《24.1.2 垂直于弦的直徑》教案、導學案

《24．1.2垂直于弦的直徑》教案【教學目標】1．進一步認識圓是軸對稱圖形．2．能利用圓的軸對稱性，通過探索、歸納、驗證得出垂直于弦的直徑的性質和推論，并能應用它解決一些簡單的計算、證明和作圖問題．3．認識垂徑定理及推論在實際中的應用，會用添加輔助線的方法解決問題．【教學過程】一、情境導入你知道趙州橋嗎？它又名“安濟橋”，位于河北省趙縣，是我國現(xiàn)存的著名的古代石拱橋，距今已有1400多年了，是隋代開皇大業(yè)年間(605～618)由著名將師李春建造的，是我國古代人民勤勞和智慧的結晶．它的主橋拱是圓弧形，全長50.82米，橋寬約10米，跨度37.4米，拱高7.2米，是當今世界上跨徑最大、建造最早的單孔敞肩石拱橋．你知道主橋拱的圓弧所在圓的半徑嗎？二、合作探究探究點一：垂徑定理【類型一】垂徑定理的理解如圖所示，⊙O的直徑AB垂直弦CD于點P，且P是半徑OB的中點，CD＝6cm，則直徑AB的長是()A．2eq\r(3)cmB．3eq\r(2)cmC．4eq\r(2)cmD．4eq\r(3)cm解析：∵直徑AB⊥DC，CD＝6，∴DP＝3.連接OD，∵P是OB的中點，設OP為x，則OD為2x，在Rt△DOP中，根據勾股定理列方程32＋x2＝(2x)2，解得x＝eq\r(3).∴OD＝2eq\r(3)，∴AB＝4eq\r(3).故選D.方法總結：我們常常連接半徑，利用半徑、弦、垂直于弦的直徑造出直角三角形，然后應用勾股定理解決問題．【類型二】垂徑定理的實際應用如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧(圖中的eq\o(AB,\s\up8(︵)))，點O是這段弧的圓心，C是eq\o(AB,\s\up8(︵))上一點，OC⊥AB，垂足為D，AB＝300m，CD＝50m，則這段彎路的半徑是________m.解析：本題考查垂徑定理，∵OC⊥AB，AB＝300m，∴AD＝150m.設半徑為R，根據勾股定理可列方程R2＝(R－50)2＋1502，解得R＝250.故答案為250.方法總結：將實際問題轉化為數(shù)學問題，再利用我們學過的垂徑定理、勾股定理等知識進行解答．探究點二：垂徑定理的推論【類型一】利用垂徑定理的推論求角如圖所示，⊙O的弦AB、AC的夾角為50°，M、N分別是eq\o(AB,\s\up8(︵))、eq\o(AC,\s\up8(︵))的中點，則∠MON的度數(shù)是()A．100°B．110°C．120°D．130°解析：已知M、N分別是eq\o(AB,\s\up8(︵))、eq\o(AC,\s\up8(︵))的中點，由“平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦”得OM⊥AB、ON⊥AC，所以∠AEO＝∠AFO＝90°，而∠BAC＝50°，由四邊形內角和定理得∠MON＝360°－∠AEO－∠AFO－∠BAC＝360°－90°－90°－50°＝130°.故選D.【類型二】利用垂徑定理的推論求邊如圖，點A、B是⊙O上兩點，AB＝10cm，點P是⊙O上的動點(與A、B不重合)，連接AP、BP，過點O分別作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，求EF的長．解析：運用垂徑定理先證出EF是△ABP的中位線，然后運用三角形中位線性質把要求的EF與AB建立關系，從而解決問題．解：在⊙O中，∵OE⊥AP，OF⊥PB，∴AE＝PE，BF＝PF，∴EF是△ABP的中位線，∴EF＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×10＝5cm.方法總結：垂徑定理雖是圓的知識，但也不是孤立的，它常和三角形等知識綜合來解決問題，我們一定要把知識融會貫通，在解決問題時才能得心應手．【類型三】動點問題如圖，⊙O的直徑為10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一個動點，求OP的長度范圍．解析：當點P處于弦AB的端點時，OP最長，此時OP為半徑的長；當OP⊥AB時，OP最短，利用垂徑定理及勾股定理可求得此時OP的長．