數(shù)列求和方法及數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)列求和一、常用公式法直接利用公式求和是數(shù)列求和的最根本的方法．常用的數(shù)列求和公式有：等差數(shù)列求和公式:等比數(shù)列求和公式:二、錯(cuò)位相減法可以求形如的數(shù)列的和，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列.例1：求和：.設(shè)，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，公比為，利用錯(cuò)位相減法求和.解：，兩端同乘以，得，兩式相減得于是.說(shuō)明：錯(cuò)位相減法實(shí)際上是把一個(gè)數(shù)列求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和的問(wèn)題.三、裂項(xiàng)相消法適用于

其中{

}是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；局部無(wú)理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等例2求數(shù)列{1/(＋)}的前n項(xiàng)和解：∵1/(＋)＝－(n＋1－n＝1)

分母有理化

∴1/(＋)＋1/(＋)＋…＋1/(－)

＝－1＋－＋…＋－

＝－1

說(shuō)明：對(duì)于分母是兩二次根式的和，且被開(kāi)方數(shù)是等差數(shù)列，

利用乘法公式，使分母上的和變成了分子上的差，從

而Sn又因中間項(xiàng)相消而可求。四、分組轉(zhuǎn)化法有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，假設(shè)將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，能分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，那么對(duì)拆開(kāi)后的數(shù)列分別求和，再將其合并即可求出原數(shù)列的和．例3集合A＝{a|a＝2n＋9n－4，n∈N且a＜2000}，求A中元素的個(gè)數(shù)，以及這些元素的和解：由210＝1024，211＝2048

知210＋9×10－4＜2000

211＋9×10－4＞2000

∴A中有10個(gè)元素,記這些元素的和為S10，那么

(首項(xiàng)為9，公差為9的等差數(shù)列)

S10＝2＋22＋23＋…＋210＋9＋18＋…＋90－4×10

(首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列)

＝2(210－1)＋99×5－40＝2501

說(shuō)明：此題中A是一個(gè)集合，集合中的元素是不可重復(fù)的，

也是沒(méi)有順序，所以集合與數(shù)列是不同的，但在

求和時(shí)與10個(gè)元素的順序無(wú)關(guān)，所以可借用數(shù)列

的方法求和。五、配對(duì)求和法對(duì)一些特殊的數(shù)列，假設(shè)將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，那么在數(shù)列求和時(shí)，可考慮把這些項(xiàng)放在一起先配對(duì)求和，然后再求Ｓｎ．例4,設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和滿足關(guān)系式：〔1〕求證：數(shù)列是等比數(shù)列?！?〕設(shè)數(shù)列的公比為，作數(shù)列使，求?！?〕對(duì)〔2〕中的數(shù)列求和：?！?997年上海高考試題〕解:1〕略；〔2〕，〔提示：〕〔3〕〔提示：配對(duì)求和〕六、數(shù)學(xué)歸納法第一數(shù)學(xué)歸納法：〔1〕命題成立；〔2〕假設(shè)命題成立；由〔1〕〔2〕可知命題都成立。簡(jiǎn)單實(shí)例：證明；第二數(shù)學(xué)歸納法：〔1〕命題成立；〔2〕假設(shè)；由〔1〕〔2〕命題都成立。應(yīng)用的注意點(diǎn)：〔1〕兩步缺一不可〔2〕第二步證明是必須利用歸納假設(shè)；例5．用數(shù)學(xué)歸納法證明：

