《21.3 第3課時(shí) 幾何圖形與一元二次方程》教案、導(dǎo)學(xué)案

《第3課時(shí)幾何圖形與一元二次方程》教案【教學(xué)目標(biāo)】1．掌握面積法建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用它解決實(shí)際問題．2．繼續(xù)探究實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程解應(yīng)用題．3．通過探究體會(huì)列方程的實(shí)質(zhì)，提高靈活處理問題的能力．【教學(xué)過程】一、情境導(dǎo)入如圖，在長為10cm，寬為8cm的矩形的四個(gè)角上截去四個(gè)全等的小正方形，使得留下的圖形(圖中陰影部分)面積是原矩形面積的80%，你能求出所截去小正方形的邊長嗎？二、合作探究探究點(diǎn)：用一元二次方程解決圖形面積問題【類型一】利用面積構(gòu)造一元二次方程模型用10米長的鋁材制成一個(gè)矩形窗框，使它的面積為6平方米．若設(shè)它的一條邊長為x米，則根據(jù)題意可列出關(guān)于x的方程為()A．x(5＋x)＝6B．x(5－x)＝6C．x(10－x)＝6D．x(10－2x)＝6解析：設(shè)一邊長為x米，則另外一邊長為(5－x)米，根據(jù)它的面積為6平方米，即可列出方程得：x(5－x)＝6，故選擇B.方法總結(jié)：理解題意，恰當(dāng)?shù)脑O(shè)未知數(shù)，把題中相關(guān)的量用未知數(shù)表示出來，用相等關(guān)系列出方程．現(xiàn)有一塊長80cm、寬60cm的矩形鋼片，將它的四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長為xcm的小正方形，做成一個(gè)底面積為1500cm2的無蓋的長方體盒子，求小正方形的邊長．解析：設(shè)小正方形的邊長為xcm，則長方體盒子底面的長、寬均可用含x的代數(shù)式表示，再根據(jù)面積，即可建立等量關(guān)系，列出方程．解：設(shè)小正方形的邊長為xcm，則可得這個(gè)長方體盒子的底面的長是(80－2x)cm，寬是(60－2x)cm，根據(jù)矩形的面積的計(jì)算方法即可表示出矩形的底面積，方程可列為(80－2x)(60－2x)＝1500，整理得x2－70x＋825＝0，解得x1＝55，x2＝15.又60－2x>0，∴x＝55(舍)．∴小正方形的邊長為15cm.方法總結(jié)：要從已知條件中找出關(guān)鍵的與所求問題有關(guān)的信息，通過圖形求出面積，解題的關(guān)鍵是熟記各種圖形的面積公式，列出符合題意的方程，整理即可．【類型二】整體法構(gòu)造一元二次方程模型如圖，在一塊長為22米，寬為17米的矩形地面上，要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路(兩條道路分別與矩形的一條邊平行)，剩余部分種上草坪，使草坪面積為300平方米．設(shè)道路寬為x米，根據(jù)題意可列出的方程為______________．解析：解法一：把兩條道路平移到靠近矩形的一邊上，用含x的代數(shù)式表示草坪的長為(22－x)米，寬為(17－x)米，根據(jù)草坪的面積為300平方米可列出方程(22－x)(17－x)＝300.解法二：根據(jù)面積的和差可列方程：22×17－22x－17x＋x2＝300.方法總結(jié)：解答與道路有關(guān)的面積問題，可以根據(jù)圖形面積的和差關(guān)系，尋找相等關(guān)系建立方程求解；也可以用平移的方法，把道路平移構(gòu)建特殊的圖形，并利用面積建立方程求解．【類型三】利用一元二次方程解決動(dòng)點(diǎn)問題如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AC向點(diǎn)C以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)．(1)如果P、Q同時(shí)出發(fā)，幾秒鐘后，可使△PCQ的面積為8平方厘米？(2)點(diǎn)P、Q在移動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半．