2023-2024學年河南省許昌市九年級（上）期中數(shù)學試卷（含解析）

2023-2024學年河南省許昌市九年級第一學期期中數(shù)學試卷

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1.下列數(shù)學經典圖形中，是中心對稱圖形的是()

2.點尸(2,-3)關于原點對稱的點P的坐標是()

A.(2,3)B.(-2,-3)C.(-3,2)D.(-2,3)

3.如圖，在平面內將五角星繞其中心旋轉180。后所得到的圖案是()

4.將拋物線y=N先向右平移3個單位，再向上平移4個單位，得到的拋物線是()

A.y—(尤-3)2+4B.y—(x+3)2+4

C.y=(x-3)2-4D.y=(x+3)2-4

5.若關于x的一元二次方程(?77-1)N+5X+/"2-4m+3=0的常數(shù)項為0,則機的值為()

A.1B.3C.1或3D.0

6.近年來，由于新能源汽車的崛起，燃油汽車的銷量出現(xiàn)了不同程度的下滑，經銷商紛紛

開展降價促銷活動.某款燃油汽車今年3月份售價為23萬元，5月份售價為16萬元.設

該款汽車這兩月售價的月均下降率是x,則所列方程正確的是（）

A.16（1+無）2=23B.23（1-%）2=16

C.23-23（1-x）2=16D.23（1-2%）=16

7.如圖，把△ABC以點A為中心逆時針旋轉得到△相>￡,點2,C的對應點分別是點。，

E,且點E在8C的延長線上，連接3。，則下列結論一定正確的是（）

A./CAE=/BEDB.AB=AEC./ACE=/ADED.CE=BD

8.拋物線y=/+x+c與x軸只有一個公共點，則c的值為（）

A.」B.—C.-4D.4

44

9.若一個菱形的兩條對角線長分別是關于X的一元二次方程尤2-10x+m=0的兩個實數(shù)根，

且其面積為11,則該菱形的邊長為（）

A.aB,273c-714D-2V14

10.已知Pi（xi,yi）,P2（X2,>2）是拋物線y=ox2+4ax+3是常數(shù)，aWO）上的點，現(xiàn)

有以下四個結論：①該拋物線的對稱軸是直線x=-2；②點（0,3）在拋物線上；③若

Xl>X2>-2,則—>>2；④若yi=>2,則尤1+無2=-2,其中，正確結論的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題（每小題3分，共15分）

11.把方程3%2=5尤+2化為一元二次方程的一般形式是.

12.正方形繞中心至少旋轉度后能與自身重合.

13.二次函數(shù)y=-x2-3x+4的最大值是.

14.如圖，在平面直角坐標系中，點B坐標（8,4）,連接。3,將繞點。逆時針旋轉

90°,得到08,則點B'的坐標為

15.如圖，拋物線y=/-6x+5與無軸交于點A,B,與y軸交于點C,點。（2,M在拋

物線上，點E在直線上，若/DEB=2ZDCB,則點E的坐標

16.解方程：

（1）（2尤-1）2=9；

（2）尤2-4x-1=0.

17.如圖，在方格紙中按要求畫圖，并完成填空.

（1）畫出線段OA繞點O順時針旋轉90°后得到的線段。8,連接AB；

（2）畫出與△AOB關于直線對稱的圖形，點A的對稱點是C；

（3）填空：NOCB的度數(shù)為.

18.如圖，△ABC中，點E在邊上，AE=AB,將線段AC繞A點旋轉到A尸的位置,

使得/CAF=N8AE,連接EF,EF與AC交于點G.

（1）求證：EF=BC；

(2)若/ABC=65°，ZACB=28°,求/尸GC的度數(shù).

19.如圖，老李想用長為70m的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個矩形羊

圈A8CD并在邊BC上留一個2m寬的門（建在EF處，另用其他材料）.

（1）當羊圈的長和寬分別為多少米時，能圍成一個面積為640加2的羊圈？

（2）羊圈的面積能達到650〃/嗎？如果能，請你給出設計方案；如果不能，請說明理由.

'AlID'

Fc

20.一名運動員在10m高的跳臺進行跳水，身體（看成一點）在空中的運動軌跡是一條拋

物線，運動員離水面OB的高度y（m）與離起跳點A的水平距離尤（m）之間的函數(shù)關

系如圖所示，運動員離起跳點A的水平距離為1m時達到最高點，當運動員離起跳點A

的水平距離為3m時離水面的距離為7/77.