解：作直徑MN⊥弦AB，交AB于點D，由垂徑定理，得AD＝DB＝eq\f(1,2)AB＝4cm.又∵⊙O的直徑為10cm，連接OA，∴OA＝5cm.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD＝eq\r(OA2－AD2)＝3cm.∵垂線段最短，半徑最長，∴OP的長度范圍是3≤OP≤5(單位：cm)．方法總結：解題的關鍵是明確OP最長、最短時的情況，靈活利用垂徑定理求解．容易出錯的地方是不能確定最值時的情況．三、板書設計【教學反思】教學過程中，強調垂徑定理的得出跟圓的軸對稱密切相關．在圓中求有關線段長時，可考慮垂徑定理的應用.《24．1．2垂直于弦的直徑》教案【教學目標】1、知識目標：（1）充分認識圓的軸對稱性。（2）利用軸對稱探索垂直于弦的直徑的有關性質，掌握垂徑定理。（3）運用垂徑定理進行簡單的證明、計算和作圖。2、能力目標：讓學生經歷“實驗—觀察—猜想—驗證—歸納”的研究過程，培養(yǎng)學生動手實踐、觀察分析、歸納問題和解決問題的能力。讓每個學生動手、動口、動眼、動腦，培養(yǎng)學生直覺思維能力。3、情感目標：通過實驗操作探索數(shù)學規(guī)律，激發(fā)學生的好奇心和求知欲，同時培養(yǎng)學生勇于探索的精神?！窘虒W重點】垂直于弦的直徑的性質及其應用?！窘虒W難點】1、垂徑定理的證明。2、垂徑定理的題設與結論的區(qū)分?！窘虒W輔助】多媒體、可折疊的圓形紙板?！窘虒W方法】本節(jié)課采用的教學方法是“主體探究式”。整堂課充分發(fā)揮教師的主導作用和學生的主體作用，注重學生探究能力的培養(yǎng)，鼓勵學生認真觀察、大膽猜想、小心求證。令學生參與到“實驗--觀察--猜想--驗證--歸納”的活動中，與教師共同探究新知識最后得出定理。學生不再是知識的接受者，而是知識的發(fā)現(xiàn)者，是學習的主人。【教學過程】教學環(huán)節(jié)教師活動學生活動設計目的情景創(chuàng)設情景創(chuàng)設情景問題：趙州橋主橋拱的跨度(弧所對的弦的長)為37.4m,拱高(弧的中點到弦的距離)為7.2m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？把一些實際問題轉化為數(shù)學問題思考：若用直角三角形解決，那么E是否為AB中點？從實際出發(fā)，充分發(fā)現(xiàn)問題的存在，再帶著問題去思考它們之間的關系，有助于定理的得出?；仡櫯f識回顧舊識我們已經學習過對稱的有關概念，下面復習兩道問題1）什么是軸對稱圖形？2）我們學習過的軸對稱圖形有哪些？（電腦上直觀的動畫演示，運用幾何畫板演示沿上述圖形對稱軸對折圖形的動畫）學生觀察一些圖形：如果一個圖形沿一條直線對折，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫軸對稱圖形。如線段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。通過復習，強化學生本節(jié)課所需要的相關知識，為學生自主探索垂徑定理做奠基。引入新課引入新課問：（1）我們所學的圓是不是軸對稱圖形？（2）如果是，它的對稱軸是什么？拿出一張圓形紙片，沿著圓的任意一條直徑對折，重復做幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結論？：（1）圓是軸對稱圖形。（2）對稱軸是過圓點的直線（或任何一條直徑所在的直線）（3）圓的對稱軸有無窮多條實驗：把圓形紙片沿著圓的任意一條直徑對折，重復做幾次觀察：兩部分重合，發(fā)現(xiàn)得出圓的對稱性的結論培養(yǎng)學生的動手能力，觀察能力，通過比較，運用舊知識探索新問題揭示課題揭示課題電腦上用幾何畫板上作圖：（1）做一圓(2)在圓上任意作一條弦AB；(3)過圓心作AB的垂線的直徑CD且交AB于E。（板書課題：垂直于弦的直徑）在圓形紙片上作一條弦AB，過圓心作AB的垂線的直徑CD且交AB于E師生互動師生互動運用幾何畫板展示直徑與弦垂直相交時圓的翻折動畫讓學生觀察，討論（1）圖中圓可能會有哪些等量關系？