2023年上海市崇明區(qū)初三3月線下中考一模數(shù)學(xué)試卷含詳解

2023年3月學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研

九年級(jí)數(shù)學(xué)

（滿分150分，時(shí)間100分鐘）

一、選擇題：（本題共6題，每小題4分，滿分24分）每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.下列各組圖形中，一定相似的是（）

A.兩個(gè)矩形B.兩個(gè)菱形C.兩個(gè)正方形D.兩個(gè)等腰梯形

2.將函數(shù)y=α√+法+c（α≠o）圖像向右平移2個(gè)單位，下列結(jié)論中正確的是（）

A.開口方向不變B.頂點(diǎn)不變C.對(duì)稱軸不變D.與y軸的交點(diǎn)不變

3.在Rt二ASC中，NC=90°,A3=4,AC=3,那么COSA的值是（）

3√7-34

A.-B.?-C,-D.-

5443

4.已知e為單位向量，向量α與e方向相反，且其模為H的4倍；向量8與e方向相同，且其模為H的2倍，則

下列等式中成立的是（）

11-

Aa=2bB?a=—2bC.?D.a=~~b

5.四邊形ABC。中，點(diǎn)尸在邊AO上，■的延長(zhǎng)線交CQ的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，下列式子中能判斷AZ）〃BC的

式子是（）

FDEDrAFBFCAB_AFCEFED

A.-----——------B.-----——------D.-----——------

BCECDFEF~ED~~FDBEEC

6.如圖，在＜48。中,CDA.AB,垂足為點(diǎn)O,以下條件中不能推出,ABC為直角三角形的是（）

CDBDAB_BCACAD

A.ZA=ZBCDB.--------------C~BC~~BDD.-----=------

ADCDBCBD

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.若γ3=V3且DC≠0,則x+一y=.

23y

8.計(jì)算：5a—3（2a—Z?）=.

9.點(diǎn)P是線段MN的黃金分割點(diǎn)，如果MN=IoCm,那么較長(zhǎng)線段MP的長(zhǎng)是cm.

10.如果拋物線y=（〃L2）f有最高點(diǎn)，那么加的取值范圍是.

11.如果拋物線y=2Y一灰+1的對(duì)稱軸是y軸，那么它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

12.己知點(diǎn)4（—2,y）、3（—3,%）為二次函數(shù)丁=（》+1）2圖像上的兩點(diǎn)，那么Xy2?（填“>”、

“=”或）

13.若兩個(gè)相似三角形周長(zhǎng)比是4：9,則對(duì)應(yīng)角平分線的比是.

14.飛機(jī)離水平地面的高度為3千米，在飛機(jī)上測(cè)得該水平地面上的目標(biāo)A點(diǎn)的俯角為α,那么此時(shí)飛機(jī)與目標(biāo)

A點(diǎn)的距離為千米.（用。的式子表示）

15.如圖，在梯形ABCO中，AD/∕BC,NB=ZAer）=90°,"=45°,則迫C=.

16.如圖，4ABC的兩條中線AZ）和8E相交于點(diǎn)G,過點(diǎn)E作所〃BC交A。于點(diǎn)凡那么——=

AG

17.如圖，菱形ABe。的邊長(zhǎng)為8,E為8C的中點(diǎn)，AF平分NE4D交Co于點(diǎn)F,過點(diǎn)尸作/=6〃AZ）,

18.如圖，在RtZ?A3C中，NC=90°,AC=4,8C=3,點(diǎn)。在AC邊上，點(diǎn)E在射線AB上，將VADE沿

DE翻折，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)A處，當(dāng)AT）_LAC且C4'〃A3時(shí)，BE長(zhǎng)為.

B

三、解答題（本大題共7題，滿分78分）

19.計(jì)算：4cos300-cot45otan600+2sin2450

20.如圖，在梯形A88中，AD//BC,且BC=34）,過點(diǎn)A作A七〃。C,分別交BCBD于點(diǎn)

E、F,若A5=α,5C=0.

（1）用以6表示8。和AF；

（2）求作B尸在aS方向上的分向量.（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并指出所作圖中表示結(jié)論的分向量）

3

21.如圖，。是上WC邊上的一點(diǎn)，CD=2AD,AELBC,垂足為點(diǎn)E，若AE=9,SinNCBo=2.

