第三章 靜力平衡問題a

13.1平面力系的平衡問題3.2含摩擦的平衡問題3.3平面桁架3.4空間力系的平衡問題第三章靜力平衡問題返回主目錄22.5.3平面力系的平衡條件

平面一般力系處于平衡，充分和必要條件為力系的主矢FR'和主矩MO都等于零。第三式表明不可能有合力偶。若有合力，必過O點(diǎn)；1、2式指出：若有合力。必垂直于x軸且垂直于y軸。故平面一般力系的平衡方程為：（基本形式）（x軸不平行于y軸）3平面一般力系平衡方程還可表達(dá)為下列二種形式：二力矩式（AB不垂直于x軸)注意：平衡方程中，投影軸和矩心可任意選取，可寫出無數(shù)個(gè)平衡方程。但只要滿足了其中一組，其余方程均應(yīng)自動(dòng)滿足，故獨(dú)立平衡方程只有三個(gè)。三力矩式(A、B、C三點(diǎn)不共線)4取匯交點(diǎn)為矩心，力矩方程自動(dòng)滿足。獨(dú)立平衡方程只有二個(gè),為：

平面匯交力系:取x軸垂直于各力，則x的投影方程滿足。獨(dú)立平衡方程也只有二個(gè),為：平面平行力系:yxMyx5三拱鉸受力再分析ABCF三鉸拱ABFo討論1：二力平衡必共線F1oF2討論2：三力平衡必共點(diǎn)F1F2F3oBCFB二力桿FC6思路：研究對(duì)象

受力分析

平衡方程

求解一、平面力系平衡問題的分析方法ABC靜力平衡問題，一般有二類：

對(duì)于完全被約束的物體或系統(tǒng)，在已知外載荷的作用下，求約束力。

對(duì)于未完全被約束的物體或系統(tǒng)，求平衡時(shí)外載荷所應(yīng)滿足的條件及約束力。60

ABCDF3.1平面力系的平衡問題7例3.1

求圖示結(jié)構(gòu)中鉸鏈A、B處的約束力。解：1）畫整體受力圖。注意BC為二力桿。驗(yàn)算，再寫一個(gè)不獨(dú)立平衡方程，看是否滿足。如

MB(F)=0.5F+Fq-2FAy=1+1-2=0

結(jié)果正確。2）取坐標(biāo)，列平衡方程。

Fx=FAx-FCcos30

=0ABCF=2kNFq30q=0.5kN/m

L=2m1.5mFq=2q=1kNFCFAyFAxxy

Fy=FAy+FCsin30

-F-Fq=0

MA(F)=FCL/2-1.5F-FqL/2=03）解方程得到;FC=4kN;FAy=1kN;FAx=2kN

矩心取在二未知力交點(diǎn)A處，力矩方程中只有一個(gè)未知量FC，可直接求解。8例3.3

夾緊裝置如圖。設(shè)各處均為光滑接觸，求F力作用下工件所受到的夾緊力。研究整體，受力如圖。需要求的是FC。列平衡方程：

Fy=FB-F=0

FB=F

解：逐一討論A、B，可解。ABFBAFCFBFABFAFABCFayxOFBFCFA

MA(F)=FB.ABcos

-FC.ABsin

=0

FC=Fctga。

越小，夾緊力越大。討論：若將矩心取在FA、FB二未知力交點(diǎn)O，則由力矩方程直接可得:

MO(F)=F

ABcos

-FC

ABsin

=0

FC=Fctg

9例3.4

梁ACB如圖。梁上起重小車重W=50kN，吊重P=10kN，求A、B處的約束力。由(1)知，F(xiàn)Ax=0。剩余二個(gè)方程中含三個(gè)未知約束反力，不足以求解。

列平衡方程：

Fx=FAx=0---(1)

Fy=FAy+FBy-P-W=0---(2)

MA(F)=MA+12FBy-4W-8P=0---(3)解：1)取系統(tǒng)整體為研究對(duì)象，畫受力圖。4mCA4m1m1m8mBWPFByFAxFAyMA10

