河北省唐山市2022-2023學(xué)年高一年級(jí)上冊(cè)學(xué)業(yè)水平調(diào)研數(shù)學(xué)試題（含解析）

唐山市2022-2023學(xué)年度高一年級(jí)第一學(xué)期學(xué)業(yè)水平調(diào)研考試

數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合L,集合—>,則MCN=()

A.[0,1]B.[-1,0]C.~,1]D.[-1,1]

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出集合再根據(jù)交集的定義即可得解.

【詳解】M={x|2r<l}={x|x<0},

所以McN=[—1,0].

故選：B.

2.sin(-330。)=()

A.1B.也C.--D.一@

2222

【答案】A

【解析】

【分析】由誘導(dǎo)公式一求解即可.

[詳解]sin(-330°)=sin(-360°+30°)=sin30°=1

故選：A

3.命題“三%>0,sinx-xW0”的否定為()

A.Vx<0,sinx-x>0B.Hx〉0,sinx-x<0

C.Vx〉0,sinx-x>0D.Hx<0>sinx—x>0

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)含有一個(gè)量詞的命題的否定，即可判斷出答案.

【詳解】由題意知命題“Hx>0,sinx—xWO”為存在量詞命題，

其否定為全程量詞命題，即\&>0,sinx—x>0,

故選：c

4.若幕函數(shù)/（可=靖的圖象經(jīng)過(guò)第三象限，則a的值可以是（）

11

A.-2B.2C.*D.-

23

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)累函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一一判斷各選項(xiàng)，即得答案.

【詳解】當(dāng)&=-2時(shí)，/（%）=廣2為偶函數(shù)，圖象在第一和第二象限，

不經(jīng)過(guò)第三象限，A不合題意；

當(dāng)。=2時(shí)，/（%）=九2為偶函數(shù)，圖象過(guò)原點(diǎn)分布在第一和第二象限，

圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，B不合題意；

11

當(dāng)[=5時(shí)，/（x）=x5,xe[0,+8），圖象過(guò)原點(diǎn)分布在第一象限，不經(jīng)過(guò)第三象限，C不合題意;

11

當(dāng)&=§時(shí)，/（x）=/,xeR為奇函數(shù)，圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和第一、三象限，D符合題意，

故選：D

5.方程/+log2x=6的解一定位于區(qū)間（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】C

【解析】

【分析】令/（x）=d+log2x—6,再根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理即可得出答案.

2

【詳解】4/（x）=x+log2x-6,定義域?yàn)椋?,+“），

因?yàn)楹瘮?shù)y=x-,y=log2x—6在（0,+oo）都是增函數(shù)，

所以函數(shù)/（力=*+10821-6在（0,+8）是增函數(shù)，

又因/（2）=4+l-6=-l<0,/（3）=3+log23>0,貝U/（2）/⑶<0,

所以函數(shù)/（X）=三+1082尸6在區(qū)間（2,3）上，

即方程犬+log2x=6的解一定位于區(qū)間（2,3）上.

故選：C.

6.已知函數(shù)滿足〃x)+2/(—x)=x,則/⑴=()

11

A.—1B.1C.—D.—

33

【答案】A

【解析】

【分析】分別令x=l,x=-l,然后解方程組可得.

【詳解】分別令x=l,x=-l,貝U八二/二，，解得八D=-L

故選：A

3

7.已知無(wú)eR,貝仁——21”是“兀42”成立的()

x+1

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】先解不等式，然后根據(jù)集合的包含關(guān)系可得.

33r-2

【詳解】不等式——》1=---------120=——<0,解得—1<%W2

x+1x+1x+1

記A={尤|-1<XW2},B={x\x<2}

..3

因?yàn)锳U3,所以“——21”是“xW2”成立充分不必要條件.

x+1

故選：A

8.下列結(jié)論正確的是()

0904401

A.4-<8B.log20.2>2

C.若狐〉的，則Y〉/D.若&〉6，則/>〃

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷A；根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間量法即可判斷B；

根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷CD.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)?°-9=2-8°44=升32,所以2">力32,

即4。9>8。型，故A錯(cuò)誤;

1

對(duì)于B,H^log20.2<log21=0,2°>2°=1,所以log2().2<2°]，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)a=l,b=—8時(shí),=1>y/b=-2，

此時(shí)儲(chǔ)=1<64=〃，故c錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若J7〉揚(yáng)，則a>Z??0,所以1>戶，故D正確.

