《17.1勾股定理》課件（三套）

人教版八年級(jí)（下）勾股定理一

畢達(dá)哥拉斯(公元前572----前492年),古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家。SA+SB=SCABCBAC圖甲A的面積B的面積C的面積448SA+SB=SCC圖甲1.觀察圖甲，小方格的邊長(zhǎng)為1.⑴正方形A、B、C的面積各為多少？⑵正方形A、B、C的面積有什么關(guān)系？畢達(dá)哥拉斯(公元前572----前492年),古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家。A、B、C的面積有什么關(guān)系？SA+SB=SCABC對(duì)于等腰直角三角形有這樣的性質(zhì)：兩直邊的平方和等于斜邊的平方ABC圖乙2.觀察圖乙，小方格的邊長(zhǎng)為1.⑴正方形A、B、C的面積各為多少？91625SA+SB=SC⑵正方形A、B、C的面積有什么關(guān)系？448ABC圖甲圖甲圖乙A的面積B的面積C的面積CSA+SB=SCAB圖乙2.觀察圖乙，小方格的邊長(zhǎng)為1.91625SA+SB=SC⑵正方形A、B、C的面積有什么關(guān)系？448ABC圖甲圖甲圖乙A的面積B的面積C的面積abcabcCSA+SB=SCABCC圖乙SA+SB=SCSA+SB=SC圖甲abcabc.猜想a、b、c之間的關(guān)系？a2+b2=c2命題１：如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2caba2+b2=c2aaaabbbbcccc用拼圖法證明.a、b、c之間的關(guān)系a2+b2=c2∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2abS大正方形=4S直角三角形+S小正方形

=4·ab+c2=c2+2ab∴a2+b2+2ab=c2+2ab∴a2+b2=c2證法一：abcS大正方形＝c2S小正方形＝（b-a）2S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形弦圖

現(xiàn)在我們一起來(lái)探索“弦圖”的奧妙吧！證法二：黃實(shí)朱實(shí)朱實(shí)朱實(shí)朱實(shí)baacab經(jīng)過(guò)證明被確認(rèn)正確的命題叫做定理.cba用趙爽弦圖證明勾股定理=ba1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對(duì)勾股定理的這一證法。1881年，伽菲爾德就任美國(guó)第二十任總統(tǒng)。后來(lái)，人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法。美國(guó)總統(tǒng)的證明證法三：aabbcc伽菲爾德證法:∴a2+b2=c2

勾股定理（gou-gu法則)如果直角三角形兩直角邊分別為a、b,斜邊為c，那么即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。abc勾股弦在西方又稱畢達(dá)哥拉斯定理耶！abc

兩千多年前，古希臘有個(gè)哥拉斯學(xué)派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此在國(guó)外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯年希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念票。定理。為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，1955勾股世界國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前

兩千多年前，古希臘有個(gè)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此在國(guó)外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理。為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，1955年希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念郵票。

我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一。早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出，將一根直尺折成一個(gè)直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被記載于我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中。勾股史話

商高定理：

商高是公元前十一世紀(jì)的中國(guó)人。當(dāng)時(shí)中國(guó)的朝代是西周，是奴隸社會(huì)時(shí)期。在中國(guó)古代大約是戰(zhàn)國(guó)時(shí)期西漢的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記錄著商高同周公的一段對(duì)話。商高說(shuō)：“…故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五?！鄙谈吣嵌卧挼囊馑季褪钦f(shuō)：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長(zhǎng)邊）時(shí)，徑隅（就是弦）則為5。以后人們就簡(jiǎn)單地把這個(gè)事實(shí)說(shuō)成“勾三股四弦五”，所以在我國(guó)人們就把這個(gè)定理叫作“商高定理”。

商高定理就是勾股定理哦！畢達(dá)哥拉斯定理：

畢達(dá)哥拉斯

“勾股定理”在國(guó)外，尤其在西方被稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”或“百牛定理”．

相傳這個(gè)定理是公元前500多年時(shí)古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯首先發(fā)現(xiàn)的。他發(fā)現(xiàn)勾股定理后高興異常，命令他的學(xué)生宰了一百頭牛來(lái)慶祝這個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn)，因此勾股定理又叫做“百牛定理”．

畢達(dá)哥拉斯（畢達(dá)哥拉斯，前572～前497），西方理性數(shù)學(xué)創(chuàng)始人，古希臘數(shù)學(xué)家，他是公元前五世紀(jì)的人，比商高晚出生五百多年．

