2023年陜西省西安市高考理科數(shù)學(xué)一模試卷及答案解析

2023年陜西省西安市高考理科數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分.共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.（5分）設(shè)集合A={Λ∣0<X≤4,X∈N},B={x∣2?r≤6},則A∩B=（）

A.{1,2}B.[1,2JC.{1,2,3}D.[1,3]

2.（5分）甲乙兩位射擊運(yùn)動員參加比賽，抽取連續(xù)6輪射擊比賽的成績情況如下:

甲：80、70、80、90、90、70；乙：70、80、80、80、70、80

則下列說法中正確的是（）

A.甲比乙平均成績高，甲比乙成績穩(wěn)定

B.甲比乙平均成績高，乙比甲成績穩(wěn)定

C.乙比甲平均成績高，甲比乙成績穩(wěn)定

D.乙比甲平均成績高，乙比甲成績穩(wěn)定

3.（5分）復(fù)數(shù)Z滿足z3=-2+2i,則Z=（）

A.I-iB.1+/C.-I-/D.-1+z

4.（5分）函數(shù)〃X）=某W?Sinx在區(qū)間［一￡,身上的圖象大致為（）

5.（5分）在平行四邊形48CZ）中，AE=^AD,CF=^CD,則Sl=（）

6→9^*2—3—6一9—2—37

A.-AF--CEB.-AF--CEC.-AF+-CED.~AF+-CE

55555555

6.（5分）我國古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服號影算法”在《大衍歷》中建立了辱影長1與

太陽天頂距。（0?！堞取?80o）的對應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表，

根據(jù)三角學(xué)知識可知，唇影長度/等于表高h(yuǎn)與太陽天頂距。正切值的乘積，即I=

∕7tanθ.對同一“表高”兩次測量,第一次和第二次太陽天頂距分別為α,由且tan（α-^）=∣,

若第二次的“唇影長”與“表高”相等，則第一次的“辱影長”是“表高”的（)

A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍

7.（5分）下列是函數(shù)f（x）=2sin（%+苧）sin（x+百）圖像的對稱軸的是（）

A.X=5B.X=?C.x=5D.x=5

6432

8.（5分）盲盒是一種深受大眾喜愛的玩具，某盲盒生產(chǎn)廠商準(zhǔn)備將棱長為8c機(jī)的正四面體

的魔方放入正方體盲盒內(nèi)，為節(jié)約成本，使得魔方能夠放入盲盒且盲盒棱長最小時，盲

盒內(nèi)剩余空間的體積為（）

64√2?128√2?256√2?512√2?

A.-------cmB.---------cmC.---------cmD.---------cm

3333

9.（5分）已知點(diǎn)尸（4,0）是雙曲線C：?-4=l（α>0,b>0）的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)尸向C

Qb

的一條漸近線引垂線垂足為A,交另一條漸近線于點(diǎn)&若26=而，則雙曲線C的方

程為()

X2y2X2y2

A.---=1B.---=1

124412

X2y2X2y2

C.---=1D.---=1

106610

10.(5分)已知函數(shù)f(x)滿足2fCx)+/(-Λ)=-2x,若2"=log26=c,貝!|()

A.f(a)</(?)<f(c)B.f(?)</(c)</(a)

C.f(α)</(c)</(?)D.?(c)</(ft)</(a)

II.(5分)在三棱錐A-BC。中，平面ACDL平面BCD,aACO是以Co為斜邊的等腰直

角三角形為CD中點(diǎn),BMLBC,AC=2BC=4,則該三棱錐的外接球的表面積為()

A.16πB.24πC.32πD.40π

12.(5分)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,滿足/(x+2)=2∕^(x),且當(dāng)疣(0,2]時，/(x)

=x(2-x).則下列結(jié)論正確的個數(shù)是()

?f(7)=8；

②若對任意x∈(-8,M，都有/G)≤6,則〃7的取值范圍是(一8,第；

③若方程f(x)=〃？(χ-5)恰有3個實(shí)數(shù)根，則根的取值范圍是(一L-?);

④函數(shù)FG)在區(qū)間⑵L2,2川(∏∈N+)上的最大值為蜘，若最∈N+,使得而〃<2〃-7

成立，則a∈(—8,?].