故選：D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.

9.將函數(shù)〉=5詁[；+2]+2圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的工，縱坐標(biāo)不變；再向右平移△個(gè)單

6J63

位長(zhǎng)度，然后再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，貝M)

A.g(九)=cos2無(wú)B.函數(shù)y=+為奇函數(shù)

C.g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(兀,0)對(duì)稱D.g(x)的圖象關(guān)于直線尤=；對(duì)稱

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)周期變換和平移變換的原則求出函數(shù)g(x)的解析式，再根據(jù)正余弦函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】函數(shù)y=sin[=+V]+2圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的5，

可得y=sin

TT

再向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度,

3

可得y=sin+2=sin+2=-cos2x,

然后再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，可得g(x)=-cos2x,故A錯(cuò)誤;

71

XH----=-cos=sin2x,

4

因?yàn)間

所以函數(shù)y=g[x+；J為奇函數(shù)，故B正確；

因?yàn)間（兀）=—cos2兀=-1,所以點(diǎn)（兀,0）不是函數(shù)g（x）的對(duì)稱中心，故c錯(cuò)誤；

因?yàn)間g]=_COS7T=1,所以g（x）的圖象關(guān)于直線X、對(duì)稱，故D正確.

故選：BD.

10.已知關(guān)于X的不等式依2+法+c>0的解集為<xg<x<l",則下列結(jié)論正確的是（）

A.a>0

B.c<0

C.a+b>0

D.關(guān)于尤的不等式c￡+法+°>o的解集為{乂—3<x<-l}

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次不等式的解與一元二次方程根的關(guān)系，即可由根與系數(shù)的關(guān)系得

a=3c,b=-4c（a<0）,進(jìn)而結(jié)合選項(xiàng)即可求解.

【詳解】由不等式or?+bx+c>0的解集為<x=<x<l>,所以「和1是方程or?+法+0=0的兩個(gè)根,

[3J3

bl，

由根與系數(shù)的關(guān)系可得a,3，解得

C1I

—=—xl

3

Q=3C,Z?=-4C（Qv0）,

故A錯(cuò)誤，B正確，〃+〃=—c>0,故C正確，

不等式ex2+bx+a>0變?yōu)閑x2—4cx+3c>0=>x2—4x+3<0，解得{九[1<九<3},故D錯(cuò)誤,

故選：BC

11.定義域?yàn)镽的函數(shù)/（九）滿足/（2+X）=/（尤），f（2-x）=f（x）,當(dāng)xe[0,l]時(shí),f（x）=2x-l,已

知g（x）=；|x_q，則（）

A.””的最大值是1B.g(〃5))=15

c.〃g(5))=0D./(%)與g(x)的圖像有4個(gè)交點(diǎn)

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)/(尤)的對(duì)稱性以及周期性即可判斷ABC,根據(jù)畫(huà)圖，即可根據(jù)

函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求解.

【詳解】對(duì)于A,由于/(%)=2、—1在xe[O,l]單調(diào)遞增,故此時(shí)/⑺1mx=61)=1,由“2—x)=f(x)可

知“力關(guān)于x=1對(duì)稱，故xG[0,2]的最大值也為1,又“2+x)=〃尤)知/(%)是周期為2的周期函數(shù)，

因此在定義域內(nèi)，/(^)max=h故A正確，

對(duì)于B,/(5)=/(l)=l,所以g(/(5))=g(l)=0,故B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,g(5)=2,f(g(5))=/(2)=/(0)=0,故C正確,

對(duì)于D,在同一直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出/(x),g(x)的圖象如下圖，即可根據(jù)圖象得兩個(gè)函數(shù)圖象有4個(gè)交點(diǎn)，

故D正確.

