行程更省錢？請說明理由．[解析](1)由題意得，車費(fèi)f(x)關(guān)于路程x的函數(shù)為f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8（0<x≤2），,8＋1.9（x－2）（2<x≤10），,8＋1.9×8＋2.85（x－10）（10<x≤60），))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8（0<x≤2），,4.2＋1.9x（2<x≤10），,2.85x－5.3（10<x≤60）.))(2)只乘一輛車的車費(fèi)為f(16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)，換乘2輛車的車費(fèi)為2f(8)＝2(4.2＋1.9×8)＝38.8(元)．因此40.3>38.8，所以該乘客換乘比只乘一輛車更省錢．[歸納提升]1.利用二次函數(shù)求最值的方法及注意點(diǎn)(1)方法：根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)模型解析式后，可利用配方法、判別式法、提元法及利用函數(shù)的單調(diào)性等方法求最值，從而解決實(shí)際問題中的利潤最大、用料最省等最值問題．(2)注意：取得最值時(shí)的自變量與實(shí)際意義是否相符．2．應(yīng)用分段函數(shù)時(shí)的三個(gè)注意點(diǎn)(1)分段函數(shù)的“段”一定要分得合理，不重不漏．(2)分段函數(shù)的定義域?yàn)閷?yīng)每一段自變量取值范圍的并集．(3)分段函數(shù)的值域求法為：逐段求函數(shù)值的范圍．最后比較再下結(jié)論．【對點(diǎn)練習(xí)】?某車間生產(chǎn)一種儀器的固定成本為10000元，每生產(chǎn)一臺該儀器需要增加投入100元，已知總收入滿足函數(shù)：H(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(400x－x2，0≤x≤200，x∈N，,40000，x>200，x∈N，))其中x是儀器的月產(chǎn)量．(1)將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)(用f(x)表示)；(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，車間所獲利潤最大？最大利潤為多少元？(總收入＝總成本＋利潤)[解析](1)設(shè)每月產(chǎn)量為x臺，則總成本為t＝10000＋100x.又f(x)＝H(x)－t，∴f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋300x－10000，0≤x≤200，x∈N，,30000－100x，x>200，x∈N.))(2)當(dāng)0≤x≤200時(shí)，f(x)＝－(x－150)2＋12500，所以當(dāng)x＝150時(shí)，有最大值12500；當(dāng)x>200時(shí)，f(x)＝30000－100x是減函數(shù)，f(x)<30000－100×200<12500.所以當(dāng)x＝150時(shí)，f(x)取最大值，最大值為12500.所以每月生產(chǎn)150臺儀器時(shí)，利潤最大，最大利潤為12500元．題型二指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用例22011年10月31日世界人口達(dá)到70億，假設(shè)世界人口年增長率為2.1‰，用英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯提出自然狀態(tài)下的人口增長模型：y＝y(tǒng)0ert預(yù)測什么時(shí)候世界人口會(huì)翻一番？[分析]解指數(shù)方程，要進(jìn)行指對式互化．[解析]由2011年世界人口數(shù)據(jù)，把y0＝70，r＝0.0021代入馬爾薩斯人口模型，得y＝70e0.0021t.解不等式y(tǒng)＝70e0.0021t≥140得t≥eq\f(ln2,0.0021)≈330.所以由馬爾薩斯人口模型估算，經(jīng)過330年后，即2341年世界人口達(dá)到140億．[歸納提升]指數(shù)型函數(shù)問題的類型及解法(1)指數(shù)型函數(shù)模型：y＝max(a>0且a≠1，m≠0)，在實(shí)際問題中，有關(guān)人口增長，銀行利率，細(xì)胞分裂等增長率問題都可用指數(shù)型函數(shù)模型來表示．(2)指數(shù)型、對數(shù)型函數(shù)應(yīng)用題的解題思路：①依題意，找出或建立數(shù)學(xué)模型，②依實(shí)際情況確立解析式中的參數(shù)，③依題設(shè)數(shù)據(jù)解決數(shù)學(xué)問題，④得出結(jié)論．【對點(diǎn)練習(xí)】?目前某縣有100萬人．經(jīng)過x年后為y萬人．如果年平均增長率是1.2%.