數(shù)學(xué)北師大版必修2學(xué)案1-2直觀圖

§2直觀圖知識點一eq\o(\s\up17(用斜二測畫法畫水平放置的平面),\s\do15(圖形的直觀圖的步驟))[填一填]1．畫軸：在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O.畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸相交于點O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面．2．畫線：已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段．3．取長度：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半．[答一答]1．斜二測畫法中“斜”和“二測”分別指什么？提示：“斜”是指在已知圖形的xOy平面內(nèi)與x軸垂直的線段，在直觀圖中均與x′軸成45°或135°；“二測”是指兩種度量形式，即在直觀圖中，平行于x′軸的線段長度不變；平行于y′軸的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?．相等的角或線段在直觀圖中仍然相等嗎？提示：不一定相等，如正方形的邊長和內(nèi)角分別相等，但是它的直觀圖是平行四邊形，相鄰兩邊邊長不相等，相鄰兩內(nèi)角也不相等．知識點二空間幾何體直觀圖的畫法[填一填]1．畫軸：與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個z軸．2．畫平面：平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示豎直平面．3．取長度：已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長度都不變．4．成圖處理：成圖后，去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線．[答一答]3．畫直觀圖時，如何區(qū)別實線和虛線？提示：直觀圖是一個平面圖形，我們用它表示空間圖形，為了增強空間感，畫圖要分實線和虛線，其中被面擋住的部分要畫成虛線．看得見的部分要畫成實線．4．空間幾何體的直觀圖唯一嗎？提示：不一定唯一．作直觀圖時，由于選軸不同，所畫直觀圖就不一定相同．1．畫水平放置的平面多邊形的直觀圖的關(guān)鍵是確定多邊形的頂點位置．頂點位置可以分為兩類：一類是在軸上或在與軸平行的線段上，這類頂點比較容易確定；另一類是不在軸上且不在與軸平行的線段上，確定這類頂點一般過此點作與軸平行的直線，將此點轉(zhuǎn)到與軸平行的線段上來．2．要畫好對應(yīng)平面圖形的直觀圖，首先應(yīng)在原圖形中建立平面直角坐標(biāo)系，盡量利用原有線段或圖形的對稱軸畫坐標(biāo)軸，圖形的對稱中心作為坐標(biāo)原點，讓盡可能多的頂點在坐標(biāo)軸上．類型一水平放置的平面圖形的直觀圖的畫法【例1】畫出水平放置的正五邊形的直觀圖．【思路探究】用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，首先要在平面圖形上建立平面直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)系建立的是否恰當(dāng)，會直接影響到圖形的直觀性．一般地，要充分利用圖形的特征(如對稱性)來建立坐標(biāo)系．【解】畫法：(1)如圖(a)所示，在已知正五邊形ABCDE中，取中心O為原點，對稱軸FA為y軸，過點O與y軸垂直的直線為x軸，分別過B、E作GB∥y軸，HE∥y軸，與x軸分別交于點G、H.畫對應(yīng)的軸O′x′，O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)如圖(b)所示，以點O′為中點，在x′軸上取G′H′＝GH，分別過點G′、H′在x′軸的上方作G′B′∥y′軸，使G′B′＝eq\f(1,2)GB；作H′E′∥y′軸，使H′E′＝eq\f(1,2)HE；在y′軸的點O′上方取O′A′＝eq\f(1,2)OA，在點O′下方取O′F′＝eq\f(1,2)OF，并且以點F′為中心，作C′D′∥x′軸，且使C′D′＝CD.(3)連接A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′，并加以整理，所得五邊形A′B′C′D′E′就是正五邊形ABCDE的直觀圖，如圖(c)所示．規(guī)律方法用斜二測畫法畫直觀圖時，抓住“一斜二測”．一斜指軸成45°或135°，二測指已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，即橫不變；已知圖形中平行于y軸的線段，在直觀圖中長度為原來的一半，即縱減半，在作圖時要注意在原圖上建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，以使整個作圖變得簡便．畫邊長為1cm的正三角形的水平放置的直觀圖．解：(1)如圖①所示，以BC邊所在直線為x軸，以BC邊上的高線AO所在直線為y軸，再畫對應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸相交于點O′，使∠x′O′y′＝45°.(2)在x′軸上截取O′B′＝O′C′＝0.5cm，在y′軸上截取O′A′＝eq\f(1,2)AO＝eq\f(\r(3),4)cm，連接A′B′，A′C′，得△A′B′C′，即為正三角形ABC水平放置的直觀圖，如圖②.類型二空間幾何體的直觀圖【例2】用斜二測畫法畫出六棱錐P－ABCDEF的直觀圖，其中底面ABCDEF為正六邊形，點P在底面的投影是正六邊形的中心O.(尺寸自定)【思路探究】在畫圖中平行于x軸或z軸的線段時，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄窘狻竣佼嫵隽忮FP－ABCDEF的底面．如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，取AD所在的直線為x軸，對稱軸MN為y軸，兩軸相交于O.②畫相應(yīng)的x′軸、y′軸和z′軸，三軸相交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°；在下圖(1)中，以O(shè)′為中點，在x′軸上取A′D′＝AD，在y′軸上取M′N′＝eq\f(1,2)MN；以N′點為中點畫B′C′平行于x′軸，且等于BC；再以M′為中點畫E′F′平行于x′軸，且等于EF；連接A′B′，C′D′，D′E′，F(xiàn)′A′，得正六邊形ABCDEF水平放置的直觀圖A′B′C′D′E′F′.