故選：ACD

12.對(duì)任意的銳角a,(3,下列不等關(guān)系中正確的是()

A.sin(a+夕)<sina+sin夕B.sin(a+〃)>cosa+cos〃

C.cos(a+〃)<sina+sin/D.cos(cz+/3}<cosa+cos/3

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)和角公式結(jié)合正弦余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷AB；取a=〃=15。判斷C；由0＜夕＜。+〃〈萬(wàn)結(jié)

合余弦函數(shù)的單調(diào)性判斷D.

【詳解】因?yàn)閍，P是銳角，所以sin(c+/?)=sinacos/?+cosasin￡<sincr-1+sin/?-1=sina+sin/?,

sin(6Z+/?)=sinacos(3+cosasm/3<cos/?-1+cosal=cosa+cos(3,故A正確，B錯(cuò)誤；

當(dāng)a=〃=15°時(shí)，cos(a+，)=cos30°=孝，sina+sin』=sinl5°+sinl5°=遍二后,(其中

J=J￡尸^G3)，孝〉吟正，故C錯(cuò)誤;

因a,2是銳角，則0<。<(/+/，而函數(shù)丁=85兀在(0,疳上單調(diào)遞減，于是得cos(a+6)<cosa,

又cos/7>0,有cos(a+6)<cosa+cos夕，D正確.

故選：AD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

2

13.log23xlog34x^(-2)=--------

【答案】4

【解析】

【分析】直接利用對(duì)數(shù)的換底公式求解即可.

【詳解】log23xlog34xJ(-2/

=lg3xlg4x2=lg3x21g2x2=4

lg2lg3lg2lg3

故答案為：4.

14.已知ae[>I，兀)，sin(7T-a)=Y^，貝i]tan2a=

')3

【答案】2&

【解析】

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及同角關(guān)系可得tana=空區(qū)=-&,由正切的二倍角公式即可代入求解.

cosa

【詳解】由sin(兀一a)=得sina=，由?？傻胏osa=-Jl-sin2a,故

sinanr

tana=------=,

cosa

由二倍角公式得tan2a=2tan^=二述=2、歷，

1—tan~a1-2

故答案：2起

15.已知正數(shù)乂丁滿足x+y—孫+3=0,則孫的最小值為.

【答案】9

【解析】

【分析】利用基本不等式，結(jié)合解一元二次不等式，即可求得答案.

【詳解】對(duì)于正數(shù)乂V,有x+y22而,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取得等號(hào),

故由％+>一孫+3=。得移一3=x+y?2^^,即孫一322A,

所以一3）（J^+l）20,故或W-1（舍去），

故孫29,即孫的最小值為9,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=3時(shí)取最小值，

故答案為：9

"2

16.已知函,數(shù)“/（、x）力-x++3m2x,1x<1

①當(dāng)根=1時(shí)，不等式/（￡）—3>0的解集為；

②若/（九）是定義在R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為.

【答案】①.（2,+s）②.|,1

【解析】

【分析】①分類討論解分段函數(shù)不等式；②分段函數(shù)單調(diào)遞增等價(jià)于各分段單調(diào)遞增以及分段處單調(diào)遞增,

分別根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)、幕函數(shù)性質(zhì)列式求解即可.

【詳解】①加=1時(shí)，〃x）=<*+3x，x,l,由/（同一3>0得

X+1,X>1

+—<0x+1-3>0

4=>%無(wú)解,或<=>2.

x>l

x<l

故所求解集為（2,+8）;

②/（九）是定義在R上的增函數(shù)等價(jià)于g（x）=—d+3,雙xWl單調(diào)遞增，/Z（x）=x"+Lx>l單調(diào)遞增,

且g(l)W/z(l),

^>1

22「2

則有《機(jī)〉0=^>-<m<l,故實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為一,1

33

,一，/、2,

故答案為：(2,+8)；—,1

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知全集U=R,集合4={小2一2無(wú)一3<。},5={%|口<集}.

