《16.2 二次根式的乘除》課件（3套）

16.2二次根式的乘除【知識(shí)與能力】

理解（a≥0，b≥0），（a≥0，b≥0），并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)。理解（a≥0，b>0）和（a≥0，b>0），及利用它們進(jìn)行運(yùn)算。理解最簡(jiǎn)二次根式的概念，并運(yùn)用它化簡(jiǎn)二次根式。

教學(xué)目標(biāo)【過程與方法】

利用具體數(shù)據(jù)探究，不完全歸納法得出二次根式的乘（除）法規(guī)律。使用逆向思維，得出二次根式乘（除）法規(guī)律的逆向等式。分析結(jié)果，抓住它們的共同點(diǎn)，給出最簡(jiǎn)二次根式的概念?！厩楦袘B(tài)度與價(jià)值觀】

利用規(guī)定準(zhǔn)確計(jì)算和化簡(jiǎn)的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神。（a≥0，b≥0）（a≥0，b>0）（a≥0，b≥0）（a≥0，b>0）利用以上公式進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)。教學(xué)重難點(diǎn)1.一個(gè)平行四邊形的底為，高為，求這個(gè)平行四邊形的面積。根據(jù)平行四邊形的面積公式S=ah求解。提示這是最終結(jié)果嗎？這個(gè)結(jié)果能否繼續(xù)化簡(jiǎn)？如何化簡(jiǎn)？新課導(dǎo)入2.如果矩形的面積是，長(zhǎng)為，求寬。根據(jù)矩形的面積公式S=ab求解。提示？這是最終結(jié)果嗎？這個(gè)結(jié)果能否繼續(xù)化簡(jiǎn)？如何化簡(jiǎn)？探究1.計(jì)算：有什么規(guī)律？有什么規(guī)律？利用計(jì)算器計(jì)算演示探究2.填空：算術(shù)平方根的積各個(gè)被開方數(shù)積的算術(shù)平方根=各個(gè)被開方數(shù)積的算術(shù)平方根算術(shù)平方根的積=逆向等式歸納

下面的等式成立嗎？為什么？×√×根號(hào)下不能出現(xiàn)負(fù)數(shù)！知識(shí)要點(diǎn)（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）a、b必須都是非負(fù)數(shù)！二次根式的乘法規(guī)定：逆向等式：可以進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)。例題計(jì)算：（2）（1）例題化簡(jiǎn)：（1）（2）16，b2，c2，

是開得盡的因數(shù)或因式。例題計(jì)算：（1）一題多解（2）一題多解探究1.計(jì)算：有什么規(guī)律？有什么規(guī)律？利用計(jì)算器計(jì)算演示探究2.填空：算術(shù)平方根的商各個(gè)被開方數(shù)商的算術(shù)平方根=各個(gè)被開方數(shù)商的算術(shù)平方根算術(shù)平方根的商=逆向等式歸納

下面的等式成立嗎？為什么？×√根號(hào)下不能出現(xiàn)負(fù)數(shù)！×分母不能為0！知識(shí)要點(diǎn)二次根式的除法規(guī)定：逆向等式：可以進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)。（a≥0，b>0）（a≥0，b>0）例題化簡(jiǎn)：（2）（1）

如果被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先化成假分?jǐn)?shù)。例題計(jì)算：（1）

如果根號(hào)前有系數(shù)，就把系數(shù)相除，仍作為二次根號(hào)前的系數(shù)。一題多解（2）為了去掉分母中的根號(hào)最后結(jié)果的分母中不含二次根式。（3）（4）為了去掉分母中的根號(hào)最后結(jié)果的分母中不含二次根式。分母有理化

把分母中的根號(hào)化去,使分母變成有理數(shù)，這個(gè)過程叫做分母有理化。2.分母有理化的關(guān)鍵是要搞清分式的分子和分母都乘什么。注意1.在二次根式的運(yùn)算中，一般先觀察把能化簡(jiǎn)的二次根式化簡(jiǎn)，再考慮如何化去分母中的根號(hào)。這樣的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式。知識(shí)要點(diǎn)最簡(jiǎn)二次根式的特點(diǎn)

被開方數(shù)不含分母。被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。以上各例題的最后結(jié)果：

