東北三省三校2023-2024學年高三下學期第一次聯(lián)合模擬考數(shù)學試題（教師版）

哈爾濱師大附中東北師大附中遼寧省實驗中學高三第一次聯(lián)合模擬考試數(shù)學注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，定在.本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求出對數(shù)不等式的解集，再求即可.【詳解】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得：不等式成立，需要滿足，解得，即，且，則，故選：C.2.已知復數(shù)的共軛復數(shù)是，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由，得到，利用復數(shù)的除法運算法則求出，進而求出復數(shù)即可.【詳解】由于，得，則，故選：A.3.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當時，，若，則（）A. B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】借助奇函數(shù)的性質(zhì)計算即可得.【詳解】，故，故，解得.故選：B.4.已知平面直角坐標系中，橢圓：（）的左頂點和上頂點分別為，過橢圓左焦點且平行于直線的直線交軸于點.若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求直線的斜率，再求過左焦點且平行于直線的直線方程，求出點的坐標后，由關(guān)系式得出關(guān)于的方程，化簡即可.【詳解】由橢圓：的方程可得：，其中，則，過橢圓左焦點且平行于直線的直線方程為：，將代入該直線方程，可得點的坐標為，若，則，得.故選：D.5.的展開式中的系數(shù)為（）A.55 B. C.30 D.【答案】C【解析】【分析】借助二項式展開式的通項公式計算即可得.【詳解】對，有，令，有，令，有，則，故的展開式中的系數(shù)為.故選：C.6.已知正四棱錐各頂點都在同一球面上，且正四棱錐底面邊長為4，體積為，則該球表面積為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)體積可求正四棱錐的高，再結(jié)合外接球球心的性質(zhì)可求其半徑，故可求外接球的表面積.【詳解】如圖，設在底面的射影為，則平面，且為的交點.因為正四棱錐底面邊長為4，故底面正方形的面積可為，且，故，故.由正四棱錐的對稱性可知在直線上，設外接球的半徑為，則，故，故，故正四棱錐的外接球的表面積為，故選：B.7.已知函數(shù)，若時，恒有，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求導，令，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再由分類討論即可得解.【詳解】由，得，令，則，因為函數(shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，滿足題意；當時，則存在，使得，且當，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，故不恒成立，綜上所述，的取值范圍是.故選：B.8.設，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可得，，，即可得，，再比較與的大小關(guān)系，借助對數(shù)運算轉(zhuǎn)化為比較與的大小關(guān)系，結(jié)合放縮計算即可得.【詳解】，，，故，，要比較與的大小，即比較與的大小，等價于比較與的大小，等價于比較與的大小，又，故，即，即，故.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于比較與的大小關(guān)系，可借助對數(shù)運算轉(zhuǎn)化為比較與的大小關(guān)系，再借助放縮幫助運算即可得.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.等差數(shù)列中，，則下列命題正確的是（）A.若，則B.若，，則C.若，，則D.若，則，【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)、前n項和公式逐項分析判斷即得.【詳解】等差數(shù)列中，，對于A，，，A正確；對于B，，則，，則，，因此，即，B錯誤；對于C，，則，C正確；對于D，設的公差為，由，得，解得，則，，D正確.故選：ACD10.在平面直角坐標系中，拋物線：的焦點為，點在拋物線上，點在拋物線的準線上，則以下命題正確的是（）A.的最小值是2BC.當點的縱坐標為4時，存在點，使得D.若是等邊三角形，則點的橫坐標是3【答案】ABD【解析】【分析】A選項，求出及準線方程，由拋物線定義得到，當與點重合時，取的最小值，當與點重合時，取得最小值，得到答案；B選項，在A選項基礎(chǔ)上得到；C選項，求出，假設存在點，使得，則點為直線與準線的交點，求出直線的方程，得到，求出；D選項，得到，由拋物線定義得到點與點重合，由等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合得到，從而求出點的橫坐標.