勾股定理給出了直角三角形三邊之間的關(guān)系，即兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。cba公式變形c2=a2+b2a2=c2－b2b2=c2-a2課堂練習(xí)1、求下圖中字母所代表的正方形的面積。225400A81225B6251442.求下列圖中表示邊的未知數(shù)x、y、z的值.①81144xyz②③做一做6255761441693、求出下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng)度68x5x13解：（1）由勾股定理得：x2=36+64x2=100x2=62+82x=10∵x2+52=132∴x2=132-52x2=169-25x2=144x=12（2）由勾股定理得：比一比看看誰(shuí)算得快！4.求下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng):可用勾股定理建立方程.方法小結(jié):8x171620x125xABCD7cm5．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為7cm,則正方形A，B，C，D的面積之和為_(kāi)__________cm2。4911請(qǐng)談?wù)勀愕氖斋@１、如圖,一個(gè)高3米,寬4米的大門,需在相對(duì)角的頂點(diǎn)間加一個(gè)加固木條,則木條的長(zhǎng)為()A.3米B.4米C.5米D.6米C３４5或2、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,則BC的長(zhǎng)為_(kāi)__________.試一試:43ACB43CAB３、一個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)為三個(gè)連續(xù)偶數(shù),則它的三邊長(zhǎng)分別為()2、4、6Ｃ4、6、8B試一試:Ｂ6、8、10Ｄ8、10、124、湖的兩端有A、Ｂ兩點(diǎn)，從與ＢA方向成直角的公元前方向上的點(diǎn)C測(cè)得CA=130米,CB=120米,則AB為()ABCA.50米B.120米C.100米D.130米130120?A1、判斷題：

1)直角三角形三邊分別為a,b,c，則一定滿足下面的式子：a2+b2=c2()

2)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和4，則第三邊長(zhǎng)是5.()

××能力比拼17.1勾股定理ACB你對(duì)直角三角形有了哪些認(rèn)識(shí)了呢？這幅圖有什么特殊的含義嗎？

相傳2500年前，畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家里做客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面中反映了A、B、C面積之間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)而發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系．ABC

我們也來(lái)觀察右圖中的地面，你也能發(fā)現(xiàn)A、B、C面積之間有什么數(shù)量關(guān)系嗎？（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）(1)正方形A中含有____

個(gè)小方格，即A的面積是

個(gè)單位面積．正方形B的面積是

個(gè)單位面積．正方形C的面積是

個(gè)單位面積．4484合作探究1ABC圖2ABC圖1結(jié)論：在圖1中三個(gè)正方形A，B，C的面積之間數(shù)量關(guān)系是？SA+SB=SC

你能發(fā)現(xiàn)正方形A、B、C的面積之間有什么數(shù)量關(guān)系嗎？ABC圖32．觀察右邊兩個(gè)圖并填寫下表：A的面積B的面積C的面積圖316925合作探究2SA+SB=SC在圖3中還成立嗎？方法即：兩條直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形的面積ABC圖3(1)式子SA+SB=SC能用直角三角形的三邊a、b、c來(lái)表示嗎?(2)那么直角三角形三邊a、b、c之間的關(guān)系式是_____________。合作探究2abc

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．a(chǎn)bc我們的猜想aaaabbbbcccc用拼圖法證明.a、b、c之間的關(guān)系a2+b2=c2∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2abS大正方形=4S直角三角形+S小正方形

=4·ab+c2=c2+2ab∴a2+b2+2ab=c2+2ab∴a2+b2=c2a2+b2+2ab證法一：證明猜想abcS大正方形＝c2S小正方形＝（b-a）2S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形弦圖

現(xiàn)在我們一起來(lái)探索“弦圖”的奧妙吧！證法二：證法三：aabbcc伽菲爾德證法:∴a2+b2=c2

如果直角三角形兩直角邊分別為a、b,斜邊為c，那么即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。勾股弦在西方又稱畢達(dá)哥拉斯定理耶！勾股定理（gou-gu法則)abcabc定理：經(jīng)過(guò)證明被認(rèn)為是正確的命題叫做定理.