若存在，求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；若不存在，說明理由．解析：這是一道動(dòng)態(tài)問題，可設(shè)出未知數(shù)，表示出PC與CQ的長，根據(jù)面積公式建立方程求解．解：(1)設(shè)xs后，可使△PCQ的面積為8cm2，所以AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm.則根據(jù)題意，得eq\f(1,2)·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x＋8＝0，解這個(gè)方程，得x1＝2，x2＝4.所以P、Q同時(shí)出發(fā)，2s或4s后可使△PCQ的面積為8cm2.(2)設(shè)點(diǎn)P出發(fā)x秒后，△PCQ的面積等于△ABC面積的一半．則根據(jù)題意，得eq\f(1,2)(6－x)·2x＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×6×8.整理，得x2－6x＋12＝0.由于此方程沒有實(shí)數(shù)根，所以不存在使△PCQ的面積等于△ABC面積一半的時(shí)刻．三、板書設(shè)計(jì)【教學(xué)反思】與圖形有關(guān)的問題是一元二次方程應(yīng)用的常見題型，解決這類問題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或補(bǔ)全成規(guī)則圖形，找出各部分面積之間的關(guān)系，運(yùn)用面積等計(jì)算公式列出方程；對(duì)圖形進(jìn)行分割或補(bǔ)全的原則：轉(zhuǎn)化成為規(guī)則圖形時(shí)越簡單越直觀越好.《第3課時(shí)幾何圖形與一元二次方程》教案【教學(xué)內(nèi)容】根據(jù)面積與面積之間的關(guān)系建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型并解決這類問題．【教學(xué)目標(biāo)】掌握面積法建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用它解決實(shí)際問題．利用提問的方法復(fù)習(xí)幾種特殊圖形的面積公式來引入新課，解決新課中的問題．【重難點(diǎn)關(guān)鍵】1．重點(diǎn)：根據(jù)面積與面積之間的等量關(guān)系建立一元二元方程的數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用它解決實(shí)際問題．2．難點(diǎn)與關(guān)鍵：根據(jù)面積與面積之間的等量關(guān)系建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型．【教學(xué)過程】一、復(fù)習(xí)引入（口述）1．直角三角形的面積公式是什么？一般三角形的面積公式是什么呢？2．正方形的面積公式是什么呢？長方形的面積公式又是什么？3．梯形的面積公式是什么？4．菱形的面積公式是什么？5．平行四邊形的面積公式是什么？6．圓的面積公式是什么？（學(xué)生口答，老師點(diǎn)評(píng)）二、探索新知現(xiàn)在，我們根據(jù)剛才所復(fù)習(xí)的面積公式來建立一些數(shù)學(xué)模型，解決一些實(shí)際問題．例1．某林場(chǎng)計(jì)劃修一條長750m，斷面為等腰梯形的渠道，斷面面積為1.6m2，上口寬比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．（1）渠道的上口寬與渠底寬各是多少？（2）如果計(jì)劃每天挖土48m3，需要多少天才能把這條渠道挖完？分析：因?yàn)榍钭钚?，為了便于?jì)算，不妨設(shè)渠深為xm，則上口寬為x+2，渠底為x+0.4，那么，根據(jù)梯形的面積公式便可建模．解：（1）設(shè)渠深為xm則渠底為（x+0.4）m，上口寬為（x+2）m依題意，得：（x+2+x+0.4）x=1.6整理，得：5x2+6x-8=0解得：x1==0.8m，x2=-2（舍）∴上口寬為2.8m，渠底為1.2m．