陜西省安康市2024屆高三下學(xué)期開學(xué)測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)（理科）試題（教師版）

高三年級(jí)測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)（理科）考生注意：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時(shí)間120分鐘.2.請(qǐng)將各題答案填寫在答題卡上.3.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.第Ⅰ卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式可求得集合，根據(jù)交集定義可得結(jié)果.【詳解】由得：，即，又，.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則結(jié)合共軛復(fù)數(shù)概念可得答案.【詳解】，則.故選：B3.在等比數(shù)列中，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)直接求解即可.【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)知：.故選：D.4.已知函數(shù)有極值，則（）A.1 B.2 C. D.3【答案】B【解析】【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；再求出極值點(diǎn)，代入函數(shù)解方程即可.【詳解】由題目條件可得：函數(shù)的定義域?yàn)椋?令，得；令，得.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故，解得.故選：B5.已知向量，，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，，，由得：，，解得：.故選：C.6.已知，則的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意解三角不等式得，結(jié)合幾何概型即可得概率.【詳解】由，得.因?yàn)椋?，則所求的概率.故選：C.7.國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的2018年至2022年我國(guó)居民消費(fèi)水平情況如圖所示，則下列說法正確的是（）A.2018年至2022年我國(guó)居民消費(fèi)水平逐年提高B.2018年至2022年我國(guó)城鎮(zhèn)居民消費(fèi)水平逐年提高C.2018年至2022年我國(guó)居民消費(fèi)水平數(shù)據(jù)的中位數(shù)為27439元D.2022年我國(guó)城鎮(zhèn)人口數(shù)比農(nóng)村人口數(shù)的1.5倍還要多【答案】D【解析】【分析】對(duì)于AB選項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可得答案；對(duì)于C選項(xiàng)，由中位數(shù)概念結(jié)合題目數(shù)據(jù)可得答案；對(duì)于D選項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖數(shù)據(jù)結(jié)合居民消費(fèi)水平計(jì)算公式可得答案.【詳解】AB選項(xiàng)，由統(tǒng)計(jì)圖可得2019年至2020年時(shí)我國(guó)居民消費(fèi)水平和城鎮(zhèn)居民消費(fèi)水平都略微減少，故AB選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，5年時(shí)間將我國(guó)居民消費(fèi)水平從小到大排序?yàn)?5245，27439，27504，31013，31718，故中位數(shù)為27504，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，設(shè)2022年我國(guó)城鎮(zhèn)人口數(shù)為，農(nóng)村人口數(shù)為，則，故D正確.故選：D8.某班級(jí)舉行“變廢為寶”手工活動(dòng)，某學(xué)生用扇形紙殼裁成扇環(huán)(如圖1)后，制成了簡(jiǎn)易筆筒(如圖2)的側(cè)面，在它的軸截面中，，，則原扇形紙殼中扇形的圓心角為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】易得圖1中小扇形和大扇形的弧長(zhǎng)設(shè)扇形的圓心角為，小扇形的半徑為，則大扇形的半徑為，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得解.【詳解】由題意圖1中小扇形的弧長(zhǎng)為，大扇形的弧長(zhǎng)為，設(shè)扇形的圓心角為，小扇形的半徑為，則大扇形的半徑為，所以，解得，所以原扇形紙殼中扇形的圓心角為.故選：B.9.已知拋物線焦點(diǎn)為，，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A.3 B.5 C.7 D.8【答案】A【解析】【分析】根據(jù)拋物線焦半徑公式得到，數(shù)形結(jié)合得到最小值.【詳解】由題意得，由拋物線焦半徑公式可知，，故，顯然連接，與拋物線交點(diǎn)為，此時(shí)取得最小值，即當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為，故的最小值為3.故選：A10.已知函數(shù)，若任意在上有零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，轉(zhuǎn)化為在上有解，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由，可得，令，因?yàn)槿我庠谏嫌辛泓c(diǎn)，則在上有解，又因?yàn)樵趦?nèi)有解的最短區(qū)間長(zhǎng)度為，所以，解得.故選：C.11.如圖，將正四棱柱斜立在平面上，頂點(diǎn)在平面內(nèi)，平面，.點(diǎn)在平面內(nèi)，且.若將該正四棱柱繞旋轉(zhuǎn)，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】如圖，由于點(diǎn)到平面的距離為定值即為，所以只需最大即可，而依題意，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，所以當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，且時(shí)，取最大值.【詳解】過點(diǎn)作，垂足為，連接，可知平面，所以點(diǎn)到平面的距離為，由題意，，過點(diǎn)作平面，垂足為，因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)，且，即點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，且時(shí)，取最大值，最大值為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，從而把的最大值問題轉(zhuǎn)化為的最大值問題，由圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最大值問題可解.12.已知是定義在上的函數(shù)，對(duì)任意的，且，都有，且函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.若對(duì)任意的，不等式成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對(duì)稱性和單調(diào)性定義可確定，為上的減函數(shù)，由此可化簡(jiǎn)不等式得到；作出可行域，根據(jù)的幾何意義，結(jié)合圖象可確定臨界狀態(tài)，從而求得結(jié)果.【詳解】的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即，等價(jià)于；由得：，為定義在上的減函數(shù)，，即，又，，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；由此可得可行域如下圖陰影部分所示：幾何意義為可行域內(nèi)的點(diǎn)與連線的斜率，由得：，，又，，，結(jié)合圖象可知：，的取值范圍為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)性質(zhì)、不等式的綜合應(yīng)用問題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性得到可行域，根據(jù)所求不等式的幾何意義，結(jié)合圖象來進(jìn)行求解.