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）設(shè)。為實(shí)數(shù)，函數(shù)/（x）=炭-er+”/的導(dǎo)函數(shù)為，（幻，若/（》）是偶函

數(shù),則α=,此時，曲線y=∕（x）在原點(diǎn)處的切線方程為.

14.（5分）已知直線/：mx+y+百m—1=0與圓/+尸=4交于A,B兩點(diǎn)，若IABI=2,

則m—.

15.（5分）已知在aABC中，角A,B,C所對邊分別為0,b,c,滿足28cosA+α=2c,且

b=2√3,則2a-c的取值范圍為.

16.（5分）在生活中，可以利用如下圖工具繪制橢圓，已知。是滑桿上的一個定點(diǎn)，。可

以在滑桿上自由移動，線段QAl=IAnl=3,點(diǎn)E在線段A。上，且滿足族=4而，若點(diǎn)

2√6

E所形成的橢圓的離心率為可，則入=.

A

八

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明.證明過程或演算步驟，第17~21題為必考題，

每個試題考生都必須作答.第22、23題為洗考題，考生根據(jù)要求作答.

17.（12分）己知等差數(shù)列｛.）的前〃項(xiàng)和為％,滿足扇=6,.

在①S3="6;②$4=20；③"2+α5+α8=30這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在上面的問題中并

解答（注：如果選擇多個條件，按照第一個解答給分.在答題前應(yīng)說明“我選”）

（1）求｛“"｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)b=2%+α71,求｛a｝的前n項(xiàng)和％.

18.（12分）如圖，在四棱錐P-ABC。中，PAmABCD,ADLCD,AD//BC,PA^AD

=Cn=2,BC=3,E為尸。的中點(diǎn)，F(xiàn)在PC上，滿足EF_LPC.

（1）求證：CQ_L平面PAD；

（2）求二面角8-AF-C的余弦值.

19.(12分)設(shè)拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為尸，M∈C,。在準(zhǔn)線上，。的縱坐標(biāo)為

√5p,點(diǎn)M到尸與到定點(diǎn)Q的距離之和的最小值為4.

(1)求拋物線C的方程；

(2)過尸旦斜率為2的直線/與C交于A、B兩點(diǎn)，求AABQ的面積.

20.(12分)某學(xué)校組織知識競答比賽，設(shè)計(jì)了兩種答題方案：

方案一：先回答一道多選題，從第二道開始都回答單選題；

方案二：全部回答單選題.

其中每道單選題答對得2分，答錯得0分；

多選題全部選對得3分，選對但不全得1分，有錯誤選項(xiàng)得0分.

每名參與競答的同學(xué)至多答題3道.在答題過程中得到4分或4分以上立刻停止答題.統(tǒng)

計(jì)參與競答的500名同學(xué)，所得結(jié)果如表所示：

男生女生

選擇方案一10080

選擇方案二200120

(1)能否有90%的把握認(rèn)為方案的選擇與性別有關(guān)？

(2)小明回答每道單選題的正確率為0.8；多選題完全選對的概率為0.3,選對且不全的

概率為0.3.

①若小明選擇方案一，記小明的得分為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

②如果你是小明，為了獲取更好的得分你會選擇哪個方案？請通過計(jì)算說明理由.

n(ad-bc)2

附：2

K=-[α+b)(c+d)(α+c)(b+d)'n=a+h+c+d.

p(∕r2≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko)

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

21.(12分)已知函數(shù)/(x)-ex-X2,求證：

(1)/(x)存在唯一零點(diǎn)；

(2)不等式/7-χ2+χ-1+(阮v)22。恒成立.

【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】

%=τ+u—i

4t「(，＞°」為參數(shù))?

{y=倔-卒

(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)已知直線/：X-y-1=0與X軸的交點(diǎn)為況且曲線C與直線/交于A、B兩點(diǎn)，求

I用IFBl的值.

【選修4-5：不等式選講】

23.已知/(X)=Ir-l∣+∣x-3|.