（2）=25天答：渠道的上口寬與渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．學(xué)生活動(dòng)：例2．如圖，要設(shè)計(jì)一本書的封面，封面長27cm，寬21cm，正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度（精確到0.1cm）？老師點(diǎn)評(píng)：依據(jù)題意知：中央矩形的長寬之比等于封面的長寬之比＝9：7，由此可以判定：上下邊襯寬與左右邊襯寬之比為9：7，設(shè)上、下邊襯的寬均為9xcm，則左、右邊襯的寬均為7xcm，依題意，得：中央矩形的長為（27-18x）cm，寬為（21-14x）cm．因?yàn)樗闹艿牟噬呉r所點(diǎn)面積是封面面積的，則中央矩形的面積是封面面積的．所以（27-18x）（21-14x）=×27×21整理，得：16x2-48x+9=0解方程，得：x=，x1≈2.8cm，x2≈0.2所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm因此，上下邊襯的寬均為1.8cm，左、右邊襯的寬均為1.4cm．三、鞏固練習(xí)有一張長方形的桌子，長6尺，寬3尺，有一塊臺(tái)布的面積是桌面面積的2倍，并且鋪在桌面上時(shí)，各邊垂下的長度相同，求臺(tái)布的長和寬各是多少?（精確到0．1尺）四、應(yīng)用拓展例3．如圖（a）、（b）所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．（1）如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘，使S△PBQ=8cm2．（2）如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，并且P到B后又繼續(xù)在BC邊上前進(jìn)，Q到C后又繼續(xù)在CA邊上前進(jìn)，經(jīng)過幾秒鐘，使△PCQ的面積等于12.6cm2．（友情提示：過點(diǎn)Q作DQ⊥CB，垂足為D，則：）分析：（1）設(shè)經(jīng)過x秒鐘，使S△PBQ=8cm2，那么AP=x，PB=6-x，QB=2x，由面積公式便可得到一元二次方程的數(shù)學(xué)模型．（2）設(shè)經(jīng)過y秒鐘，這里的y>6使△PCQ的面積等于12.6cm2．因?yàn)锳B=6，BC=8，由勾股定理得：AC=10，又由于PA=y，CP=（14-y），CQ=（2y-8），又由友情提示，便可得到DQ，那么根據(jù)三角形的面積公式即可建模．解：（1）設(shè)x秒，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在BC上，且使△PBQ的面積為8cm2．則：（6-x）·2x=8整理，得：x2-6x+8=0解得：x1=2，x2=4∴經(jīng)過2秒，點(diǎn)P到離A點(diǎn)1×2=2cm處，點(diǎn)Q離B點(diǎn)2×2=4cm處，經(jīng)過4秒，點(diǎn)P到離A點(diǎn)1×4=4cm處，點(diǎn)Q離B點(diǎn)2×4=8cm處，所以它們都符合要求．（2）設(shè)y秒后點(diǎn)P移到BC上，且有CP=（14-y）cm，點(diǎn)Q在CA上移動(dòng)，且使CQ=（2y-8）cm，過點(diǎn)Q作DQ⊥CB，垂足為D，則有∵AB=6，BC=8∴由勾股定理，得：AC==10∴DQ=則：（14-y）·=12.6整理，得：y2-18y+77=0解得：y1=7，y2=11即經(jīng)過7秒，點(diǎn)P在BC上距C點(diǎn)7cm處（CP=14-y=7），點(diǎn)Q在CA上距C點(diǎn)6cm處（CQ=2y-8=6），使△PCD的面積為12.6cm2．經(jīng)過11秒，點(diǎn)P在BC上距C點(diǎn)3cm處，點(diǎn)Q在CA上距C點(diǎn)14cm>10，∴點(diǎn)Q已超過CA的范圍，即此解不存在．∴本小題只有一解y1=7．五、歸納小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握：利用已學(xué)的特殊圖形的面積公式建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用它解決實(shí)際問題．