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求Au8，A(^B)；

(2)若AB=A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)A5={x|x<3},A(^B)={x|0<x<3}

(2)(3,+oo)

【解析】

【分析】(1)先解不等式得集合4然后根據(jù)集合運(yùn)算可得；

(2)利用數(shù)軸分析可解.

【小問(wèn)1詳解】

解不等式丁―2%—3<0,得人={乂—l<x<3}

當(dāng)a=0時(shí)，5={吊為<。},所以AB={x\x<3}

因?yàn)?B={x|x20},所以Ac(a3)={x|0WxW3}

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)锳fB=A,所以AgB

—11!----->

-13a

所以a>3,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(3,+8)

"卜春，

18.已知函數(shù)“%)=cos2xeR.

⑴求“力的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵求/（%）在區(qū)間-],0內(nèi)的最小值及此時(shí)對(duì)應(yīng)的X值.

5兀71

【答案】⑴kit--,+—(keZ)

⑵-冷時(shí)'

【解析】

【分析】（1）先根據(jù)降幕公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，然后由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得;

JT

⑵根據(jù)X的范圍求得2%十—的范圍，然后由正弦函數(shù)的性質(zhì)可解.

3

【小問(wèn)1詳解】

1+cos2x~~

I31-cos2x1=也

f(x)=sin2x+-cos2%sin2x+—

2222I3

7

jIjIjIjIjI

由24兀---<2x+—<24兀+—.kGZ,得左兀-----<x<ku----,keZ,

2321212

57rjr

/（九）的單調(diào)遞增區(qū)間為kn--,kn+—（左eZ）

【小問(wèn)2詳解】

71

因XGgo,所以一gs+W、

2

故當(dāng)2x+m=—(即x=一時(shí),

2一_Y*

19.已知函數(shù)/(%)=In------

2+x

（D判斷了（%）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并給出證明;

⑵求〃龍）在區(qū)間[—1』內(nèi)的值域.

【答案】（1）單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析

I1一

(2)In—,In3

【解析】

【分析】(1)利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)與反比例函數(shù)的單調(diào)性，可得答案，利用單調(diào)性的

定義證明即可；

(2)根據(jù)(1)所得的函數(shù)單調(diào)性，可得其最值，可得答案.

【小問(wèn)1詳解】

2—X4

由函數(shù)〃x)=ln^--=山￡^旦山+，則函數(shù)/(可在其定義域上單調(diào)遞減.

/十X2+x

證明如下：

2_v-2-r

由函數(shù)〃x)=ln——,則一->0,(2-x)(2+x)>0,(x-2)(x+2)<0,解得—2〈尤<2,即函

2+x2+x

數(shù)的定義域?yàn)?—2,2),

取任意七,七?—2,2),設(shè)石<々，

2-x2+『]4+2(/一%)一再入2

/(x)-/(x)=ln----In-——=lnx

V17V27玉

2+2+w、2+尤]2-X2>4+2(再-x2)-XjX2，

由石<%2，則%一九2<0<%2一玉，即4+2(七一元2)—%工2<4+2(兀2—%)一看兀2，故

4+2(%2-再)一平2｝］

4+2(尤］-x2)-XjX2

所以/(石)>/(々)，則函數(shù)/(%)在其定義域上單調(diào)遞減.

【小問(wèn)2詳解】

由⑴可知函數(shù)“可在其定義域上單調(diào)遞減，則函數(shù)“可在［—1』±/(x)max=/(-l)=ln3,

，(xL="l)=lng，

所以函數(shù)/(%)在［—1』上的值域?yàn)閘n1,ln3.

20.某企業(yè)投資生產(chǎn)一批新型機(jī)器，其中年固定成本為2000萬(wàn)元，每生產(chǎn)x(xeN*)百臺(tái)，需另投入生產(chǎn)

2

成本R(x)萬(wàn)元.當(dāng)年產(chǎn)量不足46百臺(tái)時(shí)，7?(X)=3X+260%;當(dāng)年產(chǎn)量不小于46百臺(tái)時(shí)，

4900

R(x)=501x+----------4830.若每臺(tái)設(shè)備售價(jià)5萬(wàn)元，通過(guò)市場(chǎng)分析，該企業(yè)生產(chǎn)的這批機(jī)器能全部銷

售完.

