排列組合（一）學(xué)案-高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

排列與組合(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解排列、組合的概念．2．能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式．3．能利用排列組合知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．要點(diǎn)梳理：1．排列(1)排列的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．(2)排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用Aeq\o\al(m,n)表示．(3)排列數(shù)公式：Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．(4)全排列：n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列，Aeq\o\al(n,n)＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列數(shù)公式寫(xiě)成階乘的形式為Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)，這里規(guī)定0?。?.2．組合(1)組合的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素合成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．(2)組合數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用Ceq\o\al(m,n)表示．(3)組合數(shù)的計(jì)算公式：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(n！,m！n－m！)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，由于0?。?，所以Ceq\o\al(0,n)＝1.(4)組合數(shù)的性質(zhì)：①；②.1．排列與組合最根本的區(qū)別在于“有序”和“無(wú)序”．取出元素后交換順序，如果與順序有關(guān)是排列，如果與順序無(wú)關(guān)即是組合．2．求解排列、組合問(wèn)題的思路：“排組分清，加乘明確；有序排列，無(wú)序組合；分類相加，分步相乘．”【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列．()(2)一個(gè)組合中取出的元素講究元素的先后順序．()(3)兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同．()(4)(n＋1)?。璶?。絥·n！.()(5)Aeq\o\al(m,n)＝nAeq\o\al(m－1,n－1).()(6)kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1).()題型一排列數(shù)公式與組合數(shù)公式的應(yīng)用例1(1)解方程3Aeq\o\al(x,8)＝4Aeq\o\al(x－1,9)；(2)解方程Ceq\o\al(x＋1,x＋3)＝Ceq\o\al(x－1,x＋1)＋Ceq\o\al(x,x＋1)＋Ceq\o\al(x－2,x＋2).(3)計(jì)算：Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,100).題型二排列基本方法梳理法一運(yùn)用兩個(gè)基本原理例2：有9名同學(xué)排成兩排，第一行4人，第二行5人，其中甲必須在第一行，乙丙必須排在第二行，問(wèn)有多少種不同的排法？法二直接法例3甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次．甲和乙去詢問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾，你和乙都沒(méi)有得到冠軍．”對(duì)乙說(shuō)：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的．”從這兩個(gè)回答分析，5人的名次排列方式共有（

）種A．54 B．72 C．96 D．120法三間接法例4某學(xué)校計(jì)劃從包含甲?乙?丙三位教師在內(nèi)的10人中選出5人組隊(duì)去西部支教，若甲?乙?丙三位教師至少一人被選中，則組隊(duì)支教的不同方式共有（

）A．21種 B．231種 C．238種 D．252種法四列舉法例5三人互相傳球，由甲開(kāi)始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過(guò)5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有（

）A．6種 B．8種 C．10種 D．16種法五特殊元素（位置）優(yōu)先例6某班上午要上語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)及體育四門課，如果體育不排在第一、二節(jié)，語(yǔ)文不排在第三、四節(jié)，則不同的排法方案有多少種？法六相鄰問(wèn)題用捆綁法例7某一天的課程表要排入語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)、生物六門課，如果數(shù)學(xué)只能排在第一節(jié)或者最后一節(jié)，物理和化學(xué)必須排在相鄰的兩節(jié)，則共有（

）種不同的排法 B． C． D．法七相離問(wèn)題用插空法例82022年2月4日，中國(guó)北京第24屆奧林匹克冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式以二十四節(jié)氣的方式開(kāi)始倒計(jì)時(shí)創(chuàng)意新穎，驚艷了全球觀眾．衡陽(yáng)市某中學(xué)為了弘揚(yáng)我國(guó)二十四節(jié)氣文化，特制作出“立春”、“驚蟄”、“雨水”、“春分”、“清明”、“谷雨”六張知識(shí)展板分別放置在六個(gè)并排的文化櫥窗里，要求“立春”和“春分”兩塊展板相鄰，且“清明”與“驚蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式有多少種？（

）A．24 B．48 C．144 D．244法八定序問(wèn)題（先選后排）例9花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國(guó)傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時(shí)代的文化產(chǎn)物，兼具生活功能與藝術(shù)特色.如圖，現(xiàn)有懸掛著的8盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法總數(shù)為（