（1）求Bo的長(zhǎng)；

（2）若BD=CD,求tan∕B4E的值.

22.如圖，一根燈桿AB上有一盞路燈A,路燈A離水平地面的高度為9米，在距離路燈正下方B點(diǎn)15.5米處有

4

一坡度為i=l：g的斜坡CD,如果高為3米的標(biāo)尺E/豎立地面BC上，垂足為尸，它的影子的長(zhǎng)度為4米.

圖1圖2

（1）當(dāng)影子全在水平地面BC上（圖1）,求標(biāo)尺與路燈間的距離；

（2）當(dāng)影子一部分在水平地面BC上，一部分在斜坡。。上（圖2）,求此時(shí)標(biāo)尺與路燈間的距離為多少米？

23.已知：如圖，在梯形ABCf)中，AD//BC,ADBC,對(duì)角線AC與BO交于點(diǎn)/，點(diǎn)G是AB邊上的中

2

點(diǎn)，連接CG交8。于點(diǎn)E,并滿足以不=GE?GC.

(1)求證：ZGAE=ZGCA;

(2)求證：AD-BC=2DF?DE

3

24.如圖，在直角坐標(biāo)平面Xoy中，對(duì)稱軸為直線X=1的拋物線曠=加+a+2經(jīng)過點(diǎn)A(4,0)、點(diǎn)M(I,加),

與y軸交于點(diǎn)B.

(1)求拋物線的解析式，并寫出此拋物線頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)聯(lián)結(jié)Aδ,AM,BM,求SABM；

(3)過M作X軸的垂線與AB交于點(diǎn)P,Q是直線MP上一點(diǎn)，當(dāng)-BMQ與,.AMP相似時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

25.已知RtΔA5C中，NBAC=90°,AB=AC=4,AO〃Be,點(diǎn)E為射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與A重

(2)在(1)的情況下，射線C4與BE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。，設(shè)AE=X,QF=y,求y關(guān)于X的函數(shù)解析式，并

寫出定義域；

(3)當(dāng)BE=3時(shí)，求CF長(zhǎng).

2023年3月學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研

九年級(jí)數(shù)學(xué)

（滿分150分，時(shí)間100分鐘）

一、選擇題：（本題共6題，每小題4分，滿分24分）每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.下列各組圖形中，一定相似的是（）

A.兩個(gè)矩形B.兩個(gè)菱形C.兩個(gè)正方形D.兩個(gè)等腰梯形

【答案】C

【分析】根據(jù)相似圖形的定義，四條邊對(duì)應(yīng)成比例，四個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法解答.

【詳解】A、兩個(gè)矩形四個(gè)角相等，但是各邊不一定對(duì)應(yīng)成比例，所以不一定相似，故不符合題意；

B、兩個(gè)菱形，對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角不一定相等，不符合相似的定義，故不符合題意；

C、兩個(gè)正方形，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊一定成比例，一定相似，故符合題意；

D、兩個(gè)等腰梯形同一底上的角不一定相等，對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，不符合相似的定義，故不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似形的定義，熟練掌握矩形、等腰梯形、菱形、正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.將函數(shù)y=0√+加+c（α≠0）的圖像向右平移2個(gè)單位，下列結(jié)論中正確的是（）

A.開口方向不變B.頂點(diǎn)不變C.對(duì)稱軸不變D.與V軸的交點(diǎn)不變

【答案】A

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律：左右平移，X改變：左加右減，y不變，即可判定B、C、D選項(xiàng)錯(cuò)誤；開

口方向與。有關(guān)，“不變，則開口方向不變，則A正確.

【詳解】開口方向與。有關(guān)，。不變，則開口方向不變，A選項(xiàng)正確；

左右平移，X改變，則頂點(diǎn)改變，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

左右平移，X改變，則對(duì)稱軸改變，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

左右平移，X改變，則與了軸的交點(diǎn)改變，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故答案為：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律：左右平移，X改變：左加右減，y不變；上下平移，X不變，》改

變，上加下減；同時(shí)考查了二次函數(shù)圖象開口方向，開口方向與。有關(guān)，“不變，則開口方向不變.

