學習概論與統(tǒng)計課件第一章隨機事件及概率

概率論與數理統(tǒng)計山東經濟學院統(tǒng)計與數學學院李秀紅ProbabilityTheoryandMathematicalStatistics目錄Ch1隨機事件及其概率

Ch2隨機變量及其分布Ch3多維隨機變量及其分布Ch4隨機變量的數字特征Ch5極限定理Ch6數理統(tǒng)計的基本概念Ch7參數估計Ch8假設檢驗Ch9回歸分析課程介紹第一章隨機事件及其概率引言

確定性現象：在一定條件下一定會發(fā)生或一定不會發(fā)生的現象

隨機現象：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現象例1(1)太陽從東方升起(2)邊長為a的正方形的面積為a2

(3)一袋中有10個白球，今從中任取一球為白球

（1)（2)（3）為確定性現象

隨機現象：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現象例2(4)擲一枚硬幣，正面向上(5)擲一枚骰子，向上的點數為2(6)一袋中有5個白球3個黑球，今從中任取一球為白球（4）（5）（6）為隨機現象參考書：《概率論與數理統(tǒng)計》人大版

《概率統(tǒng)計學習指導》山經數學教研室編學習基礎方法：1排列組合2微積分概率論與數理統(tǒng)計：研究和揭示隨機現象的統(tǒng)計規(guī)律性的一門數學學科

§1隨機事件

1.1隨機試驗與樣本空間試驗：為了研究隨機現象，對客觀事物進行觀察的過程

1.隨機試驗隨機試驗：具有以下特點的試驗稱為隨機試驗，用E表示：（1）在相同的條件下可以重復進行；（可重復性）（2）每次試驗的結果不止一個，并且在試驗之前可以明確試驗所有可能的結果；（結果的非單一性）（3）在每次試驗之前不能準確地預言該次試驗將出現那一種結果。（隨機性）注意：今后所說的試驗均指隨機試驗

E1：拋一枚硬幣，觀察正面、反面出現的情況。

E2：將一枚硬幣拋擲三次，觀察出現正面的次數。

E3：拋一顆骰子，觀察出現的點數。

在下面給出的試驗中，討論試驗的結果。

E4：記錄尋呼臺一分鐘內接到的呼喚次數。

E5：在一批燈泡中任意抽取一只，測試它的壽命。

E6：在區(qū)間[0,1]上任取一點，記錄它的坐標。2.樣本空間例:擲硬幣——

1={正面，反面}

擲骰子——3={1,2,3,4,5,6}某燈泡的壽命：Ω5={t：t≥0｝由以上例子可見,樣本空間的結構隨著試驗的要求不同而有所不同，樣本空間的元素是由試驗的目的所確定的.1.2隨機事件記為ω。樣本點ω.

Ω隨機事件：試驗E所對應的樣本空間Ω的子集稱為E的隨機事件，稱事件，通常用大寫字母A,B,C等表示。試驗E的任何事件A都可表示為其樣本空間的子集。樣本空間Ω的僅包含一個樣本點ω的單點集{ω}稱為基本事件，也是一種隨機事件。否則，稱為復合事件(由兩個或兩個以上的基本事件構成的事件)。

事件發(fā)生：如果當且僅當樣本點ω1,ω2,…,ωk有一個出現時，事件A就發(fā)生。用事件A中的樣本點的全體來表示事件A，即

A={

1，2，…...k}必然事件：每次試驗中一定發(fā)生的事件，用表示；不可能事件：每次試驗中一定不發(fā)生的事件，用Φ

表示.例：觀察擲一枚均勻的骰子出現點數的試驗中，“點數小于7”是必然事件，“點數不小于7”是不可能事件。

事件——樣本點的集合子集樣本空間——全部樣本點的集合全集

基本事件——一個樣本點的集合單點集

復合事件——多個樣本點的集合不可能事件——不包含任何樣本點的集合空集必然事件——全體樣本點的集合（即樣本空間Ω）

全集

事件與集合的對應例5已知一批產品共100個,其中有95個合格品和5個次品。檢查產品質量時，從這批產品中任一抽取10個來檢查，則在抽取的產品中，“次品數不多于5個”“次品數多于5個”不可能事件Φ：事件A：“恰有一個次品”事件B：“至少有一個次品”事件C：“沒有次品”隨機事件必然事件Ω：基本事件基本事件包含5個基本事件包含2個基本事件:事件D：“有2個或3個次品”1.3事件間的關系及運算

