湖南省長沙市三湘名校教育聯(lián)盟五市十校2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期期末考試聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

20202021學(xué)年湖南省長沙市三湘名校教育聯(lián)盟五市十校教研教改共同體高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共8小題，每題5分，共40分）.1．已知集合S＝{x|x2﹣x＝0}，T＝{x|x2+x＝0}，則S∪T＝（）A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}2．已知，則＝（）A． B．1 C． D．3．當(dāng)生物體死亡后，它機(jī)體內(nèi)的碳14含量會按確定的比率衰減，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.2021年3月23日四川省文物考古研究院聯(lián)合北京大學(xué)對三星堆新發(fā)現(xiàn)K4坑的部分炭屑樣品使用碳14年代檢測方法進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)碳14含量衰減為原來的67.90%，則該遺址距今約（）年．（參考數(shù)據(jù)：log20.6790＝﹣0.5585）A．3000 B．3100 C．3200 D．33004．已知3sinα﹣4cosα＝0，則sin2α＝（）A． B． C． D．5．已知a＝log62，b＝log124，c＝log186，則（）A．c＞b＞a B．a(chǎn)＞b＞c C．c＞a＞b D．a(chǎn)＞c＞b6．為慶祝建黨一百周年，長沙市文史館舉辦“學(xué)黨史，傳承紅色文化”的主題活動，某高校團(tuán)委決定選派5男3女共8名志愿者，利用周日到該館進(jìn)行宣講工作．已知該館有甲、乙兩個展區(qū)，若要求每個展區(qū)至少要派3名志愿者，每個志愿者必須到兩個展區(qū)中的一個工作，且女志愿者不能單獨去某個展區(qū)工作，則不同的選派方案種數(shù)為（）A．252 B．250 C．182 D．1807．在半徑為2的球中挖去一個半徑為1的同心球，設(shè)過球心的截面的面積為S1，不過球心的任意非圓面的截面的面積為S2，則（）A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．S1、S2的大小關(guān)系不定8．若A是圓C所在平面內(nèi)的一定點，P是圓C上的一動點，線段AP的垂直平分線與直線CP相交于點Q，則點Q的軌跡不可能是（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．下列關(guān)于函數(shù)f（x）＝|sin2x|的結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)f（x）是偶函數(shù) B．函數(shù)f（x）的最大值為2 C．函數(shù)f（x）在單調(diào)遞增 D．函數(shù)f（x）的最小正周期是π10．已知正三棱錐P﹣ABC中，M為PA的中點，PB⊥CM，，則（）A．PB⊥CA B．PB⊥PA C．該三棱錐的體積是 D．該三棱錐的外接球的表面積是3π11．已知直線l：ax+y﹣2＝0與⊙C：（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4相交于A、B兩點，若△ABC為鈍角三角形，則滿足條件的實數(shù)a的值可能是（）A． B．1 C．2 D．312．設(shè)隨機(jī)變量X表示從1到n這n個整數(shù)中隨機(jī)抽取的一個整數(shù)，Y表示從1到X這X個整數(shù)中隨機(jī)抽取的一個整數(shù)，則（）A．當(dāng)n＝2時， B．當(dāng)n＝4時， C．當(dāng)n＝k（k≥2且k∈N*）時， D．當(dāng)n＝2k（k≥2且k∈N*）時，三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S4＝﹣2，a6＝3，則Sn的最小值為．14．寬與長的比為≈0.618的矩形叫做黃金矩形．它廣泛的出現(xiàn)在藝術(shù)、建筑、人體和自然界中，令人賞心悅目．在黃金矩形ABCD中，BC＝，AB＞BC，那么的值為．15．