請回答下列問題：(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)計(jì)算10年后該縣的人口總數(shù)(精確到0.1萬人)；(3)計(jì)算大約多少年后該縣的人口總數(shù)將達(dá)到120萬(精確到1年)．[解析](1)當(dāng)x＝1時(shí)，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)當(dāng)x＝2時(shí)，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；當(dāng)x＝3時(shí)，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3；……故y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．(2)當(dāng)x＝10時(shí)，y＝100(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7，故10年后該縣人口總數(shù)約有112.7萬人．(3)設(shè)x年后該縣人口總數(shù)將達(dá)到120萬人，即y＝100(1＋1.2%)x＝120，解得x＝log1.012eq\f(120,100)≈16.故大約16年后該縣的人口總數(shù)將達(dá)到120萬人．題型三對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用例3有一種候鳥每年都按一定的路線遷徙，飛往繁殖地產(chǎn)卵，科學(xué)家經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)候鳥的飛行速度可以表示為函數(shù)v＝eq\f(1,2)log3eq\f(x,100)－lgx0，單位是km/min，其中x表示候鳥每分鐘耗氧量的單位數(shù)，x0代表測量過程中某類候鳥每分鐘的耗氧量偏差(參考數(shù)據(jù)：lg2＝0.30，31.2＝3.74，31.4＝4.66)．(1)當(dāng)x0＝2，候鳥每分鐘的耗氧量為8100個(gè)單位時(shí)，候鳥的飛行速度是多少km/min?(2)當(dāng)x0＝5，候鳥停下休息時(shí)，它每分鐘的耗氧量為多少單位？(3)若雄鳥的飛行速度為2.5km/min，同類雌鳥的飛行速度為1.5km/min，則此時(shí)雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘的耗氧量的多少倍？[分析](1)將x0，x代入解析式求速度．(2)利用候鳥休息的速度為0解題．(3)利用對數(shù)運(yùn)算，兩式相減構(gòu)成耗氧量的商．[解析](1)由題意，x0＝2，x＝8100，得v＝eq\f(1,2)log3eq\f(8100,100)－lg2＝1.7，故此時(shí)候鳥的飛行速度為1.7km/min.(2)由題意得，當(dāng)候鳥停下休息時(shí)，它的速度是0，可得，0＝eq\f(1,2)log3eq\f(x,100)－lg5，即log3eq\f(x,100)＝2lg5，解得：x＝466，故候鳥停下休息時(shí)每分鐘的耗氧量為466個(gè)單位．(3)設(shè)雄鳥的耗氧量為x1，雌鳥的耗氧量為x2，由題意得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2.5＝\f(1,2)log3\f(x1,100)－lgx0，,1.5＝\f(1,2)log3\f(x2,100)－lgx0，))兩式相減可得1＝eq\f(1,2)log3eq\f(x1,x2)，解得：eq\f(x1,x2)＝9，故此時(shí)雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘的耗氧量的9倍．[歸納提升]對數(shù)型函數(shù)問題的類型及解法(1)對數(shù)型函數(shù)模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0且a≠1)，對數(shù)型函數(shù)模型一般給出函數(shù)關(guān)系式，然后利用對數(shù)的運(yùn)算求解．(2)對數(shù)型函數(shù)應(yīng)用題的解題思路：①依題意，找出或建立數(shù)學(xué)模型，②依實(shí)際情況確立解析式中的參數(shù)，③依題設(shè)數(shù)據(jù)解決數(shù)學(xué)問題，④得出結(jié)論．【對點(diǎn)練習(xí)】?大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵．研究鮭魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速v(單位：m/s)與其耗氧量單位數(shù)Q之間的關(guān)系可以表示為函數(shù)v＝klog3eq\f(Q,100)＋b，其中k，b為常數(shù)．已知一條鮭魚在靜止時(shí)的耗氧量為100個(gè)單位；而當(dāng)它的游速為1.5m/s時(shí)，其耗氧量為2700個(gè)單位．(1)求出游速v與其耗氧量單位數(shù)Q之間的函數(shù)解析式；(2)求當(dāng)一條鮭魚的游速不高于2.5m/s時(shí)，其耗氧量至多需要多少個(gè)單位．