（2）弦AB與直徑CD除垂直外還有什么性質？實驗：將圓沿直徑CD對折觀察：圖形重合部分，思考圖中的等量關系猜想：AE=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB(電腦顯示))垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧？引導學生通過“實驗--觀察--猜想”，獲得感性認識，猜測出垂直于弦的直徑的性質拓展升華如果把垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。┙Y論與題設交換或交換一條，命題是真命題嗎？（1）過圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所對的優(yōu)?。?）平分弦所對的劣弧上述五個條件中的任何兩個條件都可以推出其他三個結論學生自主探證通過問題，引導學生拓展思維，發(fā)現(xiàn)新目標歸納小結歸納小結由學生小結，電腦顯示知識總結：這節(jié)課我們主要學習了兩個問題：一是圓的軸對稱性（學生回答），它是理解和證明定理的關鍵；二是垂徑定理（學生回答），它是這節(jié)課的重點要求大家分清楚定理的條件和結論，并熟練掌握定理的簡單應用，還推知它的里定理。另外它的其他推論級應用我們下節(jié)課探討。講評總結：1學習垂徑定理后，你認為應該注意哪些問題？2應用垂徑定理如何添輔助線？垂徑定理有哪些應用3這節(jié)課的學習你有什么疑問？4這節(jié)課的學習方式擬喜歡嗎？你有什么好的建議？講評回答回顧這節(jié)課的內容，加深學生對知識的印象，反饋學生這節(jié)課收獲節(jié)疑問，使教學效果得到提高分層作業(yè)分層作業(yè)1、必做題:習題24.1—1,92、選做題:習題24.1—12九、板書設計（1）圓是軸對稱圖形。（2）對稱軸是過圓點的直線（或任何一條直徑所在的直線）（3）圓的對稱軸有無窮多條24.1.2垂直于垂徑定理：垂徑定理逆定理：弦的直徑垂徑定理證明：方法歸納：技巧：重要輔助線是過圓心作弦的垂線。重要思路：（由）垂徑定理——構造Rt△——（結合）勾股定理——建立方程構造Rt△的“七字口訣”：半徑半弦弦心距《24．1．2垂直于弦的直徑》導學案一、知識點回顧：1．圓上各點到圓心的距離都等于_________，到圓心的距離等于半徑的點都在_________。2．如右圖，____________是直徑，___________是弦，____________是劣弧，________是優(yōu)弧，__________是半圓。3．圓的半徑是4，則弦長x的取值范圍是_______________。4．確定一個圓的兩個條件是__________和_________。5．利用身邊常見的工具，你能在操場中畫一個直徑是5m的圓嗎？說說你的方法。二、新知學習：（一）．學習目標：1-知識目標：掌握垂徑定理2-能力目標：利用垂徑定理解答圓的一般問題（二）．自學要求：P80—P81垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并平分弦所對的兩條弧.符號語言：∵是⊙的直徑又∵∴推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并平分弦所對的兩條弧符號語言：∵是⊙的直徑又∵∴三、典型拓展例題：1．你知道趙州橋嗎？它是1300多年前我國隋代建造的石拱橋，是我國古代人民勤勞與智慧的結晶.它的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為37.4，拱高（弧的中點到弦的距離）為7.2，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？2．如圖，在⊙中，弦的長為8，圓心到的距離為3.求⊙的半徑。3．如圖，在⊙中，、為互相垂直且相等的兩條弦，于，于.求證：四邊形為正方形。4．如圖所示，兩個同心圓，大圓的弦交小圓于、。求證：5．如圖所示，在⊙中，、是弦上的兩點，且.求