八年級(jí)下冊(cè)《17.1 勾股定理的應(yīng)用》課件

17.1.3勾股定理應(yīng)用

知識(shí)回憶

：?cab勾股定理及其數(shù)學(xué)語言表達(dá)式:

直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。CABcab在△ABC中，∠C=90°.(1)若b=8，c=10，則a=

;(2)若a=5，b=10，則c=

;(3)若a=2，∠A=30°

，則b=

;CAB611.23.5

知識(shí)回憶

：?(2)、(3)兩題結(jié)果精確到0.1

小試身手

：?

如圖，學(xué)校有一塊長方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條“路”，僅僅少走了________步路,卻踩傷了花草。（假設(shè)1米為2步）

小試身手

：?

如圖，學(xué)校有一塊長方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條“路”，僅僅少走了________步路,卻踩傷了花草。（假設(shè)1米為2步）34“路”ABC5幾何畫板演示4ACOBD分析:DB=OD-OB,求BD,可以先求OB,OD.

在Rt△AOB中,梯子的頂端沿墻下滑0.5m,梯子底端外移_______.在Rt△AOB中，在Rt△COD中，OD－OB=2.236－1.658≈0.580.58m如圖，池塘邊有兩點(diǎn)A、B，無法直接測(cè)量AB之間的距離，請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)過的知識(shí)設(shè)計(jì)一種方法，來測(cè)量AB間的距離。我來設(shè)計(jì)比一比，哪位同學(xué)的方法既多又好？要求：1、畫出設(shè)計(jì)圖2、若涉及到角度，請(qǐng)直接標(biāo)在設(shè)計(jì)圖中3、若涉及到長度，請(qǐng)用a、b、c等字母BA如圖，池塘邊有兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)C是與BA方向成直角的AC方向上一點(diǎn)，現(xiàn)在測(cè)得CB=60m，AC=20m，請(qǐng)你求出A、B兩點(diǎn)間的距離。(結(jié)果保留整數(shù)）BA我來算一算6020CDABC名題鑒賞E《九章算術(shù)》：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，請(qǐng)問這個(gè)水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度各是多少？X252(X+1)2+=XX+151同學(xué)們,想一想,這節(jié)課你有什么收獲?(2)運(yùn)用勾股定理解決生活中的一 些實(shí)際問題.(1)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題, 建立數(shù)學(xué)模型.

某樓房三樓失火，消防隊(duì)員趕來救火，了解到每層樓高3m，消防隊(duì)員取來7.3m長的云梯，若梯子的底部離墻基的水平距離是4m，請(qǐng)問消防隊(duì)員能否進(jìn)入三樓滅火？

拓展提高6.5m要想與前一輛車一樣的高度進(jìn)入三樓滅火，應(yīng)該怎么辦？三樓一樓二樓AC13B再見作業(yè)：1、書本練習(xí)12、作業(yè)本（1）勾股定理（三）事實(shí)上，消防梯子的底部離地面約1m高。11思考：如圖：正方體的棱長為５cm，一只螞蟻欲從正方體底面上的頂點(diǎn)A沿正方體的表面到頂點(diǎn)C′處吃食物，那么它需要爬行的最短路程的長是多少？ABCD′A′B′C′D16

小試身手

：?

如圖，學(xué)校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”，僅僅少走了________步路,卻踩傷了花草。（假設(shè)1米為2步）勾股定理

課堂練習(xí)一個(gè)3m長的梯子AB,斜靠在一豎直的墻AO上,這時(shí)AO的距離為2.5m,如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m嗎?ACOBD探究一個(gè)3m長的梯子AB,斜靠在一豎直的墻AO上,這時(shí)AO的距離為2.5m,如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m嗎?探究ACOBD一個(gè)3m長的梯子AB,斜靠在一豎直的墻AO上,這時(shí)AO的距離為2.5m,如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m嗎?探究ACOBD從題目和圖形中，你能得到哪些信息？