已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點F的直線與C交于A，B兩點，且|FA|＝4，則|AB|＝．16．2020年底，我國已正式對外宣布，實現(xiàn)了全面脫貧的偉大勝利．某市為表彰在脫貧攻堅工作中做出突出貢獻(xiàn)的先進(jìn)單位，制作了一批獎杯，獎杯的剖面圖形如圖所示，其中扇形OAB的半徑為10，，，AQ＝QP＝PB，則PQ＝（用θ表示）；據(jù)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)OP最長時該獎杯比較美觀，此時θ的值為．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。18．如圖，在平面四邊形ABCD中，BC＝2，，∠ABC＝90°，∠BCD＝60°，∠BAD＝75°，求四邊形ABCD的面積．19．為了解某校學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的情況，采用按性別分層抽樣的方法進(jìn)行調(diào)查．已知該校共有學(xué)生960人，其中男生560人，從全校學(xué)生中抽取了容量為n的樣本，得到一周參加社區(qū)服務(wù)時間的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：超過1小時不超過1小時男208女12m（1）求m，n；（2）能否有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時間是否超過1小時與性別有關(guān)？（3）若以樣本中學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)時間超過1小時的頻率作為該事件發(fā)生的概率，現(xiàn)從該校隨機(jī)調(diào)查60名學(xué)生，記一周參加社區(qū)服務(wù)時間超過1小時的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望．附：P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828．20．如圖所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是正三角形，側(cè)面AA1C1C是菱形，點A1在平面ABC的射影為線段AC的中點D，過點B1，B，D的平面α與棱A1C1交于點E．（1）證明：四邊形BB1ED是矩形；（2）求二面角A﹣BB1﹣E的余弦值．21．雙曲線C的中心在原點O，焦點在x軸上，且焦點到其漸近線y＝±2x的距離為2．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點P（0，2）的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于A，B兩點，與其漸近線分別交于M，N（從左至右）兩點．（ⅰ）證明：AM＝BN；（ⅱ）是否存在這樣的直線l，使得，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．22．已知函數(shù)f（x）＝xaeax+b（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是y＝6e3x﹣5e3．（1）求a，b；（2）設(shè)函數(shù)，若g（x）≥1在（0，+∞）上恒成立，求m的取值范圍．參考答案一、選擇題（共8小題，每題5分，共40分）.1．已知集合S＝{x|x2﹣x＝0}，T＝{x|x2+x＝0}，則S∪T＝（）A．{0} B．{﹣1，0} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}【分析】先分別求出集合S，T，然后由集合并集的定義求解即可．解：因為集合S＝{x|x2﹣x＝0}＝{0，1}，又T＝{x|x2+x＝0}＝{0，﹣1}，所以S∪T＝{﹣1，0，1}．故選：D．2．已知，則＝（）A． B．1 C． D．【分析】由已知利用求解．解：∵，∴＝|z|2＝，故選：B．3．當(dāng)生物體死亡后，它機(jī)體內(nèi)的碳14含量會按確定的比率衰減，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.2021年3月23日四川省文物考古研究院聯(lián)合北京大學(xué)對三星堆新發(fā)現(xiàn)K4坑的部分炭屑樣品使用碳14年代檢測方法進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)碳14含量衰減為原來的67.90%，則該遺址距今約（）年．