《切線的判定與性質(zhì)》教案、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

《第2課時切線的判定與性質(zhì)》教案【教學(xué)目標(biāo)】1．掌握判定直線與圓相切的方法，并能運用直線與圓相切的方法進行計算與證明．2．掌握直線與圓相切的性質(zhì)，并能運用直線與圓相切的性質(zhì)進行計算與證明．3．能運用直線與圓的位置關(guān)系解決實際問題．【教學(xué)過程】一、情境導(dǎo)入約在6000年前，美索不達米亞人做出了世界上第一個輪子——圓型的木盤，你能設(shè)計一個辦法測量這個圓形物體的半徑嗎？二、合作探究探究點一：切線的判定【類型一】判定圓的切線如圖，點D在⊙O的直徑AB的延長線上，點C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°，求證：CD是⊙O的切線．證明：連接OC，∵AC＝CD，∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴∠2＝∠A＝30°，∴∠1＝60°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線．方法總結(jié)：切線的判定方法有三種：①利用切線的定義，即與圓只有一個公共點的直線是圓的切線；②到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線；③經(jīng)過半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．探究點二：切線的性質(zhì)【類型一】利用切線進行證明和計算如圖，PA為⊙O的切線，A為切點．直線PO與⊙O交于B、C兩點，∠P＝30°，連接AO、AB、AC.(1)求證：△ACB≌△APO；(2)若AP＝eq\r(,3)，求⊙O的半徑．(1)證明：∵PA為⊙O的切線，A為切點，∴∠OAP＝90°.又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，又OA＝OB，∴△AOB為等邊三角形．∴AB＝AO，∠ABO＝60°.又∵BC為⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°.在△ACB和△APO中，∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，∴△ACB≌△APO.(2)解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP＝eq\r(,3)，∴AO＝1，∴CB＝OP＝2，∴OB＝1，即⊙O的半徑為1.【類型二】切線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用如圖，AB是⊙O的直徑，點F、C是⊙O上的兩點，且eq\o(AF,\s\up8(︵))＝eq\o(FC,\s\up8(︵))＝eq\o(CB,\s\up8(︵))，連接AC、AF，過點C作CD⊥AF交AF的延長線于點D，垂足為D.(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若CD＝2eq\r(3)，求⊙O的半徑．分析：(1)連接OC，由弧相等得到相等的圓周角，根據(jù)等角的余角相等推得∠ACD＝∠B，再根據(jù)等量代換得到∠ACO＋∠ACD＝90°，從而證明CD是⊙O的切線；(2)由eq\o(AF,\s\up8(︵))＝eq\o(FC,\s\up8(︵))＝eq\o(CB,\s\up8(︵))推得∠DAC＝∠BAC＝30°，再根據(jù)直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半即可求得AB的長，進而求得⊙O的半徑．(1)證明：連接OC，BC.∵eq\o(FC,\s\up8(︵))＝eq\o(CB,\s\up8(︵))，∴∠DAC＝∠BAC.∵CD⊥AF，∴∠ADC＝90°.∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°.∴∠ACD＝∠B.∵BO＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠ACO＋∠OCB＝90°，∠OCB＝∠OBC，∠ACD＝∠ABC，∴∠ACO＋∠ACD＝90°，即OC⊥CD.又∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線．(2)解：∵eq\o(AF,\s\up8(︵))＝eq\o(FC,\s\up8(︵))＝eq\o(CB,\s\up8(︵))，∴∠DAC＝∠BAC＝30°.