分母中不含二次根式。被開方數(shù)不能含有小數(shù)或分?jǐn)?shù)。分子分母不能約分。最后結(jié)果中的二次根式要求化成最簡(jiǎn)二次根式。在二次根式的運(yùn)算中，最后結(jié)果的一般要求××××

看誰算得快化簡(jiǎn)。1.將被開方數(shù)盡可能分解成幾個(gè)平方數(shù).2.應(yīng)用3.將平方式（或平方數(shù)）應(yīng)用把這個(gè)因式（或因數(shù)）開出來，將二次根式化簡(jiǎn)?；?jiǎn)二次根式的步驟

在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1.5cm，AC=3cm，求斜邊AB的長(zhǎng)。例題解答：CAB3cm？1.5cm解：由勾股定理AB2=AC2＋BC2，∴

AB=CAB3cm？1.5cm（cm）1.二次根式的乘法：課堂小結(jié)2.二次根式的除法有兩種常用方法：（1）利用公式：

（2）把除法先寫成分式的形式，再進(jìn)行分母有理化運(yùn)算。（1）將被開方數(shù)盡可能分解成幾個(gè)平方數(shù)。（2）應(yīng)用。

（3）將平方式（或平方數(shù)）應(yīng)用把這個(gè)因式（或因數(shù)）開出來，將二次根式化簡(jiǎn)。3.化簡(jiǎn)二次根式的步驟：1.判斷下列算法是否正確，不正確的請(qǐng)予以改正?！痢岭S堂練習(xí)正確的算法如下：m>52.等式成立的條件是____________。解：要想等式成立，必須滿足：m－3≥0m－5>0m≥3m>5m>53.已知：＝1.732，如何求出的近似值?一題多解計(jì)算繁瑣。計(jì)算簡(jiǎn)便。（4）（）=a－1（3）（）=4（1）（）=10（2）4.在括號(hào)內(nèi)填寫適當(dāng)?shù)臄?shù)或式子使等式成立。5.化簡(jiǎn)。6.已知實(shí)數(shù)a、b

滿足求的值。解：要想原等式有意義，必須滿足：將a、b

代入7.判斷下列各式是否為最簡(jiǎn)二次根式？√習(xí)題答案（1）（2）（3）（4）（1）（2）（3）（4）（1）（2）（3）（4）（1）（2）二次根式的乘除法(1)復(fù)習(xí)歸納二次根式的性質(zhì)：（a≥0）（1）（2）a-a

當(dāng)a≥0時(shí)，=；

當(dāng)a≤0時(shí)，=.|a|a復(fù)習(xí)歸納二次根式的性質(zhì)：（3）（4）（a≥0，

b＞0）（a≥0，

b≥0）回顧:你會(huì)計(jì)算嗎?(1)(2)有簡(jiǎn)便的方法嗎?根據(jù)什么?積和商的二次根式的性質(zhì):反過來:二次根式乘除運(yùn)算法則二次根式相乘：被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變；化簡(jiǎn)。（默1））你能用上面二次根式乘法法則來計(jì)算嗎？例1計(jì)算：解：原式原式

二次根式乘除運(yùn)算的一般步驟：1.運(yùn)用法則,化歸為根號(hào)內(nèi)的實(shí)數(shù)運(yùn)算;2.完成根號(hào)內(nèi)相乘,相除(約分)等運(yùn)算;3.化簡(jiǎn)二次根式.（默2）例1計(jì)算：解：原式原式根號(hào)外的系數(shù)與系數(shù)相乘，積為結(jié)果的系數(shù)。分子約分后,分解素因數(shù),找平方的項(xiàng)開出,不必馬上乘出來解：計(jì)算：

（a≥0，b≥0）根號(hào)外的系數(shù)與系數(shù)相乘，積為結(jié)果的系數(shù)。二次根式的乘法：根式和根式按公式相乘。分析計(jì)算：

結(jié)果必須化為最簡(jiǎn)二次根式.找因數(shù)的最大公因數(shù),不行再分解因數(shù)（默3）解:要先相乘，后化簡(jiǎn)。計(jì)算：