。證明：i)當(dāng)n=2時(shí)，左式=，

右式=，∵，∴，

即n=2時(shí)，原不等式成立。ii)假設(shè)n=k(k≥2,k∈Z)時(shí)，不等式成立，即,那么n=k+1時(shí)，

左邊=右邊=，要證左邊>右邊，只要證，只要證，只要證4k2+8k+4>4k2+8k+3只要證4>3。而上式顯然成立，所以原不等式成立，即n=k+1時(shí)，左式>右式。由i),ii)可知，原不等式對(duì)n≥2，n∈N均成立。七.倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列｛an｝，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫(xiě)和與倒著寫(xiě)和的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和的方法稱為倒序相加法。例6.求和解析：據(jù)組合數(shù)性質(zhì)，將倒序?qū)憺橐陨蟽墒较嗉拥茫喊?待定系數(shù)法類似等差數(shù)列，如果是關(guān)于的次式，那么它的前項(xiàng)和是關(guān)于的次式，且不含常數(shù)項(xiàng)。因此，只要求出這個(gè)次式的各項(xiàng)系數(shù)即可。例7.求和解析：由于通項(xiàng)是的二次式，那么是的三次式，且不含常數(shù)項(xiàng)。設(shè)，令得解得所以九．無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)和符號(hào)：顯然：1〕，不存在2〕，，不存在3〕，不存在4〕，定義：我們把的無(wú)窮等比數(shù)列前n項(xiàng)的和當(dāng)時(shí)的極限叫做無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和，并用S表示，即S=()。注：1.無(wú)窮等比數(shù)列前n項(xiàng)和與它的各項(xiàng)和S的區(qū)別與聯(lián)系；2.前n項(xiàng)之和是數(shù)列中有限個(gè)項(xiàng)的和,而無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和是數(shù)列中所有的項(xiàng)的和,它們之間有著本質(zhì)的區(qū)別。3.對(duì)有無(wú)窮多項(xiàng)的等比數(shù)列,我們是不可能把它們所有的項(xiàng)一一相加的,而是通過(guò)對(duì)它的前n項(xiàng)之和取極限運(yùn)算而求得,是用有限的手段解決無(wú)限的問(wèn)題。4.求和前提：；公式說(shuō)明它只求公比的無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和.數(shù)學(xué)歸納法●難點(diǎn)磁場(chǎng)(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=(an2+bn+c).●案例探究［例1］試證明：不管正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當(dāng)n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等時(shí)，均有：an+cn＞2bn.命題意圖：此題主要考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，屬★★★★級(jí)題目.知識(shí)依托：等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的一般步驟.錯(cuò)解分析：應(yīng)分別證明不等式對(duì)等比數(shù)列或等差數(shù)列均成立，不應(yīng)只證明一種情況.技巧與方法：此題中使用到結(jié)論：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c為正數(shù))，從而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.證明：(1)設(shè)a、b、c為等比數(shù)列，a=,c=bq(q＞0且q≠1)∴an+cn=+bnqn=bn(+qn)＞2bn(2)設(shè)a、b、c為等差數(shù)列，那么2b=a+c猜測(cè)＞()n(n≥2且n∈N*)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=2時(shí)，由2(a2+c2)＞(a+c)2，∴②設(shè)n=k時(shí)成立，即那么當(dāng)n=k+1時(shí)，(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)＞()k·()=()k+1［例2］在數(shù)列{an}中，a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，an,Sn,Sn－成等比數(shù)列.(1)求a2,a3,a4，并推出an的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論；(3)求數(shù)列{an}所有項(xiàng)的和.命題意圖：此題考查了數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列極限等根底知識(shí).知識(shí)依托：等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟.采用的方法是歸納、猜測(cè)、證明.錯(cuò)解分析：(2)中，Sk=－應(yīng)舍去，這一點(diǎn)往往容易被無(wú)視.技巧與方法：求通項(xiàng)可證明{}是以{}為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式.解：∵an,Sn,Sn－成等比數(shù)列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2)(*)(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－由a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得：a3=－同理可得：a4=－,由此可推出：an=(2)①當(dāng)n=1,2,3,4時(shí)，由(*)知猜測(cè)成立.②假設(shè)n=k(k≥2)時(shí)，ak=－成立故Sk2=－·(Sk－)∴(2k－3)(2k－1)Sk2+