3.在RtABC中，NC=90°,A3=4,AC=3,那么COSA的值是（）

3√734

A.-B.—C.-D.-

5443

【答案】C

【分析】先畫出圖形，再由銳角三角函數(shù)定義求解即可.

AΓ3

【詳解】解：CoSA=—=—,

AB4

故選：C.

?.'1

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，解答本題的關(guān)鍵是余弦的定義.

4.已知e為單位向量，向量&與e方向相反，且其模為H的4倍；向量人與e方向相同，且其模為H的2倍.，則

下列等式中成立的是（）

--I,1,

Aa=2bB.a=—2bC?a~~^D.a=~~b

【答案】B

［分析］根據(jù)平面向量的性質(zhì)得到d=Te,b=2e，從而得到a=-2b-

【詳解】解：根據(jù)題意知，α=Te,b=2e，

貝IJe=---α,e=-b,

42

則a=-2。，觀察選項(xiàng)，只有選項(xiàng)B符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了平面向量的知識(shí).此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握單位向量的知識(shí).

5.四邊形ABCQ中，點(diǎn)F在邊AD上，版的延長(zhǎng)線交CZ）的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，下列式子中能判斷AO〃BC的

式子是（）

FDEDAFBFCAB_AFEFED

A.B.----——-----D.----——-----

~BC~~ECDFEF'~ED~~FDBEEC

【答案】D

【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定方法逐項(xiàng)判斷即可.

FDED

【詳解】解：A.—=——，結(jié)合NEED=NBEC不能證明右FEZABEC,不能推出NMD=N,因

BCEC

此不能判斷4）〃BC,不合題意;

?pBF

B.——=——，結(jié)合HB=ND-石，可證一可得NA=NH）E，可以判斷A8〃DC,不能判

DFEF

斷A￡>〃BC,不合題意;

ABAF

C.—,結(jié)合ZAFB=ZDFE,不能證明AAyBS二￡）方打，不能判斷Ai9〃。。，也不能判斷

AD//BC,不合題意;

EFFD

D.—=—,結(jié)合NKED=NBEC可證，F(xiàn)ED^BEC,推出NEFD=NEBC,能夠判斷AO〃BC,符

BEEC

合題意;

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法.

6.如圖，在中，CDA.AB,垂足為點(diǎn)D,以下條件中不能推出UWC為直角三角形的是（）

CDBDAB_BCACAD

A.ZA=ZSCDB.-------------C~BC~~BDD.-------------

ADCDBCBD

【答案】D

【分析】此題根據(jù)直角三角形的定義和相似三角形的判定方法判斷即可.

【詳解】A.因?yàn)镹A=ZBCZ）,ZA+ZACD=90°,所以NSC。+/48=90°,即一ABC為直角三角

形，故A正確.

B.因?yàn)?2=的，而且NBOC=NADC=90°,所以ZkADCS那么NB=NACD,因?yàn)?/p>

ADCD

ZS+ZBCZ）=90°,所以NBCD+NACD=90°,即ABC為直角三角形，故B正確.

ΛDBC

C.因?yàn)椤?——，而且NB=N所以CCoBSAe8,那么NACB=NBOC=90。，即ABC為直角三

BCBD

角形，故C正確.

AQΛΓ)

D.—=——，而且NBoC=NADC=90°,所以△">CS?sg,因?yàn)镃D=Cr),所以兩三角形全等,

BCBDJz

只能說明一ABC為等腰三角形，無法說明是直角三角形，故D錯(cuò)誤.

故選：D

【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形，解題關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法.

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.若］=］，且孫工0,則T

5,2

【答案】-##1-

33

由等式兩邊同時(shí)除以占X2

【分析】可得一二彳，進(jìn)而根據(jù)分式的性質(zhì)求解即可

y3

【詳解】灣,且孫≠o,

x2

—二—

y3

故答案為：I

3

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的性質(zhì)，等式的性質(zhì)，掌握分式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.計(jì)算：5a-3(2a-b^=.

【答案】-a+3b

【分析】直接利用實(shí)數(shù)與向量相乘及平面向量的加減運(yùn)算法則去括號(hào)求解即可求得答案.

【詳解】解：5a-3(2a-b^

=5a-6a+3h

=-ci+3b`

故答案為：-α+30?