（1）求y關于x的函數(shù)表達式；

（2）求運動員從起跳點到入水點的水平距離的長.

L

、

押

Osae

Btt

21.某水產經銷商以每千克30元的價格購進一批某品種淡水魚，由銷售經驗可知，這種淡

水魚的日銷售量y（千克）與銷售價格無（元/千克）（30Wx<60）存在一次函數(shù)關系，

部分數(shù)據(jù)如表所示：

銷售價格x（元/千克）5040

日銷售量y（千克）100200

（1）試求出y關于x的函數(shù)表達式.

（2）設該經銷商銷售這種淡水魚的日銷售利潤為W元，如果不考慮其他因素，求當銷

售價格x為多少時，日銷售利潤W最大？最大的日銷售利潤是多少元？

22.閱讀與思考

下面是小宇同學的數(shù)學小論文，請仔細閱讀并完成相應的任務.

用函數(shù)觀點認識一元二次方程根的情況

我們知道，一元二次方程辦2+bx+c=0（a#0）的根就是相應的二次函數(shù)>=辦2+6尤+c（a

力0）的圖象（稱為拋物線）與x軸交點的橫坐標.拋物線與x軸的交點有三種情況：有

兩個交點、有一個交點、無交點.與此相對應，一元二次方程的根也有三種情況：有兩

個不相等的實數(shù)根、有兩個相等的實數(shù)根、無實數(shù)根.因此可用拋物線與無軸的交點個

數(shù)確定一元二次方程根的情況.

下面根據(jù)拋物線的頂點坐標（-4,4ac-b）和一元二次方程根的判別式Am-4ac,

2a4a

分別分a>0和a<0兩種情況進行分析：

（1）a>0時，拋物線開口向上.

①當△="-4ac>0時，有4℃-抉<0.?/（z>o,頂點縱坐標4a<-2_匕_<0.

4a

...頂點在無軸的下方，拋物線與尤軸有兩個交點（如圖1）.

②當A-4ac=0時，W4ac-b2—0.\'a>0,...頂點縱坐標④。3_匕_=°.

4a

頂點在X軸上，拋物線與X軸有一個交點（如圖2）.

...一元二次方程。尤2+法+°=0（qWO）有兩個相等的實數(shù)根.

③當A="-4ac<0時，

（2）a<0時，拋物線開口向下.

任務：（1）上面小論文中的分析過程，主要運用的數(shù)學思想是（從下面選項

中選出兩個即可）；

A.數(shù)形結合

B.統(tǒng)計思想

C.分類討論

D.轉化思想

(2)請參照小論文中當。>0時①②的分析過程，寫出③中當A<0時，一元二

次方程根的情況的分析過程，并畫出相應的示意圖；

(3)實際上，除一元二次方程外，初中數(shù)學還有一些知識也可以用函數(shù)觀點來認識.例

如：可用函數(shù)觀點來認識一元一次方程的解.請你再舉出一例

為.

Ml圖2

23.如圖，在中，AC=BC=3&，點。在A8邊上，連接C。，將CC繞點C逆時

針旋轉90°得到CE,連接3E,DE.

(1)求證：ACAD名ACBE；

(2)若AO=2時，求CE的長；

(3)點。在上運動時，試探究AD2+8Q2的值是否存在最小值，如果存在，求出這

個最小值；如果不存在，請說明理由.

參考答案

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1.下列數(shù)學經典圖形中，是中心對稱圖形的是()

解：A、圖形是中心對稱圖形，符合題意；

8、圖形不是中心對稱圖形，不符合題意；

C、圖形不是中心對稱圖形，不符合題意；

。、圖形不是中心對稱圖形，不符合題意.

故選：A.

【點評】本題考查的是中心對稱圖形，熟知把一個圖形繞某一點旋轉180。，如果旋轉后

的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形是解題的關鍵.

2.點尸(2,-3)關于原點對稱的點P的坐標是()

A.(2,3)B.(-2,-3)C.(-3,2)D.(-2,3)

【分析】根據(jù)平面直角坐標系中任意一點P(x,y),關于原點的對稱點是(-尤，-y),

即關于原點的對稱點，橫縱坐標都變成相反數(shù).