引言

因為任一隨機事件都是樣本空間的一個子集，所以事件的關系和運算與集合的關系和運算完全類似。1、事件的包含與相等

**事件A的發(fā)生必然導致事件B的發(fā)生，則稱事件B包含

事件

A，或稱事件A

包含于

事件

B

，記為：A

B或B

A。樣本空間BA屬于

A的

必然屬于

B注：對任一事件A有：

A

Ω例1：一袋子中有分別編號為

1、2、…、10的十個球，現從中任取一球，設A={取到5號球}，B={取到編號是奇數的球}，C={取到編號是1,3,5,7,9的球}，D={取到編號<3的球}，E={取到編號是偶數的球}。則：事件

A的發(fā)生必然導致事件

B的發(fā)生。故事件

B包含事件

A，即：B

A。

在例1中，B

={取到編號是奇數的球}，

C={取到編號是1,3,5,7,9的球}。則：事件Ｂ與事件Ｃ含有相同的樣本點，故：Ｂ=Ｃ。

事件的相等

當事件Ｂ包含事件Ａ且事件Ａ也包含事件Ｂ時，則稱：事件Ａ與事件Ｂ相等。記為Ａ=Ｂ。Ａ、Ｂ中含有相同的

注：

相等的兩事件總是同時發(fā)生或同時不發(fā)生樣本空間Ａ

ＢＡ

Ｂ

“兩事件Ａ與Ｂ中至少有一個發(fā)生”這一事件稱為事件Ａ與Ｂ的和（并）。記為：Ａ∪Ｂ或Ａ+Ｂ。Ａ∪Ｂ中的樣本點是Ａ中的樣本點與Ｂ中的樣本點的和

在例1中，B

={取到編號是奇數的球}，

D={取到編號<3的球}。則：Ｂ∪Ｄ={取到編號為1,2,3,5,7,9的球}注意：

樣本點重復時只寫一次！注：對任合事件A，B

有

(1)A

A+B，B

A+B

(2)A+A=A，(3)A+Ω=Ω(4)A+Φ=Φ2、事件的和（并）事件和的推廣樣本空間A

B

“兩事件Ａ與Ｂ都發(fā)生”這一事件稱為事件Ａ與Ｂ的積（交）。記為：Ａ∩Ｂ或ＡＢ。Ａ∩Ｂ中的樣本點是Ａ與Ｂ所共有的樣本點。

在例1中，A={取到5號球}，

B

={取到編號是奇數的球}A∩BA則：Ａ∩Ｂ={取到編號為5的球}注：對任合事件A，B

有

(1)AB

A，(2)AA=A，（3）AΦ=Φ,（4）AΩ=A3、事件的積（交）事件交的推廣

“n個事件

A1,A2,

,An

都發(fā)生”這一事件稱為事件A1,A2,

,An的交。記為：A1∩A2∩

∩An或∩Ai。

i=1**類似地，也可定義無限多個事件的的交∩Ai。

4.事件的差樣本空間在例1中A={取到5號球}B

={取到編號是奇數的球}

事件Ａ發(fā)生而事件Ｂ不發(fā)生，這一新事件稱為事件Ａ與事件Ｂ的差，記為：Ａ－Ｂ。即：Ａ－Ｂ是把Ａ中屬于Ｂ的元素去掉注意：一般Ａ－Ｂ=Ａ－ＡＢ特別地：（1）ＡＢ=φ時，Ａ－Ｂ=Ａ（2）ＡＢ=Ａ時，即Ａ

Ｂ時，Ａ－Ｂ=φ（3）ＡＢ=Ｂ時，即Ｂ

Ａ時，Ａ－Ｂ=Ａ－ＢA則Ｂ－Ａ＝{取到編號是1,3,7,9的球}

B樣本空間AB樣本空間AB樣本空間BA在例1中A={取到5號球}，B={取到編號是偶數的球}

若兩事件Ａ與Ｂ不可能同時發(fā)生，即A∩B=φ，則稱事件Ａ與Ｂ互不相容（或互斥）；否則稱Ａ與Ｂ是相容。注：基本事件之間互不相容則：事件Ａ與事件B互不相容。即ＡB＝φ。樣本空間AB5、事件的互不相容（互斥）

若n個事件

A1，A2，…，An中任兩個都不可能同時發(fā)生，即：AiAj=φ，(1≤i<j≤n，i≠j)，則稱這n個事件是兩兩互不相容的（或互斥的）。它們的和記為：A1+A2+…+An

**事件的互不相容的推廣

此概念還可以推廣到

A1，A2，…，An，

…的情形。

樣本空間

A

若兩事件Ａ與Ｂ是互不相容的，且它們的和是必然事件，即（1）AB=φ（2）A∪B=Ω（或A+B=Ω）則：稱事件Ａ與Ｂ是對立事件，稱事件Ａ(事件Ｂ)是事件Ｂ

(事件Ａ)的對立事件(逆事件)。

記為：Ａ=Ｂ或

Ｂ=ＡA6、對立事件（逆事件）

注(1）對立事件是相互的:A是A的逆，A也是A的逆

在例1中，A={取到編號是奇數的球}，

B={取到編號是偶數的球}

則：事件A與事件Ｂ是對立事件,即Ｂ=A。

（2）一般A–B=A-AB=AB樣本空間

A

兩事件互不相容只表明不能同時發(fā)生（即：至多只能發(fā)生其中之一），但可以都不發(fā)生；而對立則表示有且僅有一個發(fā)生（即：肯定了至少有一個發(fā)生）。**對立事件與互不相容事件的聯(lián)系與區(qū)別