2)小車為研究對(duì)象，列平衡方程：

MD(F)=2FE-W-5P=0

FE=(50+50)/2=50kN

Fy=FD+FE-W-P=0

FD=10kN3)取BC梁為研究對(duì)象，有：

MC(F)=8FBy-FE=0

FBy=FE/8=6.25kN

將FBy代入(2)、(3)式，求得：

FAy=P+W-FBy=53.75kN

MA=4W+8P-12FBy=205kN.m有時(shí)需要綜合研究整體及部分的平衡，聯(lián)立求解4mWP1m1mDEFEFDC1m8mBF

EFCyFByFCx=011補(bǔ)充例：已知AD=BD=CD=a，求圖示桿系A(chǔ)、B

及D處的約束力。解：研究整體有：

Fy=FAy-F=0

FAy=F

MA(F)=FB

2a-Fa=0

FB=F/2

Fx=FAx+FB=0

FAx=-FB=-F/2

研究CD桿，有：

MC(F)=FDya=0

YD=0

Fy=FACsin45

-F=0

FAC

Fx=FDx-FACcos45

=0

FDxABCFDFAyFAxFBCDFFDyFDxFAC請(qǐng)驗(yàn)算：AB桿(帶銷A)受力是否平衡？FBFDxFDyFAxFAyFACFACFAxFAy12求解平面力系平衡問題的一般方法和步驟為：弄清題意，標(biāo)出已知量整體受力圖，列平衡方程，解決問題否？選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)軸和矩心，注意正負(fù)號(hào)。檢查結(jié)果，驗(yàn)算補(bǔ)充選取適當(dāng)研究對(duì)象，畫受力圖，列平衡方程求解。NoYes注意：力偶M在任一軸上的投影為零；力偶對(duì)任一點(diǎn)之矩即為M。13問題1：不計(jì)桿重，求連桿機(jī)構(gòu)在圖示平衡位置時(shí)F1、F2之關(guān)系。問題2:三鉸拱受力偶M作用，不計(jì)拱的重量，求A、

B處的約束力。bＣMABac4560

ABCDF1F2問題3：試求圖示雙跨梁A端的約束力。ABCF

q2aaa45

14問題1.

不計(jì)桿重，求連桿機(jī)構(gòu)在圖示平衡位置時(shí)

F1、F2之關(guān)系。4560

ABCDF1

F2FDFC

ME(F)=F2

AE-F1sin60

BE=0注意：BE=AB；AE=

AB可解得：

F2=......F12E

15問題2:三鉸拱受力偶M作用，不計(jì)拱的重量，求A、B處的約束力。解:BC為二力桿;

外力只有力偶M,整體受力如圖所示。bＣMABacFBBＣFCFAxAMFAy=0F

CFAFBABbＣMcdaBAFF=BdFM=×+-0有0(F)=?AM又由可解得BF16問題2再論:不計(jì)拱重，分析三鉸拱的約束力。FBABＣMdFAＣABFBABＣFFBABＣFFAFA三力平衡，若有二力匯交，則第三力必過其交點(diǎn)。三力平衡，若有二力平行，則第三力與其平行。17問題3：試求圖示雙跨梁A端的約束反力。先分離研究對(duì)象，再處理其上的分布載荷。解：1）研究整體：

2）研究BC，受力如圖。求出FC即可。

MB(F)=2aFCcos45

-Fa-qa2/2=02一般力系，3個(gè)方程，

4個(gè)未知量。不足以求解FBxCFqBFByFCABCF

q2aaa45

FCFAyFAxMA18討論：判斷下述分析的正誤。MA=

M+Fa-2Pa

固定鉸的約束力作用于銷釘上。多桿用同一銷釘連接，討論某桿時(shí)，須考慮各桿與銷釘間作用的不同。FAxMAMPF2aa3aAFAx=F;

FAy=P;MA=

M？FAyFAyPABCPABCAFAxFAyFAyFAxFAxFAByFABxFACxFACyFABxFAByFACxFACyFAxFAy19第一種情形ACBlllF問題討論：試求圖示A、B、C處的約束力。llFABDCFBFAydFAx第二種情形lllACBM=F

l

MA(F)=0FB

d-F2l=0FB=22F

MB(F)=0FAy

l+F

l=0FAy=-F

Fx=0FAx+FBcos=0FAx=-2F20第二種情形lllACBM=F

lFAyFAxllABDFBxFByFCxFCyFBxFByBC分析BC和ABD桿受力M=F

l考察BC桿的平衡:FCx=FBx;FCy=FBy

MB(F)=0:FCy

lBC+Fl=02=-—F

2

FCy=FBy再考察AB桿，

由

MA(F)=0可求得FBx21由ABD桿的平衡有：

MA(F)=02

FBx=—Fˉ2

MB(F)=0FAy=

0

MC(F)=0:FAx=FFAyFAxllABDFBxFByCl第二種情形lllACBM=F

l更簡單方法以整體為研究對(duì)象如何？FAxlllABDCM=F

lFCxFAyFCy?BCM=F

lFCxFBxllABDFBxFAx?22二、靜不定問題的概念1)靜定問題完全約束住的n個(gè)物體組成的物體系統(tǒng)在平面一般力系作用下，每一物體都處于平衡，共可寫出3n個(gè)平衡方程。若反力未知量是3n個(gè)，則是靜定的。由平衡方程即可確定的靜力平衡問題