(1)求/(x)W3的解集；

(2)已知α(X-2)2+1≥/(x)在［3,+∞)上恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

2023年陜西省西安市高考理科數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分.共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.（5分）設(shè)集合A={x∣0<xW4,x∈N},B={x∣2*≤6},則ACB=（）

A.{1,2}B.[1,2]C.{1,2,3}D.[1,3]

【解答】解：解不等式2*W6,得XWIOg26,則B={x∣xWlog26},

而2<log26<3,又A={x∣0<x≤4,xeN}={l,2,3,4）,

所以ArlB={1,2}.

故選：A.

2.（5分）甲乙兩位射擊運(yùn)動員參加比賽，抽取連續(xù)6輪射擊比賽的成績情況如下:

甲：80、70、80、90、90、70；乙：70、80、80、80、70、80

則下列說法中正確的是（）

A.甲比乙平均成績高，甲比乙成績穩(wěn)定

B.甲比乙平均成績高，乙比甲成績穩(wěn)定

C.乙比甲平均成績高，甲比乙成績穩(wěn)定

D.乙比甲平均成績高，乙比甲成績穩(wěn)定

【解答】解：依題意，甲射擊成績的平均數(shù)行=80+7°+819°+9°+7°=go,

方差登=?[2（80-80）2+2（70-80）2+2（90-80）2]=?,

方差登建[2（70—分）2+4（學(xué)—80）2]=答，因此五>不s2>s2,

所以甲比乙平均成績高，乙比甲成績穩(wěn)定.

故選：B.

3.（5分）復(fù)數(shù)Z滿足z3=-2+2i,則Z=（）

A.1-iB.1+iC.-I-JD.-?+i

【解答】解：設(shè)復(fù)數(shù)z=α+加（”,?∈R）,

則由Z3=-2+2/,可得（α+bi）3=-2+2/,

即a3+3a2bi+3ab2i2+(bi)3--2+2i,

則cr,-3/=-2,且3a2b-?3=2,

兩式相加,得（α-b）（a2+40?+?2）=0,

當(dāng)α=b時，解得α=8=l,此時z=l+i,

當(dāng)/+4。力+廬=。時，即（q+2b）2=3層，

則結(jié)合各選項(xiàng)，該式均不成立.

綜上，z=l+z.

故選：B.

4.?Sinx在區(qū)間［-會身上的圖象大致為（）

B.

D.

【解答】解：V∕(-x)=?sin(-x)=-；；；%.sinx=/(x),

?"?/(x)=?SinX是偶函數(shù),排除選項(xiàng)B和。,

當(dāng)0<xV芻時，SirLr>0,1Q'>1,即/（X）=娛+；?Sinx>0,排除選項(xiàng)C.

故選：A.

（5分）在平行四邊形ABCQ中,AE=^AD,CF=^CD,^?BA=()

6→9→23T69→2→3→

A.-AF--CEB.-AF--CEC.-AF+-CED.-AF^-CE

55555555

【解答】解：畫出圖形，如下圖:

T

設(shè)??=Z,ADb,

因?yàn)??=3j>,所以C?=6?+∕?

因?yàn)镠=/Ck所以G=G+而=1+∣3,

->->->T—>?yIo—>(?"TTTZl—1

設(shè)84=τπAF+TiCE,則一Q=τn(b+司0)+幾(一@一司6),所以〈?,

[m-∣n=O

AQTATQT

解得Tn=引n=?,即BA=百AF+耳CE.

故選：C.

6.(5分)我國古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服號影算法”在《大衍歷》中建立了辱影長1與

太陽天頂距θ(O°≤θ≤180o)的對應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表，

根據(jù)三角學(xué)知識可知，唇影長度I等于表高h(yuǎn)與太陽天頂距θ正切值的乘積，即I=

Λtanθ.對同一“表高”兩次測量,第一次和第二次太陽天頂距分別為α,β,且tan(a-/?)=1,

若第二次的“唇影長”與“表高”相等，則第一次的“唇影長”是“表高”的()

A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍

【解答】解：依題意，lan0=l,51∣Jtαnα=tan[(a-β)+β]=器渭含.鬻B=苦=2,

所以第一次的“愚影長”是“表高”的2倍.