∵CD⊥AF，CD＝2eq\r(3)，∴AC＝4eq\r(3).在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，AC＝4eq\r(,3)，∴BC＝4，AB＝8，∴⊙O的半徑為4.【類型三】探究圓的切線的條件如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB＝AC＝10，BC＝12，P是eq\o(BC,\s\up8(︵))上的一個動點，過點P作BC的平行線交AB的延長線于點D.(1)當(dāng)點P在什么位置時，DP是⊙O的切線？請說明理由；(2)當(dāng)DP為⊙O的切線時，求線段BP的長．解析：(1)當(dāng)點P是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中點時，得eq\o(PBA,\s\up8(︵))＝eq\o(PCA,\s\up8(︵))，得出PA是⊙O的直徑，再利用DP∥BC，得出DP⊥PA，問題得證；(2)利用切線的性質(zhì)，由勾股定理得出半徑長，進而得出△ABE∽△ADP，即可求出DP的長．解：(1)當(dāng)點P是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中點時，DP是⊙O的切線．理由如下：∵AB＝AC，∴eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，又∵eq\o(PB,\s\up8(︵))＝eq\o(PC,\s\up8(︵))，∴eq\o(PBA,\s\up8(︵))＝eq\o(PCA,\s\up8(︵))，∴PA是⊙O的直徑．∵eq\o(PB,\s\up8(︵))＝eq\o(PC,\s\up8(︵))，∴∠1＝∠2，又AB＝AC，∴PA⊥BC.又∵DP∥BC，∴DP⊥PA，∴DP是⊙O的切線．(2)連接OB，設(shè)PA交BC于點E.由垂徑定理，得BE＝eq\f(1,2)BC＝6.在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE＝eq\r(AB2－BE2)＝8.設(shè)⊙O的半徑為r，則OE＝8－r，在Rt△OBE中，由勾股定理，得r2＝62＋(8－r)2，解得r＝eq\f(25,4).在Rt△ABC中，AP＝2r＝eq\f(25,2)，AB＝10，∴BP＝eq\r(,（\f(25,12)）2－102)＝eq\f(15,2).三、板書設(shè)計【教學(xué)反思】教學(xué)過程中，強調(diào)只要出現(xiàn)切線就要想到半徑，就要想到有垂直的關(guān)系，要形成一個定勢思維.《第2課時切線的判定與性質(zhì)》教案【教學(xué)目標(biāo)】(一)教學(xué)知識點1．能判定一條直線是否為圓的切線．2．會過圓上一點畫圓的切線．3．會作三角形的內(nèi)切圓．(二)能力訓(xùn)練要求1．通過判定一條直線是否為圓的切線，訓(xùn)練學(xué)生的推理判斷能力．2．會過圓上一點畫圓的切線，訓(xùn)練學(xué)生的作圖能力．(三)情感與價值觀要求經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動過程，發(fā)展合情推理能力和初步演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點．經(jīng)歷探究圓與直線的位置關(guān)系的過程，掌握圖形的基礎(chǔ)知識和基本技能，并能解決簡單的問題．【教學(xué)重點】探索圓的切線的判定方法，并能運用．作三角形內(nèi)切圓的方法．【教學(xué)難點】探索圓的切線的判定方法．教學(xué)方法：師生共同探索法．【教學(xué)過程】Ⅰ．創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課[師]上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了直線和圓的位置關(guān)系，圓的切線的性質(zhì)，懂得了直線和圓有三種位置關(guān)系：相離、相切、相交．判斷直線和圓屬于哪一種位置關(guān)系，可以從公共點的個數(shù)和圓心到直線的距離與半徑作比較兩種方法進行判斷，還掌握了圓的切線的性質(zhì)、圓的切線垂直于過切點的直徑．由上可知，判斷直線和圓相切的方法有兩種，是否僅此兩種呢？本節(jié)課我們就繼續(xù)探索切線的判定條件．Ⅱ．新課講解1．探索切線的判定條件投影片(§3．5．2A)如下圖，AB是⊙O的直徑，直線l經(jīng)過點A，l與AB的夾角∠α，當(dāng)l繞點A旋轉(zhuǎn)時，(1)隨著∠α的變化，點O到l的距離d如何變化？直線l與⊙O的位置關(guān)系如何變化？