分子約分后,分解素因數(shù),找平方的項(xiàng)開出,不必馬上乘出來二次根式乘除運(yùn)算的一般步驟：1.運(yùn)用法則,化歸為根號(hào)內(nèi)的實(shí)數(shù)運(yùn)算;2.完成根號(hào)內(nèi)相乘,相除(約分)等運(yùn)算;3.化簡(jiǎn)二次根式.（a≥0，b≥0）根號(hào)外的系數(shù)與系數(shù)相乘，積為結(jié)果的系數(shù)。二次根式的乘法：根式和根式按公式相乘。例2：計(jì)算解：兩個(gè)二次根式相除，等于把被開方數(shù)相除，作為商的被開方數(shù)試一試計(jì)算：解：如果根號(hào)前有系數(shù)，就把系數(shù)相除，仍舊作為二次根號(hào)前的系數(shù)。例題2計(jì)算（2）(u>0)（a>b>0）分子和分母乘除后,分別分解素因數(shù),找平方的項(xiàng)開出,不必馬上乘出來(分母必須是平方的項(xiàng)）多項(xiàng)式先因式分解,再乘除（默4）二次根式乘除運(yùn)算的一般步驟：1.運(yùn)用法則,化歸為根號(hào)內(nèi)的實(shí)數(shù)運(yùn)算;2.完成根號(hào)內(nèi)相乘,相除(約分)等運(yùn)算;3.化簡(jiǎn)二次根式.分子和分母乘除后,分別分解素因數(shù),找平方的項(xiàng)開出,不必馬上乘出來(分母必須是平方的項(xiàng))多項(xiàng)式先因式分解,再乘除二次根式的乘除法：根式和根式按公式相乘除。根號(hào)外的系數(shù)與系數(shù)相乘除，積為結(jié)果的系數(shù)（默2）例3計(jì)算：

(2)(1)解：原式解：原式計(jì)算：

二次根式的連乘除運(yùn)算，從左向右依次計(jì)算或系數(shù)相乘除作為系數(shù);根式相乘除。（默5）

計(jì)算解;原式=

計(jì)算原式=計(jì)算：（1）（2）（2）原式=（1）原式=解：原式二次根式的運(yùn)算（乘除運(yùn)算）:歸納小結(jié)（a≥0，

b≥0）（a≥0，

b＞0）二次根式乘除運(yùn)算的一般步驟：1.運(yùn)用法則,化歸為根號(hào)內(nèi)的實(shí)數(shù)運(yùn)算;2.完成根號(hào)內(nèi)相乘,相除(約分)等運(yùn)算;3.化簡(jiǎn)二次根式.分子和分母乘除后,分別分解素因數(shù),找平方的項(xiàng)開出,不必馬上乘出來(分母必須是平方的項(xiàng))多項(xiàng)式先因式分解,再乘除二次根式的乘除法：根式和根式按公式相乘除。根號(hào)外的系數(shù)與系數(shù)相乘除，積為結(jié)果的系數(shù)

二次根式的連乘除運(yùn)算，從左向右依次計(jì)算或系數(shù)相乘除作為系數(shù);根式相乘除。（默2）1.計(jì)算：;624)4(.)6(3xax?;545)5(?;147)1(·;62)2(xyx·;)3(3baab·a2327yx32ax解：

計(jì)算:);275(15)1(·?;31=91=27515×=27515×?=)275(15)1(·?解：2.計(jì)算：;326)1(?·3.532415)2(·?46計(jì)算(字母為正數(shù))典型例題計(jì)算點(diǎn)評(píng)：也可以用“除以一個(gè)數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”的法則進(jìn)行計(jì)算．2.填空選做題(A組)-4138.64-3-10√選做題(B組)√√√達(dá)標(biāo)反饋1.判斷:(對(duì)的打√,錯(cuò)的打×)()2.填空:×例題賞識(shí)：1.計(jì)算（1）（2）（3）2.已知，求的值。3.已知、，求的值。4.已知x滿足y是的整數(shù)部分，求鞏固提升：5.=_____6.=__________7.=________8．已知a為實(shí)數(shù)，則代數(shù)式=_____04129.已知是正整數(shù)，則實(shí)數(shù)n的最大值是________

10.化簡(jiǎn)：=__________

=________11.化簡(jiǎn)：11反過來就是把下列各式中根號(hào)外的正因式移進(jìn)根號(hào)內(nèi)(1)(2)(3)(4)

