第7章 計(jì)數(shù)原理單元綜合測試卷（解析版）

第7章計(jì)數(shù)原理單元綜合測試卷第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．音樂播放器里有15首中文歌曲和5首英文歌曲，任選1首歌曲進(jìn)行播放，則不同的選法共有（

）A．30種 B．75種 C．10種 D．20種【答案】D【解析】在15首中文歌曲和5首英文歌曲，共20首歌中任選一首播放，不同的選法共有種.故選：D2．已知(均為有理數(shù)),則的值為（

）A．90 B．91 C．98 D．99【答案】D【解析】因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為，所以．故選：D3．的展開式中含的項(xiàng)是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】的展開式的通項(xiàng)公式為，則，得，所以含的項(xiàng)是．故選：C.4．從4名男生與3名女生中選兩人去參加一場數(shù)學(xué)競賽，則男女各一人的不同的選派方法數(shù)為（

）A．7 B．12 C．18 D．24【答案】B【解析】從4名男生與3名女生中選兩人，其中男女各一人，由分步計(jì)數(shù)原理，可得不同的選派方法數(shù)為種.故選：B.5．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的楊輝三角，這是中國數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就．在楊輝三角中，第行的所有數(shù)字之和為，若去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……．則此數(shù)列的前15項(xiàng)之和為（

）A．114 B．116 C．124 D．126【答案】A【解析】根據(jù)題意可知構(gòu)成的新數(shù)列的前15項(xiàng)分別為楊輝三角的第三層到第七層除去1之外的所有數(shù)構(gòu)成的，除第一行有一個(gè)1以外，其余每行都有兩個(gè)1，又第行的所有數(shù)字之和為，所以構(gòu)成的新數(shù)列前15項(xiàng)之和為.故選：A6．在的二項(xiàng)展開式中，各二項(xiàng)式系數(shù)之和為，各項(xiàng)系數(shù)之和為，若，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】由，令可得各項(xiàng)系數(shù)之和為，又各二項(xiàng)式系數(shù)之和為，因?yàn)椋瑒t，解得或（舍去），所以，故選：B7．已知，則的值為（

）A． B．1 C．2 D．【答案】A【解析】令，則，，展開式的通項(xiàng)為，所以令，則，所以，令，則，所以，所以，所以.故選：A.8．若，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，對(duì)于A中，令，可得，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，，由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)得，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，與的系數(shù)之和相等，令即，所以C正確；對(duì)于D中，令，則，令，則，解得，，可得，所以D錯(cuò)誤.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．現(xiàn)分配甲、乙、丙三名臨床醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)專家到四家醫(yī)院進(jìn)行核酸檢測指導(dǎo)，每名專家只能選擇一家醫(yī)院，且允許多人選擇同一家醫(yī)院，則（

）A．所有可能的安排方法有64種B．若三名專家選擇兩所醫(yī)院，每所醫(yī)院至少去一人，則不同的安排方法有6種C．若三名專家選擇三所醫(yī)院，每所醫(yī)院去一人，則不同的安排方法有24種D．若三名專家選擇三所醫(yī)院，每所醫(yī)院去一人，但是甲不去A醫(yī)院，則不同的安排方法有18種【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，甲、乙、丙三人均有4種選擇，故所有可能的安排方法有種，A正確；B選項(xiàng)，先從4所醫(yī)院選擇2所，有種選擇，再將三名專家分到兩所醫(yī)院，有種選擇，則不同的安排方法有種，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，先從4所醫(yī)院選擇3所，有種選擇，再將三名專家和三所醫(yī)院進(jìn)行全排列，有種選擇，則不同的安排方法有種，C正確；D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知，三名專家選擇三所醫(yī)院，每所醫(yī)院去一人，共24種選擇，若甲去A醫(yī)院，從所醫(yī)院中選兩所，和剩余兩名專家進(jìn)行全排列，共有種選擇，故不同的安排方法有種，D正確.故選：ACD10．二項(xiàng)式的展開式中（