故選：B.

7.(5分)下列是函數(shù)f(x)=2s譏(x+竿)sin(x+勺圖像的對稱軸的是()

A.x=zB.x=-τC.%=5D.%=5

6432

【解答】解：/(x)=2sin[(x+百)+?]sm(?+/)=2sin(x+E)COS(%+*)=sin(2x+

?)=cos2x,

顯然/(看)=CoSg=?≠±1,/(/)=cos?=0≠±1,/(^)=cos?=-?≠±1,/(?)=

cosπ=-1,

所以函數(shù)f(x)=2SirI(X+竿)s譏(％+今)圖像的對稱軸的是％=ABC錯誤，。正確.

故選：D.

8.(5分)盲盒是一種深受大眾喜愛的玩具，某盲盒生產(chǎn)廠商準(zhǔn)備將棱長為8c〃?的正四面體

的魔方放入正方體盲盒內(nèi)，為節(jié)約成本，使得魔方能夠放入盲盒且盲盒棱長最小時，盲

盒內(nèi)剩余空間的體積為()

64√2,128√2a256√2,512√2

A.-------cmB.---------cmC.---------cmD.---------cm7

3333

【解答】解：依題意，要使棱長為8cm的正四面體的魔方放入正方體盲盒內(nèi)，且盲盒棱

長最小，

則當(dāng)且僅當(dāng)正方體的面對角線長等于正四面體的棱長，即它們有相同的外接球，

如圖，正四面體ABCD的棱長為Scm,該正四面體的所有棱均為正方體對應(yīng)的面對角線，

所以該正方體棱長為4√∑cm,盲盒內(nèi)剩余空間的體積為4XI××4√2X4√2X4√2=

256?[2,3、

—?—(CTn3).

9.(5分)已知點(diǎn)尸(4,0)是雙曲線C：^∣-J∣=l(α>0,b>0)的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)尸向C

的一條漸近線引垂線垂足為A,交另一條漸近線于點(diǎn)8?若2於=俞，則雙曲線C的方

程為()

X2y2X2y2

A.---=1B.---=1

124412

X2y2X2y2

C.---=1D.---=1

106610

【解答】解：,??雙曲線的漸近線方程為：法士緲=0,且J+∕=i6,

如圖，設(shè)點(diǎn)A在直線法-αy=O上，

Ah4-hTT

VAFlOA,則∣4Fl=I?=芋=b,而2AF=FB,

4

λfw

即有尸身=2IAZjl=2%,IABI=38,

2222

IOAI=y∕?OF?—?AF?=√4—b=a,sin?AOF=

由2第=而知，點(diǎn)A,8在y軸同側(cè)，

.2

.".?AOB=2?A0F∈(0,?),cos?AOB=1-2sin2?AOF=1-?>0,?2<8,

22222

在RtAAOB中，|。Bl=yJ?OA?+?AB?=√α+9b=√16+86,

由IoAI=I03∣COSNAo8得：a=√16+8h2-(l-?),

整理得：8(16→2)=(?2+2)(8-?2)2,

化簡得/-14/?2+40=0,解得房=4或房=10(舍去),

Λfe2=4,ο2=12,

X2y2

???雙曲線方程為不—―=1.

124

故選：Λ.

10.(5分)已知函數(shù)/(五)滿足Zf(x)4/(-X)=-2x,若2"=log2b=c,則()

A./(。)<f(?)<∕(c)B.f(?)<∕(c)Vf(CI)

C.f(?)<∕(c)</(?)D./(c)<∕(?)<∕(a)

【解答】解:因?yàn)?f(x)+/(-χ)=-2x,所以2/(-%)4/(x)=2元，

聯(lián)立［您?藜(廠:了，得/(X)=.2x,在R上單調(diào)遞減，

(?j'J?^)一乙X

所以q<c<b,故f(b)<f(c)<f(α).

故選：B.