根號(hào)外的負(fù)因式不能移進(jìn)根號(hào)內(nèi),在移進(jìn)根號(hào)內(nèi)之前一定要先判斷是否為非負(fù)因式.練習(xí)二：-2<x≤11C16.2二次根式的乘除思考你會(huì)幾種方法計(jì)算？把分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化.分母有理化的方法，一般是把分子和分母乘以同一個(gè)適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式，使分母不含根號(hào).：這個(gè)過程稱為分母有理化含有二次根式不含二次根式

兩個(gè)含有二次根式的非零代數(shù)式相乘,如果它們的積不含有二次根式,就說這兩個(gè)含有二次根式的非零代數(shù)式互為有理化因式.與互為有理化因式.的有理化因式為

;的有理化因式為

;的有理化因式為

;的有理化因式為

.

想一想例題1將下列各式分母有理化:

分母有理化的方法：把分子和分母都乘以同一個(gè)適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式,使分母不含根號(hào).例題1把下列各式分母有理化:

分子和分母都乘以分母的有理化因式.例題2計(jì)算:先將每一項(xiàng)分母有理化.例題2計(jì)算:解

例題3如圖,在面積為的正方形中,截得直角三角形的面積為,求的長(zhǎng).因?yàn)檎叫蚊娣e為所以例題4解下列方程和不等式:兩個(gè)含有二次根式地代數(shù)式相乘，如果他們的積不含有二次根式，我們就說這兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式互為有理化因式.

練習(xí)將下列各式分母有理化：

填空:——1?！?。化簡(jiǎn)：1）————2）————3）

復(fù)習(xí)計(jì)算

復(fù)習(xí)計(jì)算例題3已知，求值.例題4解不等式:先將分母有理化.

復(fù)習(xí)計(jì)算

復(fù)習(xí)問題

怎樣計(jì)算下式？觀察所得的積是否含有二次根式？含有二次根式不含二次根式

兩個(gè)含有二次根式的非零代數(shù)式相乘,如果它們的積不含有二次根式,就說這兩個(gè)含有二次根式的非零代數(shù)式互為有理化因式.與互為有理化因式.人教版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)下第16章二次根式16.2最簡(jiǎn)二次根式二次根式的性質(zhì)(1)(2)(3)(4)復(fù)習(xí)問題苑觀察下列二次根式及其化簡(jiǎn)所得結(jié)果,比較被開方數(shù)發(fā)生了什么變化?被開方數(shù)不含開得盡方的因數(shù)被開方數(shù)不含分母概念庫(kù)被開方數(shù)滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式．（２）被開方數(shù)不含分母．最簡(jiǎn)二次根式如：√√（１）被開方數(shù)各因式的指數(shù)都為1．例題講解例１．判斷下列二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式解(1)因?yàn)楸婚_方數(shù)含分母３，所以不是最簡(jiǎn)二次根式．(2)因?yàn)楸婚_方數(shù)分解：所以是最簡(jiǎn)二次根式．注:被開方數(shù)比較復(fù)雜時(shí)，應(yīng)先進(jìn)行因式分解再觀察例2.將下列二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式.用它的正平方根代替后移到根號(hào)外面.＆將被開方數(shù)中解:由和得x≥0原式=解原式＆把被開方數(shù)(或式)化成積的形式，即分解因式

＆將被開方數(shù)中的分母化去解原式=課外拓展

化簡(jiǎn)二次根式的步驟:1.把被開方數(shù)分解因式(或因數(shù))；

2.將被開方數(shù)中開得盡方的因數(shù)(式)用它的正平方根代替后移到根號(hào)外面.3.將被開方數(shù)中的分母化去4.被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)或小數(shù)時(shí)要化成假分?jǐn)?shù).判斷下列各式是否為最簡(jiǎn)二次根式？（5）（）；（2）（）；（3）（）；（4）（）；（1）（）；（6）（）；（7）（）；√×××××√辨析訓(xùn)練一被開方數(shù)是多項(xiàng)式的要先分解因式再進(jìn)行觀察判斷．練習(xí)1.將下列二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式.(0<x<y)練習(xí)2、把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式：（1）；（2）解（1）（2）

把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式：（1）（2）（3）（4）練習(xí)3這節(jié)你學(xué)到了什么？1.最簡(jiǎn)二次根式的概念.滿足下列條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式。（1）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；（2）被開方數(shù)不含分母。2.如何化二次根式為最簡(jiǎn)二次根式