《16.2 二次根式的乘除》教案和同步練習(xí)

PAGE1第27頁共27頁《16.2二次根式的乘除》教案（第1課時）【教學(xué)任務(wù)分析】教學(xué)目標(biāo)知識技能1.使學(xué)生能夠利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡與運(yùn)算；2.會進(jìn)行簡單的二次根式的乘法運(yùn)算．過程方法讓學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)知識之間是相互聯(lián)系的.情感態(tài)度培養(yǎng)學(xué)生用分類討論的思想分析生活中出現(xiàn)的不同事物.重點（a≥0，b≥0），（a≥0，b≥0）及它們的運(yùn)用．難點二次根式的乘法與積的算術(shù)平方根的關(guān)系及應(yīng)用．【教學(xué)環(huán)節(jié)安排】環(huán)節(jié)教學(xué)問題設(shè)計教學(xué)活動設(shè)計情境引入計算下列各式，觀察計算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律(1)，=(2)=,=(3)×=____，=___；教師出示問題，引導(dǎo)學(xué)生觀察運(yùn)算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)和總結(jié)式子有什么規(guī)律？學(xué)生計算，觀察，分小組討論．全班交流，體會結(jié)果特點.自主探究合作交流【問題1】1.參考上面的結(jié)果，用“>、<或＝”填空．×_____，×________×__2．總結(jié)歸納：你能找出二次根式怎樣進(jìn)行乘法運(yùn)算嗎？字母表達(dá)式怎樣？結(jié)論：·＝（a≥0，b≥0）【問題2】把（a≥0，b≥0）反過來，仍然成立嗎？積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：（a≥0，b≥0）思考：（1）a,b的取值有什么特點？（2）這個公式與二次根式乘法在用法上有什么區(qū)別和聯(lián)系？注意:1、公式中的非負(fù)數(shù)的條件；2、在被開方數(shù)相乘時，就應(yīng)該考慮因式分解（或因數(shù)分解）；3、·＝可推廣為：··＝(a≥0，b≥0，c≥0)學(xué)生通過計算，能對于公式有些感性上的認(rèn)識，并且能舉一些類似的式子.學(xué)生先完成填空，對于公式的推導(dǎo)有更深一步的認(rèn)識，再通過觀察，分析，合作交流，得出公式.·＝（a≥0，b≥0）學(xué)生說出結(jié)論并且能分析公式的特點及注意點.小組內(nèi)討論驗證，得出結(jié)論.分析、總結(jié)，交流學(xué)生口答，并說明理由，學(xué)生補(bǔ)充.小組討論得出結(jié)論：a≥0，b≥0（2）兩個公式可以相互轉(zhuǎn)化.嘗試應(yīng)用1．填空（1）＝，（2）＝，（3）＝，（4）＝.2.例1計算：（1）×（2）×（3）3×2（4）·3.例2化簡：（1）（2）（3）（4）1.學(xué)生口答.2,3題指定學(xué)生到黑板上完成，其他同學(xué)先獨立完成，然后小組內(nèi)交流；教師巡視發(fā)現(xiàn)共性的問題及時講解清楚也可以提出問題讓學(xué)生探討正確答案.教師要提醒學(xué)生應(yīng)用公式要注意解題靈活性.通過練習(xí)培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的分析問題能力和習(xí)慣．方法歸納：你能體會出何時用·＝（a≥0，b≥0）何時用（a≥0，b≥0）嗎？成果展示（1）計算：①×②3×2③·（2）化簡：;;;獨立完成后，學(xué)習(xí)小組內(nèi)互相交流，討論，展示.補(bǔ)償提高1．判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正：（1）（2）×=4××=4×=4=82.計算：（1）；（2）；（3）.3．選擇題：（1）等式成立的條件是（）A．≥1B．≥－1C．－1≤≤1D．≥1或≤－1（2）已知a=，b=，用含a、b的代數(shù)式表示，這個代數(shù)式是（）A．a(chǎn)+bB．a(chǎn)bC．2aD．24.比較大小(1)6與4；(2)4－2與4－3教師提出問題.學(xué)生獨立完成回答.教師可適當(dāng)點撥.2，4，5題學(xué)生板演，其他同學(xué)獨立完成，然后小組內(nèi)交流答案；教師巡回輔導(dǎo)，對于重點問題進(jìn)行強(qiáng)化、點撥方法、總結(jié)規(guī)律，對于共性問題，做好補(bǔ)教.通過練習(xí)使學(xué)生進(jìn)一步理解公式，進(jìn)一步熟練應(yīng)用公式.作業(yè)設(shè)計教材第12頁.習(xí)題21.2復(fù)習(xí)鞏固1題，3題(1)、(2)綜合運(yùn)用4題（2），5題教師布置作業(yè)，并分層提出要求.學(xué)生課完成.二次根式的除法是建立在二次根式的基礎(chǔ)上的，所以在學(xué)習(xí)中側(cè)重于引導(dǎo)學(xué)生利用與乘法相類似的方法去學(xué)習(xí)，從而進(jìn)一步降低學(xué)習(xí)的難度，提高學(xué)習(xí)的效率，但在教與學(xué)中，可以明顯感受到學(xué)生對分母有理化概念在運(yùn)用中的不靈活性，這也是應(yīng)在今后的復(fù)習(xí)中給予加強(qiáng)的《16.2二次根式的乘除》教案（第2課時）【教學(xué)任務(wù)分析】教學(xué)目標(biāo)知識技能1.會進(jìn)行簡單的二次根式的除法運(yùn)算．2.使學(xué)生能利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡與運(yùn)算．