11.（5分）在三棱錐A-BCC中，平面ACCL平面8CQ,Z?ACO是以CO為斜邊的等腰直

角三角形,M為CZ）中點(diǎn),BMJ_8C,AC=2BC=4,則該三棱錐的外接球的表面積為（）

A.16πB.24πC.32πD.40π

【解答】解：..?2λACD是以CD為斜邊的等腰直角三角形，M為CO中點(diǎn)，AC=4,

.?AM±CD,且4M=MC=2√Σ,

V2BC=4,ΛBC=2,又BMLBC,

：.由勾股定理得BM=y∣CM2-BC2=2,：.BM=BC,

.?.△8CM為等腰直角三角形，.?.∕BMC=45°,ZBMD=135°,

由題意得：球心O在平面AC。的投影與例點(diǎn)重合，

：平面AeQ_L平面BCD,.?.球心。在平面BCD上，

過點(diǎn)M作例”_LCQ,交BD于點(diǎn)H,易知NBM”=135°,

：球心。在的延長線上，設(shè)OM=X,

由余弦定理得：。爐=0用2+8知2-2OM?BM?cosZBMH=x2+4+2√2x,

.?AO2=AM2+OM2=8+/,

由θF=Aθ2,可得χ2+4+2√Σx=8+7,

解得X=√2,

設(shè)外接球半徑為R,則T?2=8+2=10,

故該三棱錐的外接球的表面積為4πΛ2=40π.

故選：D.

12.(5分)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,滿足/(x+2)=〃(x),且當(dāng)左(0,2]時，/(x)

=x(2-x).則下列結(jié)論正確的個數(shù)是()

GY(7)=8；

②若對任意x∈(-8,M，都有/(x)≤6,則加的取值范圍是(一8,?];

③若方程/G)=〃？(戈-5)恰有3個實(shí)數(shù)根，則根的取值范圍是(一1,-?);

④函數(shù)/G)在區(qū)間⑵Z-2,2n](n∈N+)上的最大值為若力?∈N+,使得Aa〃V2〃-7

成立，則4∈(-8,?].

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,滿足f(x+2)=2f(x),即/(x)=2f(χ-2),

且當(dāng)x∈(0,2]時，/(x)—X(2-χ),

當(dāng)x∈(2,4]時，X-2∈(0,2],故/(x)=2(X-2)(4-x)=-2√+12x-16,

當(dāng)xe(4,6]時，x-26(2,4],故/(x)=2[-2(x-2)2+12(x-2)-16]=-4/+4Or

-96,

依次類推，

當(dāng)Xe(2n-2,2〃]時，f(x)=-2"-ι∕+2"(2〃-I)X-(2")(2〃-2)=-2"Λ2+2"

(2n-1)X-(2〃-2),

由此可作出函數(shù)/(X)的圖象如圖：

對于①，76(6,8),此時”=4,故f(7)=-23χ72+24(2×4-I)×7-24×4(2×4

-2)=-392+784-384=8,①正確；

對于②，當(dāng)xW6時，f(x)W4；結(jié)合①可知當(dāng)6VχW8時，/(x)≤8i

故當(dāng)x∈(6,8)時，令f(x)=-8∕+112χ-384=6,

2

BP4X+56Λ+195=0,；.⑵-15)⑵-13)=0,解得Xl=苧>7,χ2=^-<7,

又一⑺=8,故對任意Xe(-8,m],都有f(χ)≤6,則用的取值范圍是(一8,第，

正確；

結(jié)合圖象可知y=/(x),y=-x+5恰有3個交點(diǎn),

即/(X)=m(x-5)恰有3個實(shí)數(shù)根，即說明,*=-1符合題意，則③錯誤;

對于④，當(dāng)x∈(2n-2,2〃］時，f(x)=-2"-1/+2"(2〃-I)X-2nn(2n-2),

2

其最大值為即=2"-χX8"3-2q(2n-D=2∏-ι,

若*∈N+,使得人6?<2,L7成立，即％V貧?，即需4V(經(jīng)Sniax；

、-j2,71—72n-5

1則

記砥=Frb∏+l=丁'

故b7l+ι—bn=2%5_:=9.I-,當(dāng)“W4時?，hn+?~b〃>0,{〃〃}遞增;