）A．2520 B．5040 C．7560 D．10080題型三排隊(duì)問(wèn)題例10在班級(jí)活動(dòng)中，4名男生和3名女生站成一排表演節(jié)目：（寫(xiě)出必要的數(shù)學(xué)式，結(jié)果用數(shù)字作答）三名女生不能相鄰，有多少種不同的站法？四名男生相鄰有多少種不同的排法？女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少種不同的排法？甲乙丙三人按高低從左到右有多少種不同的排法？（甲乙丙三位同學(xué)身高互不相等）從中選出2名男生和2名女生表演分四個(gè)不同角色朗誦，有多少種選派方法？（6）現(xiàn)在有7個(gè)座位連成一排，僅安排4個(gè)男生就坐，恰好有兩個(gè)空座位相鄰的不同坐法共有多少種？題型四：數(shù)字排列問(wèn)題例11用數(shù)字0，2，3，5，6，7選擇不重復(fù)的數(shù)字．能組成多少四位數(shù)？能組成多少小于1000的數(shù)？能組成多少四位偶數(shù)？能組成多少被5整除的四位數(shù)？被25整除的四位數(shù)？能組成多少被3整除的四位數(shù)？四位數(shù)從小到大排列，5307是第幾項(xiàng)？所有四位數(shù)的和是多少？例12用0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)字排成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的6位數(shù)，滿足以下條件的分別有多少個(gè)？(1)0不在個(gè)位；(2)1與2相鄰；(3)1與2不相鄰；(4)0與1之間恰有兩個(gè)數(shù)；(5)1不在個(gè)位．求排列應(yīng)用題的主要方法有：1．直接法：把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算．2．特殊元素(或位置)優(yōu)先安排的方法．即先排特殊元素或特殊位置.3．排列、組合混合問(wèn)題先選后排的方法．4．相鄰問(wèn)題捆綁處理的方法．即可以把相鄰元素看作一個(gè)整體參與其他元素排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列．5．不相鄰問(wèn)題插空處理的方法．即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中．6．分排問(wèn)題直排處理的方法．7．“小集團(tuán)”排列問(wèn)題中先集體后局部的處理方法．8．定序問(wèn)題除法處理的方法．即可以先不考慮順序限制，排列后再除以定序元素的全排列．9．正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法．排列與組合(一)學(xué)案答案【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列．(×)(2)一個(gè)組合中取出的元素講究元素的先后順序．(×)(3)兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同．(√)(4)(n＋1)?。璶?。絥·n！.(√)(5)Aeq\o\al(m,n)＝nAeq\o\al(m－1,n－1).(√)(6)kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1).(√)題型一排列數(shù)公式與組合數(shù)公式的應(yīng)用解：(1)利用3Aeq\o\al(x,8)＝3eq\f(8！,（8－x）！)，4Aeq\o\al(x－1,9)＝4eq\f(9！,（9－x＋1）！)，得到eq\f(3×8！,（8－x）！)＝eq\f(4×9！,（10－x）！).利用(10－x)?。?10－x)(9－x)(8－x)！，將上式化簡(jiǎn)后得到(10－x)(9－x)＝4×3.再化簡(jiǎn)得到x2－19x＋78＝0.解方程得x1＝6，x2＝13.由于Aeq\o\al(x,8)和Aeq\o\al(x－1,9)有意義，所以x滿足x≤8和x－1≤9.于是將x2＝13舍去，原方程的解是x＝6.(2)由組合數(shù)的性質(zhì)可得Ceq\o\al(x－1,x＋1)＋Ceq\o\al(x,x＋1)＋Ceq\o\al(x－2,x＋2)＝Ceq\o\al(2,x＋1)＋Ceq\o\al(1,x＋1)＋Ceq\o\al(4,x＋2)＝Ceq\o\al(2,x＋2)＋Ceq\o\al(4,x＋2)，又Ceq\o\al(x＋1,x＋3)＝Ceq\o\al(2,x＋3)，且Ceq\o\al(2,x＋3)＝Ceq\o\al(2,x＋2)＋Ceq\o\al(1,x＋2)，即Ceq\o\al(1,x＋2)＋Ceq\o\al(2,x＋2)＝Ceq\o\al(2,x＋2)＋Ceq\o\al(4,x＋2).∴Ceq\o\al(1,x＋2)＝Ceq\o\al(4,x＋2)，∴5＝x＋2，x＝3.經(jīng)檢驗(yàn)知x＝3符合題意且使得各式有意義，故原方程的解為x＝3.(3)原式＝(Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3))＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,100)＝(Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,4))＋…＋Ceq\o\al(2,100)＝…＝Ceq\o\al(3,100)＋Ceq\o\al(2,100)＝Ceq\o\al(3,101)＝166650.題型二排列基本方法梳理法一運(yùn)用兩個(gè)基本原理例1：解：第一步甲在第一排，有種，第二步排乙、丙在第二行，有種，其余6人有種，故共有種。法二直接法1．甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次．甲和乙去詢問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾，你和乙都沒(méi)有得到冠軍．”對(duì)乙說(shuō)：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的．”從這兩個(gè)回答分析，5人的名次排列方式共有（