解：點P(2,-3)關于原點對稱的點P'的坐標是(-2,3).

故選：D.

【點評】本題主要考查了關于原點的對稱點的性質，正確把握橫縱坐標的關系是解題關

鍵.

3.如圖，在平面內將五角星繞其中心旋轉180。后所得到的圖案是()

【分析】根據(jù)旋轉的性質，旋轉前后，各點的相對位置不變，得到的圖形全等，找到關

鍵點，分析選項可得答案.

解：根據(jù)旋轉的性質，旋轉前后，各點的相對位置不變，得到的圖形全等，五角星圖案

繞中心旋轉180。后，陰影部分的等腰三角形的頂點向下，得到的圖案是C

故選：C.

【點評】本題考查了利用旋轉設計圖案的知識，圖形的旋轉是圖形上的每一點在平面上

繞某個固定點旋轉固定角度的位置移動，其中對應點到旋轉中心的距離相等，旋轉前后

圖形的大小和形狀沒有改變.

4.將拋物線y=N先向右平移3個單位，再向上平移4個單位，得到的拋物線是（）

A.y=（尤-3）2+4B.y=（尤+3）2+4

C.y=（x-3）2-4D.y=（x+3）2-4

【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減”的法則進行解得即可.

解：將拋物線y=N先向右平移3個單位，再向上平移4個單位，得到的拋物線是

y=（x-3）2+4.

故選：A.

【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟記“左加右減，上加下減”的

法則是解決問題的關鍵.

5.若關于尤的一元二次方程（相-1）x2+5.r+/n2-4m+3—0的常數(shù)項為0,則根的值為（）

A.1B.3C.1或3D.0

【分析】常數(shù)項為零即加-4〃?+3=0,再根據(jù)二次項系數(shù)不等于0,即可求得相的值.

解：根據(jù)題意得：“祥-4"計3=0,且機-1W0,

解得：%=3,

即m的值為3,

故選：B.

【點評】此題考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定義，熟練掌握一

元二次方程的定義是解本題的關鍵.

6.近年來，由于新能源汽車的崛起，燃油汽車的銷量出現(xiàn)了不同程度的下滑，經銷商紛紛

開展降價促銷活動.某款燃油汽車今年3月份售價為23萬元，5月份售價為16萬元.設

該款汽車這兩月售價的月均下降率是x,則所列方程正確的是()

A.16(1+無)2=23B.23(1-x)2=16

C.23-23(1-x)2=16D.23(1-2x)=16

【分析】首先根據(jù)3月份售價為23萬元，月均下降率是x可得出4月份的售價為23(1

-x)萬元，5月份的售價為23(1-x)(1-x)=23(1-%)2萬元，據(jù)此根據(jù)5月份

售價為16萬元可列出方程，進而可得出答案.

解：：3月份售價為23萬元，月均下降率是x,5月份售價為16萬元，

.\23(1-%)2=16.

故選：B.

【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用，理解題意，根據(jù)月均下降率是x表示出5

月份的售價是解答此題的關鍵.

7.如圖，把△ABC以點A為中心逆時針旋轉得到△AOE,點2,C的對應點分別是點。，

E,且點E在8C的延長線上，連接8D,則下列結論一定正確的是()

A./CAE=NBEDB.AB=AEC./ACE=/ADED.CE=BD

【分析】由旋轉的性質可得/ABC=NAOE,NBAD=NCAE,由三角形內角和定理可得

NBED=ZBAD=ZCAE,

解：如圖，設AO與BE的交點為O,

??,把△A3C以點A為中心逆時針旋轉得到△A0E,

ZABC=NADE,ZBAD=ZCAE9

又「ZAOB=ZDOE,

：.ZBED=NBAD=ACAE,

故選：A.

【點評】本題考查了旋轉的性質，掌握旋轉的性質是解題的關鍵.

8.拋物線y=N+%+c與x軸只有一個公共點，則c的值為（）

A.二B.—C.-4D.4

44

【分析】拋物線與尤軸有一個交點，y=0的方程就有兩個相等的實數(shù)根，根的判別式就

等于0.

解：?..拋物線y=N+x+c與無軸只有一個公共點，

方程x2+x+c=0有兩個相等的實數(shù)根，

A=5-4ac=12-4Xl?c=0,

...c——1.