六、布置作業(yè)1．教材P53綜合運(yùn)用5、6拓廣探索全部．2．選用作業(yè)設(shè)計(jì):一、選擇題1．直角三角形兩條直角邊的和為7，面積為6，則斜邊為（）．A．B．5C．D．72．有兩塊木板，第一塊長是寬的2倍，第二塊的長比第一塊的長少2m，寬是第一塊寬的3倍，已知第二塊木板的面積比第一塊大108m2，這兩塊木板的長和寬分別是（）．A．第一塊木板長18m，寬9m，第二塊木板長16m，寬27m;B．第一塊木板長12m，寬6m，第二塊木板長10m，寬18m;C．第一塊木板長9m，寬4.5m，第二塊木板長7m，寬13.5m;D．以上都不對(duì)3．從正方形鐵片，截去2cm寬的一條長方形，余下的面積是48cm2，則原來的正方形鐵片的面積是（）．A．8cmB．64cmC．8cm2D．64cm2二、填空題1．矩形的周長為8，面積為1，則矩形的長和寬分別為________．2．長方形的長比寬多4cm，面積為60cm2，則它的周長為________．3．如圖，是長方形雞場(chǎng)平面示意圖，一邊靠墻，另外三面用竹籬笆圍成，若竹籬笆總長為35m，所圍的面積為150m2，則此長方形雞場(chǎng)的長、寬分別為_______．三、綜合提高題1．如圖所示的一防水壩的橫截面（梯形），壩頂寬3m，背水坡度為1：2，迎水坡度為1：1，若壩長30m，完成大壩所用去的土方為4500m2，問水壩的高應(yīng)是多少?（說明：背水坡度=，迎水坡度）（精確到0.1m）2．在一塊長12m，寬8m的長方形平地中央，劃出地方砌一個(gè)面積為8m2的長方形花臺(tái)，要使花壇四周的寬地寬度一樣，則這個(gè)寬度為多少?3．誰能量出道路的寬度:如圖22-10，有矩形地ABCD一塊，要在中央修一矩形花輔EFGH，使其面積為這塊地面積的一半，且花圃四周道路的寬相等，今無測(cè)量工具，只有無刻度的足夠長的繩子一條，如何量出道路的寬度?請(qǐng)同學(xué)們利用自己掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)來解決這個(gè)實(shí)際問題，相信你一定能行．答案:一、1．B2．B3．D二、1．2+2-2．32cm3．20m和7.5m或15m和10m三、1．設(shè)壩的高是x，則AE=x，BF=2x，AB=3+3x，依題意，得：（3+3+3x）x×30=4500整理，得：x2+2x-100=0解得x≈即x≈9.05（m）2．設(shè)寬為x，則12×8-8=2×8x+2（12-2x）x整理，得：x2-10x+22=0解得：x1=5+（舍去），x2=5-3．設(shè)道路的寬為x，AB=a，AD=b則（a-2x）（b-2x）=ab解得：x=[（a+b）-]量法為：用繩子量出AB+AD（即a+b）之長，從中減去BD之長（對(duì)角線BD=），得L=AB+AD-BD，再將L對(duì)折兩次即得到道路的寬，即．《第3課時(shí)幾何圖形與一元二次方程》導(dǎo)學(xué)案教學(xué)目標(biāo)掌握面積法建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用它解決實(shí)際問題．利用提問的方法復(fù)習(xí)幾種特殊圖形的面積公式來引入新課，解決新課中的問題．重難點(diǎn)關(guān)鍵1．重點(diǎn)：根據(jù)面積與面積之間的等量關(guān)系建立一元二元方程的數(shù)學(xué)模型并運(yùn)用它解決實(shí)際問題．2．難點(diǎn)與關(guān)鍵：根據(jù)面積與面積之間的等量關(guān)系建立一元導(dǎo)學(xué)流程：一、復(fù)習(xí)引入說出三角形、長方形、正方形、平行四邊形、梯形、菱形及圓的面積公式（學(xué)生口答，老師點(diǎn)評(píng)）二、探索新知現(xiàn)在，我們根據(jù)剛才所復(fù)習(xí)的面積公式來建立一些數(shù)學(xué)模型，解決一些實(shí)際問題．例1．某林場(chǎng)計(jì)劃修一條長750m，斷面為等腰梯形的渠道，斷面面積為1.6m2，上口寬比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m（1）渠道的上口