兩事件對立，必定互不相容，反之不然。A互不相容的概念適用于多個事件，但對立的概念只適用于兩個事件。

這是因為：Ａ＝－Ａ。樣本空間AＢＣ7、完備事件組（P18定義4.2)在例1中，設：Fi={取到i號球}，(i=1,2,…,10)

n若n個事件A1，A2，…，An兩兩互不相容，且

Ai=

i=1

（1）A1∪A2∪…∪An=

(2)AiAj=φ，(1≤i<j≤n)，稱這n個事件構成一個完備事件組（或Ω的一個劃分）則：每個事件Fi是基本事件，且

Fi=

，即：全體Fi構成完備事件組。注：樣本空間中全體基本事件構成完備事件組。所謂“Ω的一個劃分”是“完備事件組”的一個直觀解釋A1A2樣本空間ΩA3**事件間的運算律（1）交換律Ａ∪Ｂ=Ｂ∪ＡＡ∩Ｂ=Ｂ∩Ａ（2）結合律(Ａ∪Ｂ)∪C=Ａ∪(Ｂ∪C)

(Ａ∩Ｂ)∩C=Ａ∩(Ｂ∩C)（3）分配律(Ａ∪Ｂ)∩C=(Ａ∩C)∪(Ｂ∩C)(Ａ∩Ｂ)∪C=(Ａ∪C)∩(Ｂ∪C)（4）對偶律例1設A、B、C是試驗E的隨機事件，試用事件的運算符號表示下列事件

（1）A發(fā)生

（2）只有A發(fā)生

（3）A、B、C中恰有一個發(fā)生

（4）A、B、C同時發(fā)生

（5）A、B、C中至少有一個發(fā)生

（6）A、B、C中至多有一個發(fā)生

（7）A、B、C中恰有兩個發(fā)生

（8）A、B、C中至少有兩個發(fā)生

三次都取到合格品例2從一批產品中每次取出一個進行檢驗,事件Ai表示“第i次取到合格品”(i=1、2、3).試敘述下列事件:

（1）A1A2A3

（2）A1+

A2+A3

（3）A1-

A2-A3

至少有一次取到合格品

第一次取到合格品,第二和三次取到次品

P5：習題1-1?！?隨機事件的概率

1、頻率的定義及性質定義在n次重復試驗中，若事件A發(fā)生了nA次，則稱nA為事件A發(fā)生的頻數，nA/n為事件A發(fā)生的頻率，記為f

n(A).性質（1）非負性對任意事件A，0

fn(A)1（2）規(guī)范性fn(Φ)=0,

fn(Ω)=1（3）可加性若事件A與B互不相容，則

fn(A+B)=fn(A)+fn(B)

2.1頻率2、頻率與概率

概率的統(tǒng)計定義

定義在相同的條件下，重復進行n次試驗，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在0到1之間的某一常數p附近擺動，且一般說來，n越大，擺動幅度越小，則稱常數P為事件A的概率，記作P(A)

注意（1）頻率的穩(wěn)定值為概率，所以，一般n充分大時，常用頻率作為概率的近似值（2）概率是先于試驗而存在的2.2概率的定義及性質

設試驗的樣本空間為Ω，設對每個事件A,都有一個實數P(A)與之對應，滿足下列三條公理：(2)規(guī)范性:P(Ω)=1

(3)完全可加性（可列可加性）:若Ak(k=1，2，…)兩兩互不相容，則

Ｐ(Ai)=Ｐ(Ai)

i=1i=1

定義2.1(概率的定義)(1)非負性:對于任一事件A，都有P(A)≥0則稱函數P(A)為事件A的概率。概率的主要性質性質1不可能事件的概率為零，即P(φ)=0.性質2(有限可加性)若A1，A2，…，An兩兩互不相容，則性質3設

是事件A∈Ω的對立事件，則有：證明因由性質2有即：故：性質4（1）任給A，B兩事件，則：P(A－B)＝P(A)－P(AB)（2）若ＢＡ則：P(A－B)＝P(A)－P(B)

（3）若ＢＡ則：

P(A)≥P(B)證明：因且(A-B)與AB互不相容，由性質2(有限可加性)，得P(A)＝P(A-B)＋P(AB)P(A－B)＝P(A)－P(AB)當ＢＡ時，有：AB=B，故有：P(A－B)＝P(A)－P(B)當ＢＡ時，有P(A－B)＝P(A)－P(B)≥0,則P(A)≥P(B)性質5