4

故選：B.

【點評】本題考查方程與二次函數(shù)的關系，數(shù)形結合思想是解這類題的關鍵.

9.若一個菱形的兩條對角線長分別是關于x的一元二次方程x2-10x+m=0的兩個實數(shù)根，

且其面積為11,則該菱形的邊長為（）

A.愿B,273c.714D.2714

【分析】先設出菱形兩條對角線的長，利用根與系數(shù)的關系及對角線與菱形面積的關系

得等式，再根據(jù)菱形的邊長與對角線的關系求出菱形的邊長.

解：設菱形的兩條對角線長分別為。、b,

:菱形的面積=兩條對角線積的一半,

J.—ab=\\即ab=22

2

，由題意，得a+b=10

ab=22

，菱形的邊長=

=yV（a+b）2-2ab

=-^V100-44

=yx/^56

=V14-

故選：c.

【點評】本題主要考查了根與系數(shù)的關系及菱形的性質，掌握菱形對角線與菱形的面積、

邊長間的關系，根與系數(shù)的關系及等式的變形是解決本題的關鍵.

10.已知Pi（xi,yi）,Pi（X2,”）是拋物線>=。/+4也+3是常數(shù)，a#0）上的點，現(xiàn)

有以下四個結論：①該拋物線的對稱軸是直線x=-2；②點（0,3）在拋物線上；③若

xi>X2>-2,則%>”；④若yi=>2,則尤1+無2=-2,其中，正確結論的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)題目中的二次函數(shù)的性質，可以判斷各個小題中的結論是否正確，從而可

以解答本題.

解：：拋物線尸底+4"+3的對稱軸為直線x=-冬=-2,

2a

...①正確；

當x=0時，y=3,則點（0,3）在拋物線上，

???②正確；

當。>0時，xi>X2>-2,則yi>”；

當。<0時，xi>X2>-2,則％〈”；

③錯誤；

當y1=y2,則為+%2=-4,

**?④錯誤；

故正確的有2個，

故選：B.

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是

明確題意，利用二次函數(shù)的性質解答.

二、填空題（每小題3分，共15分）

1L把方程3尤2=5X+2化為一元二次方程的一般形式是3爐-5x-2=0.

【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c^Q（a,b,c是常數(shù)且aWO）,據(jù)此即

可求解.

解：一元二次方程3N=5X+2的一般形式是3N-5x-2=0.

故答案為:3N-5X-2=0.

【點評】在移項的過程中容易出現(xiàn)的錯誤是忘記變號.

12.正方形繞中心至少旋轉—度后能與自身重合.

【分析】正方形是中心對稱圖形，它的對稱中心是兩條對角線的交點，然后根據(jù)旋轉角

及旋轉對稱圖形的定義作答.

解：V36O04-4=90°,

正方形繞中心至少旋轉90度后能和原來的圖案互相重合.

故答案為：90.

【點評】本題考查了旋轉角的定義及求法，對應點與旋轉中心所連線段的夾角叫做旋轉

角.

13.二次函數(shù)y=-x2-3x+4的最大值是—今

【分析】將二次函數(shù)解析式變形為頂點式，利用二次函數(shù)的性質，即可解決最值問題.

解：y=-N-3x+4=-（x+—）2+—.

24

'：a=-KO,

.?.當尤=Y時，y取得最大值，最大值=孕.

24

故答案為：尊.

4

【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值，牢記“當自變量取全體實數(shù)時，其最值為拋物線

頂點坐標的縱坐標”是解題的關鍵.

14.如圖，在平面直角坐標系中，點8坐標（8,4）,連接將繞點。逆時針旋轉

90°,得到。8,則點夕的坐標為（-4,8）

【分析】分別過點2、B'向無軸作垂線，垂足分別為V、N.

（方法一）利用A4s證明RtAOMBgRt△夕NO,根據(jù)對應邊相等求解;

（方法二）利用直角形中，互余的兩個角的三角函數(shù)之間的關系求解.

解：分別過點8、B'向x軸作垂線，垂足分別為M、N.

(方法一),:/BOB'=90°,

J.ABOM+AB'ON=90a.

：.ZB'ON=ZOBM.