[解析](1)由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝k·log3\f(100,100)＋b，,1.5＝k·log3\f(2700,100)＋b，))解得k＝eq\f(1,2)，b＝0，所以游速v與其耗氧量單位數(shù)Q之間的函數(shù)解析式v＝eq\f(1,2)log3eq\f(Q,100).(2)由題意，有eq\f(1,2)log3eq\f(Q,100)≤2.5，即log3eq\f(Q,100)≤5，所以log3eq\f(Q,100)≤log335，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性有0<eq\f(Q,100)≤35，解得0<Q≤24300，故當(dāng)一條鮭魚的游速不高于2.5m/s時(shí)，其耗氧量至多需要24300個(gè)單位．誤區(qū)警示忽視實(shí)際問題對定義域的限制致誤例4生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本，它可以表示為商品數(shù)量的函數(shù)．現(xiàn)知一企業(yè)生產(chǎn)某種商品的數(shù)量為x(件)時(shí)的成本函數(shù)為y＝10＋2x＋2x2(萬元)，如果售出一件商品的價(jià)格是20萬元，那么該企業(yè)所能獲取的最大利潤是多少？[錯(cuò)解]設(shè)該企業(yè)所能獲取的最大利潤為z萬元，則z＝20x－(10＋2x＋2x2)，即z＝－2x2＋18x－10＝－2(x－4.5)2＋30.5，故z的最大值為30.5，即該企業(yè)所能獲取的最大利潤為30.5萬元．[錯(cuò)因分析]題目中的條件已經(jīng)暗示了x為自然數(shù)，而該錯(cuò)解中卻是在x＝4.5時(shí)取到的最大值30.5，這種情況在實(shí)際中是無法操作的．[正解]設(shè)該企業(yè)所能獲取的最大利潤為z萬元，則z＝20x－(10＋2x＋2x2)(x∈N)，即z＝－2x2＋18x－10＝－2(x－4.5)2＋30.5，故當(dāng)x＝4或5時(shí)，z取最大值30，即該企業(yè)生產(chǎn)4件或5件商品時(shí)所取得的利潤最大，為30萬元．BBBB學(xué)科素養(yǎng)二分法的數(shù)學(xué)思想方法是將方程的根看作函數(shù)的零點(diǎn)，利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，將求方程根的問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算函數(shù)值，逐步逼近零點(diǎn)，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想，轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想及數(shù)學(xué)推理．例5已知函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－6.(1)證明：f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；(2)求這個(gè)零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間，使這個(gè)區(qū)間的長度不大于eq\f(1,4).[解析](1)∵函數(shù)y＝lnx，y＝2x－6在(0，＋∞)上都是增函數(shù)，∴f(x)＝lnx＋2x－6在(0，＋∞)上是增函數(shù)，∴f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，由f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3>0，∴f(2)·f(3)<0，∴f(x)在(2，3)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，∴f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．(2)∵f(2)<0，f(3)>0，取x1＝eq\f(2＋3,2)＝eq\f(5,2)，f(eq\f(5,2))＝lneq\f(5,2)＋5－6＝lneq\f(5,2)－1<0，∴f(3)·f(eq\f(5,2))<0，∴f(x)的零點(diǎn)x0∈(eq\f(5,2)，3)．取x2＝eq\f(\f(5,2)＋3,2)＝eq\f(11,4)，f(eq\f(11,4))＝lneq\f(11,4)＋2×eq\f(11,4)－6＝lneq\f(11,4)－eq\f(1,2)>0，∴f(eq\f(11,4))·f(eq\f(5,2))<0，∴x0∈(eq\f(5,2)，eq\f(11,4))．∵|eq\f(11,4)－eq\f(5,2)|＝eq\f(1,4)≤eq\f(1,4)，∴滿足題意的區(qū)間為(eq\f(5,2)，eq\f(11,4))．課堂檢測·固雙基1．如表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，由此判斷它最可能的