-1a

當(dāng)〃25時，加+1-加VO,｛加｝遞減，又∕=g,b3=?e,

則?5>?4,故bn=勺/的最大值為三，

216

則a<?,即aw(-8,后％故④錯誤，

綜合可知，結(jié)論正確的個數(shù)是2個，

故選：B.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)設(shè)。為實(shí)數(shù)，函數(shù)/(x)=F-∕"af的導(dǎo)函數(shù)為，(?),若/(x)是偶函

數(shù)，則4=0,此時，曲線y=f(x)在原點(diǎn)處的切線方程為y=2x.

【解答】解：?.?/G)=^?-^^ΛW,

xx

：.f(x)=e+e'+2aχf

又/(x)是偶函數(shù)，:?/(-x)=f(x)在x∈R上恒成立，

.?ex+ex-2ax=ex+ex+2axtSh??,故4=0.

：.f(0)=0,f(0)=2,

?,?曲線y=∕(x)在原點(diǎn)處的切線方程為y-0=2(?-θ),即y=2r.

故答案為：0；y=2x.

14.(5分)已知直線I：+y+遮m—1=0與圓/+)2=4交于A,3兩點(diǎn)，若IABl=2,

則tn—__-?

【解答】解：圓f+y2=4的圓心O(0,0),半徑r=2,因?yàn)閳A。的弦A3長為2,

則點(diǎn)O到直線/的距離d=Jr2-(∣μB∣)2=√22-l2=√3,

而d=粵m,因此粵=I=G解得巾=一冬

所以Tn=一等.

故答案為：—等.

15.（5分）已知在AABC中，角4,B,C所對邊分別為α,b,c,滿足2bcosA+α=2c,且

b=2√3,則2a-c的取值范圍為_（一2遮，4√3）-.

【解答】解：由題意在aABC中，滿足2hcosA+a=2c,即2sinBcosA+sinA=2sinC=2sin

(A+B),

即SinA=2sinAcos8,而A∈(0,π),

/.sinA≠0,

故CoSB=義，又Be(0,π),

,/?—Ξ

,,二一3'

bsinA2aSinA

則Q4sinA,同理c=4sinC,

SinB√3

故2α—c=8sinA—4sinC=SsinA—4siτι(冬—A)=GsinA—2聒CoSA—4√3sin(Λ—

9

又A∈(0,?-),

Λ?-∣∈(-1,分

故SiZI(A-石)6(―2，1)>

Pl∣j2α-c∈（-2√3,4√3）,

故答案為：（-2百，4√3）.

16.（5分）在生活中，可以利用如下圖工具繪制橢圓，已知。是滑桿上的一個定點(diǎn)，?？?/p>

以在滑桿上自由移動，線段QAI=∣AQ∣=3,點(diǎn)E在線段AO上，且滿足族=4而，若點(diǎn)

,.2√6

E所形成的橢圓的離心率為彳~,則入=2.

A

0D

【解答】解：如圖，以。為原點(diǎn)，。。為X軸，過點(diǎn)。作。。的垂線為y軸，建立平面

直角坐標(biāo)系，

過點(diǎn)E作OD的垂線交OA延長線于P,交。。于M,

作AELPE,垂足為凡則A尸〃?！?gt;,

因?yàn)镮oAl=HO∣=3,故N∕?F=NA0Q,ZEAF=ZADO,則∕B4F=NEAF,

故∣∕?∣=∣AE∣,IPQ=IEFI,

設(shè)族=L?,(O≤t≤1),則∣∕?∣=∣AΔ]=3f,故QPI=3+3f,

則P點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2=9(l+z)2,

由于AF〃。。，則四；=②=3故IPFI=IEfl=/IMF1，

?MF??AD?