【點(diǎn)睛】此題考查了平面向量的運(yùn)算法則.注意掌握去括號(hào)時(shí)的符號(hào)變化是解此題的關(guān)鍵.

9.點(diǎn)尸是線段MN的黃金分割點(diǎn)，如果MN=IOCm,那么較長(zhǎng)線段MP的長(zhǎng)是cm.

【答案】(5百—5)

【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，得到竺I=正二1,求解即可.

MN2

【詳解】解：由題意，得：二1,即："￡=立二1,

MN2102

.?.MP=(5√5-5)cmi

故答案為：(5√5-5).

【點(diǎn)睛】本題考查黃金分割點(diǎn).熟練掌握黃金分割點(diǎn)的定義，是解題的關(guān)鍵.

10.如果拋物線y=(m-2)f有最高點(diǎn)，那么m的取值范圍是.

【答案】m<2

【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=(m-2)f有最高點(diǎn)，得出拋物線開口向下，即m—2<0,即可得出答案.

詳解】解：：拋物線y=(加一2)f有最高點(diǎn)，

???拋物線開口向下，

m-2<0，

.*.m<2,

故答案為：m<2.

【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的最值與開口方向的特點(diǎn).

11.如果拋物線y=2f-"+i的對(duì)稱軸是y軸，那么它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

【答案】（Ql）

【分析】由題意知X=——=0,即可解得拋物線為y=2∕+i,將X=O代入即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo).

2a

【詳解】解：?.?y=2f一法+1的的對(duì)稱軸是y軸,

?b~b∩

Ia2x2

解得：h=0

二拋物線為：y=2x2+↑,

2

將X=O代入y=2∕+ι得：y=2×0+l=l,

.?.頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0』）.

故答案為：（0,1）.

h

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，二次函數(shù)y=GJ+∕χ+c的對(duì)稱軸為直線X=——,與）,軸

72a

的交點(diǎn)為（0,c）.

12.已知點(diǎn)A（—2,y）、3（—3,%）為二次函數(shù)丁=（》+1）2圖像上的兩點(diǎn)，那么My2.（填“>”、

“=”或）

【答案】<

【分析】由于知道二次函數(shù)的解析式，且知道A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，故可將兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求出

%、為值，再比較即可

【詳解】解：當(dāng)x=-2時(shí)，

X=（-2+1）2=1,

當(dāng)X=—3時(shí)，

%=（-3+1）2=4,

X<%?

故答案為：<.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)y值的大小，這類題目的一種算法是將兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入二次函數(shù)解

析式求出y值.

13.若兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比是4：9,則對(duì)應(yīng)角平分線的比是.

【答案】4:9

【詳解】試題解析：兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比是4:9.

這兩個(gè)三角形的相似比是4:9.

對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比,是4:9.

故答案是：4:9.

點(diǎn)睛：相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比.對(duì)應(yīng)角平分線，中線，高之比都等于相似比.面積比等于相似比的平方.

14.飛機(jī)離水平地面的高度為3千米，在飛機(jī)上測(cè)得該水平地面上的目標(biāo)A點(diǎn)的俯角為α,那么此時(shí)飛機(jī)與目標(biāo)

A點(diǎn)的距離為千米.（用α的式子表示）

3

【答案】--

s?na

【分析】構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)表示邊長(zhǎng)即可.

【詳解】如圖所示，飛機(jī)在8點(diǎn)處，AC為水平線，則3C±AC

BD//AC

Z.BAC-ZABD-a

,BC33

.?.sina=——=——，解得AB=------

ABABSina

3

故答案為：--

C：?A

【點(diǎn)睛】此題考查解直角三角形，解題關(guān)鍵是知道俯角是哪個(gè)角，然后利用正弦值求解.

S

15.如圖，在梯形ABCO中，AD/∕BC,/B=NACD=90°,ND=45°,則產(chǎn)C=

【答案】y##05

ΛΓ

【分析】證明，ABCSACr＞，AC與AO為對(duì)應(yīng)邊，相似三角形的面積比等于相似比的平方，因此只需求出二三

即可.

【詳解】解：∕A8=90°,ZD=45o,

NC4Z>=NO=45°,

ACCD,

AD=yjAC2+CD2=√2AC?

,AC√2

?----=----.