在Rt/XOMB和RtABzNO中，

'NOMB=NB'NO

?Z0BM=ZByON，

QB=B'0

NO(A4S),

：.B'N=0M=3,ON=BM=4,

...點夕的坐標為(-4,8).

(方法二)根據(jù)題意，得OB'=0B=duM'2+BM&=[+“=4A/^.

BM4

sinZBOM=sin(90°-/B'ON)=cosZB'ON愿

OB-4V55，

0M8

-ZB,ON)=sinZB'ON.2反

coscos(90°OB-4V5——5

'ON=4遙義三=4,B'N=OB'-smZB'ON=4、后

：.ON=OB'-cosZB

55

=8.

???點8'的坐標為（-4,8）.

故答案為：（-4,8）.

【點評】本題考查坐標與圖形的變化-旋轉，利用圖形之間長度與角的關系解題是本題

的關鍵.

15.如圖，拋物線y=N-6x+5與無軸交于點A,B,與y軸交于點C,點。(2,m)在拋

物線上，點E在直線BC上，若/DEB=2/DCB,則點E的坐標是—(蘆，言和

【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，先求出。點坐標，當E點在線段8c上時：/DEB是乙

DCE的外角，NDEB=2/DCB,而NDEB=/DCE+NCDE,所以此時/。CE=/CDE,

有CE=DE,可求出BC所在直線的解析式y(tǒng)=-尤+5,設E點(a,-a+5)坐標，再根

據(jù)兩點距離公式，CE=DE,得到關于a的方程，求解。的值，即可求出E點坐標；當

E點在線段CB的延長線上時，根據(jù)題中條件,可以證明BG+BD2=DG得到/DBC為

直角三角形，延長EB至E',取BE'=BE,此時，ZDE'E=ZDEE=2ZDCB,從而

證明￡'是要找的點，應為OC=OB,△OCB為等腰直角三角形，點￡和皮關于8點

對稱，可以根據(jù)E點坐標求出皮點坐標.

解：根據(jù)。點坐標，有根=22-6X2+5=-3,所，以。點坐標(2,-3),

設8C所在直線解析式為y=kx+b,其過點C(0,5)、B(5,0),

(b=5

15k+b=0，

3C所在直線的解析式為：y=-x+5,

當七點在線段上時，設E(〃，-〃+5),ZDEB=ZDCE+ZCDE,而/DEB=2N

DCB,

；?/DCE=NCDE,

???CE=DE,

因為E(〃，-〃+5),C(0,5),D(2,-3),

有J&2+(-a+5-5)2(a-2)2+[-a+5-(-3)]，

解得：a=丫,,-a+5=[所以E點的坐標為：

5555

當￡在。3的延長線上時，

在△50。中，BD2=(5-2)2+32=18,

5c2=52+52=50,DO=(5+3)2+22=68,

BD2+BUDC2,

：.BD±BC如圖延長砂至E,取BE=BE,

則有△OEE為等腰三角形，DE=DE,

：.ZDEE'=ZDE,E,

又。：/DEB=2NDCB,

：.ZDEfE=2NDCB,

則E為符合題意的點，

VOC=OB=5,ZOBC=45°,

E'的橫坐標：5+（5-■%）縱坐標為一I"；

555

綜上E點的坐標為：（~^1，提）和（與■,

5555

【點評】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合應用，熟練掌握一次函數(shù)根二次函數(shù)的圖

象和性質，分情況找到E點的位置，是求解此題的關鍵.

三、解答題(共75分)

16.解方程：

(1)⑵-1)2=9；

(2)x2-4x-1=0.

【分析】(1)把方程兩邊開方得到2尤-1=±3,然后解兩個一次方程即可；

(2)利用配方法得到(x-2)2=5,然后利用直接開平方法解方程.

解：(1)(2x-l)』9,

2x-1=±3,

所以無1=2,尤2=-1;

(2)X2-4x-1=0,

x2-4x—1,

x2-4x+4=5,

(尤-2)』5,

x-2=±b，

所以xi=2+，尤2=2-5-

【點評】本題考查了解一元二次方程-配方法：熟練掌握用配方法解一元二次方程的步

驟是解決問題的關鍵.也考查了直接開平方法解一元二次方程.

17.如圖，在方格紙中按要求畫圖，并完成填空.