某樓房三樓失火，消防隊(duì)員趕來救火，了解到每層樓高3.5m，消防隊(duì)員取來7.3m長的云梯，若梯子的底部離墻基的水平距離是4m，請(qǐng)問消防隊(duì)員能否進(jìn)入三樓滅火？

[注：消防梯子的底部離地面1m高]拓展提高6.5m應(yīng)該如何才能進(jìn)入三樓滅火？三樓一樓二樓17.1.2勾股定理——綜合應(yīng)用復(fù)習(xí)：（1）勾股定理的內(nèi)容：（2）勾股定理的應(yīng)用：①已知兩邊求第三邊；②已知一邊和一銳角（30°、60°、45°的特殊角），求其余邊長；③已知一邊和另外兩邊的數(shù)量關(guān)系，用方程.4845°830°2課前練習(xí)：（1）求出下列直角三角形中未知的邊在解決上述問題時(shí),每個(gè)直角三角形需已知幾個(gè)條件?610（2）求AB的長例1、已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，∠A=60°,CD=,求線段AB的長.變式訓(xùn)練：△ABC中,AB=10,AC=17，BC邊上的高線AD=8,求線段BC的長和△ABC的面積.ABC17108D861515621或9S△ABC=84或36

當(dāng)題中沒有給出圖形時(shí)，應(yīng)考慮圖形的形狀是否確定，如果不確定，就需要分類討論。例2、在△ABC中，∠C=30°，AC=4cm,AB=3cm，求BC的長.

D勾股定理在非直角三角形中的應(yīng)用：見特殊角作高構(gòu)造直角三角形.變式1、在△ABC中，∠B=120°，BC=4cm，AB=6cm，求AC的長.

D變式2、在等腰△ABC中，AB＝AC＝13cm，BC=10cm,求△ABC的面積和AC邊上的高.

兩個(gè)直角三角形中，如果有一條公共邊，可利用勾股定理建立方程求解.變式3、已知：如圖，△ABC中，AB=26，BC=25，AC=17，求△ABC的面積.方程思想：兩個(gè)直角三角形中，如果有一條公共邊，可利用勾股定理建立方程求解.D例3、已知：如圖，∠B=∠D=90°,∠A=60°，AB=4，CD=2.求四邊形ABCD的面積.

ABCOxy變式訓(xùn)練：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），∠B=90°，∠BCO=60°，AB=2，求點(diǎn)B的坐標(biāo).例4、如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AC=6cm，BC=8cm，（1）求線段CD的長；（2）求△ABD的面積.xx8-x664方程思想：直角三角形中，已知一條邊，以及另外兩條邊的數(shù)量關(guān)系時(shí)，可利用勾股定理建立方程求解.DCBAE810變式練習(xí)：如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)A為（0，6），B為（8，0），AD平分∠BAC交x軸于點(diǎn)D，DE⊥AB于E.（1）求△ABD的面積；（2）求點(diǎn)E的坐標(biāo).

如圖，小潁同學(xué)折疊一個(gè)直角三角形的紙片，使A與B重合，折痕為DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的長嗎？ECABDx10-x6S△ABC=84或36補(bǔ)充練習(xí)：1、在△ABC中，AD是BC邊上的高，若AB=l0，AD=8，AC=17，求△ABC的面積.矩形ABCD如圖折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的長。ABCDFERtΔABC中,AB比BC多2,AC=6,如圖折疊,使C落到AB上的E處,求CD的長度,ABCDE（2）三角形ABC中,AB=10,AC=17，BC邊上的高線AD=8,求BCABC

例5（1）已知直角三角形的兩邊長分別是3和4,則第三邊長為

.5或17108D861515621或9練習(xí)5（1）已知直角三角形兩邊的長分別是3cm和6cm，則第三邊的長是

.（2）△ABC中，AB=AC=2，BD是AC邊上的高，且BD與AB的夾角為300，求CD的長.規(guī)律

分類思想1.直角三角形中，已知兩邊長,求第三邊時(shí),應(yīng)分類討論。2.當(dāng)已知條件中沒有給出圖形時(shí)，應(yīng)認(rèn)真讀句畫圖，避免遺漏另一種情況。例7（1）直角三角形中，斜邊與一直角邊相差8，另一直角邊為12，求斜邊的長.例7（2）如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長.xx8-x664方程思想：直角三角形中，已知一直角邊，以及另一直角邊和斜邊的等量關(guān)系，可建立方程求解.變式2、已知：如圖，△ABC中,AC=4,∠A=45°，∠B=60°，求AB.