AD2

AD//BC,

ZBC4=NCAD=45。，

又ZB=ZACD=90o,

ABC^.ACD,AC與AO為對(duì)應(yīng)邊,

.SAAfl2j餌11

,Sg[AD)[2J2

故答案為：?.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、等腰三角形的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的面

積比等于相似比的平方.

FG

16.如圖，4ABC的兩條中線和BE相交于點(diǎn)G,過點(diǎn)E作EF〃BC交AD于點(diǎn)F,那么F=.

AG

4

【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)得到AG=2DG,BG=2GE,根據(jù)平行線分線段成比例定理計(jì)算即可.

【詳解】解：YAABC的兩條中線AD和BE相交于點(diǎn)G,

點(diǎn)G是aABC的重心，

.?.AG=2DG,BG=2GE,

VEF√BC,

.FG_EGX

故答案為T.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的重心的概念和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，三角形的重心是三角形三

條中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍.

17.如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為8,E為BC的中點(diǎn)，A尸平分NE4。交Co于點(diǎn)尸，過點(diǎn)尸作EG〃AD,

交AE于點(diǎn)G,若CoS8=工，則FG的長(zhǎng)為.

【分析】作A”垂直BC于”，延長(zhǎng)AE和QC交于點(diǎn)時(shí)，然后通過證明A”是BE的垂直平分線，進(jìn)而證明

MGFMEC,即可得出答案.

【詳解】如圖，作A”垂直BC于“，延長(zhǎng)AE和。。交于點(diǎn)M，

菱形ABCo的邊長(zhǎng)為8,

.AB=AD=BC=8，

CBH1

COSD==—,

AB4

???BH=2,

E為BC的中點(diǎn)，

BE=CE=4,

EH=BE-BH=2,

；?AH是BE的垂直平分線，

AE—AB=8，

BE=CE,ZAEB=ZCEM,

又AB//DM,

.?./B=/MCE,

-NABE^MCE

AE=AB=EM=CM=8,

設(shè)GF-x,

AZ7平分ZE4T),

ZGAF=ZFAD,

又FG//AD,

ZGFA=ZFAD,

■.ZGAFZAFG,則AG=G/,

則AG=X,GE=S-x,

GF//BC,

^MGF_MEC,

,4_8

,?一=，

X16-x

解得：X=—

3

故答案為：—.

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)使用、垂直平分線的性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)，作輔助線是本題的

關(guān)鍵.

18.如圖，在RtzλA8C中，NC=90°,AC=4,8C=3,點(diǎn)。在AC邊上，點(diǎn)E在射線AB上，將VA￡>E沿

OE翻折，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，當(dāng)A。_LAC且C4'〃AB時(shí)，的長(zhǎng)為.

254

【答案】—##3-

77

【分析】求出tan4=gg=3,勾股定理求出AB，根據(jù)題意，易得：AD=AD'>

AC4

?,Γ)3

tanZDCA'=IanA=——=-,進(jìn)而求出A。,CD的長(zhǎng)，過H作A'”〃AC,過點(diǎn)E作EHLA'H,過點(diǎn)8

CD4

作BM上EH，交EH于點(diǎn)、M,延長(zhǎng)BC交A歸于點(diǎn)N,易得四邊形ANCD,四邊形NHA/均為矩形，分別

FM3

求出AN,CN,M",得到tanNEBM=tanA=——=-,設(shè)EM=3x,=4x,貝ij：BE=5x,分別用含X

BM4

的式子，表示出AE,E",A'H,利用勾股定理求出X的值，進(jìn)而得解.

【詳解】解：在RtAABC中，NC=9()o,AC=4,5C=3,

I-------------“BC3

?AB^^AB2+BC2=5；tanA=-?-,

AC4

???將VAr)E沿Z)E翻折，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，當(dāng)A。，AC且C4'〃AS,

???A0=AO',NeZM'=90。,NoG4=ZA,

,A'D3

tanZDCA=tanA=-----=—,

CD4

3

.?.AD=ArD=-CD,

4

3

.?.AD+CD=-CD+CD=AC=4,

4

.?.AD=A'D=-

7

過A作A'H〃AC,過點(diǎn)E作石Hj_A7f,過點(diǎn)8作BΛ∕J>EH,交EH于點(diǎn)M,延長(zhǎng)BC交A'”于點(diǎn)N,