對任一事件A，P(A)≤1.證明：因為A

Ω，由性質4

可得，P(A)≤P(Ω)=1

。證明因：

A+B=A+(B-AB)且A∩(B-AB)=Ф（即：A與B-AB互不相容），由性質2(有限可加性)得：性質6加法公式P(A+B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)一般的加法公式:代入上式得：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(B-AB)=P(B)-P(AB)又因AB包含于B，由性質4得：P(A+B)=P(A+(B-AB))=P(A)+P(B-AB)推論：當A與B互不相容時P(A+B)＝P(A)＋P(B)例1：（課本P9）已知P(B)=0.3,P(A∪B)=0.6,求P(A-B)解：由P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB),得P(A)-P(AB)=P(A∪B)-

P(B)=0.6-0.3=0.3于是P(A-B)=P(A)-P(AB)

=P(A∪B)-

P(B)=0.6-0.3=0.3例2：（課本P9)某市發(fā)行“晚報”和“時報”兩種報紙，訂閱“晚報”的有45%，訂閱“時報”的有35%，其中訂閱兩種報紙的有10%，求只訂一種報紙的概率。 解：設事件A表示“訂閱晚報”，B表示“訂閱時報”，C

表示“只訂一種報紙”，則P(A)=0.45，P(B)=0.35

，P(AB)=0.1

，求P(C)=?

而C=(A-B)∪(B-A)，(A-B)與(B-A)互不相容，由性質2和性質4，得P(C)=P(A-B)+P(B-A)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.45-0.1+0.35-0.1=0.6解：設A表示第一部電話不占線，B表示第二部電話不占線。在一小時內至少有一部電話不占線表示為

例3（補充)：有兩部電話，在一小時內第一部電話占線的概率為0.6，第二部電話占線的概率為0.7，兩部電話都不占線的概率為0.2，求在一小時內至少有一部電話不占線的概率。 由性質5得：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+0.3-0.2=0.5則P(A）=0.4P(B)=0.3P(AB)=0.2

A∪B自學書上P9例3Ex1-2P9§3古典概型與幾何概型3.1古典概型古典概型是一種計算概率的數學模型，它是在概率論的發(fā)展過程中最早出現的研究對象。古典概型定義若一隨機試驗滿足下述兩個條件：1)樣本空間只含有有限多個樣本點（有限性）；

2）每個樣本點出現的可能性相等（等可能性）。

則稱這種隨機試驗為古典概型即：Ω={ω1，ω2，…，ωn}即：對每個i=1，2，…，n有：P({ω1})=P({ω2})=…=P({ωn})=1/n

這是一類最簡單卻是常見的隨機試驗。例一個袋子中裝有10個大小、形狀完全相同的球，編號分別為1~10，現從中任取一球。

用i表示取到i號球，i=1,2,…,10，則該實驗的樣本空間={1,2,…,10}（有限多個樣本點）,且每個樣本點出現的可能性相同（1/10）。再如：[1]擲一枚均勻的硬幣（1）有2個可能的結果（2）每個結果的出現都是等可能的[2]擲一枚均勻的骰子（1）有6個可能的結果（2）每個結果的出現都是等可能的[3]在5個白球3個黑球任取2個（1）有個可能的結果（2）每個結果的出現都是等可能的古典概型中事件概率的計算

在古典概型中，如果樣本空間含n個基本事件（樣本點）事件A包含的基本事件為k個，則定義事件Ａ的概率P(A)為：求概率問題計數問題例1將三枚均勻的硬幣投擲一次，試求下列事件的概率：（1）恰好有一枚硬幣正面朝上；（2）至少有一枚硬幣正面朝上。

舉例

[1]摸球問題（組合問題）

例1一袋中有大小、形狀完全相同的5個白球4個黑球，從中任取3個球求：（1）恰有2個白球1個黑球的概率（2）沒有黑球的概率（3）顏色相同的概率解設A={任取3個球，恰有2個白球1個黑球}

B={任取3個球，沒有黑球}

C={任取3個球，顏色相同}P（A）=P（B）=P（C）=P11例2例5另如：1o52張牌中任取4張,求（1）2張紅桃，1張方塊，1張黑桃的概率（2）沒有A的概率（3）4張大小相同的概率例3

一批產品100個，其中有6個廢品。現從這批產品中任取3個，求取出的3個產品中正好有1個廢品的概率。[2]排隊問題（不可重復的排列問題）例1一套五卷的選集，隨機的放到書架上，求各冊自左向右或自右向左卷號恰為1、2、3、4、5順序的概率。解設A——“各冊自左向右或自右向左卷號恰為1、2、3、4、5順序”樣本空間包含的基本事件總數n=5！=120事件A中包含的基本事件個數k=2所以例把10本書任意地放在書架上，求其中指定的3本書放在一起的概率設A——其中指定的三本書放在一起則