貝IJlPM=(l+r)∣MF∣,IEMI=(1-r)∣MF∣,

設(shè)E(X,y),則％=孫，y=∣ψ∣3ZP,而后+煽=9(1+C)2,

故/+(巖y)2=9(l+t)2,即為E點(diǎn)軌跡方程，表示橢圓，

Rnχ2y2

、9(l+t)2+9(1T)2—1,

由于橢圓的離心率為半，即1一9(1戈=(冬)2,

59(l+tf5

?T2τ

解得t=可即AE=WAD,

由于族=/1應(yīng))，故人=2,

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明.證明過程或演算步驟，第17~21題為必考題,

每個試題考生都必須作答.第22、23題為洗考題，考生根據(jù)要求作答.

17.(12分)已知等差數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和為S,滿足.3=6,.

在①S3="6;②$4=20;③"2+"5+α8=30這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在上面的問題中并

解答(注：如果選擇多個條件，按照第一個解答給分.在答題前應(yīng)說明“我選”)

(1)求｛劭｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)匕=2/+即,求｛加｝的前〃項(xiàng)和方.

【解答】解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛.｝的首項(xiàng)為m,公差為d

若選擇條件①S3="6,則由43=6,

得愎:送；=6%+5d，解得｛箕2?

??cin=2÷2(.n~1)=2〃；

若選擇條件②S4=20,則由43=6,

α1÷2d=6_9

得眄+竽仁加解得｛建2

??Cln~~2+2(〃-1)=2/2;

若選擇條件③α2+a5+α8=30,則由“3=6,

得fa】+2d=6解得件=2

?b(ɑi+4d)=30ffl+wtd=2

1.4/7=2+2(M-I)=2〃；

(2)由(1)知，選擇三個條件中的任何一個，都有〃〃=2小

an2nn

:?bn=2+αn=2+2九=4+2nf

12n

：?Tn=(4+4+4，+…+4)+2(1+2+3+…+九)

π

4(l-42)??szn(l+n)4..π,??

=?1~-~4-r--÷2×Z-??~?-=?(4'-1)+n+n.

18.(12分)如圖，在四棱錐P-ABC。中，3_L平面A8CZ),ADLCD,AD//BC,PA^AD

=Co=2,BC=3,E為PZ)的中點(diǎn)，廠在PC上，滿足EztLPc

(1)求證：ɑ)_1_平面鞏。；

(2)求二面角B-AF-C的余弦值.

【解答】解：(1)證明：...BA,平面ABCQ,又CnU平面ABC￡>,

J.PALCD,又AO_LCQ,PAQAD=A,且B4,AQU平面雨￡),

.?.CD_L平面PAD；

(2)過A作A。的垂線交BC于點(diǎn)M,

'：PAmABCD,AM,ADc5PffiABCD,

：.PALAM,PAA,AD,

，分別以AM,AD,AP所在直線為X,)，，z軸，建系如圖，

則根據(jù)題意可得A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),

D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,I,1),

設(shè)而=2/充=4(2,2,-2),則可得尸(2入，2λ,2-2λ),

：.EF=[2λ,2λ-l,1-22),

"：EFLPC,：.EF1PC,：.EF-PC=0,

：.(2λ,2λ-1,1-2λ)?(2,2,-2)=0,

1

Λ12λ-4=0,ΛΛ=i,

T224T

???AF=G，M>AB=(2,一L0),

設(shè)平面A3廠的一個法向量為蔡=(X,yfz),

m?AB=2x—y=0→

TT224,取τn=(2,4,一3),

{m?4F=尹+科+/=0

又前=(2,2,0),設(shè)平面AC尸的一個法向量為蔡=(α,b,c),

發(fā)”=0,即

n?AF=0

√58

Λcos(m,n)=

∣m∣∣n∣V∑5x∕∑

又兩法向量指向相同，???二面角8-A尸-C的平面角與法向量的夾角互補(bǔ),

/rp

二面角8-AF-C的余弦值為一.

19.(12分)設(shè)拋物線C：/=2PX(P>0)的焦點(diǎn)為尸，MEC,Q在準(zhǔn)線上，。的縱坐標(biāo)為

百P，點(diǎn)M到尸與到定點(diǎn)Q的距離之和的最小值為4.

(1)求拋物線C的方程；

(2)過尸且斜率為2的直線/與C交于A、B兩點(diǎn),求aABQ的面積.