E

VZC=90o,

.,.ABNA!=ADCN=ZCNH=90o,

.?.四邊形A1NCD,四邊形NHMB均為矩形，

.?.A'N=CD=-,CN=A'D=-,MH=BN=BC+CN=-,BM//NH//AC,

777

NEBM=ZA，

/lc*..EM3

tanZ.EBM=tanA=-----=—,

BM4

設(shè)EM=3x,5M=4x,則：BE=5χ,

ΛAE=AB+BE=5+5x,A'H=A'N+NH=A'N+BM=-+4x,EH=EM+MH=-+3x,

77

連接AE,貝I：AE=AE=5+5x,

、2、2

3+4X+史+3x

在Rt-ATffi中,A!E2=AH2+EH2即:（5+5x）2

I7

777

解得：X——,

7

25

BE=5×-

7T

故答案為：—.

7

【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形.本題難度大，綜合性強(qiáng)，根據(jù)題意，準(zhǔn)確的

作圖，構(gòu)造特殊圖形，是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共7題，滿分78分）

19.計(jì)算：4cos300-cot45otan600+2sin245°

【答案】l+√3

【分析】因?yàn)閏os30。=且，cot45M,tan60o=√3-sin450=—，然后代入計(jì)算式即可得出答案.

22

【詳解】CoS30°=，^，cot45o=l.tan60o=V3>sin45°=?^,

22

n（萬丫

.?.原式=4xt—1XG+2X—=l+√3,

2I2）

故答案為：1+J5?

【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的各種三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，在梯形ABCz）中，AD//BC,且BC=3AD,過點(diǎn)A作AE〃OC,分別交BC、BD于點(diǎn)

E、F,若AB=a,BC=b.

A_D

Aκ

（1）用α力表示8。和AF；

（2）求作BF在αg方向上的分向量.（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并指出所作圖中表示結(jié)論的分向量）

.12I-

【答案】（1）BD=-b-a,AF^-h+-a

393

（2）見解析

【分析】（1）利用向量的表示方法，由Bo=B4+AO即可求出80,利用平行線分線段成比例，求出AF=；AE,

即可求出AF；

（2）過點(diǎn)F1作G尸〃BC交AB于點(diǎn)G,FH〃AB交BC于點(diǎn)、H,則BG、即為所求.

【小問1詳解】

解：AB=-BA

BD=BA+AD=-AB+AD

AB=a,BC=b,BC=3AD

111

:.BD=-AB+AD^-AB+-BC--a+-h=-h-a

333

AD//BC,AE//DC

.?.四邊形ADCE是平行四邊形，AD=EC,AE=DC

BC=3AD,

BC=3EC,

.?.BE=2EC,

AD=EC,

BE=2AD?

?AD∕/BC,

；.二ADFs..EBF

.λd-λf_1

,~BE~^FE~2,

：.AF=-AE,

3

AE=DC,

：.AF=-AE^-DC=-(DA+AB+BC?=-(-AD+AB+BC?,

333、>3v>

AB=a,BC=b,BC=3AD,

.?.AF=-?--BC+AB+Bc]^-?-BC+AB?^-?-b+a?=-b+-a,

3(3J3(3)3UJ93

【小問2詳解】

解：如圖所示，過點(diǎn)r作G/〃BC交AB于點(diǎn)G,FH〃AB交BC于點(diǎn)、H,

BF在a、b方向上的分向量如圖所示，BG-BH即為所求；

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平面向量的線性計(jì)算，掌握平面向量的線性計(jì)算解題的關(guān)

鍵.

3

21.如圖，。是邊上的一點(diǎn)，CD=2A。,AELBC,垂足為點(diǎn)E,若A￡=9,SinZCBD=-.

（1）求BD的長(zhǎng)；

（2）若BD=CD,求tanNB4E的值.

【答案】（1）8（2）J

9

r?τ~>-?

【分析】（1）作。E1BC于點(diǎn)F,通過AE〃。尸可得一?=——，求出。尸的長(zhǎng)度，根據(jù)SinNC80=二，

ACAE4

即可求解；

（2）先利用勾股定理求出CE的長(zhǎng)度，根據(jù)等腰三角形三線合一可得3斤=。尸，再根據(jù)平行線分線段成比例求出

EF,進(jìn)而求由BE,即可求出tan∕54E的值.