P（A）=———[3]分房問題(生日問題)（可重復的排列問題）例（P12例4）兩封信隨機地向標號為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的4個郵筒投寄。求：（1）前兩個郵筒各投入1封信的概率（2）第Ⅱ個郵筒恰好投入1封信的概率（3）兩封信投入不同郵筒的概率解設A——前兩個郵筒各投入1封信

B——第Ⅱ個郵筒恰好投入1封信

C——兩封信投入不同郵筒而樣本空間包含的基本事件總數n=42=16

事件A中包含的基本事件個數kA=2!=2事件B中包含的基本事件個數kB=C21C31=6事件C中包含的基本事件個數kC=P42=12則P（A）=2/16P（B）=6/16P（C）=12/16

P13例6[4]抽簽問題(抓鬮問題)

解：設Ａ——“他抽到會答考簽”例抽簽口試，共有a+b個考簽，每個考生抽一張，抽過的不在放回。考生王某會答其中a個簽上的問題，他是第k個抽簽應考的人（k≤a+b)，求他抽到會答考簽的概率。

1Ｃa

（a+b-1）！aP(Ａ)=———————=——

（a+b）！a+b注意：該結果與k無關古典概型的優(yōu)、缺點

優(yōu)點：古典概率可直接按公式計算，而不必進行大量的重復試驗。缺點：有局限性：只能用于全部結果為有限個，且等可能性成立的情形。一、定義（P14）1、度量（測度）：對某區(qū)域D（線段、平面圖形、立體）的大小的一種數量描述（長度、面積、體積），用(D)表示2、幾何概型如果試驗的每個基本事件可用一個幾何區(qū)域Ω中的一點表示，全體基本事件可用幾何區(qū)域Ω中的所有點表示.設區(qū)域G區(qū)域，向區(qū)域內隨機地（等可能地）投點，點落入G的概率與區(qū)域G的測度成正比，而與該區(qū)域在中的位置、形狀無關，則稱此概率模型為幾何概型3.2幾何概型3、幾何概率的求法（P15）隨機試驗的樣本空間的測度為()，區(qū)域G（）的測度為(G)，用A表示“在區(qū)域中隨機投點，而該點落入區(qū)域G中”這一事件，則事件A的概率為

例8（會面問題）甲乙兩人約定在6時到7時之間在某處見面，并約定先到者應等候另一人一刻鐘，過時即可離去。假定每人在指定的1小時內任一時刻到達是等可能的，求兩人能會面的概率。解設A——兩人能會面x——甲到達約會地點的時刻

y——乙到達約會地點的時刻則樣本空間

={（x，y）|0x60，0y60}A為區(qū)域G={（x，y）|0

|x-y|15}且G

于是P（A）=

06060xyG另解設A——兩人能會面

x——甲到達約會地點的時刻

y——乙到達約會地點的時刻則樣本空間

={（x，y）|6x7，6y7}A為區(qū)域G={（x，y）|0

|x-y|1/4}，且G

于是P（A）=

0xyG補充甲乙兩艘輪船向一個不能同時停泊兩艘輪船的碼頭停泊，它們在一晝夜內到達的時刻是等可能的。如果甲乙兩船的停泊時間都是一小時，求它們中的任何一艘都不需等候碼頭空出的概率。解設A——它們中任何一艘都不需等候碼頭空出

x——甲船到達碼頭的時刻

y——乙船到達碼頭的時刻則樣本空間

={（x，y）|0x24，0y24}A為區(qū)域G={（x，y）||x-y|1}，且G

于是P（A）=

§4條件概率在研究事件的概率時，有時會考慮一定的附加條件,如在一個事件已經發(fā)生的條件下,考慮另外一個事件發(fā)生的可能性.4.1條件概率的概念令：Ａ={一個是男孩}Ｂ={一個是女孩}

引例考察有兩個小孩的家庭,已知其中有一個是女孩,問另一個是男孩的概率。則：Ω={（男，男）、（男，女）、（女，男）、（女，女）}A={（男，男）、（男，女）、（女，男）}B={（男，女）、（女，男）、（女，女）}已知其中有一個是女孩,另一個是男孩的概率為一個是男孩的概率為

條件概率分析:

定義4.1

設A、B為任意兩個事件，且P(A)>0，在事件A已經發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率,稱為條件概率,記作P(B|A).注:(2)P(B)稱為無條件概率(1)P(B∣A)的直觀含義(3)一般地，P(B∣A)≠P(B)(4)性質：設P(A)>0