（參考數(shù)據(jù)：log20.6790＝﹣0.5585）A．3000 B．3100 C．3200 D．3300【分析】設(shè)生物體死亡后，碳14每年衰減為原來的p，則，，解出t的值．解：設(shè)生物體死亡后，碳14每年衰減為原來的p，依題意，有，，設(shè)距今約t年，碳14衰減為原來的（1﹣p）t＝（2）t＝67.90%，結(jié)合參考數(shù)據(jù)：，可得t≈3200．故選：C．4．已知3sinα﹣4cosα＝0，則sin2α＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的同角公式和二倍角公式，即可求解．解：∵3sinα﹣4cosα＝0，∴sinα＝，∵sin2α+cos2α＝1，∴，解得cos，∴或，∴sin2α＝2sinαcosα＝．故選：C．5．已知a＝log62，b＝log124，c＝log186，則（）A．c＞b＞a B．a(chǎn)＞b＞c C．c＞a＞b D．a(chǎn)＞c＞b解：由對數(shù)運算公式得，，，，易知log23＞log43＞log63，∴c＞b＞a．故選：A．6．為慶祝建黨一百周年，長沙市文史館舉辦“學(xué)黨史，傳承紅色文化”的主題活動，某高校團(tuán)委決定選派5男3女共8名志愿者，利用周日到該館進(jìn)行宣講工作．已知該館有甲、乙兩個展區(qū)，若要求每個展區(qū)至少要派3名志愿者，每個志愿者必須到兩個展區(qū)中的一個工作，且女志愿者不能單獨去某個展區(qū)工作，則不同的選派方案種數(shù)為（）A．252 B．250 C．182 D．180【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將8人分為2組，要求每組至少3人且3名女志愿者不能單獨成一組，將分好的2組安排到兩個展區(qū)，由分步計數(shù)原理計算可得答案．解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將8人分為2組，要求每組至少3人且3名女志愿者不能單獨成一組，有（+﹣1）＝90種分組方法，②將分好的2組安排到兩個展區(qū)，有＝2種安排方法，則有90×2＝180種選派方法，故選：D．7．在半徑為2的球中挖去一個半徑為1的同心球，設(shè)過球心的截面的面積為S1，不過球心的任意非圓面的截面的面積為S2，則（）A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．S1、S2的大小關(guān)系不定【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求出不過球心的任意非圓面的截面面積S2和過球心的截面面積S1，比較即可．解：如圖所示，設(shè)球心O到不過球心的任意非圓面的截面的距離為d，則該截面的面積為S2＝π[（22﹣d2）﹣（12﹣d2）]＝3π，而過球心O的截面的面積為S1＝π（22﹣12）＝3π，所以S1＝S2．故選：A．8．若A是圓C所在平面內(nèi)的一定點，P是圓C上的一動點，線段AP的垂直平分線與直線CP相交于點Q，則點Q的軌跡不可能是（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【分析】分點在圓上，圓內(nèi)，圓外三種情況分別討論即可求出Q的軌跡．【解答】設(shè)圓C的半徑為r，①若點A在圓C內(nèi)不同于點C處，如圖（1）所示，則有|QA|+|QC|＝r＞|AC|，故點Q的軌跡是以A、C為焦點的橢圓，所以B正確；②若點A與C重合，則有，故點Q的軌跡是以C為圓心，為半徑的圓，所以A正確；③若點A在圓C上，如圖（3）所示，則由垂徑定理，線段AP的垂直平分線必過點C，故Q與C重合，故點Q的軌跡是一個點；④點A在圓C外，如圖（4）所示，則|QA|＝|QP|＝|PC|+|QC|＝r+|QC|，所以|QA|﹣|QC|＝r＜|AC|，故點Q的軌跡是以A、C為焦點的雙曲線右支，當(dāng)AP的垂直平分線交CP的延長線于點Q時，Q的軌跡是以A、C為焦點的雙曲線左支，所以C正確；故選：D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．下列關(guān)于函數(shù)f（x）＝|sin2x|的結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)f（x）是偶函數(shù) B．