勾股定理的使用添輔助線ABCOxy勾股定理的應(yīng)用回顧與思考

-----------勾股定理1、直角三角形的邊、角之間分別存在著什么關(guān)系？2、請(qǐng)你舉一個(gè)生活中的實(shí)例，并應(yīng)用勾股定理解決它。課堂練習(xí)：一判斷題.1.

ABC的兩邊AB=5,AC=12,則BC=13()2.

ABC的a=6,b=8,則c=10()

二填空題1.在

ABC中,C=90°,(1)若c=10,a:b=3:4,則a=____,b=___.(2)若a=9,b=40,則c=______.2.在

ABC中,C=90°,若AC=6,CB=8,則

ABC面積為_____,斜邊為上的高為______.6841244.83．若等腰三角形中相等的兩邊長為10cm,第三邊長為16cm,那么第三邊上的高為()A.12cmB.10cmC.8cmD.6cmD4如圖，在△ABC中，AB=AC，D點(diǎn)在CB延長線上，求證：AD2-AB2=BD·CDABCD證明：過A作AE⊥BC于EE∵AB=AC，∴BE=CE在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2∴AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)=DE2-BE2=(DE+BE)·(DE-BE)=(DE+CE)·(DE-BE)=BD·CD5、已知：數(shù)7和24，請(qǐng)你再寫一個(gè)整數(shù)，使這些數(shù)恰好是一個(gè)直角三角形三邊的長，則這個(gè)數(shù)可以是——6、一個(gè)直角三角形的三邊長是不大于１０的三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，則它的周長是————25247.觀察下列表格：……列舉猜想3、4、532=4+55、12、1352=12+137、24、2572=24+25……13、b、c132=b+c請(qǐng)你結(jié)合該表格及相關(guān)知識(shí)，求出b、c的值.即b=

，c=

84859、如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長、寬和高分別等于５５cm，１０cm和６cm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物。請(qǐng)你想一想，這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)，最短線路是多少？BAABC解：臺(tái)階的展開圖如圖：連結(jié)AB在Rt△ABC中根據(jù)勾股定理AB2=BC2＋AC2

＝552＋482＝5329∴AB=73cm8、如圖，小潁同學(xué)折疊一個(gè)直角三角形的紙片，使A與B重合，折痕為DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的長嗎？CABDE解：連結(jié)BE由已知可知：DE是AB的中垂線，∴AE=BE在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理：設(shè)AE=xcm，則EC=(10－x)cmBE2=BC2+EC2x2=62＋(10－x)2解得x=6.8∴EC=10－6.8=3.2cm例5、如圖，長方體的長為15cm，寬為10cm，高為20cm，點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離為5cm，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，需要爬行的最短距離是多少？201015BCA分析根據(jù)題意分析螞蟻爬行的路線有兩種情況(如圖①②),由勾股定理可求得圖1中AB最短.①BA2010155AB=√202+152=√625

BAB=√102+252=√725

②A2010155例4、如圖，一只螞蟻從實(shí)心長方體的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿長方體的表面爬到對(duì)角頂點(diǎn)C1處（三條棱長如圖所示），問怎樣走路線最短？最短路線長為多少？ABA1B1DCD1C1214分析:根據(jù)題意分析螞蟻爬行的路線有三種情況(如圖①②③),由勾股定理可求得圖1中AC1爬行的路線最短.ABDCD1C1①421

AC1=√42+32=√25;②ABB1CA1C1412

AC1=√62+12=√37;AB1D1DA1C1③412

AC1=√52+22=√29.