(2)P(Ω|A)=1

(3)若Ak(k=1，2，…)兩兩互不相容，則

Ｐ(Ai|A)=Ｐ(Ai|A)

i=1i=1

(1)對于任一事件B，都有0≤P(B|A)≤1例2P16-174.2條件概率的計算公式

定例理4.1設A,B是任意兩個事件，則

證明

（以古典概型為例）樣本空間A

B

B

新樣本空間A

條件概率P(A|B)的實質是樣本空間起了變化。新的樣本空間縮小為只?。滤臉颖军c。有利事件為AB。AB注意:應用此公式時P(B)P(AB)都是在原來的樣本空間中考慮例2在１０件產品中，有３件不合格品，任取兩次，每次取１件，取出后不放回，若已經發(fā)現第１件是合格品，求第２件也是合格品的概率。解：設Ａi={第i次取到合格品}，i=1，2。方法1(利用公式)

Ｐ(Ａ2|Ａ1)=6/9Ｐ(Ａ1)=Ｐ(Ａ1Ａ2)=方法2(直接求)

定理4.2對任意兩事件A、B，都有P(AB)=P(A)P(B|A)(P(A)>0)

P(AB)=P(B)P(A|B)(P(B)>0)注：當P(AB)不容易直接求得時，可考慮利用P(A)與P(B|A)的乘積或P(B)與P(A|B)的乘積間接求得。對于任意n個事件A1,A2,

…,An,且P(A1A2…An-1)>0,則有

P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)推廣的乘法公式4.3乘法公式4%次品96%正品75%一等品例１：一批產品的次品率為4％，正品中一等品率為75％，現從這批產品中任意取一件，試求恰好取到一等品的概率。解：記A＝{取到一等品}，B＝{取到次品}，

＝{取到正品}。則有：P(B)=4/100P()=96/100P(A|)=75/100由于：Ａ故：Ａ＝Ａ，于是：

例210張考簽中有4張難簽，甲、乙、丙3人參加抽簽（不放回），甲先，乙次，丙后，求甲、乙、丙都抽到難簽的概率？

記A＝{甲抽到難簽}，B＝{乙抽到難簽}，

C＝{丙抽到難簽}，

P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)=

P(A)=P(B|A)=P(C|AB)=

4.4全概率公式與貝葉斯公式定義4.2（樣本空間Ω的一個劃分)

n若n個事件A1，A2，…，An兩兩互不相容，且

Ai=

i=1

（1）A1∪A2∪…∪An=

(2)AiAj=φ，(1≤i<j≤n)，稱這n個事件構成Ω的一個劃分（或一個完備事件組）例如：一盒子中有編號為1—5的5個球，現從中任取一球，考察所取得球的號碼X。則樣本空間Ω={1，2，3，4，5}而A={X<3}，B={X=3},C={X>3}為Ω的一個劃分A1={X為偶數}，B1={X為奇數}也是Ω的一個劃分A1A2An一個事件發(fā)生.定理4.3

設A1,A2,,An構成樣本空間的一個劃分，并且P(Ai)>0,i=1,2,n,則對任意事件B，有

全概率公式證明：推論若事件A滿足0<P(A)<1,

則對任意事件B，有某一事件B的發(fā)生有各種可能的原因

，如果B是由原因Ai(i=1,2,…,n)所引起，則A發(fā)生的概率是每一原因都可能導致B發(fā)生，故B發(fā)生的概率是各原因引起B(yǎng)發(fā)生概率的總和，即全概率公式.P(AiB)=P(Ai)P(B|Ai)全概率公式.我們還可以從另一個角度去理解全概率公式可看成是“由原因推結果”，每個原因對結果的發(fā)生有一定的“作用”，即：結果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用”大小有關，全概率公式表達了它們之間的關系。

P19例5：某商店新進一批產品100個，其中有3個次品。顧客在購買時無法分辨每件產品的優(yōu)劣，而且每個顧客只能買一個，第一位顧客隨機買走了一個，接著第二位顧客又隨機買走了一個。試問第二位顧客買的產品是次品的概率。設Ａ1={第一位顧客買走的是次品}，Ａ2={第一位顧客買走的是正品}，B={第二位顧客買走的是次品}解：則P(A1)=，P(A2)=則P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)補充例：12個乒乓球9新3舊，第一次比賽時取出3個用完后放回，第二次比賽又取出3個，求取出的3個球中有2個新球的概率。設Ａi={第一次取出的3個球中有i個新球}，(i=0，1，2，3)Ｐ(B|A0)=Ｐ(B|A1)=P(B|A2)=P(B|A3)=

B={第二次取出的3個球中有2個新球}=+++=0.455Ｐ(A0)=Ｐ(A1)=P(A2)=P(A3)=則：P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)解：P19例6

