《17.1 勾股定理》課件（4課時）

第十七章勾股定理17.1勾股定理第1課時數(shù)學(xué)家曾建議用這個圖作為與“外星人”聯(lián)系的信號.你知道這是為什么嗎？你見過這個漂亮的圖案嗎？這個圖案有什么意義？溫故知新一般三角形三個內(nèi)角和是180°，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.直角三角形兩個銳角互余.直角三角形的三邊a、b、c有沒有等量關(guān)系呢？拼圖游戲1.有八個直角邊長為1的等腰直角三角形，你能用它們拼出如圖所示的三個正方形嗎？ABC2.請你計算這三個正方形的面積，它們之間存在什么數(shù)量關(guān)系？能否用一個等式表示出來？即：A、B、C的面積有什么關(guān)系？SA+SB=SCABC3．由上面的條件可知，這三個正方形的邊長分別是1、1和2，那么剛才的面積關(guān)系可以用一個等量關(guān)系式來描述嗎？請你寫出這個等式.兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.SA+SB=SC提問：

這里的等腰直角三角形如果腰長不是1，而是其他數(shù)，還會有剛才的結(jié)論嗎？進(jìn)一步思考

是不是所有的直角三角形都是這樣的呢？（1）觀察右邊兩幅圖：

（2）填表（每個小正方形的面積為單位1）：A的面積B的面積C的面積左圖右圖49169？？探究（3）你是怎樣得到正方形C的面積的？CBCA734“補(bǔ)”的方法SC=S大正方形

-4×S小直角三角形

CBCA“割”的方法34SC

=4×S小直角三角形

+

S小正方形“拼”的方法你知道是怎樣拼的嗎？（1）觀察右邊兩幅圖：

（2）填表（每個小正方形的面積為單位1）：A的面積B的面積C的面積左圖右圖491691325探究A的面積B的面積C的面積左圖右圖491691325探究根據(jù)表中數(shù)據(jù)，你得到了什么？結(jié)論（1）你能用直角三角形的兩直角邊的長a、b和斜邊長c來表示圖中正方形的面積嗎？

（2）你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長度之間存在什么關(guān)系嗎？繼續(xù)思考ABCCBA

直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.命題如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B和∠C所對的三條邊分別是a、b、c.求證：

請先用手中的全等直角三角形按圖示進(jìn)行擺放，然后根據(jù)圖示的邊長，選擇其中一個圖形，分析其面積關(guān)系后證明.證明定理圖1圖2圖3自主證明圖1圖3解：解：圖2自主證明如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.abc表示為：Rt△ABC中，∠C=90°，則定理：

我國有記載的最早勾股定理的證明，是三國時，我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在他所著的《勾股方圓圖注》中，用四個全等的直角三角形拼成一個中空的正方形來證明的.每個直角三角形的面積叫朱實(shí)，中間的正方形面積叫黃實(shí)，大正方形面積叫弦實(shí)，這個圖也叫弦圖.２００２年的國際數(shù)學(xué)家大會將此圖作為大會會徽．

畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）是古希臘數(shù)學(xué)家，他是公元前五世紀(jì)的人，比商高晚出生五百多年.希臘另一位數(shù)學(xué)家歐幾里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在編著《幾何原本》時，認(rèn)為這個定理是畢達(dá)哥達(dá)斯最早發(fā)現(xiàn)的，所以他就把這個定理稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”，以后就流傳開了.美國第二十任總統(tǒng)加菲爾德的證法在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話.人們?yōu)榱思o(jì)念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法.有趣的總統(tǒng)證法bcabcaABCD在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”.我國古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.勾股勾股定理的由來這個定理在中國又稱為“商高定理”，商高是公元前十一世紀(jì)的中國人.當(dāng)時中國的朝代是西周，是奴隸社會時期.在中國古代大約是戰(zhàn)國時期西漢的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記錄著商高同周公的一段對話.商高說：“…故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五.”商高那段話的意思就是說：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長邊）時，徑隅（就是弦）則為5.以后人們就簡單地把這個事實(shí)說成“勾三股四弦五”.由于勾股定理的內(nèi)容最早見于商高的話中，所以人們就把這個定理叫做“商高定理”.1.成立條件：在直角三角形中；3.作用：已知直角三角形任意兩邊長，求第三邊長.2.公式變形:abc如果直角三角形兩直角邊長分別為a、b,斜邊長為c，那么勾股定理（注意：哪條邊是斜邊）1.已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a=2，c=5，求b.小試身手2.在Rt△ABC中，∠B＝90°，a=3，b=4，求c.3.教材第24頁練習(xí)第2題.本課我們學(xué)習(xí)了哪些知識？用了哪些方法？你有哪些體會？總結(jié)本課作業(yè)1.請你利用今天學(xué)習(xí)的面積法證明教材習(xí)題17.1第13題.2.課下每個同學(xué)制作一張勾股定理的數(shù)學(xué)小報，并自己上網(wǎng)查閱與勾股定理有關(guān)的知識，證明方法和應(yīng)用等，然后小組交流、展示.第十七章勾股定理17.1勾股定理第2課時小競賽1.看圖示信息，求直角三角形中第三邊的長，將結(jié)果標(biāo)在圖上.3

.

