2024屆五年高考數(shù)學（理）真題分類訓練：十三 推理與證明

專題十三推理與證明

考點38推理與證明

題組

一、選擇題

1.12022全國卷乙，5分］嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務后，繼續(xù)進行深空探

測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星.為研究嫦娥二號繞日周期與地球

繞日周期的比值，用到數(shù)歹式匕工:九=1+工，b2-1+,歷=1+

%a1+-

——，…，依此類推，其中以6囚*(左=1,2,...).則(D)

A.瓦<b5B.b3<b8C.b6<b2D.匕4<by

［解析］解法一當n取奇數(shù)時，由已知瓦=1+2，.=1+江J1，因為">

的S+言

——'一，所以九>b3,同理可得匕3〉匕5，為>岳，…，于是可得瓦>b3>

ai+------「

S+西

b5>b7>???,故A不正確.當n取偶數(shù)時，由已知％=——二，b4-1+

于是可得匕2<b4cb6cb8V…，故C不正確.因為工>二=，所以瓦>b2，同

的at+—

理可得3>b4理>b6,b7>b8，又出>b7，所以行>b8，故B不正確.故選D.

解法二不妨取以-1,則瓦=1+;=2,人2=1+^=1+t=1+：=|,

歷=1+77^~=1+5=1+：=]所以%=1++=1+|=?，b5-1+

1+-=1+-=-.逐一判斷選項可知選D.

b73434

2.［2022全國卷甲，5分］沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其

中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”.如圖，加是以。為圓心，。&為半徑的圓

弧，C是ZB的中點，。在上，CD1ZB.“會圓術”給出的弧長的近似

值s的計算公式：s=2B+*.當。a=2,乙4OB=60。時，s=(B)

D

C9-3bD9-4行

,2,2

［解析］由題意知，△OAB是等邊三角形，所以=04=2.連接0C,因為C

是2B的中點，所以。C12B,0C=<OA2-AC2=V3,又CD12B,所以

0,C,D三點共線，所以CD=0D—0C=2—W，所以s=2B+/=2+

0A

2

生包=上越.故選B.

22

3.［2020北京，4分］2020年3月14日是全球首個國際圓周率日(nDay).歷史

上，求圓周率a的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學中的“割圓術”相似，數(shù)學家

阿爾?卡西的方法是：當正整數(shù)律充分大時，計算單位圓的內(nèi)接正6n邊形的周

長和外切正6zi邊形(各邊均與圓相切的正6n邊形)的周長，將它們的算術平

均數(shù)作為271的近似值.按照阿爾?卡西的方法，71的近似值的表達式是(A)

A.3n(sin—+tan—)B.6n(sin—+tan-)

C.3n(sin—+tan—)D.6n(sin—+tan—)

\nnJ\nn/

［解析］單位圓的內(nèi)接正.邊形的每條邊所對應的圓周角為襄=邛，邊長為

2sin—,所以單位圓的內(nèi)接正6孔邊形的周長為12nsinH,

nn

單位圓的外切正671邊形的邊長為2tan”，其周長為12ntan”，

nn

3030

12nsin——+12ntan——

所以2n—71n=6n(sin—+tan—),

2\nn/

貝UTC=3n(sin—+tan—).

\nn/

故選A.

4.［2019全國卷I,5分］古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度

與肚臍至足底的長度之比是亨(號~0.618,稱為黃金分割比例)，著名

的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍

的長度之比也是苧.若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm,

頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是(B)

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

［解析］如圖所示.

由題意，可認為48、26cm.

由”=75^1X0618得BCX—?42(cm),

則AC^AB+BC-68(cm).

由上二邑x0,618，得CD~4x110(cm),

CD20.618

則2。^AC+CD-178(cm).

由選項可知175cm最接近.

【速解】由于維納斯為歐洲美女，黃金身材，故猜測不可能為185cm,190cm,

而歐洲女人165cm偏矮，故猜測為175cm.

二、填空題

5.［2021浙江，4分］我國古代數(shù)學家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明,弦圖是

由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖所

示).若直角三角形直角邊的長分別為3,4,記大正方形的面積為X，小正方形

的面積為$2，則1=25.