P19例7

某晶體管廠有三個車間生產同一型號的電子管，已知有1/2產品是第一個車間生產的，其他兩個車間各生產1/4，第一、二兩個車間生產的產品廢品率為2%，第三車間生產的產品廢品率為4%，（1）現從該廠產品中任取一個，問取到的產品是廢品的概率是多少？（2）現已知從該廠產品中任取一個，結果是廢品，但該產品是哪個車間生產的標記已經脫落，問廠方如何處理這個廢品比較合理？（1）設Ａi={取到的產品是第i

個車間生產的}(i=1,2,3)，

B={取到的產品為次品}解：則P(A1)=，P(A2)=P(A3)=

P(B|A1)=2%

P(B|A2)=2%

P(B|A3)=4%則P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)

=0.025實際中還有一類問題—“已知結果求原因”。這類問題在實際中常見，是已知某結果發(fā)生的條件下，求各原因發(fā)生的可能性大小，即求條件概率。貝葉斯公式就解決這類問題。利用條件概率的計算公式與全概率公式可導出貝葉斯公式：定理4.4(貝葉斯公式)：設A1

，A2，…An構成樣本空間的一個劃分，且

P(Ai)>0(i=1,2,…n),則對任意一概率不為零的事件B，有

2.貝葉斯公式證明:該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導致B發(fā)生的每個原因的概率.在實際中有很多應用，它可以幫助人們確定某結果（事件B）發(fā)生的最可能原因.在貝葉斯公式中，P(Ai)（i=1，2，…）是在沒有新的信息（不知道結果B是否發(fā)生）的情況下，人們對原因Ai發(fā)生可能性大小的認識。當有了新的信息（知道結果B發(fā)生），P(Ａi|Ｂ)是人們對原因Ai發(fā)生可能性大小的新的認識。

P(Ai)和P(Ai|B)分別稱為原因Ai的先驗概率和后驗概率。應用貝葉斯公式計算后驗概率，以此作出某種判斷或決策貝葉斯公式的意義：假設導致“結果”B發(fā)生的“原因”Ai(i=1，2，…）兩兩不相容，現已知事件B發(fā)生了，若要計算導致B出現的“原因”Ai的概率，則可用貝葉斯公式求。即可從結果分析原因，所以又稱為逆概率公式。P21例8

某醫(yī)院對某疾病有一種有效的檢驗方法，可對0.95的該病患者和0.9的無該病者診斷無誤，又由歷史資料知道該病的發(fā)病率為0.0004,現有一人用這種方法檢驗出患該病，求此人確患該病的概率。由貝葉斯公式得：要求P(A|B)解：設A={患病}，A={無病}，B={檢查出患病}，B={檢查出無病}

則P(A)=0.0004，P(A)=0.9996

P(B|A)=0.95，P(B|A)=0.9

P(B|A)=1-0.9=0.1P21例9

例：有朋友自遠方來，他坐火車、船、汽車、飛機的可能性分別是0.3、0.2、0.1和0.4，如果他坐火車、船、汽車來的話，遲到的概率分別是1/4、1/3、1/12，而坐飛機不會遲到。結果他遲到了，問他坐火車來的概率是多少？解：設A1={坐火車}，A2={坐船}，A3={坐汽車}，A4={坐飛機}，

B={遲到}。

由貝葉斯公式得：則P(A1)=0.3，P(A2)=0.2，P(A3)=0.1，P(A4)=0.4

P(B|A1)=1/4，P(B|A2)=1/3，P(B|A3)=1/12，P(B|A4)=0要求P(A1|B)課堂練習：市場供應的燈泡中甲廠產品0.6,乙廠產品占0.4,甲廠產品的次品率為0.05,乙廠產品的次品率為0.1,若買到一只燈泡是合格品，求它是由甲廠生產的概率。解：設A1={甲廠生產}，A2={乙廠生產}，B={合格品}

由貝葉斯公式得：則P(A1)=0.6，P(A2)=0.4

P(B|A1)=1-0.05=0.95，P(B|A2)=1-0.1=0.9要求P(A1|B)P22Ex6-10

P22第6題兩臺車床加工同一種零件，第一臺出現廢品的概率是0.03，第二臺出現廢品的概率是0.02，加工的零件放一起，并且已知第一臺加工的零件比第二臺加工的零件多一倍。求任取一零件是合格品的概率。設Ａi={第

i

臺車床加工的零件}(i=1,2)，B={零件是合格品}解：則P(A1)=，P(A2)=

P(B|A1)=1-0.03=0.97

P(B|A2)=1-0.02=0.98則P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)

=0.973§5事件的獨立性設事件A和B，我們知道條件概率P(A|B)和無條件概率P(A)可能相等或不相等。顯然P(A|B)=P(A)這就是說,已知事件B發(fā)生,并不影響事件A發(fā)生的概率,這時稱事件A、B獨立.A={第二次擲出6點}，B={第一次擲出6點}，先看一個例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，設由乘法公式知，當事件A、B獨立時，有