(2)當(dāng)∠α等于多少度時，點O到l的距離d等于半徑r？此時，直線l與⊙O有怎樣的位置關(guān)系？為什么？[師]大家可以先畫一個圓，并畫出直徑AB，拿直尺當(dāng)直線，讓直尺繞著點A移動．觀察∠α發(fā)生變化時，點O到l的距離d如何變化，然后互相交流意見．[生](1)如上圖，直線l1與AB的夾角為α，點O到l的距離為d1，d1＜r，這時直線l1與⊙O的位置關(guān)系是相交；當(dāng)把直線l1沿順時針方向旋轉(zhuǎn)到l位置時，∠α由銳角變?yōu)橹苯?，點O到l的距離為d，d＝r，這時直線l與⊙O的位置關(guān)系是相切；當(dāng)把直線l再繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到l2位置時，∠α由直角變?yōu)殁g角，點O到l的距離為d2，d2＜r，這時直線l與⊙O的位置關(guān)系是相離．[師]回答得非常精彩．通過旋轉(zhuǎn)可知，隨著∠α由小變大，點O到l的距離d也由小變大，當(dāng)∠α＝90°時，d達到最大．此時d＝r；之后當(dāng)∠α繼續(xù)增大時，d逐漸變小．第(2)題就解決了．[生](2)當(dāng)∠α＝90°時，點O到l的距離d等于半徑．此時，直線l與⊙O的位置關(guān)系是相切，因為從上一節(jié)課可知，當(dāng)圓心O到直線l的距離d＝r時，直線與⊙O相切．[師]從上面的分析中可知，當(dāng)直線l與直徑之間滿足什么關(guān)系時，直線l就是⊙O的切線？請大家互相交流．[生]直線l垂直于直徑AB，并經(jīng)過直徑的一端A點．[師]很好．這就得出了判定圓的切線的又一種方法：經(jīng)過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線．2．做一做已知⊙O上有一點A，過A作出⊙O的切線．分析：根據(jù)剛討論過的圓的切線的第三個判定條件可知：經(jīng)過直徑的一端，并且垂直于直徑的直線是圓的切線，而現(xiàn)在已知圓心O和圓上一點A，那么過A點的直徑就可以作出來，再作直徑的垂線即可，請大家自己動手．[生]如下圖．(1)連接OA．(2)過點A作OA的垂線l，l即為所求的切線．3．如何作三角形的內(nèi)切圓．投影片(§3．5．2B)如下圖，從一塊三角形材料中，能否剪下一個圓使其與各邊都相切．分析：假設(shè)符號條件的圓已作出，則它的圓心到三角形三邊的距離相等．因此，圓心在這個三角形三個角的平分線上，半徑為圓心到三邊的距離．解：(1)作∠B、∠C的平分線BE和CF，交點為I(如下圖)．(2)過I作ID⊥BC，垂足為D．(3)以I為圓心，以ID為半徑作⊙I．⊙I就是所求的圓．[師]由例題可知，BE和CF只有一個交點I，并且I到△ABC三邊的距離相等，為什么？[生]∵I在∠B的角平分線BE上，∴ID＝IM，又∵I在∠C的平分線CF上，∴ID＝IN，∴ID＝IM＝IN．這是根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得出的．[師]因此和三角形三邊都相切的圓可以作出一個，因為三角形三個內(nèi)角的平分線交于一點，這點為圓心，這點到三角形三邊的距離相等，這個距離為半徑，圓心和半徑都確定的圓只有一個．并且只能作出一個，這個圓叫做三角形的內(nèi)切圓(inscribedcircleoftriangle)，內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內(nèi)心(incenter)．4．例題講解投影片(§3．5C)如下圖，AB是⊙O的直徑，∠ABT＝45°，AT＝AB．求證：AT是⊙O的切線．分析：AT經(jīng)過直徑的一端，因此只要證AT垂直于AB即可，而由已知條件可知AT＝AB，所以∠ABT＝∠ATB，又由∠ABT＝45°，所以∠ATB＝45°．由三角形內(nèi)角和可證∠TAB＝90°，即AT⊥AB．請大家自己寫步驟．[生]證明：∵AB＝AT，∠ABT＝45°．∴∠ATB＝∠ABT＝45°．∴∠TAB＝180°－∠ABT－∠ATB＝90°．∴AT⊥AB，即AT是⊙O的切線．Ⅲ．課堂練習(xí)隨堂練習(xí)Ⅳ．課時小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：1．探索切線的判定條件．2．會經(jīng)過圓上一點作圓的切線．3．會作三角形的內(nèi)切圓．4．了解三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)心概念．Ⅴ．課后作業(yè)習(xí)題3．8Ⅵ．活動與探究已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點為B，OC平行于弦AD．