【小問1詳解】

解：如圖，作"'1BC于點(diǎn)、F,

DF工BC,AELBC,

???AE//DF,

：.-C-D=-D--F,

ACAE

CD^2AD,

AC=AD+CD=3AD,

CDDF2

"AC^ΛE^3'

AE=9,

：.DF=-AE=6,

3

3

SinNCBQ=-,

4

DF3

.?.——=-,

BD4

44

.?.BD=-DF=—乂6=8；

33

【小問2詳解】

解：BD=CD=8,

由（1）知DF—6,

?.在Rt△。尸C中，CF=?JCDr-DF2=√82-62=2√7-

BD=CD,DF1BC,

?BF=CF=2√7，

AE//DF,

CFCDC

EFAD

EF=布,

?BE=BF-EF=S，

「/3.BE

AE9

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定，平行線分線段成比例，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等，難度

一般，解題的關(guān)鍵是利用平行線分線段成比例得出相應(yīng)線段的比例關(guān)系.

22.如圖，一根燈桿AB上有一盞路燈A,路燈A離水平地面的高度為9米，在距離路燈正下方B點(diǎn)15.5米處有

（1）當(dāng)影子全在水平地面BC上（圖1）,求標(biāo)尺與路燈間的距離；

（2）當(dāng)影子一部分在水平地面BC上，一部分在斜坡CO上（圖2）,求此時(shí)標(biāo)尺與路燈間的距離為多少米？

【答案】（1）標(biāo)尺與路燈間的距離為8米；

（2）此時(shí)標(biāo)尺與路燈間的距離為14米.

【分析】（1）由題意可知，AB_L8C,EPLBC得到A8〃七尸，則4EFGs∕?ABG,把數(shù)值代入

EFFG

即可得到答案;

~?B~BF+FG

（2）連接AE交C。于點(diǎn)過點(diǎn)M作MNIBC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,過點(diǎn)M作MGLAB于點(diǎn)G,交EF

于點(diǎn)“，設(shè)CM=X米，則/7C=（4—x）米，可證明，AGMsGHM,得到必=也，求出

v7EHHM

AG=（9—∣x1米，GM=115.5+gx）米，E"=（3—∣x）米，HM=（^4-x+∣A代入比例式得到關(guān)于X

的一元二次方程，解方程求得X的值，即可得到答案.

【小問1詳解】

圖1

由題意可知，ABLBC,EFLBC,

'.AB//EF，

：.AEFGs必BG,

.EFFG

"~AB~BF+FG

由題意可知，E尸=3,AB=9,FG=4,

.3=4

,,9^BF+4

解得BF=8,

即標(biāo)尺與路燈間的距離為8米；

【小問2詳解】

如圖，連接AE交Co于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MNJ.BC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,過點(diǎn)M作MG，AB于點(diǎn)G,交EF

圖2

???影子長(zhǎng)為4米，

.?.FC+CM=4米,

設(shè)CM=X米，

.^.FC=(4-x)米，

?：BC=I5.5米,

?：AB?BC,EF±BC,

；?AB//EF，

：.ZAGH=AEHM,ZBAE=ZFEM,

：.UAGMSJEHM,

.AGGM

—''~EH~~HM,"

43

.?.CN=—X米，MN--x,

55

3

GB=彳X米,

：.AG=(9——X)米，GM=115.5+—龍)米，EH=(3—∣??τ)米，HM=f4-x+-?

34

9--x15.5+-x

5=5

o34

55

.,.2X2+9X-35=0.

解得芯=-7（不合題意，舍去），W=I

經(jīng)檢驗(yàn)X=-是方程的解且符合題意，

2

3

???尸。=4一次=一米，

2

.?.=15.5-之=14米，

2

.?.此時(shí)標(biāo)尺與路燈間的距離為14米.

【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、解分式方程、解直角三角形的坡度問題，熟練掌握相似三角形的

判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

23.己知：如圖，在梯形ABeO中，AD//BC,AD=-BC,對(duì)角線AC與80交于點(diǎn)/，點(diǎn)G是AB邊上的中

2

點(diǎn)，連接CG交BD于點(diǎn)E,并滿足BG?=GE.GC.