【詳解】A選項，由題意得，準線方程為，設準線與軸交點為，過點作⊥拋物線的準線，垂足為，由拋物線定義可知，，則，故當與點重合時，取的最小值，顯然，當與點重合時，取得最小值，最小值為，故的最小值為2，A正確；B選項，由A選項知，當點與點重合時，等號成立，故B正確；C選項，當點的縱坐標為4時，令中的得，，故，假設存在點，使得，則點為直線與準線的交點，直線的方程為，即，中，令得，故點，此時，此時，C錯誤；D選項，若是等邊三角形，則，因為，所以，即點與點重合，則⊥軸，則，又，則，所以，故點的橫坐標是，D正確；故選：ABD11.在一個只有一條環(huán)形道路的小鎮(zhèn)上，有一家酒館，一個酒鬼家住在，其相對位置關(guān)系如圖所示.小鎮(zhèn)的環(huán)形道路可以視為8段小路，每段小路需要步行3分鐘時間.某天晚上酒鬼從酒館喝完酒后離開，因為醉酒，所以酒鬼在每段小路的起點都等可能的選擇順時針或者逆時針的走完這段小路.下述結(jié)論正確的是（）A.若酒鬼經(jīng)過家門口時認得家門，那么酒鬼在10分鐘或10分鐘以內(nèi)到家的概率為B.若酒鬼經(jīng)過家門口時認得家門，那么酒鬼在15分鐘或15分鐘以內(nèi)到家的概率為C.若酒鬼經(jīng)過家門口也不會停下來，那么酒鬼步行15分鐘后恰好停在家門口的概率為D.若酒鬼經(jīng)過家門口也不會停下來，那么酒鬼步行21分鐘后恰好停在家門口的概率為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)分類計數(shù)原理和分布計數(shù)原理可逐個判定選項得結(jié)果.【詳解】選項A：10分鐘或10分鐘以內(nèi)到家只能是，所以酒鬼在10分鐘或10分鐘以內(nèi)到家的概率為，故A正確；選項B：15分鐘或15分鐘以內(nèi)到家,即共走小于或等于步，可能順時針走5步概率為，可能逆時針走3步概率為，或者逆時針走5步，即概率為，故其概率概率為，故B正確；選項C：經(jīng)過家門口不停，15分鐘后恰好停在家門口，共走5步，可以順時針走5步,即，概率為，可以逆時針走5步，概率為，故其概率為，故C錯誤；選項D：經(jīng)過家門口不停，21分鐘后恰好停在家門口，共走7步，可以逆時針走5步返回2步，可以順時針走6步返回1步，所以其概率為，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.在中，，，則外接圓半徑為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)面積公式和數(shù)量積的定義可求，根據(jù)同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式和正弦定理可求外接圓的半徑.【詳解】因為，故,故，故為銳角，故，故外接圓的半徑為，故答案為：.13.如圖，四邊形是正方形，平面，且，是線段的中點，則異面直線與所成角的正切值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，結(jié)合空間向量的坐標運算，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為平面，則，，又四邊形是正方形，則，以為坐標原點，分別為軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，且，則，，，又是線段的中點，則，則，，則，設異面直線與所成角為，即，則，所以，即異面直線與所成角的正切值為.故答案為：14.已知圓：，直線交圓于、兩點，點，則三角形面積的最大值為______.【答案】【解析】【分析】求出圓心到直線的距離為，和到直線的距離為，利用垂徑定理得到，表達出，換元后得到面積的最大值.【詳解】的圓心，半徑為3，則到直線的距離為，解得，到直線的距離為，，故，令，由于，故，則，當時，取得最大值，最大值為.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知.（1）求在處切線方程；（2）求的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】（1）（2）單調(diào)遞減區(qū)間為，【解析】【分析】（1）先求原函數(shù)導函數(shù)，再求出處的導數(shù)值即切線的斜率，寫出切線方程即可；（2）求的單調(diào)遞減區(qū)間，只需求出其導函數(shù)滿足不等式的解集即可.【小問1詳解】由于，其導函數(shù)為：，得：，，所以在處的切線方程為：，即；【小問2詳解】由于，得：，若，則，即，由于，則，只需即可，解得，，故的單調(diào)遞減區(qū)間為：，.16.如圖，在四棱臺中，底而為平行四邊形，側(cè)棱平面，，，.