四、長方體中的最值問題二、圓柱(錐)中的最值問題例2、有一圓形油罐底面圓的周長為24m，高為6m，一只老鼠從距底面1m的A處爬行到對(duì)角B處吃食物，它爬行的最短路線長為多少？AB分析：由于老鼠是沿著圓柱的表面爬行的，故需把圓柱展開成平面圖形.根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可以發(fā)現(xiàn)A、B分別在圓柱側(cè)面展開圖的寬1m處和長24m的中點(diǎn)處，即AB長為最短路線.(如圖)解：AC=6–1=5，BC=24×=12，由勾股定理得AB2=AC2+BC2=169,∴AB=13(m).21BAC10、如圖,把長方形紙片ABCD折疊,使頂點(diǎn)A與頂點(diǎn)C重合在一起,EF為折痕。若AB=9,BC=3,試求以折痕EF為邊長的正方形面積。ABCDGFE解：由已知AF=FC設(shè)AF=x，則FB=9－x在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理FC2=FB2＋BC2則有x2=(9－x)2＋32解得x=5同理可得DE=4∴GF=1∴以EF為邊的正方形的面積=EG2＋GF2=32＋12=1011、假期中，王強(qiáng)和同學(xué)到某海島上去玩探寶游戲，按照探寶圖，他們登陸后先往東走8千米，又往北走2千米，遇到障礙后又往西走3千米，在折向北走到6千米處往東一拐，僅走1千米就找到寶藏，問登陸點(diǎn)A到寶藏埋藏點(diǎn)B的距離是多少千米？AB82361C解：過B點(diǎn)向南作垂線，連結(jié)AB，可得Rt△ABC由題意可知：AC=6千米，BC=8千米根據(jù)勾股定理AB2=AC2＋BC2

＝62＋82＝100∴AB=10千米11、如圖，已知：CD⊥AB于D，且有求證：△ACB為直角三角形ABDC9．一艘輪船以20千米/時(shí)的速度離開港口向東北方向航行，另一艘輪船同時(shí)離開港口以15千米/時(shí)的速度向東南方向航行，它們離開港口2小時(shí)后相距多少千米？10．已知：如圖，∠ABD=∠C=90°，AD=12，AC=BC，∠DAB=30°，求BC的長．8、如圖,點(diǎn)A是一個(gè)半徑為400m的圓形森林公園的中心,在森林公園附近有B、C兩個(gè)村莊,現(xiàn)要在B、C兩村莊之間修一條長為1000

m的筆直公路將兩村連通,經(jīng)測(cè)得∠B=60°,∠C=30°,問此公路是否會(huì)穿過該森林公園?請(qǐng)通過計(jì)算說明.ABC400100060°30°D6.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是高,AB=1,則2CD2+AD2+BD2=＿＿＿＿;7.三角形的三邊長a,b,c滿足

a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,此三角形為＿＿＿＿＿三角形.5、如圖，有一塊地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m。求這塊地的面積。ABC341312D24平方米3．以下各組數(shù)為三邊的三角形中，不是直角三角形的是（）．A．B．7，24，25C．4，7.5，8.5D．3.5，4.5，5.51．請(qǐng)完成以下未完成的勾股數(shù)：（1）8、15、_______；（2）10、26、_____．2．△ABC中，a2+b2=25，a2-b2=7，又c=5，

則最大邊上的高是_______．

4.如圖，兩個(gè)正方形的面積分別為64，49，則AC=

.ADC644917ABCACPAC探索與提高2：如圖所示，在△ABC中，AB=AC=4，P為BC上的一點(diǎn)，(1)求證：1、如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=90°，AD=4，AB=3，BC=12，求正方形DCEF的面積．2、已知，如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC上任意一點(diǎn)，求證：BD2+CD2=2AD2．提升“學(xué)力”∵AC⊥AB(已知)∴AC2+AB2=BC2(勾股定理)∵AB=3cm,BC=5cm又∵CD=2