勾股定理給出了直角三角形三邊之間的關(guān)系，即兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。cba公式變形c2=a2+b2a2=c2－b2b2=c2-a2勾股史話

商高定理：

商高是公元前十一世紀(jì)的中國(guó)人。當(dāng)時(shí)中國(guó)的朝代是西周，是奴隸社會(huì)時(shí)期。在中國(guó)古代大約是戰(zhàn)國(guó)時(shí)期西漢的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記錄著商高同周公的一段對(duì)話。商高說(shuō)：“…故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五。”商高那段話的意思就是說(shuō)：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長(zhǎng)邊）時(shí)，徑隅（就是弦）則為5。以后人們就簡(jiǎn)單地把這個(gè)事實(shí)說(shuō)成“勾三股四弦五”，所以在我國(guó)人們就把這個(gè)定理叫作“商高定理”。

商高定理就是勾股定理哦！畢達(dá)哥拉斯定理：

畢達(dá)哥拉斯

“勾股定理”在國(guó)外，尤其在西方被稱為“畢達(dá)哥拉斯定理”或“百牛定理”．

相傳這個(gè)定理是公元前500多年時(shí)古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯首先發(fā)現(xiàn)的。他發(fā)現(xiàn)勾股定理后高興異常，命令他的學(xué)生宰了一百頭牛來(lái)慶祝這個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn)，因此勾股定理又叫做“百牛定理”．

畢達(dá)哥拉斯（畢達(dá)哥拉斯，前572～前497），西方理性數(shù)學(xué)創(chuàng)始人，古希臘數(shù)學(xué)家，他是公元前五世紀(jì)的人，比商高晚出生五百多年．課堂練習(xí)1、求下圖中字母所代表的正方形的面積。225400A81225B6251442.求下列圖中表示邊的未知數(shù)x、y、z的值.①81144xyz②③做一做625576144169求出下列直角三角形中未知的邊610ACB鞏固反饋比一比看看誰(shuí)算得快！求下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng):可用勾股定理建立方程.方法小結(jié):8x171620x125x

如圖，受臺(tái)風(fēng)“麥莎”影響，一棵樹在離地面4米處斷裂，樹的頂部落在離樹跟底部3米處，這棵樹折斷前有多高？4米3米回歸生活小結(jié)變式訓(xùn)練ABCD7cm如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為7cm,則正方形A，B，C，D的面積之和為_(kāi)__________cm2。49再變式訓(xùn)練Let’ssaytogether在本節(jié)課中,我們……1.本節(jié)主線問(wèn)題情境分析探究得出猜想總結(jié)應(yīng)用證明歸納2.學(xué)習(xí)內(nèi)容及方法

學(xué)習(xí)了著名的勾股定理，還知道從特殊到一般的探索方法.3.本節(jié)的數(shù)學(xué)思想

借助于圖形的面積來(lái)探索、驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論的數(shù)形結(jié)合思想。4.學(xué)了本節(jié)課后我們有什么感想？

很多的數(shù)學(xué)結(jié)論存在于平常的生活中，需要我們用數(shù)學(xué)的眼光去觀察、思考、發(fā)現(xiàn).這節(jié)課我們還認(rèn)識(shí)了兩位偉大的數(shù)學(xué)家,受到了數(shù)學(xué)文化輝煌歷史的教育。1.必做題：課本第113頁(yè)，習(xí)題19.1第1,2題.2.選做題：課本第116頁(yè)“閱讀與思考”，了解勾股定理的多種證法.3.上網(wǎng)查閱了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明并寫一篇關(guān)于關(guān)于它的小論文.作業(yè)１、如圖,一個(gè)高3米,寬4米的大門,需在相對(duì)角的頂點(diǎn)間加一個(gè)加固木條,則木條的長(zhǎng)為()A.3米B.4米C.5米D.6米C３４5或2、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AB＝３,則BC的長(zhǎng)為_(kāi)__________.試一試:43ACB43CAB３、一個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)為三個(gè)連續(xù)偶數(shù),則它的三邊長(zhǎng)分別為()A2、4、6Ｃ4、6、8B試一試:Ｂ6、8、10Ｄ8、10、124、湖的兩端有A、Ｂ兩點(diǎn)，從與ＢA方向成直角的公元前方向上的點(diǎn)C測(cè)得CA=130米,CB=120米,則AB為()ABCA.50米B.120米C.100米D.130米130120?A1、判斷題：

1)直角三角形三邊分別為a,b,c，則一定滿足下面的式子：a2+b2=c2()

2)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和4，則第三邊長(zhǎng)是5.()