（1）求證：ZGAE=ZGCA;

（2）求證：AD?BC=2DF?DE

【答案】（1）見解析（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)得出AG=BG,再由相似三角形的判定和性質(zhì)證明一GC4sG4E即可；

（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出NGBE=NGCB,再由（1）得NGAE=NGc4,利用三角形外角的性質(zhì)

得出NA￡尸=NAC8,再由相似三角形的判定和性質(zhì)得出AASdCB/，BF=2DF，繼續(xù)利用相似三角形的

判定得出「ADES_FBC,再由其性質(zhì)即可證明.

【小問1詳解】

證明：：點(diǎn)G是AB邊上的中點(diǎn)，

.*.AG=BG，

BG2=GE.GC，

AG2=GE.GC

.AGGE

''~GC~~AG'

又：NCG4=NAGE,

?,?.-GCAoσ..GAE.

/GAE=NGCA.

【小問2詳解】

證明：=8G2=GE?GC,

.BGGE

,"GC~~BG'

又：/CGB=/BGE,

：.aGCBSGBE.

??.NGBE=NGCB.

由（1）得NGAE=/GCA,

?.?ZAEF=ZABE+ZBAE,ZACB=ZACG+NBCG,

?.ZAEFZACB,

?：AD//BC,

:?」ADFs^CBF.

?,AD=-BC,

2

.ADDFAF_]

''~BC~~BF~~CF~2,

??.BF=2DF,

'：AD//BC,

：.ZADB=/DBC,

?.?ZAEF=ZACB

.?..ADEs-FBC.

?∩rip

.叱=把即Az）BC=OE?B∕7,

BFBC

BF=2DF,

.?.AD.BC=2DF?DE.

【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的定義、平行線的性質(zhì)，熟知相似三角形的判定與性

質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

24.如圖，在直角坐標(biāo)平面Xoy中，對(duì)稱軸為直線X=]的拋物線），=以2+-+2經(jīng)過點(diǎn)A（4,0）、點(diǎn)M（I,加），

與y軸交于點(diǎn)8.

(1)求拋物線的解析式，并寫出此拋物線頂點(diǎn)。的坐標(biāo);

(2)聯(lián)結(jié)AB,AW,6M,求SABM；

(3)過”作1軸的垂線與AB交于點(diǎn)P,Q是直線MP上一點(diǎn)，當(dāng)?BMQ與二AMP相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

?3(325、

【答案】(1)y—~~χ+?~x+2,頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為；,?^^^；

22<28J

(2)3(3)(1,-1)或(1,∣?

?Z)

b3

【分析】(1)由對(duì)稱軸為直線X=—的拋物線y=∕+fof+2經(jīng)過點(diǎn)A(4,0),可列方程組，2a2,解方

2[16α+4"2=0

程組后即可得到函數(shù)解析式，化成頂點(diǎn)式求出定點(diǎn)坐標(biāo)即可；

(2)求出點(diǎn)M和點(diǎn)B的坐標(biāo)，作MNd.y軸于點(diǎn)M利用梯形面積減去兩個(gè)直角三角形面積即可；

(3)過點(diǎn)M作MELy軸于點(diǎn)E,設(shè)直線MP交X軸于點(diǎn)C,先求出ΔAfiW各邊的長(zhǎng)度，證明NAMB=90°,

分兩種情況分別求解即可.

【小問1詳解】

_±_2

解：由題意得到＜^2∑-2f

16o+4h+2=0

1

a-——

解得彳2

b=-

2

1

拋物線的解析式為y=-5/9+-x+2,

2

..1?????If3Y25

.y=——X+—x+2=——X——)+,

222T

(325、

，頂點(diǎn)。坐標(biāo)為彳,M；

12oy

【小問2詳解】

1,3

當(dāng)X=I時(shí)，y=——X+-x+2=：3,

22

.?.點(diǎn)M(1,3),

1,3

當(dāng)X=O時(shí)，y=一—%2+-x+2^=2,

22

8(0,2),

如圖，聯(lián)結(jié)A8,AM,,作MNJ.y軸于點(diǎn)N,

則ON=3,08=2,OA=4,MN=I,BN=ON-OB=T,

則梯疇X

SABM=SCW