）A．前三項(xiàng)的系數(shù)之和為22B．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)C．常數(shù)項(xiàng)為15D．所有項(xiàng)的系數(shù)之和為64【答案】BC【解析】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為：；對(duì)于選項(xiàng)A，前三項(xiàng)的系數(shù)之和為：，A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，二項(xiàng)式系數(shù)中最大的是，恰好是第4項(xiàng)，B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，常數(shù)項(xiàng)時(shí)，通項(xiàng)公式中滿足，得，即，C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，將代入，可得所有項(xiàng)的系數(shù)之和，結(jié)果為，D錯(cuò)誤；故選：BC.11．4個(gè)男生與3個(gè)女生并排站成一排，下列說法正確的是（

）（選項(xiàng)中排列數(shù)的計(jì)算結(jié)果均正確）A．若3個(gè)女生必須相鄰，則不同的排法有種B．若3個(gè)女生中有且只有2個(gè)女生相鄰，則不同的排法有種C．若女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，則不同的排法共有種D．若3個(gè)女生按從左到右的順序排列，則不同的排法有種【答案】BCD【解析】對(duì)于A，3個(gè)女生必須相鄰，則不同的排法有種，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，3個(gè)女生中有且只有2個(gè)女生相鄰，先排4個(gè)男生有種，3個(gè)女生取2個(gè)女生排在一起，與另1個(gè)女生插入4個(gè)男生排列形成的5個(gè)間隙中，有，不同排法有種，B正確；對(duì)于C，女生甲不能在最左端，且女生乙不能在最右端，由排除法得不同的排法共有種，C正確；對(duì)于D，3個(gè)女生按從左到右的順序排列，不同的排法有種，D正確.故選：BCD12．在的展開式中（