）種A．54 B．72 C．96 D．120【答案】A【分析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①、甲是最后一名，則乙可以為第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三個(gè)名次，②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三個(gè)名次，由加法原理計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，甲乙都沒(méi)有得到冠軍，而乙不是最后一名，分2種情況討論：①甲是最后一名，則乙可以為第二、三、四名，即乙有3種情況，剩下的三人安排在其他三個(gè)名次，有種情況，此時(shí)有種名次排列情況；②甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有種情況，剩下的三人安排在其他三個(gè)名次，有種情況，此時(shí)有種名次排列情況；則一共有種不同的名次情況，故選：A．法三間接法2．某學(xué)校計(jì)劃從包含甲?乙?丙三位教師在內(nèi)的10人中選出5人組隊(duì)去西部支教，若甲?乙?丙三位教師至少一人被選中，則組隊(duì)支教的不同方式共有（

）A．21種 B．231種 C．238種 D．252種【答案】B【分析】利用間接法求解，先求出任選5人的選法再減去甲乙丙三人都不被選的選法即可得解.【詳解】10人中選5人有種選法，其中，甲?乙?丙三位教師均不選的選法有種，則甲?乙?丙三位教師至少一人被選中的選法共有種.故選：B法四列舉法三人互相傳球，由甲開(kāi)始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過(guò)5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有（

）A．6種 B．8種 C．10種 D．16種【答案】C【分析】列出樹(shù)狀圖，由分類加法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】根據(jù)題意，作出樹(shù)狀圖，第四次球不能傳給甲，由分步加法計(jì)數(shù)原理可知：經(jīng)過(guò)5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有10種，故選：C.法五特殊元素（位置）優(yōu)先例3，某班上午要上語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)及體育四門課，如果體育不排在第一、二節(jié)，語(yǔ)文不排在第三、四節(jié)，則不同的排法方案有多少種？例3，解：首先將體育課排在第三或第四節(jié)，有種排法，其次將語(yǔ)文課排在第一或第二節(jié)，有種排法，最后排數(shù)學(xué)、英語(yǔ)兩門課，有種排法，因此，共有種排法。法六相鄰問(wèn)題用捆綁法某一天的課程表要排入語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)、生物六門課，如果數(shù)學(xué)只能排在第一節(jié)或者最后一節(jié)，物理和化學(xué)必須排在相鄰的兩節(jié)，則共有（

）種不同的排法A． B． C． D．【答案】D【分析】先安排數(shù)學(xué)，將物理和化學(xué)捆綁，與其余三門課程進(jìn)行排序，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】若數(shù)學(xué)只能排在第一節(jié)或者最后一節(jié)，則數(shù)學(xué)的排法有種，物理和化學(xué)必須排在相鄰的兩節(jié)，將物理和化學(xué)捆綁，與語(yǔ)文、英語(yǔ)、生物三門課程進(jìn)行排序，有種排法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有種不同的排法.故選：D.法七相離問(wèn)題用插空法2022年2月4日，中國(guó)北京第24屆奧林匹克冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)開(kāi)幕式以二十四節(jié)氣的方式開(kāi)始倒計(jì)時(shí)創(chuàng)意新穎，驚艷了全球觀眾．衡陽(yáng)市某中學(xué)為了弘揚(yáng)我國(guó)二十四節(jié)氣文化，特制作出“立春”、“驚蟄”、“雨水”、“春分”、“清明”、“谷雨”六張知識(shí)展板分別放置在六個(gè)并排的文化櫥窗里，要求“立春”和“春分”兩塊展板相鄰，且“清明”與“驚蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式有多少種？（

）A．24 B．48 C．144 D．244【答案】C【分析】將“立春”和“春分”兩塊展板捆綁在一起，與“雨水”、“谷雨”排列，然后“清明”與“驚蟄”去插空即可【詳解】根據(jù)題意先將“立春”和“春分”兩塊展板捆綁在一起，與“雨水”、“谷雨”排列，有4個(gè)空，然后“清明”與“驚蟄”去插空，所以不同的放置方式有種.故選：C法八定序問(wèn)題（先選后排）花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國(guó)傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時(shí)代的文化產(chǎn)物，兼具生活功能與藝術(shù)特色.如圖，現(xiàn)有懸掛著的8盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法總數(shù)為（