函數(shù)f（x）的最大值為2 C．函數(shù)f（x）在單調(diào)遞增 D．函數(shù)f（x）的最小正周期是π【分析】直接利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用判斷A、B、C、D的結(jié)論．解：作出函數(shù)f（x）的圖像如下：由圖像易知，函數(shù)為偶函數(shù)，故A正確；函數(shù)的單調(diào)性在單調(diào)遞增，故C正確；函數(shù)的最大值為1，故B錯誤；函數(shù)的最小正周期為，故D錯誤；故選：AC．10．已知正三棱錐P﹣ABC中，M為PA的中點，PB⊥CM，，則（）A．PB⊥CA B．PB⊥PA C．該三棱錐的體積是 D．該三棱錐的外接球的表面積是3π【分析】取AC中點N，連接PN，BN，可得AC⊥平面PBN，得PB⊥AC判斷；進(jìn)一步證明PB⊥平面PAC，得PB⊥PA判斷B；求解三角形得PC，求得三棱錐體積判斷C；然后求出三棱錐外接球的半徑，代入球的表面積公式判斷D．解：取AC中點N，連接PN，BN，∵三棱錐P﹣ABC為正三棱錐，∴PN⊥AC，BN⊥AC，又PN∩BN＝N，∴AC⊥平面PBN，得PB⊥AC，故選項A正確；又PB⊥CM，且AC∩CM＝C，∴PB⊥平面PAC，得PB⊥PA，故選項B正確；又三棱錐P﹣ABC為正三棱錐，∴PA⊥PC，且PA＝PB＝PC，在Rt△PMC中，設(shè)PC＝2x，則PM＝x，而CM＝，由勾股定理解得PC＝1，故三棱錐的體積為＝，故C錯誤；其外接球半徑為，外接球表面積為＝3π，故D正確．故選：ABD．11．已知直線l：ax+y﹣2＝0與⊙C：（x﹣1）2+（y﹣a）2＝4相交于A、B兩點，若△ABC為鈍角三角形，則滿足條件的實數(shù)a的值可能是（）A． B．1 C．2 D．3【分析】由圓的方程求得圓心坐標(biāo)與半徑，結(jié)合題意，可得圓心到直線的距離小于，由此列式求得a的范圍，結(jié)合選項得答案．解：圓C的圓心為（1，a），半徑為r＝2，由于△ABC為等腰三角形，若該三角形為鈍角三角形，則∠CAB＜45°，設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則，則，整理可得a2﹣4a+1＜0，解得，∵直線l不過圓心C，則2a﹣2≠0，解得a≠1．∴．結(jié)合選項可得滿足條件的實數(shù)a的值可能是ACD．故選：ACD．12．設(shè)隨機(jī)變量X表示從1到n這n個整數(shù)中隨機(jī)抽取的一個整數(shù)，Y表示從1到X這X個整數(shù)中隨機(jī)抽取的一個整數(shù)，則（）A．當(dāng)n＝2時， B．當(dāng)n＝4時， C．當(dāng)n＝k（k≥2且k∈N*）時， D．當(dāng)n＝2k（k≥2且k∈N*）時，【分析】利用隨機(jī)變量的概率，結(jié)合相互獨立事件的概率公式，對四個選項依次分析判斷即可．解：對于A，當(dāng)n＝2時，，故選項A正確；對于B，當(dāng)n＝4時，因為X≥Y，且X+Y＝4，可得X＝3，Y＝1或X＝2，Y＝2，所以，故選項B錯誤；對于C，當(dāng)n＝k（k≥2且k∈N*）時，則，故選項C正確；對于D，，故選項D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S4＝﹣2，a6＝3，則Sn的最小值為﹣3．【分析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，根據(jù)S4＝﹣2，S6＝3即可計算出Sn再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到Sn的最小值．解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由S4＝﹣2，得4a1+d＝﹣2，即2a1+3d＝﹣1①，又a6＝3，得a1+5d＝3②，聯(lián)立①②解得a1＝﹣2，d＝1，所以Sn＝﹣2n+×1＝n2﹣n，由于n∈N+，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)n＝2或3時Sn有最小值，且最小值為S2＝S3＝﹣3．故答案為：﹣3．14．寬與長的比為≈0.618的矩形叫做黃金矩形．它廣泛的出現(xiàn)在藝術(shù)、建筑、人體和自然界中，令人賞心悅目．在黃金矩形ABCD中，BC＝，AB＞BC，那么的值為1．【分析】由黃金矩形ABCD的定義，可得AB，再由向量數(shù)量積的定義，計算可得所求值．