（1）證明：；（2）若四棱臺的體積為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出，再利用線面垂直的判定與性質(zhì)即可證明；（2）利用臺體體積公式求出，再建立合適的空間直角坐標系，利用空間向量法求出面面角余弦值即可.【小問1詳解】底面為平行四邊形，，.，，由余弦定理可得：，，則，，側(cè)棱平面，平面，，又平面，平面，且，平面，又平面，.【小問2詳解】四棱臺中的體積為，，，，解得：.如圖，以點為原點，，，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖的空間直角坐標系，則，，，，，，設平面的法向量為，則有，所以平面的法向量為，設平面與平面所成銳二面角為，則.17.在統(tǒng)計學的實際應用中，除了中位數(shù)外，經(jīng)常使用的是25%分位數(shù)（簡稱為第一四分位數(shù)）與75%分位數(shù)（簡稱為第三四分位數(shù)），四分位數(shù)應用于統(tǒng)計學的箱型圖繪制，是統(tǒng)計學中分位數(shù)的一種，即把所有數(shù)值由小到大排列，并分成四等份，處于三個分割點的數(shù)值就是四分位數(shù)，箱型圖中“箱體”的下底邊對應數(shù)據(jù)為第一四分位數(shù)，上底邊對應數(shù)據(jù)為第三四分位數(shù)，中間的線對應中位數(shù)，已知甲、乙兩班人數(shù)相同，在一次測試中兩班成績箱型圖如圖所示.（1）由此圖估計甲、乙兩班平均分較高的班級是哪個？（直接給出結(jié)論即可，不用說明理由）（2）若在兩班中隨機抽取一人，發(fā)現(xiàn)他的分數(shù)小于128分，則求該同學來自甲班和乙班的概率分別是多少？（3）據(jù)統(tǒng)計兩班中高于140分共10人，其中甲班6人，乙班4人，從中抽取了3人作學習經(jīng)驗交流，3人中來自乙班的人數(shù)為，求的分布列.【答案】（1）甲班（2），（3）分布列見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)甲乙兩班成績箱型圖中的中位數(shù)，第三四分位數(shù)和第一四分位數(shù)的位置可以判斷結(jié)果；（2）依題知這是條件概率問題，分別設出從兩班中隨機抽取一人，“該同學來自甲班為事件”，“該同學分數(shù)低于128分為事件”，則需要求和，而這需要先求和，再根據(jù)全概率公式求出，最后用貝葉斯公式求解即得；（3）先求出的所有可能的值，再利用古典概型概率公式求出每個值對應的概率，即得的分布列.【小問1詳解】由兩班成績箱型圖可以看出，甲班成績得中位數(shù)為128，而乙班的第三四分位數(shù)使128，同時，甲班的第一四分位數(shù)明顯高于乙班，由此估計甲班平均分較高.【小問2詳解】由圖可知，甲班中有的學生分數(shù)低于128分；乙班中有的學生分數(shù)低于128分設從兩班中隨機抽取一人，“該同學來自甲班為事件”，“該同學分數(shù)低于128分為事件”，則，，，，所以，該同學來自甲乙兩班的概率分別為，.【小問3詳解】依題的所有可能取值為0，1，2，3，，所以的分布列為：18.已知雙曲線：（，）的右頂點，斜率為1的直線交于、兩點，且中點.（1）求雙曲線的方程；（2）證明：為直角三角形；（3）若過曲線上一點作直線與兩條漸近線相交，交點為，，且分別在第一象限和第四象限，若，，求面積的取值范圍.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）設出、兩點坐標，借助點差法計算即可得；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，可得與、兩點坐標有關(guān)韋達定理，通過計算即可得為直角三角形；（3）設直線方程為：，，，，結(jié)合題意計算可得，又，，可得，聯(lián)立直線與漸近線方程，可得與兩點坐標有關(guān)韋達定理，代入化簡可得，結(jié)合面積公式計算即可用表示該三角形面積，構(gòu)造相應函數(shù)借助對勾函數(shù)性質(zhì)可得函數(shù)單調(diào)性即可得面積范圍.【小問1詳解】設，，則，，，兩點在雙曲線上，，由①－②得，即，，，即，，又，，雙曲線的方程為：；【小問2詳解】由已知可得，直線的方程為：，即，聯(lián)立，，則，，，，為直角三角形；【小問3詳解】由題意可知，若直線有斜率則斜率不0，故設直線方程為：，設，，，，，，點在雙曲線上，，，③，又，，，④，聯(lián)立，，⑤，⑥，，分別在第一象限和第四象限，，，由④式得：，⑦，將⑤⑥代入⑦得：，，令，，由對勾函數(shù)性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第（3）小問關(guān)鍵點在于借助向量的線性關(guān)系，結(jié)合點在對應曲線及直線上，通過計算用表示出該三角形面積，難點在于計算.19.十七世紀至十八世紀的德國數(shù)學家萊布尼茲是世界上第一個提出二進制記數(shù)法的人，用二進制記數(shù)只需數(shù)字0和1，對于整數(shù)可理解為逢二進一，例如：自然數(shù)1在二進制中就表示為，2表示為，3表示為，5表示為，發(fā)現(xiàn)若可表示為二進制表達式，則，其中，或1（）.（1）記，求證：