--未知量數(shù)=獨(dú)立平衡方程數(shù)ABCF30如例1

系統(tǒng)

二根桿

六個(gè)平衡方程；約束

三處鉸鏈

六個(gè)反力，靜定。若將BC視為二力桿，則平衡方程減少二個(gè)，但B、C處約束力未知量也減少了二個(gè)。23本題作用于小車的是平行于Y軸的平行力系，系統(tǒng)

三個(gè)物體

8個(gè)平衡方程；約束

固定端3；中間鉸2；活動(dòng)鉸、車輪接觸處各1

共8個(gè)反力，是靜定問題。如例3系統(tǒng)

三個(gè)物體

9個(gè)方程，反力只有8個(gè)。小車可能發(fā)生水平運(yùn)動(dòng)。未被完全約束住的物體及系統(tǒng)

約束力未知量數(shù)少于獨(dú)立的平衡方程數(shù)，有運(yùn)動(dòng)的可能。CABWP242）靜不定問題或超靜定問題

完全約束的物體或系統(tǒng)，若約束力數(shù)>獨(dú)立平衡方程數(shù)，問題的解答不能僅由平衡方程獲得，稱靜不定問題。3n=3;m=4一次靜不定3n=3;m=6三次靜不定3n=3;m=4一次靜不定約束反力數(shù)m系統(tǒng)中物體數(shù)n<3n

未完全約束

m=3n

靜定問題

>3n

靜不定問題靜不定的次數(shù)為：

k=m-3n25ＣMAB討論：試判斷下列問題的靜定性。約束力數(shù)m=8

物體數(shù)n=3

m<3n

未完全約束

m=6

n=2

m=3n靜定結(jié)構(gòu)

m=3

n=1+2+2+4=9

m=3n靜定結(jié)構(gòu)60

ABCDF1F2ABCFDFABxFAByFACxFACyFAxFAy26摩擦給運(yùn)動(dòng)帶來阻力，消耗能量，降低效率；利用摩擦可進(jìn)行傳動(dòng)、驅(qū)動(dòng)、制動(dòng)、自鎖。

摩擦是二物體接觸表面間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)（或運(yùn)動(dòng)趨勢）時(shí)的阻礙作用。接觸表面間只有相對(duì)滑動(dòng)趨勢時(shí)的摩擦，是靜滑動(dòng)摩擦。一、靜滑動(dòng)摩擦3.2含摩擦的平衡問題返回主目錄aABWGCFAOM512DdDABFLFTAFLFTFNAFBF

NAF

FNBFF0FT靜止滑動(dòng)FmaxFTC27只要滑動(dòng)未發(fā)生，物體仍靜止，則F由平衡方程確定。

摩擦力F也是被動(dòng)力，它阻礙物體的運(yùn)動(dòng)，但不能完全約束物體的運(yùn)動(dòng)。

F作用在沿接觸面切向且指向與運(yùn)動(dòng)趨勢相反。APTNFVf是靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)，F(xiàn)N是法向反力。臨界狀態(tài)下接觸面間的最大靜（滑動(dòng)）摩擦力與法向反力的大小成正比，即

Fmax=f

FNF0FT靜止滑動(dòng)FmaxFTC

FT=0,

靜止，無運(yùn)動(dòng)趨勢；F=00<FT<FTC

,靜止，有運(yùn)動(dòng)趨勢；F=FT

FT=FTc,臨界狀態(tài)；F=FT=FTc=Fmax

FT>FTc,

運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；一般有FT<Fmax28二、含摩擦的平衡問題的分析方法特點(diǎn)：5）有平衡方程和摩擦補(bǔ)充方程Fmax=f

FN。4）考慮可能發(fā)生滑動(dòng)的臨界情況(此時(shí)F=Fmax)，并由此判斷摩擦力指向。3）二物體接觸面間的摩擦力，也是相互作用的作用力與反作用力。1）問題中含有可能發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的摩擦面。AFLFTFNAFBF

NAF

FNBF2）受力圖中應(yīng)包括摩擦力，摩擦力沿滑動(dòng)面切向，指向與運(yùn)動(dòng)趨勢相反。29AOMCF1mineaL2）制動(dòng)桿受力如圖。有平衡方程

MA(F)=FNa-Fmaxe-F1minL=0摩擦方程

Fmax=f

FN;