P(AB)=P(A)P(B)

用P(AB)=P(A)P(B)刻劃獨立性,比用

P(A|B)=P(A)或

P(B|A)=P(B)更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制約.P(AB)=P(A)P(B)定義5.1：（事件的獨立性）則稱事件Ａ與Ｂ相互獨立，簡稱獨立。如果事件A，B，滿足：注：當P(B)>０時，P(AB)=P(A)P(B)等價于P(A|B)=P(A)當P(A)>0時，P(AB)=P(A)P(B)等價于P(B|A)=P(B)

例

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}可見,P(AB)=P(A)P(B)

由于P(A)=4/52=1/13,故事件A、B獨立.問事件A、B是否獨立？解1:P(AB)=2/52=1/26.P(B)=26/52=1/2,可見P(A)=P(A|B),

由定理5.1知事件A、B獨立.P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13解2:兩事件是否獨立可由定義或通過計算條件概率來判斷:在實際應用中,往往根據問題的實際意義去判斷兩事件是否獨立.

由于“甲命中”并不影響“乙命中”的概率，故認為A、B獨立.甲、乙兩人向同一目標射擊,記A={甲命中},B={乙命中}，A與B是否獨立？例如（即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生的概率）

一批產品共n件，從中抽取2件，設

Ai={第i件是合格品}i=1,2若抽取是有放回的,則A1與A2獨立.因為第二次抽取的結果受到第一次抽取的影響.又如：因為第二次抽取的結果不受第一次抽取的影響.若抽取是無放回的，則A1與A2不獨立.=P(A)[1-P(B)]=P(A)-P(AB)P(A)=P(A-A

B)A、B獨立概率的性質=P(A)-P(A)P(B)僅證A與獨立定理5.2

若兩事件A、B獨立,則

也相互獨立.證明=P(A)P()故A與獨立多個事件的獨立性則稱事件A1,A2,…An

互相獨立即：

對于事件A1,A2,…An,若滿足:

P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)

P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak)

……

P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)對于三個事件A、B、C，若

P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P(A)P(C)

P(BC)=P(B)P(C)

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

四個等式同時成立,則稱事件A、B、C相互獨立.則稱事件A1,A2,…An兩兩獨立。注意：

對于事件A1,A2,…An,若只滿足:

P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)即A1，…，An

中任意兩個是獨立的，兩兩獨立相互獨立對n(n>2)個事件?多個事件互相獨立的性質：（2）若事件A1,A2,…An

互相獨立，則它們及它們的對立事件中任意一部分也是互相獨立。（3）若事件A1,A2,…An互相獨立，則（1）若事件A1,A2,…An

互相獨立，則A1,A2,…An

中任意k(k≥2)個事件也相互獨立。獨立性:是相對于概率P而言的,指兩事件的發(fā)生互不影響。互不相容:是兩個事件不可能同時發(fā)生，即沒有公共的樣本點，但并不涉及到事件的概率。兩事件獨立與兩事件互不相容的區(qū)別若A、B互斥，且P(A)>0,P(B)>0,則A與B不獨立.反之，若A與B獨立，且P(A)>0,P(B)>0,則A

、B不互斥.對獨立事件，許多概率計算可得到簡化獨立性的概念在計算概率中的應用解：設A={甲投中}B={乙投中}C={丙投中}例1：（補充）甲、乙、丙三人各投籃一次，他們投中的概率分別為0.7,0.8,0.75,求（1）三人中恰好有一人投中的概率（2）三人都投中的概率（3）三人中至少有一人投中的概率ABC={三人都投中}A+B+C={三人中至少有一人投中}P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.70.80.75=0.42P(A+B+C)=1-P(A+B+C)=1-P(A)P(B)P(C)=1-0.30.20.25=0.985ABC+ABC+ABC={三人恰好有一人投中}P（ABC+ABC+ABC）=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）=0.70.20.25+0.30.80.25+0.30.20.75=0.14P(A1)=0.4P(A2)=0.5P(A3)=0.7P28第9題甲乙丙三人向同一飛機射擊，擊中的概率分別為0.4,0.5,0.7,如果只有一人擊中，則飛機被擊落的概率是0.2；如果有二人擊中，則飛機被擊落的概率為0.6；如果三人都擊中，則飛機必被擊落。求飛機被擊落的概率。解：設A1={甲擊中敵機}A2={乙擊中敵機}A3={丙擊中敵機}B1={只有一人擊中飛機}B2={只有兩人擊中飛機}B3={三人擊中飛機}B4={三人全沒擊中飛機}C={飛機被擊落}

P(B1)=0.40.50.3+0.60.50.