××能力比拼(1)求墻的高度?（精確到0.1米）解：∴AC=∵∠ACB=90°AB=3，BC=1==≈2.8(米)(2)若梯子的頂端下滑50厘米,底端將向外水平移動(dòng)多少米?AA′BB′3m1mC∴AB2=AC2+BC2

有一架3米長(zhǎng)的梯子靠在墻上,剛好與墻頭對(duì)齊,此時(shí)梯腳B與墻腳C的距離是1米。探究117.1.1勾股定理勾股定理復(fù)習(xí)提問(wèn)

1、任意三角形三邊滿足怎樣的關(guān)系？2、對(duì)于等腰三角形，三邊之間存在怎樣的特殊關(guān)系？等邊三角形呢？3、對(duì)于直角三角形，三邊之間存在怎樣的特殊關(guān)系？2002年在北京召開(kāi)了第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，它是最高水平的全球性數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)術(shù)會(huì)議，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的“奧運(yùn)會(huì)”，這就是本屆大會(huì)會(huì)徽的圖案。這個(gè)圖案就是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在證明勾股定理時(shí)用到的，被稱為“趙爽弦圖”探索勾股定理

相傳2500年前，畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家做客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家的用磚鋪成的地面中反映了直角三角形的某種數(shù)量關(guān)系。CBA情景引入ABCABC（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）圖1圖2（1）觀察圖1

正方形A中含有

個(gè)小方格，即A的面積是

個(gè)單位面積。

正方形B的面積是

個(gè)單位面積。正方形C的面積是

個(gè)單位面積。99918你是怎樣得到C的面積的？與同伴交流交流。123（2）（3）探究活動(dòng)一：ABCABC（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）圖1圖2分割成若干個(gè)直角邊為整數(shù)的三角形（單位面積）

返回ABCABC（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）圖1圖2（單位面積）把C看成邊長(zhǎng)為6的正方形面積的一半

返回ABCABC（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）圖1圖2（2）在圖2中，正方形A，B，C中各含有多少個(gè)小方格？它們的面積各是多少？（3）你能發(fā)現(xiàn)圖1中三個(gè)正方形A，B，C的面積之間有什么關(guān)系嗎？SA+SB=SC

即：以等腰直角三角形兩條直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形的面積探究活動(dòng)二：（1）觀察右邊兩幅圖：

（2）填表（每個(gè)小正方形的面積為單位1）：A的面積B的面積C的面積左圖右圖49169？？（3）你是怎樣得到正方形C的面積的？與同伴交流.

“割”“補(bǔ)”“拼”（4）分析填表數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

A的面積B的面積C的面積左圖4913右圖16925結(jié)論2

以直角三角形兩直角邊為邊長(zhǎng)的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積.議一議：（1）你能用直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)a、b和斜邊長(zhǎng)c來(lái)表示圖中正方形的面積嗎？

（2）你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長(zhǎng)度之間存在什么關(guān)系嗎？

勾股定理（gou-gutheorem)如果直角三角形兩直角邊分別為a、b,斜邊為c，那么即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。abc表示為：Rt△ABC中，∠C=90°則議一議：判斷下列說(shuō)法是否正確,并說(shuō)明理由：

(1)在△ABC中,若a=3,b=4,則c=5(2)在Rt△ABC中，如果a=3，b=4,則c=5.

(3)在Rt△ABC中，∠C=90°,如果a=3，b=4,則c=5.

在中國(guó)古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為"勾"，下半部分稱為"股"。我國(guó)古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長(zhǎng)的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.勾股探究活動(dòng)分成四人小組，每個(gè)小組課前準(zhǔn)備好4個(gè)全等的直角三角形和以直角三角形各邊為邊長(zhǎng)的3個(gè)正方形（如右圖）.

運(yùn)用這些材料（不一定全用），你能另外拼出一些正方形嗎？試試看，你能拼幾種.圖１圖３圖２方法一：而所以即，，..因?yàn)椋椒ǘ?，化?jiǎn)得：方法三：，化簡(jiǎn)得：1.求下列圖中表示邊的未知數(shù)x、y、z的值.①81144xyz②③做一做625576144169比一比看看誰(shuí)算得快！2.求下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng):可用勾股定理建立方程.方法小結(jié):8x171620x125x做一做CA.8米B.9米C.10米D.14米１、如圖,一個(gè)長(zhǎng)8