）A．2520 B．5040 C．7560 D．10080【答案】A【分析】結(jié)合全排列的概念即可.【詳解】由題意，對(duì)8盞不同的花燈進(jìn)行取下，先對(duì)8盞不同的花燈進(jìn)行全排列，共有種方法，因?yàn)槿』裘看沃荒苋∫槐K，而且只能從下往上取，所以須除去重復(fù)的排列順序，即先取上方的順序，故一共有種，故選：A題型三排隊(duì)問(wèn)題排隊(duì)問(wèn)題在班級(jí)活動(dòng)中，4名男生和3名女生站成一排表演節(jié)目：（寫(xiě)出必要的數(shù)學(xué)式，結(jié)果用數(shù)字作答）（1）三名女生不能相鄰，有多少種不同的站法？（2）四名男生相鄰有多少種不同的排法？（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少種不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低從左到右有多少種不同的排法？（甲乙丙三位同學(xué)身高互不相等）（5）從中選出2名男生和2名女生表演分四個(gè)不同角色朗誦，有多少種選派方法？（6）現(xiàn)在有7個(gè)座位連成一排，僅安排4個(gè)男生就坐，恰好有兩個(gè)空座位相鄰的不同坐法共有多少種？【答案】（1）；（2）；（3）；（4）840；（5）；（6）.【分析】（1）根據(jù)題意，用插空法分2步進(jìn)行分析，再由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；（2）根據(jù)題意，用捆綁法分2步進(jìn)行分析，再由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；（3）根據(jù)題意，分2種情況討論：①：女生甲站在右端，②：女生甲不站在右端，再由加法原理計(jì)算可得答案；（4）根據(jù)題意，首先把7名同學(xué)全排列，再分析甲乙丙三人內(nèi)部的排列共有A33種結(jié)果，要使甲乙丙三個(gè)人按照一個(gè)高矮順序排列，結(jié)果數(shù)只占6種結(jié)果中的一種，再由倍分法分析可得答案．（5）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，在4名男生中選取2名男生，3名女生中選取2名女生，②，將選出的4人全排列，再由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；（6）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，將4名男生全排列，排好后有5個(gè)空位，②，將3個(gè)空座位分成2、1的2組，在5個(gè)空位中任選2個(gè)，安排2組空座位，再由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】（1）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，將4名男生全排列，有A44＝24種情況，排好后有5個(gè)空位，②，在5個(gè)空位中任選3個(gè)，安排3名女生，有A53＝60種情況，則三名女生不能相鄰的排法有A44×A53＝24×60＝1440種；（2）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，將4名男生看成一個(gè)整體，考慮4人間的順序，有A44＝24種情況，②，將這個(gè)整體與三名女生全排列，有A44＝24種情況，則四名男生相鄰的排法有A44×A44＝24×24＝576種；（3）根據(jù)題意，分2種情況討論：①，女生甲站在右端，其余6人全排列，有A66＝720種情況，②，女生甲不站在右端，甲有5種站法，女生乙有5種站法，將剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，有A55＝120種站法，則此時(shí)有5×5×120＝3000種站法，則一共有A66+5×5×A55＝720+3000＝3720種站法；（4）根據(jù)題意，首先把7名同學(xué)全排列，共有A77種結(jié)果，甲乙丙三人內(nèi)部的排列共有A33＝6種結(jié)果，要使的甲乙丙三個(gè)人按照一個(gè)高矮順序排列，結(jié)果數(shù)只占6種結(jié)果中的一種，則有840種．（5）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，在4名男生中選取2名男生，3名女生中選取2名女生，有C42C32種選取方法，②，將選出的4人全排列，承擔(dān)4種不同的任務(wù)，有A44種情況，則有種不同的安排方法；（6）根據(jù)題意，7個(gè)座位連成一排，僅安排4個(gè)男生就座，還有3個(gè)空座位，分2步進(jìn)行分析：①，將4名男生全排列，有A44種情況，排好后有5個(gè)空位，②，將3個(gè)空座位分成2、1的2組，在5個(gè)空位中任選2個(gè)，安排2組空座位，有A52種情況，則有種排法．【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的實(shí)際應(yīng)用，涉及分類、分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，注意優(yōu)先分析受到限制的元素這一特殊問(wèn)題的處理方法．題型四：數(shù)字排列問(wèn)題例3：用數(shù)字0，2，3，5，6，7選擇不重復(fù)的數(shù)字．能組成多少四位數(shù)？能組成多少小于1000的數(shù)？能組成多少四位偶數(shù)？能組成多少被5整除的四位數(shù)？被25整除的四位數(shù)？能組成多少被3整除的四位數(shù)？四位數(shù)從小到大排列，5307是第幾項(xiàng)？所有四位數(shù)的和是多少？變式訓(xùn)練3：用0，1，2，3，4，