13小競賽.

2.（1）如圖，兩個正方形的面積分別是S1=18，S2=12，則直角三角形的較短的直角邊長是

.小競賽2.（2）如圖，兩個半圓的面積分別是S1=16π，S2=25π，則直角三角形的較短的直角邊長是

.

3.已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a=1，c=3，則b=

.4.已知Rt△ABC中，∠A=90°,∠B=30°，若a=4，則c=

.5.已知Rt△ABC中，∠B=90°,∠A=45°，若b=7，則c=

.小競賽7探究

小明家裝修時需要一塊薄木板，已知小明家的門框尺寸是寬1m，高2m，如圖所示，那么長3m，寬2.2m的薄木板能否順利通過門框呢？

木板的長、寬分別和門框的寬、高和對角線進(jìn)行比較.分析實(shí)際問題數(shù)學(xué)問題能否通過比大小比較線段大小1.一木桿在離地面3m處折斷，木桿頂端落在離木桿底端4m處.木桿折斷之前有多高？2.一個圓錐的高AO=2.4，底面半徑OB=0.7.AB的長是多少？練習(xí)答案：8m答案：2.5第1題圖第2題圖例1在正方形網(wǎng)格中，每個小方格的邊長都是1，△ABC的位置如圖所示，回答下列問題：（1）求△ABC的周長；（2）畫出BC邊上的高，并求△ABC的面積；（3）畫出AB邊上的高，并求出高.例1在正方形網(wǎng)格中，每個小方格的邊長都是1，△ABC的位置如圖所示，回答下列問題：（1）求△ABC的周長；（2）畫出BC邊上的高，并求△ABC的面積；k（3）畫出AB邊上的高，并求出高.答案：（1）（2）4；（3）2．如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，每個小正方形的邊長都是1，求△ABC的面積和BC邊上的高.答案：面積是4.5，高是.練習(xí)1．教材習(xí)題17.1第8題.例2在△ABC中，AB＝15cm，AC＝13cm，高AD＝12cm，求BC的長．

高在BC邊上高在BC延長線上答案：14cm或4cm.直角三角形的兩邊長分別是3和5，求第三條邊長.練習(xí)答案：4或.哪兩條邊呢？直角邊還是斜邊？看來要分類討論結(jié)果了.1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，則c的長為（）A.26B.18C.20D.212.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3,4)，則OP的長為（）A.3B.4C.5D.3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°,c＝10，則a的長為（）A.5B.C.D.4.等邊三角形的邊長為2，則該三角形的面積為（）A.B.C.D.3檢驗(yàn)5.如圖，已知一根長8m的竹竿在離地3m處斷裂，竹竿頂部抵著地面，此時，頂部距底部有