3.理解最簡二次根式的概念，并運(yùn)用它把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式．過程方法1.在學(xué)習(xí)了二次根式乘法的基礎(chǔ)上進(jìn)行總結(jié)對比,得出除法的運(yùn)算法則．2.引導(dǎo)學(xué)生利用從特殊到一般總結(jié)歸納的方法以及類比的方法，解決數(shù)學(xué)問題．情感態(tài)度通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)使學(xué)生認(rèn)識到事物之間是相互聯(lián)系的,相互作用的.重點會利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡，會進(jìn)行簡單的二次根式的除法運(yùn)算．難點熟練進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算．【教學(xué)環(huán)節(jié)安排】環(huán)節(jié)教學(xué)問題設(shè)計教學(xué)活動設(shè)計情境引入光明中學(xué)有一塊直角三角形的空地,已知直角邊AC=m,BC=6m,你能求出斜邊AB的長嗎？在上面的問題中，你會計算的結(jié)果嗎？教師出示問題，分析，點撥方法，適時設(shè)疑.學(xué)生動手計算，體會結(jié)果特點.自主探究合作交流探究1.計算,觀察計算結(jié)果,你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?（1）=____，=______；（2）=______，=_____；規(guī)律：；______．2.結(jié)論二次根式的除法法則:=（a≥0，b>0），反過來得到,商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：=（a≥0，b>0）注意：（1）運(yùn)用公式時，條件a≥0,b﹥0；運(yùn)算結(jié)果化到最簡，即開得盡方得因式或數(shù)要開出來;（2）商的算術(shù)平方根的運(yùn)算性質(zhì)式二次根式除法的逆運(yùn)算；利用商的算術(shù)平方根的運(yùn)算性質(zhì)可以化簡二次根式，使其被開方數(shù)不含分母.【問題】觀察2、、，你發(fā)現(xiàn)這些式子中的二次根式有什么特點？(1)．被開方數(shù)不含分母；(2)．被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．教師引導(dǎo)學(xué)生，發(fā)現(xiàn)結(jié)論:二次根式的除法和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)與前面學(xué)習(xí)的積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和二次根式的乘法類似，應(yīng)注意前后聯(lián)系.教師引導(dǎo),分析a,b取值不同的原因.學(xué)生先自主探索，再小組討論，總結(jié)方法.進(jìn)一步理解a,b的取值不同的原因，學(xué)生舉例,驗證兩個公式的正確性教師引導(dǎo)學(xué)生自主、合作、探究、強(qiáng)調(diào)①被開方數(shù)不含分母，其實就是說被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式時整式.②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，是指被開方數(shù)的每一個因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.學(xué)生積極思考,對最簡二次根式的定義進(jìn)行討論,相互交流.嘗試應(yīng)用1．例4計算：（1）；（2）.2.計算（1）；（2）.3.例5化簡：（1）；（2）.解：（1）；（2）=.4.化簡（1）；（2）.5.例6計算：（1）；（2）；（3）.解：（1）=；（2）=；（3）=.教師出示問題，組織學(xué)生練習(xí)，學(xué)生獨立完成，2名學(xué)生板演，教師巡回輔導(dǎo)，對于共性問題，做好補(bǔ)教.對于例5，教師引導(dǎo)學(xué)生利用公式化簡.學(xué)生獨立完成，小組對答案，探討正確的方法及答案.分母有理化是例6的主要方法，根據(jù)分式的性質(zhì)分子分母同時擴(kuò)大相同的倍數(shù)，分?jǐn)?shù)的值不變來化簡.成果展示這節(jié)課你有哪些收獲？談?wù)勛约旱南敕?師提問:(1)二次根式的除法公式與乘法公式有什么區(qū)別和聯(lián)系?它們各有何特點?(2)最簡二次根式有什么特點?學(xué)習(xí)小組內(nèi)互相交流，討論，展示.補(bǔ)償提高1．分母有理化:(1)=______;(2)=_____;(3)=______.2．已知x=3，y=4，z=5，那么的最后結(jié)果是_______．教師出示題目.第1題、由學(xué)生獨立完成.教師巡視，個別輔導(dǎo).請四位學(xué)生板練.師生共同評析.存在的共性問題共同討論解決.作業(yè)設(shè)計教材第12頁.習(xí)題21.2復(fù)習(xí)鞏固2題，3題(3)、(4)綜合運(yùn)用4題（2），6題(3)、(4)教師布置作業(yè)，并分層提出要求.學(xué)生獨立完成.《16.2二次函數(shù)的乘除》同步練習(xí)一、單選題（共15題；共30分）1、計算×的結(jié)果是（）A、B、4C、D、22、化簡的結(jié)果是().A、B、C、D、3、化簡的結(jié)果是（）A、-B、-C、-D、-4、當(dāng)x=-2時，二次根式的值為(