求證：DC是⊙O的切線．分析：要證DC是⊙O的切線，需證DC垂直于過切點的直徑或半徑，因此要作輔助線半徑OD，利用平行關(guān)系推出∠3＝∠4，又因為OD＝OB，OC為公共邊，因此△CDO≌△CBO，所以∠ODC＝∠OBC＝90°．證明：連結(jié)OD．∵OA＝OD，∴∠1＝∠2，∵AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4．∵OD＝OB，OC＝OC，∴△ODC≌△OBC．∴∠ODC＝∠OBC．∵BC是⊙O的切線，∴∠OBC＝90°．∴∠ODC＝90°．∴DC是⊙O的切線．《第2課時切線的判定與性質(zhì)》導(dǎo)學(xué)案PPOA★知識管理1、圓的切線的性質(zhì)切線的性質(zhì)定理：B推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點。B推論2：經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。2.圓的切線的判定定理：問：判斷直線與圓相切有哪些方法？3.三角形內(nèi)切圓：★熱身練習(xí)1．如圖1，AB與⊙O切于點B，AO=6cm，AB=4cm，則⊙O的半徑為（）A．4cmB．2cmC．2cmD．m2.如圖2，點O是△ABC的內(nèi)切圓的圓心，若∠BAC=80°，則∠BOC=（）A．130°B．100°C．50°D．65°3．如圖3，已知∠AOB=30°，M為OB邊上任意一點，以M為圓心，2cm為半徑作⊙M，當(dāng)OM=______cm時，⊙M與OA相切．4．如圖4，AB為半圓O的直徑，CB是半圓O的切線，B是切點，AC交半圓O于點D，已知CD=1，AD=3，那么cos∠CAB=________．★典型例題例：如圖，分別與相切于點，點在上，且，，垂足為．（1）求證：；（2）若的半徑，，求的長．★追蹤練習(xí)1.已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，點D在OC的延長線上，sinB=，∠CAD=30°．（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）若OD⊥AB，BC=5，求AD的長．2.如圖，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一點O為圓心，以O(shè)B為半徑的圓交AB于點M，交BC于點N．（1）求證：BA·BM=BC·BN；（2）如果CM是⊙O的切線，N為OC的中點，當(dāng)AC=3時，求AB的值．★挑戰(zhàn)新高如圖，AB為⊙O的直徑，AC，BD分別和⊙O相切于點A，B，點E為圓上不與A，B重合的點，過點E作⊙O的切線分別交AC，BD于點C，D，連接OC，OD分別交AE，BE于點M，N．（1）若AC=4，BD=9，求⊙O的半徑及弦AE的長；（2）當(dāng)點E在⊙O上運動時，試判定四邊形OMEN的形狀，并給出證明．《第2課時切線的判定與性質(zhì)》同步練習(xí)1．過圓上一點可以作圓的______條切線；過圓外一點可以作圓的_____條切線；過圓內(nèi)一點的圓的切線______．2．以三角形一邊為直徑的圓恰好與另一邊相切，則此三角形是_______．3．下列直線是圓的切線的是（）A．與圓有公共點的直線B．到圓心的距離等于半徑的直線C．垂直于圓的半徑的直線D．過圓直徑外端點的直線4．OA平分∠BOC，P是OA上任意一點（O除外），若以P為圓心的⊙P與OC相切，那么⊙P與OB的位置位置是（）A．相交B．相切C．相離D．相交或相切5．△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，以B為圓心，5為半徑的圓與直線AC的位置關(guān)系是（）A．相切B．相交C．相離D．不能確定6．如圖，AB是半徑⊙O的直徑，弦AC與AB成30°角，且AC=CD．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若OA=2，求AC的長．7．如圖，AB是半圓O的直徑，AD為弦，∠DBC=∠A．（1）求證：BC是半圓O的切線；（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的長．8．如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點M，過點B作BE∥CD，交AC的延長線于點E，連結(jié)BC．（1）求證：BE為⊙O的切線；（2）如果CD=6，tan∠BCD=，求⊙O的直徑．9．在直角坐標(biāo)系中，⊙M的圓心坐標(biāo)為M（a，0），半徑為2，如果⊙M與y軸相離，那么a的取值范圍是______．10．菱形的對角線相交于O，以