高三二輪復(fù)習(xí)專題02不等式2

2024屆高三二輪復(fù)習(xí)第2講：不等式解析版2023年考情考題示例考點(diǎn)關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年新I卷，第10題不等式的性質(zhì)對數(shù)的運(yùn)算2023年乙卷文科，第15題線性規(guī)劃無2023年乙卷理科，第15題線性規(guī)劃無2023年甲卷理科，第14題線性規(guī)劃無2023年甲卷理科，第14題線性規(guī)劃無題型一：不等式的性質(zhì)【典例例題】例1.（2023春·黑龍江省綏化市海倫市第一中學(xué)模擬）（多選）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，且，則下列不等關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】由已知條件得a，c的符號(hào)，利用不等式的基本性質(zhì)，判斷選項(xiàng)的正誤.【詳解】因?yàn)?，且，所以，，對于A，因?yàn)?，，所以，A正確；對于B，因?yàn)?，，所以且b符號(hào)未知，不能得到，B不正確；對于C，因?yàn)椋瑒t，因?yàn)閎可能為零，不能得到，C不正確；對于D，因?yàn)?，所以，，D正確.故選：AD.【變式訓(xùn)練】1.（2023秋·福建省百校聯(lián)考模擬）（多選）若，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用不等式性質(zhì)可判斷AB，作差比較可判斷C，利用放縮法可判斷D.【詳解】，由不等式的性質(zhì)可得，，故A錯(cuò)誤；，，，，即，故B正確；，由，得，，所以，即，C正確；因?yàn)?，，，所以，D正確．故選：BCD2.（2023秋·廣東七校聯(lián)考模擬）（多選）已知，下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則ac2>bc2C.若，則 D.若，則【答案】CD【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)可判斷ABC，由作差法可判斷D.【詳解】對于A，若，則，A錯(cuò)誤；對于B，若,且時(shí)，則，B錯(cuò)誤；對于C，若，則，故，則必有，C正確；對于D，若，則，所以，D正確故選：CD3.（2023秋·河北省部分名校模擬）（多選）已知，則下列不等關(guān)系中正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由已知，可根據(jù)題意，選項(xiàng)A可根據(jù)條件直接判斷；選項(xiàng)B，先判斷，，在利用基本不等式的知識(shí)即可判斷；選項(xiàng)C，先根據(jù)條件判斷，再判斷；選項(xiàng)D，由已知條件可直接判斷.【詳解】對A，由，得，A正確；對B，由，得，所以，，根據(jù)基本不等式知，B正確：對C，因?yàn)?，所以，因此，所以該選項(xiàng)顯然錯(cuò)誤；對D，由，所以，所以D正確.故選：ABD.4.（2023春·安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣育才學(xué)校高三模擬）（多選）下列命題正確的是（）A.若，則B.若，，則C.D.若，則有最小值【答案】BC【解析】【分析】利用不等式性質(zhì)、重要不等式及基本不等式判定選項(xiàng)即可.【詳解】取，滿足，不滿足，A錯(cuò)誤；若，，故，，故，則，B正確；，即成立，C正確；當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，等號(hào)成立條件不滿足，D錯(cuò)誤；故選：BC．題型二：基本不等式【典例例題】例2.（2023秋·福建省廈門雙十中學(xué)模擬）在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中，三元二次方程所對應(yīng)的曲面統(tǒng)稱為二次曲面．比如方程表示球面，就是一種常見的二次曲面．二次曲而在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、建筑等眾多領(lǐng)域應(yīng)用廣泛．已知點(diǎn)P(x，y，z)是二次曲面上的任意一點(diǎn)，且，，，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的最大值為______．【答案】【分析】由題設(shè)有，利用基本不等式求得并求對應(yīng)x、y的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而得到，令構(gòu)造，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求最大值即可.【詳解】由題設(shè)，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，此時(shí)，令，則，故，所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即在上遞增，在上遞減.故，且時(shí)等號(hào)成立，綜上，的最大值為.故答案為：.【變式訓(xùn)練】1.（2023春·廣東省佛山市第一中學(xué)高三一模）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】不等式恒成立，即為不大于xy的最小值，運(yùn)用基本不等式，計(jì)算即可得到所求最小值，解不等式可得m的范圍．【詳解】∵正實(shí)數(shù)x，y滿足，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由恒成立，可得，解得故答案為：2.（2023秋·江蘇省連云港市灌南高級中學(xué)模擬）（多選）下列命題中錯(cuò)誤的是（）A.當(dāng)且時(shí)， B..當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，的最小值為 D.當(dāng)時(shí)，有最大值【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式，注意“一正”“二定”“三相等”即可求解；【詳解】對于A：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故A錯(cuò)誤；對于B：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故B正確；對于C：當(dāng)時(shí)，令，即有的導(dǎo)數(shù)為：，因此，在單調(diào)遞減，可得最小值為3，故C錯(cuò)誤；對于D：當(dāng)時(shí)，的導(dǎo)數(shù)為，因此，在單調(diào)遞減，可得最大值為，故D錯(cuò)誤；故選：ACD.3.（2023春·黑龍江省綏化市海倫市第一中學(xué)模擬）若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的值可以是（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】令，由條件用表示，結(jié)合基本不等式求的取值范圍即可.【詳解】因?yàn)?，又，所以，設(shè)，則，即.因?yàn)?