）A．常數(shù)項(xiàng)為 B．項(xiàng)的系數(shù)為C．系數(shù)最大項(xiàng)為第3項(xiàng) D．有理項(xiàng)共有5項(xiàng)【答案】BCD【解析】的展開式的通項(xiàng)公式，對(duì)于A：令，解得，可得，即常數(shù)項(xiàng)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：令，解得，可得，即項(xiàng)的系數(shù)為，故B正確；對(duì)于C：由通項(xiàng)公式可得：第項(xiàng)的系數(shù)為，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；取為偶數(shù)，令，則，整理得，解得，所以系數(shù)最大項(xiàng)為第3項(xiàng)，故C正確；對(duì)于D：令，則，所以有理項(xiàng)共有5項(xiàng)，故D正確；故選：BCD.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．二項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)為.【答案】7【解析】展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：714．學(xué)校安排甲乙丙丁4名運(yùn)動(dòng)員參加米接力賽，其中甲不跑第一棒，則共有種不同的接力方式.【答案】【解析】甲先在第二、三、四棒中選一棒，有種選法，乙丙丁三人選擇除甲選擇之外的三棒，全排列即可，有種選法，所以一共有種接力方式，故答案為：.15．2020年底以來，我國多次在重要場合和政策文件中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和吸收景可以正負(fù)抵消，實(shí)現(xiàn)二氧化碳“零排放”.二氧化碳的分子是由一個(gè)碳原子和兩個(gè)氧原子構(gòu)成的，其結(jié)構(gòu)式為.已知氧有、、三種天然同位素，碳有、、三種天然同位素，則由上述同位素可構(gòu)成的不同二氧化碳分子共有個(gè).【答案】18【解析】分以下兩種情況討論：若兩個(gè)氧原子相同，此時(shí)二氧化碳分子共有種；若兩個(gè)氧原子不同，此時(shí)二氧化碳分子共有種.由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，由上述同位素可構(gòu)成的不同二氧化碳分子共有種.故答案為：1816．的展開式中的系數(shù)為.【答案】【解析】表示5個(gè)因式的乘積，在這5個(gè)因式中，有1個(gè)因式選，其余4個(gè)因式選1，相乘可得含的項(xiàng)；或者有3個(gè)因式選，1個(gè)因式選，1個(gè)因式選1，相乘可得含的項(xiàng)；故項(xiàng)的系數(shù)為：.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．（10分）書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放2本不同的體育書.(1)從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？(2)從書架上任取兩本同學(xué)科的書，有多少種不同的取法？【解析】（1）從書架的第1、2、3層各取1本書，可以分成3個(gè)步驟完成：第1步從第1層取1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法，第2步從第2層取1本文藝書，有3種方法，第3步從第3層取1本體育書，有2種方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是.（2）分為3類：第1類取兩本計(jì)算機(jī)書有6種取法；第2類取兩本文藝書有3種取法；第3類取兩本體育書有1種取法；不同取法的種數(shù)共有.18．（12分）（1）求的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)；（2）求除以的余數(shù).【解析】(1)的展開式的通項(xiàng)為令,得即含項(xiàng)的系數(shù)為.(2)所以除以的余數(shù)為.19．（12分）從等7人中選5人排成一排.（以下問題的結(jié)果均用數(shù)字作答）(1)若必須在內(nèi)，有多少種排法？(2)若都在內(nèi)，且必須相鄰，與都不相鄰，有多少種排法？【解析】（1）根據(jù)題意，若必須在內(nèi)，在其余6人中選出4人，再與全排列，共有種排法.（2）根據(jù)題意，先在其他4人中選出2人，有種選法，將看成一個(gè)整體，與選出2人全排列，有種選法，排好后，有2個(gè)空位可用，在其中選出1個(gè)，安排，有種情況，所以，共有種不同的排法.20．（12分）在的展開式中，前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于79，常數(shù)項(xiàng)為.(1)求n和a的值；(2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).【解析】（1）由題意可知，展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，整理可得（），解得，又的展開式的通項(xiàng)為（），令，可得，所以，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，解得，故，.（2）由不等式組()，解得，所以，所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為.21．（12分）為慶祝3.8婦女節(jié)，東湖中學(xué)舉行了教職工氣排球比賽，賽制要求每個(gè)年級(jí)派出十名成員分為兩支隊(duì)伍，每支隊(duì)伍五人，并要求每支隊(duì)伍至少有兩名女老師，現(xiàn)高二年級(jí)共有4名男老師，6名女老師報(bào)名參加比賽.(1)一共有多少不同的分組方案？(2)在進(jìn)入決賽后，每個(gè)年級(jí)只派出一支隊(duì)伍參加決賽，在比賽時(shí)須按照1、2、3、4、5號(hào)位站好，為爭取最好成績，高二年級(jí)選擇了、、、、、六名女老師進(jìn)行訓(xùn)練，經(jīng)訓(xùn)練發(fā)現(xiàn)不能站在5號(hào)位，若、同時(shí)上場，必須站在相鄰的位置，則一共有多少種排列方式？【解析】（1）隊(duì)伍分配方案可分為：①兩組都是3女2男；②一組是1男4女，另一組是3男2女，①若兩組都是3女2男，則先將6女平均分成兩組共種方式，再將4男平均分成兩組共種方式，所以兩組都是3女2男的情況有種；②一組是1男4女，另一組是3男2女的情況有種，所以總情況數(shù)為種.故一共有種不同的分組方案；（2）總共可分為三種情況，如下：①若上場且不上場：先將全排列，共有種方式，再把捆綁后和全排列共有種方式，所以上場且不上場共有種不同的排列方式；②若上場且也上場：（i）若在1號(hào)位，先將全排列，共有種方式，再從中選兩人，有種方式，則捆綁后和中的兩人全排列，有種方式，所以在1號(hào)位共有種不同的方式；（ii）若在2號(hào)位，再將全排列，且可位于3，4號(hào)位或4，5號(hào)位，共有種方式，再從中選兩人進(jìn)行排列，有種方式，所以在2號(hào)位或3號(hào)位共有種不同的方式；（iii）若在3號(hào)位，再將全排列，且可位于1，2號(hào)位或4，5號(hào)位，共有種方式，再從中選兩人進(jìn)行排列，有種方式，所以在2號(hào)位或3號(hào)位共有種不同的方式；（iiii）若在4號(hào)位，將全排列，且可位于1，2號(hào)位或2，3號(hào)位，共有種方式，再從中選兩人進(jìn)行排列，有種方式，所以在4號(hào)位共有種不同的方式.所以上場且也上場共有種不同的方式；③若中有一人上場且上場：上場且不在5號(hào)位，則可位于1，2，3，4號(hào)位，有種方式，再從中選一人，有種方式，中的一人和共4人全排列，共種方式，所以中有一人上場且上場共有種不同的排列方式.綜上所述，共有種排列方式.22．（1