解：由黃金矩形的定義，可得AB＝1，BC＝，∴＝?（）＝+?＝＝1，故答案為：1．15．已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點F的直線與C交于A，B兩點，且|FA|＝4，則|AB|＝．【分析】設(shè)過F（1，0）的直線方程為x＝my+1，聯(lián)立直線與拋物線方程，可得y2﹣4my﹣4＝0，再結(jié)合韋達(dá)定理和拋物線的定義，即可求解．解：設(shè)過F（1，0）的直線方程為x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線與拋物線方程，可得y2﹣4my﹣4＝0，由韋達(dá)定理，可得y1y2＝﹣4，則，∵由拋物線的定理，可得|FA|＝x1+1＝4，∴x1＝3，，∴，．故答案為：．16．2020年底，我國已正式對外宣布，實現(xiàn)了全面脫貧的偉大勝利．某市為表彰在脫貧攻堅工作中做出突出貢獻(xiàn)的先進(jìn)單位，制作了一批獎杯，獎杯的剖面圖形如圖所示，其中扇形OAB的半徑為10，，，AQ＝QP＝PB，則PQ＝10sinθ（用θ表示）；據(jù)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)OP最長時該獎杯比較美觀，此時θ的值為．【分析】作OM⊥QP交QP于M，交AB于C，且OC⊥AB，則∠AOC＝θ，由扇形的半徑為10可得AB，OC的值，設(shè)設(shè)AQ＝QP＝BP＝x，作QE⊥AB交AB于E，PF⊥AB交AB于F，再由，可得AB的值，求出PM的值，進(jìn)而求出PQ的值，再求出OP的表達(dá)式，由三角函數(shù)的輔助角公式化簡可得OP取到最大值時θ的值．解：作OM⊥QP交QP于M，交AB于C，且OC⊥AB，則∠AOC＝θ，則AB＝20sinθ，OC＝10cosθ．設(shè)AQ＝QP＝BP＝x，作QE⊥AB交AB于E，PF⊥AB交AB于F，因為∠PBA＝∠QAB＝60°，所以，，EF＝QP＝x，所以AB＝2x，所以AB＝20sinθ＝2x，即x＝10sinθ．所以，所以＝，因為sin2θ∈[﹣1，1]，所以當(dāng)sin2θ＝1，即時，OP2最大，故答案為：10sinθ，．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。18．如圖，在平面四邊形ABCD中，BC＝2，，∠ABC＝90°，∠BCD＝60°，∠BAD＝75°，求四邊形ABCD的面積．【分析】連接BD，將四邊形分割為△ABD和△BCD，設(shè)∠CBD＝θ，通過正弦定理構(gòu)建方程組求解θ，從而判斷△ABD、△BCD的形狀，進(jìn)而求面積．解：如圖，連接BD，設(shè)∠CBD＝θ（0°＜θ＜90°）．在△ABD中，由正弦定理得，，即，在△BCD中，同理有，，即從而有，化簡得，因此有，∴θ＝60°．于是知四邊形ABCD是由邊長為2的正△BCD和腰長為2，頂角∠ABD＝30°的等腰△ABD構(gòu)成，所以四邊形ABCD的面積為．19．為了解某校學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的情況，采用按性別分層抽樣的方法進(jìn)行調(diào)查．已知該校共有學(xué)生960人，其中男生560人，從全校學(xué)生中抽取了容量為n的樣本，得到一周參加社區(qū)服務(wù)時間的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：超過1小時不超過1小時男208女12m（1）求m，n；（2）能否有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時間是否超過1小時與性別有關(guān)？（3）若以樣本中學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)時間超過1小時的頻率作為該事件發(fā)生的概率，現(xiàn)從該校隨機(jī)調(diào)查60名學(xué)生，記一周參加社區(qū)服務(wù)時間超過1小時的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望．附：P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828．【分析】（1）結(jié)合分層抽樣同比例的定義，即可求解．（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合獨立性檢驗公式，即可求解．