(1)求該企業(yè)投資生產(chǎn)這批新型機(jī)器的年利潤(rùn)所W(x)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(百臺(tái))的函數(shù)關(guān)系式(利潤(rùn)=銷售

額一成本);

（2）這批新型機(jī)器年產(chǎn)量為多少百臺(tái)時(shí)，該企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).

-3x2+240x-2000,0<x<46

【答案】⑴W（x）=<4900）

2830-x+x+2oj,x>46

（2）年產(chǎn)量為40百臺(tái)時(shí)，該企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是2800萬(wàn)元.

【解析】

【分析】⑴分0W%<46和龍246兩種情況分別求出年利潤(rùn)所W（x）（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百臺(tái)）的函數(shù)關(guān)

系式，即得答案；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，分段求出函數(shù)的最大值，比較大小，即可求得答案.

【小問(wèn)1詳解】

由題意可得：當(dāng)0Wx<46時(shí)，y=500x—3/—260x—2000=—3/+240x—2000,

49004900

當(dāng)x?46時(shí)y=500x-（501%+——4830）-2000=2830—（x+—^）

所以年利潤(rùn)y（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量尤（百臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式為：

—3%2+240%—2000,0<%<46

W（x）=」（4900、

\）2830-x+--------,x>46

〔Ix+20j

【小問(wèn)2詳解】

由（1）得0W光<46時(shí)，y=-3x2+240x-2000=-3（x-40）2+2800，

此時(shí)X=40（百臺(tái)）時(shí)，>max=2800（萬(wàn)元），

4900I4900

當(dāng)x246時(shí)，y=2830-（%+）<2850-2.（x+20）x—=2850-2x70=2710

-x+20Vx+20

4900

當(dāng)且僅當(dāng)x+20=——,即X=50時(shí)等號(hào)成立，Vmax=2710（萬(wàn)元），

x+20

而2800>2710,故x=40（百臺(tái)）時(shí)，利潤(rùn)最大，

綜上所述：年產(chǎn)量為40百臺(tái)時(shí)，該企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是2800萬(wàn)元.

21.已知定義域?yàn)椋垡弧?2。-1］的偶函數(shù)/（尤），當(dāng)0WxW2a—l時(shí)，/（x）=-x+cosx.

⑴求實(shí)數(shù)a的值及〃尤）的解析式；

（2）解關(guān)于t的不等式/“）</（1—2。.

x+cosx,-l<x<0

【答案】(l)a=l,/(%)=<

-x+cosx,0<x<l

【解析】

【分析】(1)根據(jù)偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可求出。=1,令—lWx<0,則0<—xWl,根據(jù)函數(shù)為

偶函數(shù)即可求得-lWx<0時(shí)，函數(shù)的解析式，即可得解；

(2)先判斷函數(shù)在［0』上的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式即可，注意函數(shù)的定義域.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)槎x域?yàn)椋邸猘,2a—1］的偶函數(shù)/(x),

所以—a+2Q—1=0,解得a=1,

則函數(shù)/(%)的定義域?yàn)椋跿l］，

又當(dāng)0<X<2Q—1時(shí)，即當(dāng)OKxKl時(shí)，/(x)=—x+cosx,

令—1<XV0,則0v—X<1,

f(-x)=-(-x)+cos(-x)=x+cosX-f^x),

/、x+cosx,-l<x<0

所以八一〃；

-x+cosx,0<x<1

【小問(wèn)2詳解】

當(dāng)0<x<l時(shí)，/(x)=-x+cosx,

因?yàn)楹瘮?shù)y=-X,y=cosx在［0』上都是減函數(shù)，

所以函數(shù)/(九)在［0』上是減函數(shù)，

又函數(shù)函數(shù)/(%)是定義在［-1,1］上的偶函數(shù)，

所以關(guān)于t的不等式

M〉I7

解得:</<1,

即為

3

所以關(guān)于t的不等式的解集為

22.如圖，長(zhǎng)方形A