【解答】解：⑴由已知可得，F(xiàn)(ξ,0),Q(-ξ,√3p),

因?yàn)镮MQ+1MQwIFQI,當(dāng)且僅當(dāng)M,F,。三點(diǎn)共線時，取得最小值，

又∣MQ+∣MQ<4,所以尸2∣=4,

即J(-ξ-∣)2+(√3p)2=4,整理可得p2=4,

因?yàn)閜>0,所以p=2,

所以拋物線C的方程為y2=zk;

(2)由(1)知，F(xiàn)(1,0),所以直線/的方程為y=2(X-1),Q(-l,2√3),

聯(lián)立直線/與拋物線的方程p2=∕x八，消去y可得，Λ2-3X+1=0,

設(shè)A(xι,yι),B(X2,部)，則由韋達(dá)定理可得+“2：3,

(XlX2=1

2-z22

所以Bl=7(x1-x2)+(yιy∑)=Vl+27(xi+X2)-4x1x2=5,

又點(diǎn)Q(-l,2返)到直線/：y=2(X-1),

即直線2%-y-2=0的距離為d=喀二1)」>二2]=

所以，XNBQ的面積S=^×?AB?-d=^×5×=√15+2√5.

20.(12分)某學(xué)校組織知識競答比賽，設(shè)計(jì)了兩種答題方案:

方案一：先回答一道多選題，從第二道開始都回答單選題：

方案二：全部回答單選題.

其中每道單選題答對得2分，答錯得0分；

多選題全部選對得3分，選對但不全得1分，有錯誤選項(xiàng)得0分.

每名參與競答的同學(xué)至多答題3道.在答題過程中得到4分或4分以上立刻停止答題.統(tǒng)

計(jì)參與競答的500名同學(xué)，所得結(jié)果如表所示:

男生女生

選擇方案一10080

選擇方案二200120

(1)能否有90%的把握認(rèn)為方案的選擇與性別有關(guān)?

(2)小明回答每道單選題的正確率為0.8；多選題完全選對的概率為0.3,選對且不全的

概率為0.3.

①若小明選擇方案一，記小明的得分為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

②如果你是小明，為了獲取更好的得分你會選擇哪個方案？請通過計(jì)算說明理由.

2

n(ad-bc')_,,,,

附：K2=-[Q+b)(c+d)(Q+c)(b+d),n~a+b+c+ld?

P(片20.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko)

to2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【解答】解：(1)由題意完善列聯(lián)表如圖:

男生女生總計(jì)

選擇方案一10080180

選擇方案二200120320

總計(jì)300200500

7

故依=5。喘超簫患衰需。)..,2.315<2.706.

故沒有90%的把握認(rèn)為方案的選擇與性別有關(guān);

(2)①由題意可知X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,

則P(X=O)=0.4×0.2×0.2=0.016,

P(X=I)=0.3×0.2×0.2=0.012,

P(X=2)=0.4×2×0.8×0.2=0.128,

P(X=3)=0.3×0.2×0.2+0.3×2×0.8×0.2=0.108,

P(X=4)=0.4X0.8X0.8=0.256,

P(X=5)=0.3×0.8+0.3×0.2×0.8+0.3×0.8×0.8=0.480,

故X的分布列為：

X012345

P0.0160.0120.1280.1080.2560.480

故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1×0.012+2X0.128+3×0.108+4×0.256+5X0.480=4.016.

②設(shè)選擇方案二的得分為匕則y的可能取值為0,2,4,

貝IjP(y=0)=0.2×0.2×0.2=0.008,P(Y=2)=3X0.8X0.2X0.2=0.096,P(Y=4)

=0.8×0.8+2×0.82×0.2=0.896,

故E(Y)=2X0.096+4X0.896=3.776,

因?yàn)镋(X)>E(K),故為了獲取更好的得分，小明會選擇方案一.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=/-/,求證：

(1)/(x)存在唯一零點(diǎn);

(2)不等式/7-/+%-1+(Inx)2)0恒成立.

【解答】證明：(1)/(x)=F-2x=g(x),g,(x)="-2,

當(dāng)x>∕"2時，g'(%)>0,此時函數(shù)g(