m.6.如圖，每個小方格的邊長都為1．求圖中四邊形ABCD的周長.7.直角三角形的兩條邊長分別是1和2，則第三邊長是多少？檢驗(yàn)本課我們學(xué)習(xí)了哪些知識？用了哪些方法？你有哪些體會？總結(jié)本課第十七章勾股定理17.1勾股定理第3課時復(fù)習(xí)1.請敘述勾股定理的內(nèi)容.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果在Rt△ABC中,∠C=90°，那么abcABC2.做教材第26頁練習(xí)第1題.例1.如圖，一架2.6m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO為2.4m.如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m嗎？墻面和水平面有什么關(guān)系？求哪條線段的長？在梯子下滑過程中，哪個線段的長沒有發(fā)生變化？2.6m2.6m2.4m1.9mOB=？mOD=?m幾何畫板演示梯子下滑過程練習(xí)1.教材第26頁練習(xí)第2題.2.如圖，上午8時，一條船從A處出發(fā)，以每小時15海里的速度向正北航行，10時到達(dá)B處.從A處望燈塔C為北偏西30°，從B處望燈塔C為北偏西60°，求輪船繼續(xù)航行多長時間到達(dá)燈塔C的正東方向？并求出此時輪船和燈塔的距離.問題：通過讀題我們可以知道哪些量？AB=30海里,∠CAB=30°，∠CBA的外角是60°.CB=AB=30海里練習(xí)求輪船繼續(xù)航行多長時間到達(dá)燈塔C的正東方向？并求出此時輪船和燈塔的距離.答案：1小時，哪位同學(xué)能根據(jù)圖形告訴大家這時船的位置？∟H例2小紅想測量學(xué)校旗桿的高度，她采用如下的方法：先將旗桿上的繩子接長一些，讓它垂到地面繩子還多1米；然后將繩子下端拉直，使它剛好接觸地面，測得繩下端離旗桿底部5米，你能幫她計算一下旗桿的高度嗎？先將旗桿上的繩子接長一些，讓它垂到地面繩子還多1米；然后將繩子下端拉直，使它剛好接觸地面.哪位同學(xué)能根據(jù)圖形把這句話表述清晰？解：設(shè)旗桿AC高x米,則AB為（x+1）米.在直角三角形ACB中，∵AB2=AC2+CB2，∴（x+1）2=x2+52.解得x=12.答：旗桿的高度是12米.xx+15我們要求線段AC的長，線段AB比AC長1米，我們可以設(shè)未知數(shù)來求解.3.小剛欲劃船橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際船靠岸的地點(diǎn)B偏離欲到達(dá)地點(diǎn)C50米，結(jié)果船在水中實(shí)際行駛的路程比河寬多10米，求該河的寬AC是多少米？哪位同學(xué)能根據(jù)圖形準(zhǔn)確表述題意？練習(xí)解：設(shè)河寬AC為x米,則AB為（x+10）米.在直角三角形ACB中，∵AB2=AC2+CB2，∴（x+10）2=x2+502.解得x=120.答：該河的寬AC是120米.xx+10504.教材習(xí)題17.1第10題.問題1：哪位同學(xué)能根據(jù)題意找到圖中兩條相等的線段？MF=MA問題2：哪位同學(xué)能根據(jù)題意告訴大家哪條線段是10尺？AB=CD=10練習(xí)解：設(shè)水深EM為x尺,則AM為（x+1）尺.在直角三角形AEM中，∵AM2=ME2+AE2，∴（x+1）2=x2+52.解得x=12.蘆葦長為12+1=13（尺）.答：水深是12尺，蘆葦長是13尺.4.教材習(xí)題17.1第10題.練習(xí)鞏固練習(xí)1.如圖，一個梯子AB長2.5米，頂端A靠在墻AC上，這時梯子下端B與墻角C距離為1.5米，梯子滑動后停在DE的位置上，測得BD長為0.5米，求梯子頂端A下落了多少米？ECDBA鞏固練習(xí)2.在平靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面1米，一陣風(fēng)吹來，紅蓮被吹到一邊，花朵齊及水面，已知紅蓮移動的水平距離為2米，問這里水深是多少米？小結(jié)從實(shí)際問題中抽象出直角三角形，從而利用勾股定理求線段的長.還學(xué)會了利用勾股定理建立方程求直角三角形中線段的長.

第十七章勾股定理17.1勾股定理第4課時

受臺風(fēng)麥莎影響，一棵樹在離地面4米處斷裂，樹的頂部落在離樹跟底部3米處，這棵樹折斷前有多高？

情境引入1.已知直角三角形ABC的三邊為a、b、c

，∠C＝90°，則a、b、c

三者之間的關(guān)系是

；2.若一個直角三角形兩條直角邊長是3和2，那么第三條邊長是

；3.

叫做無理數(shù).知識回顧a2+b2=c2無限不循環(huán)小數(shù)問題思考在八年級上冊中我們曾經(jīng)通過畫圖得到結(jié)論：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等.學(xué)習(xí)了勾股定理后，你能證明這一結(jié)論嗎？BACC′A′B′BACC′A′B′已知兩個直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°,

AB=A′B′,

BC=B′C′.求證：△ABC≌△A′B′C′.問題思考證明:∵△ABC和

△A′B′C′是直角三角形,∴AC2=AB2-BC2,∴A′C′2=A′B′2-B′C′2.∵AB=A′B′,

BC=B′C′,∴AC2=A′C′2,∴AC=A′C′.在△ABC和△A′B′C′中,∵∠C=∠C′,

AC=A′C′,

BC=B′C′,∴△ABC≌△A′B′C′.

問題探究數(shù)軸上的點(diǎn)有的表示有理數(shù)，有的表示無理數(shù)，你能在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)嗎？分析引導(dǎo)：（1）你能畫出長為的線段嗎？怎么畫？說說你的畫法.（2）長是的線段怎么畫？是由直角邊長為_____和______(整數(shù))組成的直角三角形的斜邊.（3）怎樣在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn)？ACBl①設(shè)原點(diǎn)為O，在數(shù)軸上找到點(diǎn)A，使OA=3;②過A點(diǎn)作直線l垂直于OA，在l上截取AB=2;③以O(shè)為圓心，以O(shè)B為半徑畫弧，交數(shù)軸于點(diǎn)C，點(diǎn)C即為表示的點(diǎn).變式訓(xùn)練利用勾股定理可以得到長為，，……的線段.按照同樣方法，可以在數(shù)軸上畫出表示，，……的點(diǎn).嘗試應(yīng)用1.利用探究的方法，請你在數(shù)軸上表示的點(diǎn)．2.如圖所示，∠ACB=∠ABD=90°，CA=CB，∠DAB=30°，AD=8，求AC的長．第4題圖ADCB達(dá)標(biāo)檢測1．已知等腰三角形的一條腰長是5，底邊長是6，則它底邊上的高為

．2．長為的線段是直角邊長為正整數(shù)

，

的直角三角形的斜邊.3．如