)A、1B、±1C、3D、±35、計算÷×結(jié)果為（

）A、3B、4C、5D、66、下列計算正確的是（

）A、B、C、D、7、下列計算正確的是（）A、ab?ab=2abB、（2a）3=2a3C、3﹣=3（a≥0）D、?=（a≥0，b≥0）8、計算÷÷的結(jié)果是（

）A、B、C、D、9、估計的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)在（

）A、1到2之間B、2到3之間C、3到4之間D、4到5之間10、?的值是一個整數(shù)，則正整數(shù)a的最小值是（）A、1B、2C、3D、511、下列計算正確的是（）A、B、C、D、12、下列根式中，屬于最簡二次根式的是（）A、B、C、D、-13、化簡的結(jié)果是（）A、-B、-C、-D、-14、化簡結(jié)果正確的是（）A、3+2B、3-

C、17+12D、17﹣1215、下列各式是最簡二次根式的是（）A、B、C、D、二、填空題（共5題；共5分）16、化簡：的結(jié)果為________17、計算：=

________．18、計算：÷=________19、計算的結(jié)果是________.20、如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①=，②=1，③÷=﹣b，其中正確的是________

（填序號）三、計算題（共1題；共5分）21、計算：．四、解答題（共3題；共15分）22、把下列二次根式化成最簡二次根式．（1）；（2）；（3）；（4）．23、已知x=，y=，求的值．24、方老師想設(shè)計一個長方形紙片，已知長方形的長是cm，寬是cm，他又想設(shè)計一個面積與其相等的圓，請你幫助方老師求出圓的半徑.五、綜合題（共1題；共10分）25、計算：(1)?2?（﹣）；(2)?（÷2）．答案解析部分一、單選題1、【答案】B【考點】二次根式的乘除法【解析】【解答】×==4．故選：B．【分析】直接利用二次根式的乘法運(yùn)算法則求出即可．2、【答案】A【考點】二次根式的乘除法【解析】解答：原式===，故選A分析：正解運(yùn)用二次根式乘法法則進(jìn)行化簡計算是一個基本的數(shù)學(xué)計算能力3、【答案】C【考點】二次根式的乘除法【解析】【解答】解：原式==﹣．【分析】直接進(jìn)行分母有理化即可求解．4、【答案】C【考點】二次根式的化簡求值【解析】【分析】把x=-2代入已知二次根式，通過開平方求得答案．【解答】把x=-2代入得，=3，故答案為：3．故選：C5、【答案】B【考點】二次根式的乘除法【解析】【分析】根據(jù)二次根式的乘除法法則，被開方數(shù)相乘除，根指數(shù)不變，進(jìn)行計算，最后化成最簡根式即可．【解答】原式===4，故選B．【點評】本題主要考查對二次根式的乘除法，二次根式的性質(zhì)，最簡二次根式等知識點的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行計算和化簡是解此題的關(guān)鍵．6、【答案】B【考點】二次根式的乘除法【解析】【解答】選項A是二次根式乘法的運(yùn)算，選項C不符合二次根式的運(yùn)算條件，選項D中被開方數(shù)不能為負(fù)，故A、C、D都是錯誤的，唯有B符合二次根式除法運(yùn)算法則，故選B【分析】正確運(yùn)用二次根式除法運(yùn)算法則進(jìn)行計算，并能辨析運(yùn)算的正誤，是本節(jié)的教學(xué)難點，學(xué)生可以通過比較分析或正確計算加以判斷7、【答案】D【考點】冪的乘方與積的乘方，單項式乘單項式，二次根式的乘除法，二次根式的加減法【解析】【解答】A、ab?ab=a2b2，故此選項錯誤；