（3）計算參加社區(qū)服務(wù)時間超過1小時的概率，用頻率估計概率，計算所求的頻數(shù)即可．解：（1）由已知，該校有女生400人，故，得m＝8，從而n＝20+8+12+8＝48．（2）作出列聯(lián)表如下：超過1小時的人數(shù)不超過1小時的人數(shù)合計男20828女12820合計321648，所以不能有95%的把握認(rèn)為該校學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時間是否超過1小時與性別有關(guān)．（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，學(xué)生一周參加社區(qū)服務(wù)時間超過1小時的概率，所以X～B（60，），且，k＝0，1，2，?，60．故X的數(shù)學(xué)期望．20．如圖所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是正三角形，側(cè)面AA1C1C是菱形，點A1在平面ABC的射影為線段AC的中點D，過點B1，B，D的平面α與棱A1C1交于點E．（1）證明：四邊形BB1ED是矩形；（2）求二面角A﹣BB1﹣E的余弦值．【分析】（1）連接B1E，DE，利用線面平行的判定定理證明B1B∥平面A1ACC1，由線面平行的性質(zhì)定理證明B1B∥DE，即可證明四邊形BB1ED為平行四邊形，利用線面垂直的判定定理證明BD⊥平面ACC1A1，從而得到BD⊥DE，即可證明四邊形BB1ED為矩形；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出平面DBB1E和平面ABB1A1的法向量，再利用向量的夾角公式求解即可．解：（1）連接B1E，DE，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面A1ABB1為平行四邊形，所以B1B∥A1A，因為B1B?平面A1ACC1，A1A?平面A1ACC1，所以B1B∥平面A1ACC1，因為B1B?平面BB1D，且平面BB1D∩平面A1ACC1＝DE，所以B1B∥DE，因此A1A∥DE，因為點D是AC的中點，所以E為A1C1中點，所以B1B＝DE，所以四邊形BB1ED為平行四邊形，在正△ABC中，因為D是AC的中點，所以BD⊥AC，由題意可知，A1D⊥平面ABC，又BD，BC?平面ABC，所以A1D⊥BD，A1D⊥AC，又AC∩A1D＝D，所以BD⊥平面ACC1A1，又DE?平面ACC1A1，則BD⊥DE，故四邊形BB1ED為矩形；（2）由（1）可知，DB，AC，A1D兩兩垂直，以DB，AC，A1D所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，設(shè)AD＝1，則，在△AA1D中，AA1＝2AD，∠A1DA＝90°，所以，故D（0，0，0），A（0，﹣1，0），，，所以，，，設(shè)平面DBB1E的法向量為，則，即，令c＝﹣1，則，設(shè)平面ABB1A1的法向量為，則，即，令x＝1，則，設(shè)二面角A﹣BB1﹣E的大小為θ，由圖可知，則，故所求二面角A﹣BB1﹣E的余弦值為．21．雙曲線C的中心在原點O，焦點在x軸上，且焦點到其漸近線y＝±2x的距離為2．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點P（0，2）的直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于A，B兩點，與其漸近線分別交于M，N（從左至右）兩點．（?。┳C明：AM＝BN；（ⅱ）是否存在這樣的直線l，使得，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．【分析】（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點到直線的距離公式求出b，由漸近線方程可得，從而求出a的值，即可得到答案；（2）（i）設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立方程組（λ＝0或λ＝1），分λ＝1時和λ＝0時，由韋達(dá)定理求出AB和MN的中點坐標(biāo)，由此確定線段AB，MN的中點重合，即可證明結(jié)論；（ii）利用（i）中的結(jié)論，得到韋達(dá)定理，然后由弦長公式結(jié)合韋達(dá)定理求出|MN|，|AB|，將，轉(zhuǎn)化為|MN|與