FN=M/fr代入后求得F1min=(Ma/fr-Me/r)/L

=M(a-fe)/frL1）取輪O研究，畫受力圖。有平衡方程

MO(F)=M-Fmax

r=0

得到Fmax=M/r解：討論F1最小而制動(dòng)，摩擦力最大的臨界狀態(tài)。例3.5

剎車裝置如圖。塊C與輪間摩擦系數(shù)為f，求F1min。制動(dòng)的要求是F1>F1min=M(a-fe)/frLMOFmaxFNFOxFOyAF1minFmaxFNFAxFAy30例3.6

圖示懸臂可沿柱滑動(dòng),摩擦系數(shù)為f。為保證不卡住，試確定力F0的作用位置。解：1)F0向下，懸臂下滑。臨界狀態(tài)x=xmax；有：

Fx=FND-FNA=0；

Fy=FA+FD-F0=0

MA(F)=FNDh+FDd-F0(xmax+d/2)=0

及FA=f

FNA,FD=f

FND

解得：FNA=FND=F0/2f,xmax=h/2f.懸臂不卡住，應(yīng)有xmax<h/2f而與F0無關(guān)。ABCDxmaxhdF0FDFNDFNAFA31例3.6

圖示懸臂可沿柱滑動(dòng),摩擦系數(shù)為f。為保證不卡住，試確定力Fo的作用位置。解：2)F0向上，懸臂上滑。臨界狀態(tài)x=xmax；有：

Fx=FNB-FNC=0；

Fy=F0-FB-FC=0

MB(F)=FCd-FNCh-F0(xmax-d/2)=0

及FB=f

FNB,FC=f

FNC

同樣解得：FNB=FNC=F0/2f

xmax=h/2f.ABCDxmaxhdF0FCFNCFNBFA懸臂不卡住，應(yīng)有xmax<h/2f，而與F0無關(guān)；與上下滑無關(guān)。32含摩擦的平衡問題的分析方法：研究對(duì)象

受力分析

平衡方程

求解先回憶靜力平衡問題的一般方法：（此時(shí)F=Fmax）

可滑動(dòng)的臨界情況分析摩擦力沿滑動(dòng)面切向，指向與運(yùn)動(dòng)趨勢相反。加摩擦方程Fmax=f

FN解有一個(gè)區(qū)間范圍WaFTBA33討論一：摩擦角及自鎖現(xiàn)象設(shè)主動(dòng)力之合力FA的作用線與法向夾角為a，若a<r，則無論FA多大，總有全反力FR與之平衡，物體保持靜止；這種現(xiàn)象稱為自鎖。摩擦角

：臨界狀態(tài)(F=Fmax)

時(shí)，F(xiàn)R與法向間的夾角。顯然有:tg

=Fmax/FN=f即摩擦角

的正切等于靜摩擦系數(shù)f?？芍戳R的作用線只能在摩擦角(錐)之內(nèi)。全反力FR:支承面法向反力

FN和摩擦力F之合力。FRFNFrmaxFRQfr自鎖FAa滑動(dòng)FAa>r若a>r,則無論FA多小，物體都不能保持平衡。34

2.夾緊裝置如圖。夾緊后OA水平，欲在力F0除去后工件不松，求偏心距e.OAeF0B工件D直徑

3.破碎機(jī)軋輥D=500mm，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)破碎球形物料。f=0.3,求能破碎的最大物料直徑d。（物重不計(jì)）

1.木楔打入墻內(nèi)，摩擦角為

，試問a為多大時(shí)木楔打入后才不致退出？aa利用自鎖條件，研究下述問題：351.木楔打入墻內(nèi)，摩擦角為

，試問a為多大時(shí)木楔打入后才不致退出？aa

不計(jì)重力，木楔受全反力FR1、FR2二力作用而處于平衡，則FR1、FR2必共線且沿鉛垂方向(對(duì)稱性)。臨界狀態(tài)有：

a=r;自鎖條件為：a

rFR1F1maxF2maxrFR2FN136問題：

2.夾緊裝置如圖。夾緊后OA水平，欲在F0力除去后工件不松，求偏心距e.自鎖條件：

a

tga=e/(d/2)

tg=f得:e

fd/2aFROAFA

3.破碎機(jī)軋輥D=500mm，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)破碎球形物料。f=0.3,求能破碎的最大物料直徑d。（物重不計(jì)）

二力平衡必共線。臨界狀態(tài):tga=f(D+d)cosa/2=256

解得：d34mmfa1Cosa=(1+f)2-1/2OAeF0B