，即，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，解得，，所以的取值范圍是故選：C.4.（2023春·廣東省深圳市高三二模）（多選）已知a，b都是正實(shí)數(shù)，則下列不等式中恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】AB選項(xiàng)，利用基本不等式求出最小值，得到A正確，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，作差法比較出大小關(guān)系；D選項(xiàng)，先變形后利用基本不等式進(jìn)行求解.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)閍，b都是正實(shí)數(shù)，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)閍，b都是正實(shí)數(shù)，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，故恒成立，C正確；D選項(xiàng)，a是正實(shí)數(shù)，故，其中，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，D錯(cuò)誤.故選：AC5.（2023秋·河北省邢臺(tái)市四校質(zhì)檢聯(lián)盟模擬）已知，，且，則最小值是______．【答案】18【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【詳解】由題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立．故答案為：186.（2023秋·福建省福州第一中學(xué)模擬）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，，，則的最小值為____________．【答案】25【解析】【分析】由正態(tài)分布曲線的對稱性求出，再由基本不等式求最值．【詳解】解：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，由，得，又，，且，，則．當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立．的最小值為25．故答案為：25．題型三：一元二次不等式解法【典例例題】例1.（2023秋·江蘇省興化市楚水實(shí)驗(yàn)學(xué)校、興化一中等四校模擬）已知關(guān)于的不等式的解集為，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】一元二次不等式解集轉(zhuǎn)化為一元二次方程的解，根據(jù)韋達(dá)定理求出，，再用基本不等式求出最值【詳解】的解集為，則是方程的兩個(gè)根，故，，故因?yàn)椋杂谢静坏仁降茫?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為故選：D【變式訓(xùn)練】1.（2023春·湖北省恩施州高中教育聯(lián)盟模擬）已知關(guān)于的不等式的解集為，其中，則的最小值為（）A. B.2 C. D.3【答案】D【解析】【分析】由題意，得，且，是方程的兩根，由韋達(dá)定理，解得；，由基本不等式得，從而可得，利用對勾函數(shù)性質(zhì)可求解.【詳解】因?yàn)榈慕饧癁?，所以，且，是方程的兩根，，得；，即，?dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，令，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，的最小值為3.故選：D．2.（2023春·山東省青島萊西市模擬）若命題“，”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C.或 D.【答案】D【解析】【分析】利用一元二次不等式能成立以及存在量詞命題的概念求解.【詳解】因?yàn)槊}“，”為真命題，若，即，則，；若，即，要使得命題為真命題，則，即，解得或，又因?yàn)?，所以此時(shí)；若，即，則滿足命題“，”為真命題；綜上，，故選:D.3.（2023春·黑龍江省雞西市雞東縣第二中學(xué)模擬）（多選）下列命題中是假命題的有（）A.函數(shù)的最小值為2B.若，則C.不等式對任意恒成立，則實(shí)數(shù)的范圍是D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】A.取判斷；B.解不等式判斷；C由時(shí)判斷；D取時(shí)判斷.【詳解】A.當(dāng)時(shí),,故錯(cuò)誤；B.因?yàn)椋獾?故正確；C當(dāng)時(shí)，不等式顯然恒成立，故錯(cuò)誤；D當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤．故選：ACD．4.（2023春·河北省秦皇島市青龍滿族自治縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬）下列說法中，正確的是（）A.不等式的解集是 B.“”是“”成立的充分條件C.函數(shù)的最小值為2 D.“”是“”成立的必要條件【答案】BD【解析】【分析】對于A：取即可判斷；對于B：利用定義法進(jìn)行判斷；對于C：求出的最小值即可判斷；對于D：利用定義法進(jìn)行判斷.【詳解】對于A：不等式解集是，沒意義，不在解集內(nèi).故A錯(cuò)誤；對于B：因?yàn)椤啊庇赏虿坏仁较喑丝梢缘玫健啊?，但是，?dāng)“”時(shí)，可以有，不符合“”，所以“”是“”成立的充分條件.故B正確；對于C：對于函數(shù)，令，則在上單增，所以，即的最小值為.故C錯(cuò)誤；對于D：因?yàn)椤啊笨梢酝瞥觥啊保恰啊睍r(shí)有，所以“”是“”成立的必要條件.故D正確.故選:BD5.（2023秋·江蘇省興化市楚水實(shí)驗(yàn)學(xué)校、興化一中等四校模擬）已知不等式的解集，若對任意，不等式恒成立．則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集確定系數(shù)，則在上恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)有即可求結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，且，可得，所以在上恒成立，而在上遞增，故只需即可，所以.故答案為：1.（新課標(biāo)全國Ⅰ卷）1．噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：聲源與聲源的距離聲壓級燃油汽車10混合動(dòng)力汽車10電動(dòng)汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車處測得實(shí)際聲壓分別為，則（