第Ⅱ卷二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和是256，則_________________.【答案】8【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于列方程求解即得.【詳解】因展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，解得：.故答案為：8.14.已知函數(shù)的最小值為-1，則__________.【答案】2【解析】【分析】由題意得出函數(shù)上取得最小值-1，由此即可列出式子求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，.因?yàn)榈淖钚≈禐?1，所以函數(shù)在上取得最小值-1，則，解得.故答案為：2.15.如圖，三角形數(shù)陣由一個(gè)等差數(shù)列2，5，8，11，14，…排列而成，按照此規(guī)律，則該數(shù)陣中第10行從左至右的第4個(gè)數(shù)是_________________.【答案】146【解析】【分析】先觀察三角形數(shù)陣可發(fā)現(xiàn)，其最左邊一列數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的項(xiàng)滿足遞推式，運(yùn)用累加法可求出數(shù)列通項(xiàng)，推理即得.【詳解】將三角形數(shù)陣的最左邊的一列數(shù)記為數(shù)列，觀察分析可得：，且.由，故，即第10行從左到右的第一個(gè)數(shù)是137，按照規(guī)律，第4個(gè)數(shù)應(yīng)該是146.故答案為：146.16.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于點(diǎn)（在軸上方）.若是線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率是_________________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合代入法、橢圓的離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可知，代入直線中，得，即直線的方程為，令，得，設(shè)，則有，代入橢圓方程中，得，或舍去，由，負(fù)值舍去，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是構(gòu)造雙齊式方程，利用配方法進(jìn)行開平方運(yùn)算.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.在中，角的對(duì)邊分別是，，，且.（1）求角的大?。唬?）若，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題設(shè)條件求得，即得，在三角形中即可求得角；（2）由（1）和可利用正弦定理將邊分別用的三角函數(shù)表示，運(yùn)用三角形面積公式，經(jīng)三角恒等變換將面積表示成正弦型函數(shù)，最后結(jié)合角的范圍和三角函數(shù)的圖象即得.【小問1詳解】由可得：，則由，又因，故得：.【小問2詳解】由（1）知，又，由正弦定理可得：，則：，記的面積為，則，因，則，故，所以，面積的最大值為.18.如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，.（1）證明：平面.（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由且，證得平面，得，又，可證得平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角的余弦值.【小問1詳解】證明：記，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所?又，平面，，所以平面.因?yàn)槠矫妫?又，平面，且，所以平面.【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，，，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則令，有，得.平面的一個(gè)法向量為.，易得二面角為銳角，故二面角的余弦值為.19.將3個(gè)數(shù)字1，2，3隨機(jī)填入如下99個(gè)空格中，每個(gè)空格中最多填一個(gè)數(shù)字，且填入的3個(gè)數(shù)字從左到右依次變大.（1）求數(shù)字2填在第2個(gè)空格中的概率；（2）記數(shù)字2填在第個(gè)空格中的概率為，求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意第1格填1，第2格填2，從而可得概率；（2）由題意可得，再分析1和3的位置求解概率與最大值即可.【小問1詳解】由題意第1格填1，第2格填2，3在第3格到99格中任意一個(gè)，所有可能的情況有種，故數(shù)字2填在第2個(gè)空格中的概率為.【小問2詳解】由題意可得，且，1填在第個(gè)空格的前格中1格，3填在第個(gè)空格的后格中1格.故.當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為20.已知雙曲線離心率為，右焦點(diǎn)為．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出該定值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）存在滿足【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出，即可得解；（2）設(shè)其方程為，，設(shè)，，，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得出韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)，從而得到定點(diǎn)與定值.【小問1詳解】由題意可得，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】依題意，直線的斜率不為0，設(shè)其方程為，，代入得，設(shè)，，，則，，∴，若要上式為定值，則必須有，即，∴，故存在點(diǎn)滿足.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．21.已知函數(shù).（1）若曲線在點(diǎn)處的切線過點(diǎn)，求的值；（2）若恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）4（2）【解析】【分析】（1）求得，得到且，求得切線方程，將點(diǎn)代入切線方程，即可求解；（2）轉(zhuǎn)化為，令，求得，令，求得是增函數(shù)，得到，再令，求得是減函數(shù)，結(jié)合，得到存在，使得，再分和，兩種情況討論，得到，令，所以是增函數(shù)，進(jìn)而結(jié)合，即可求解.【小問1詳解】解：由函數(shù)，可得，則且，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.因?yàn)樵撝本€過點(diǎn)，所以，解得.【小問2詳解】解：因?yàn)椋?，且，兩邊平方可得，令函?shù)，可得，令函數(shù)，可得，所以是增函數(shù)，令，可得，下面比較與的大?。毫詈瘮?shù)，，是減函數(shù)，因?yàn)?，所以存在，使得?dāng)時(shí)，，即，若，可得，即.若，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，令函數(shù)，所以是增函數(shù)，由題意可得，又因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，符合題意.綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生從第22，23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22.在平面直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程是．（1）求圓的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與圓交于兩點(diǎn)，且，求的值．【答案】（1）,（2）【解析】【分析】（1）由即可轉(zhuǎn)換求解；（2）先得圓的圓心半徑，結(jié)合點(diǎn)到直線