B、（2a）3=8a3，故此選項錯誤；

C、3﹣=2（a≥0），故此選項錯誤；D、?=（a≥0，b≥0），正確．故選：D．【分析】分別利用積的乘方以及二次根式的乘法運(yùn)算法則化簡求出即可．8、【答案】A【考點】二次根式的乘除法【解析】解答：原式=××==，故選A分析：正確進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算，產(chǎn)將結(jié)果化成最簡二次根式9、【答案】A【考點】二次根式的乘除法【解析】【解答】因為=，且<<，所以1<<2，故選A【分析】根據(jù)題意正確進(jìn)行二次根式的乘法計算，并能運(yùn)用平方數(shù)比較大小的方法確定無理數(shù)的大致范圍是一個基本的數(shù)學(xué)方法10、【答案】B【考點】二次根式的乘除法【解析】【解答】解：?==5，∵?的值是一個整數(shù)，∴正整數(shù)a的最小值是2，故選B．【分析】根據(jù)已知得出50a能開出來，即50a是一個完全平方數(shù)，當(dāng)a=2時，50a能開出來，是個整數(shù)，并且值最?。?1、【答案】C【考點】二次根式的乘除法【解析】【解答】解：A、（﹣）2=3，原來的計算錯誤，不符合題意；B、，原來的計算錯誤，不符合題意；C、，原來的計算正確，符合題意；D、=3，原來的計算錯誤，不符合題意．故選：C．【分析】A、根據(jù)二次根式的性質(zhì)與化簡即可求解；B、根據(jù)二次根式的性質(zhì)與化簡即可求解；C、根據(jù)二次根式的性質(zhì)與化簡即可求解；D、根據(jù)二次根式的性質(zhì)與化簡即可求解．12、【答案】B【考點】最簡二次根式【解析】【解答】解：A、被開方數(shù)中包含分母，不屬于最簡二次根式，不符合題意；B、被開方數(shù)中不含分母，不含能開得盡方的因數(shù)或因式，屬于最簡二次根式，符合題意；C、被開方數(shù)能繼續(xù)開方，不屬于最簡二次根式，不符合題意；D、被開方數(shù)中包含分母，不屬于最簡二次根式，不符合題意；故選B．【分析】找到被開方數(shù)中不含分母的，不含能開得盡方的因數(shù)或因式的式子即可．13、【答案】C【考點】二次根式的乘除法【解析】【解答】解：原式==﹣．【分析】直接進(jìn)行分母有理化即可求解．14、【答案】A【考點】分母有理化【解析】【解答】解：原式==3+2．故選A．【分析】原式分子分母乘以有理化因式，計算即可得到結(jié)果．15、【答案】B【考點】最簡二次根式【解析】【解答】解：A、=3，故不是最簡二次根式，故A選項錯誤；B、是最簡二次根式，符合題意，故B選項正確；C、=2，故不是最簡二次根式，故C選項錯誤；D、=，故不是最簡二次根式，故D選項錯誤；故選：B．【分析】先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，再根據(jù)最簡二次根式的定義判斷即可．二、填空題16、【答案】240【考點】二次根式的乘除法【解析】【解答】原式=6×20=240【分析】正確運(yùn)用二次根式乘法法則進(jìn)行計算是解題的基本方法17、【答案】3【考點】二次根式的乘除法【解析】【解答】解：原式===3．故填3．【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則計算．18、【答案】【考點】二次根式的乘除法【解析】【解答】解：計算：÷==．【分析】根據(jù)二次根式的除法法則計算．19、【答案】5【考點】二次根式的乘除法【解析】【解答】=×=5．故答案為：5．【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡求出即可．20、【答案】②③【考點】二次根式的乘除法【解析】【解答】解：∵ab＞0，a+b＜0，∴a＜0，b＜0．①根號下必須非負(fù)，錯誤；②==1，正確；③÷===﹣b，正確．故答案為：②③．【分析】由ab＞0，a+b＜0，可得出a＜0，b＜0，從而排除了①，再根據(jù)二次根式乘除法運(yùn)算法則可得知②③正確．三、計算題21、【答案】解：原式=4×÷=3÷=．【考點】二次根式的乘除法【解析】【分析】先將二次根式化為最簡，然后從左至右依次運(yùn)算即可．四、解答題22、【答案】解：（1）==2；（2）==3；（3）==；（4）==．【考點】最簡二次根式【解析】【分析】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．23、【答案】解：∵x=，y=，∴=====﹣．【考點】二次根式的化簡求值【解析】【分析】首先將分式因式分解進(jìn)而將已知代入求出即可．24、【答案】因為長方形面積為，圓的面積等于長方形面積，不妨設(shè)圓的半徑為r，于是，所以cm.【考點】二次根式的乘除法【解析】【分析】能夠根據(jù)題意設(shè)計等量關(guān)系，并根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行正確的計算是非常重要的.