）．A． B．C． D．【答案】ACD【詳解】由題意可知：，對于選項(xiàng)A：可得，因?yàn)椋瑒t，即，所以且，可得，故A正確；對于選項(xiàng)B：可得，因?yàn)椋瑒t，即，所以且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，即，可得，即，故C正確；對于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)A可知：，且，則，即，可得，且，所以，故D正確；故選：ACD.2.（全國乙卷數(shù)學(xué)（文）(理)）2．若x，y滿足約束條件，則的最大值為______.【答案】8【詳解】作出可行域如下圖所示：，移項(xiàng)得，聯(lián)立有，解得，設(shè)，顯然平移直線使其經(jīng)過點(diǎn)，此時(shí)截距最小，則最大，代入得，故答案為：8.3.（全國甲卷數(shù)學(xué)（文）（理））5．設(shè)x，y滿足約束條件，設(shè)，則z的最大值為____________．【答案】15【詳解】作出可行域，如圖，由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)，有最大值，由可得，即,所以.故答案為：151.（2023秋·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬）（多選）若，則（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】首先由條件得，再根據(jù)不等式的性質(zhì)，以及函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷選項(xiàng).【詳解】由，得，則，所以，故A正確；，，則，故B正確；由，則，故C錯(cuò)誤；由，則，故D錯(cuò)誤.故選：AB2.（2023秋·山東省泰安市新泰市新泰中學(xué)模擬）（多選）如果a<b<0，c<d<0，那么下面一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)和取值驗(yàn)證相結(jié)合可解.【詳解】取，則，，故AC不正確；因?yàn)?，所以，故B正確；因?yàn)椋?，故D正確.故選：BD3．（2023秋·山東省泰安市新泰市新泰中學(xué)模擬）（多選）下列命題為真命題的是（）A．， B．“”是“”的充分條件C．若，則 D．若，，則【答案】CD4.（2023秋·江西省南昌市南昌縣蓮塘第一中學(xué)模擬）如圖，在中，M為線段的中點(diǎn)，G為線段上一點(diǎn)，，過點(diǎn)G的直線分別交直線，于P，Q兩點(diǎn)，，，則的最小值為（）．A. B. C.3 D.9【答案】B【解析】【分析】先利用向量的線性運(yùn)算得到，再利用三點(diǎn)共線的充要條件，得到，再利用基本不等式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)镸為線段的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，又，，所以，又三點(diǎn)共線，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：B.5.（2023秋·福建省福州第一中學(xué)模擬）（多選）已知均為正實(shí)數(shù)，且，則下列不等式正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式求解判斷.【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故正確；由得，同理，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故B正確；滿足題意，但，故C錯(cuò)誤；由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以，故D正確.故選：ABD.6.（2023春·遼寧省丹東市等2地大石橋市模擬）（多選）已知直線與圓相切，則下列說法正確是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出a與b的關(guān)系式，再利用均值不等式逐項(xiàng)判斷作答.【詳解】因?yàn)橹本€與圓相切，則，即，，對于A，因?yàn)椋獾?，A正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C正確；對于D，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D不正確.故選：ABC7.（2023秋·福建省百校聯(lián)考模擬）已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（）A.16 B.12 C.8 D.4【答案】D【解析】【分析】設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點(diǎn)處的切線方程，再結(jié)合已知方程求出的關(guān)系，再根據(jù)不等式中“1”的整體代換即可得出答案.【詳解】解：設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，切線方程為，所以，，所以，又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值是4.故選：D.8.（2023秋·江蘇省興化市楚水實(shí)驗(yàn)學(xué)校、興化一中等四校模擬）（多選）已知一次函數(shù)滿足，且點(diǎn)在的圖象上，其中，，則下列各式正確的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)求出b判斷A,根據(jù)點(diǎn)在函數(shù)圖象上判斷B，由均值不等式判斷CD.【詳解】，，即，故A不正確；由在函數(shù)圖象上可得，即，故B正確；由均值不等式可得，即，故C正確；因?yàn)?，所以D正確.故選：BCD9.（2023春·天津市寧河區(qū)蘆臺(tái)第一中學(xué)模擬）（多選）已知正數(shù)x，y滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最大值是1 B.的最小值是4C.的最大值是 D.的最小值是1【答案】AC【解析】【分析】對于A、B、D：利用基本不等式求出最值，即可判斷；對于C：利用二次函數(shù)求最值.【詳解】正數(shù)x，y滿足.對于A：，所以.（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立）.所以的最大值是1.故A正確；對于B：因?yàn)?，所以，所以，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立）.故B錯(cuò)誤；對于C：因?yàn)檎龜?shù)x，y滿足，所以，其中，所以，所以當(dāng)時(shí)，的最大值是.故C正確；對于D：因?yàn)檎龜?shù)x，y滿足，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)“=”成立）.故D錯(cuò)誤.故選：AC10.（2023秋·山東省泰安新泰市第一中學(xué)（東校）模擬）設(shè)實(shí)數(shù)、滿足，，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知等式變形可得，利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因?yàn)?，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，最小值為.故選：B.11.（2023秋·新疆烏魯木齊市第四十中學(xué)模擬）（多選）已知，，