③畫正六棱錐P－ABCDEF的頂點．在z′軸上取點P′，使P′O′＝PO.④成圖．連接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并進(jìn)行整理，便得到六棱錐P－ABCDEF的直觀圖P′－A′B′C′D′E′F′.如上圖(2)所示．規(guī)律方法利用斜二測畫法畫空間圖形的直觀圖應(yīng)遵循的基本原則：①畫空間圖形的直觀圖在要求不太嚴(yán)格的情況下，長度和角度可適當(dāng)選?。疄榱嗽鰪娏Ⅲw感，被擋住的部分通常用虛線表示．②畫法規(guī)則可簡記為：兩軸夾角為45°，豎軸垂直仍不變，平行不變，長度變，橫豎不變，縱折半．③畫空間幾何體的直觀圖，要注意選取適當(dāng)?shù)脑c，建系畫軸．用斜二測畫法畫棱長為2cm的正方體ABCD－A′B′C′D′的直觀圖．解：畫法：(1)畫軸．如圖①，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)畫底面．以點O為中心，在x軸上取線段MN，使MN＝2cm；在y軸上取線段PQ，使PQ＝1cm.分別過點M和N作y軸的平行線，過點P和Q作x軸的平行線，設(shè)它們的交點分別為A，B，C，D，四邊形ABCD就是正方體的底面ABCD.(3)畫側(cè)棱．過A，B，C，D各點分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取2cm長的線段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成圖．順次連接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到正方體的直觀圖(如圖②)．類型三直觀圖的還原【例3】如圖，△A′B′C′是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，C′A′＝2，B′D′∥y′軸且B′D′＝1.5.(1)將其恢復(fù)成原圖形；(2)求原平面圖形△ABC的面積．【思路探究】本題的關(guān)鍵是點B位置的還原．【解】(1)畫法：①畫直角坐標(biāo)系xOy，在x軸上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②在x軸上取OD＝O′D′，過D作DB∥y軸，并使DB＝2D′B′.③連接AB、BC，則△ABC即為△A′B′C′原來的圖形，如圖所示．(2)∵B′D′∥y′軸，∴BD⊥AC.又B′D′＝1.5且A′C′＝2，∴BD＝3，AC＝2.∴S△ABC＝eq\f(1,2)BD·AC＝3.規(guī)律方法由直觀圖還原為原圖是畫直觀圖的逆過程，有兩個量發(fā)生了變化：一是∠x′O′y′由45°恢復(fù)為∠xOy＝90°，二是與O′y′平行的線段，在平面xOy中的長度是在x′O′y′中的2倍．如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6，C′D′＝2，則原圖形是(D)A．正方形 B．矩形C．梯形 D．菱形解析：由直觀圖知，O′D′＝2eq\r(2)，將直觀圖還原成原圖形，則原圖形為平行四邊形，如圖．由直觀圖和原圖形的關(guān)系，知OC與BC不垂直，且OA＝6，OD＝4eq\r(2)，CD＝2，∴OC＝eq\r(32＋4)＝6.因此OC＝OA，故平行四邊形OABC是菱形，選D.——多維探究系列——關(guān)于直觀圖面積的一個結(jié)論【例4】證明：已知某三角形的面積為S，則其直觀圖的面積為S′＝eq\f(\r(2),4)S.【思路分析】利用三角形的底邊和高的關(guān)系，找出兩個面積的關(guān)系．【精解詳析】如圖(1)，在△ABC中，AD⊥BC，其面積S＝eq\f(1,2)AD·BC，在其直觀圖(如圖(2))中，作A′M⊥B′C′，則直觀圖的面積為S′＝eq\f(1,2)B′C′·A′M＝eq\f(1,2)B′C′·A′D′sin45°＝eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)×BC·AD＝eq\f(\r(2),4)S.【解后反思】若設(shè)原平面圖形的面積為S，則其直觀圖的面積為S′＝eq\f(\r(2),4)S.由于其他多邊形均可以劃分為若干個三角形，故上述結(jié)論對其他多邊形也成立．有一個長為5cm，寬為4cm的矩形，則其直觀圖的面積為5eq\r(2)解析：由于該矩形的面積為S＝5×4＝20(cm2)，所以由例4中的公式可得，其直觀圖的面積為S′＝eq\f(\r(2),4)S＝5eq\r(2)(cm2)．一、選擇題1．下列幾種說法中，正確說法的個數(shù)是(B)①相等的角在直觀圖中對應(yīng)的角仍然相等②相等的線段在直觀圖中對應(yīng)的線段仍然相等③平行的線段在直觀圖中對應(yīng)的線段仍然平行④線段的中點在直觀圖中仍然是線段的中點A．1 B．2C．3 D．4解析：③④正確．2．下列說法正確的是(D)A．互相垂直的兩條直線的直觀圖一定是互相垂直的兩條直線B．梯形的直觀圖可能是平行四邊形C．矩形的直觀圖可能是梯形D．正方形的直觀圖可能是平行四邊形解析：正方形的直觀圖是平行四邊形，鄰邊不再垂直；由于梯形中有一組對邊不相等，故其直觀圖不可能是平行四邊形；矩形的兩組對邊都相等，故其直觀圖不可能是梯形．所以只有D正確．3．如圖，直觀圖所示的平面圖形是(D)A．正三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．直角三角形解析：因為直觀圖中有兩邊分別平行于x′軸、y′軸，所以這兩邊在原圖形中互相垂直．二、填空題4．利用斜二測畫法得到：①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③正方形的直觀圖是正方形；④菱形的直觀圖是菱形．以上結(jié)論中，正確命題的序號是①②.解析：正方形的直觀圖是有一個角為45°的平行四邊形，菱形的直觀圖對角線不再垂直，不是菱形，故③④錯．5．根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則畫直觀圖時，把Ox、Oy、Oz軸畫成對應(yīng)的O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°；在用斜二測畫法作直觀圖時，原圖中平行且相等的線段，在直觀圖中對應(yīng)的兩條線段平