五、綜合題25、【答案】（1）解：?2?（﹣）=2×（﹣）=﹣=﹣4（2）解：?（÷2）=×××=【考點】二次根式的乘除法【解析】【分析】（1）直接利用二次根式的乘法運(yùn)算法則求出即可；（2）首先除法化成乘法，進(jìn)而利用二次根式乘法運(yùn)算法則求出即可．《16.2二次根式乘法》教案第一課時教學(xué)內(nèi)容二次根式的乘法課時數(shù)學(xué)科數(shù)學(xué)年級八年級班級教學(xué)目標(biāo)理解·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），并利用它們進(jìn)行計算和化簡教學(xué)重點掌握和應(yīng)用二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)。教學(xué)難點正確依據(jù)二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡。教學(xué)流程備注（一）復(fù)習(xí)引入1．填空：（1）×=___，=__×__（2）×=__，=___×__（3）×=__=__×__（二）、探索新知1、學(xué)生交流活動總結(jié)規(guī)律．2、一般地，對二次根式的乘法規(guī)定為·＝．（a≥0，b≥0反過來:=·（a≥0，b≥0）例1、計算（1）×（2）×（3）3×2（4）·例2、化簡（1）（2）（3）（4）（5）鞏固練習(xí)（1）計算：①×②5×2③·（2）化簡:;;;;（三）、學(xué)生小組交流解疑，教師點撥、拓展判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正：（1）（2）×=4××=4×=4=8（四）展示反饋（五）達(dá)標(biāo)測試：A組1、選擇題（1）等式成立的條件是（）A．x≥1B．x≥-1C．-1≤x≤1D．x≥1或x≤-1（2）下列各等式成立的是（）．A．4×2=8B．5×4=20C．4×3=7D．5×4=20（3）二次根式的計算結(jié)果是（）A．2B．-2C．6D．122、化簡：（1）；（2）；3、計算：（1）；（2）；B組1、選擇題（1）若，則=（）A．4B．2C．-2D．1（2）下列各式的計算中，不正確的是（）A．=（-2）×（-4）=8B．C．D．2、計算：（1）6×（-2）；（2）；3、不改變式子的值，把根號外的非負(fù)因式適當(dāng)變形后移入根號內(nèi)。(1)-3(2)板書設(shè)計教學(xué)反思第二課時：教學(xué)內(nèi)容二次根式的除法課時數(shù)1學(xué)科數(shù)學(xué)年級八年級班級教學(xué)目標(biāo)1、掌握二次根式的除法法則和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)。2、能熟練進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算及化簡。教學(xué)重點掌握和應(yīng)用二次根式的除法法則和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)。教學(xué)難點正確依據(jù)二次根式的除法法則和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡。教學(xué)流程備注（一）復(fù)習(xí)回顧1、寫出二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根的性質(zhì)2、計算：（1）3×（-4）（2）3、填空：（1）=____，=____；規(guī)律：__（2）=____，=____；__；（3）=____，=____；____；（4）=____，=___．___．一般地，對二次根式的除法規(guī)定：=（a≥0，b>0）反過來，=（a≥0，b>0）下面我們利用這個規(guī)定來計算和化簡一些題目．（二）、鞏固練習(xí)1、計算：（1）（2）（3）（4）2、化簡：（1）（2）（3）（4）注：1、當(dāng)二次根式前面有系數(shù)時，類比單項式除以單項式法則進(jìn)行計算：即系數(shù)之商作為商的系數(shù)，被開方數(shù)之商為被開方數(shù)。2、化簡二次根式達(dá)到的要求：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）分母中不含有二次根式。（三）拓展延伸閱讀下列運(yùn)算過程：數(shù)學(xué)上將這種把分母的根號去掉的過程稱作“分母有理化”。利用上述方法化簡：(1)=_______（２）=________(３)=________(４)=______（四）達(dá)標(biāo)測試：A組1、選擇題（1）計算的結(jié)果是（）．A．