(1)畫出線段OA繞點。順時針旋轉90°后得到的線段。8,連接A8；

(2)畫出與△AOB關于直線02對稱的圖形，點A的對稱點是C；

(3)填空：/0C2的度數(shù)為45°.

【分析】(1)利用網(wǎng)格特點和旋轉的性質畫出點A的對稱點8,從而得到

(2)延長AO到C點使0c=。4,則△COB滿足條件；

(3)先根據(jù)旋轉的性質得到。8=。4,ZA(9B=90°,則可判斷△0A8為等腰直角三角

形，所以/。42=45。，然后利用對稱的性質得到N0C2的度數(shù).

解：(1)如圖，08為所作；

(2)如圖，△C0B為所作；

(3):線段0A繞點。順時針旋轉90°后得到的線段08,

；.OB=OA,ZAOB=90°,

:.AOAB為等腰直角三角形，

：.ZOAB=45°,

?；小COB與△A08關于直線0B對稱，

：.ZOCB^ZOAB^45°.

故答案為：45°.

【點評】本題考查了作圖-旋轉變換：根據(jù)旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉

角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，

找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形.也考查了軸對稱變換.

18.如圖，ZsABC中，點E在BC邊上，AE=AB,將線段AC繞A點旋轉到AF的位置，

使得NCAP=NBAE,連接EF,EF與AC交于點G.

(1)求證：EF=BC；

(2)若NABC=65°,ZACB=28°,求/PGC的度數(shù).

F

4c—/

BE

【分析】（1）由旋轉的性質可得AC=AF,利用SAS證明根據(jù)全等三

角形的對應邊相等即可得出EF=BC；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質以及三角形內角和定理求出/瓦^=180°-65°X2=

50°,那么NE4G=50°.由得出NP=NC=28°,再根據(jù)三角形外

角的性質即可求出NFGC=/E4G+/F=78°.

【解答】（1）證明：

ZBAC=ZEAF.

V將線段AC繞A點旋轉到AF的位置，

：.AC=AF.

在△ABC與中，

，AB=AE

"NBAC=/EAF，

AC=AF

:.△ABCQAAEF（SAS）,

:.EF=BC；

（2）解：'：AB=AE,AABC=65°,

.\ZBA￡=180°-65°X2=50°,

4G=NBAE=50°.

AABC^AAEF,

：.ZF=ZC=2S°,

/.ZFGC=ZFAG+ZF=500+28°=78°.

【點評】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，三角

形內角和定理以及三角形外角的性質，證明AABC會AAEF是解題的關鍵.

19.如圖，老李想用長為10m的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個矩形羊

圈A8CD并在邊BC上留一個2m寬的門（建在所處，另用其他材料）.

（1）當羊圈的長和寬分別為多少米時，能圍成一個面積為6407層的羊圈？

（2）羊圈的面積能達到650加2嗎？如果能，請你給出設計方案；如果不能，請說明理由.

IAl7D_1

r-EFC

【分析】(1)根據(jù)BC=柵欄總長-2AB,再利用矩形面積公式即可求出；

(2)把5=650代入x(72-2x)中函數(shù)解析式中，解方程，取在自變量范圍內的值即可.

解：(1)設矩形4BCD的邊則邊8c=70-2x+2=(72-2x)m.

根據(jù)題意，得無(72-2x)=640,

化簡，得N-36x+320=0,

解得xi=16,無2=20,

當尤=16時，72-2x=72-32=40(m),

當x=20時，72-2x=72-40=32(m).

答：當羊圈的長為40/77,寬為16m或長為32m,寬為20m時，能圍成一個面積為640/的

羊圈；

(2)答：不能，

理由：由題意，得x(72-2無)=650,

化簡，得爐-36x+325=0,

A=(-36)2-4X325=-4<0,

???一元二次方程沒有實數(shù)根.

羊圈的面積不能達到650m2.

【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找到周長等量關系是解決本題的關鍵.

20.一名運動員在10m高的跳臺進行跳水，身體(看成一點)在空中的運動軌跡是一條拋

物線，運動員離水面OB的高度y(m)與離起跳點A的水平距離尤(m)之間的函數(shù)關

系如圖所示，運動員離起跳點A的水平距離為時達到最高點，當運動員離起跳點A

的水平距離為3m時離水面的距離為1m.

(1)求y關于x的函數(shù)表達式；

(2)求運動員從起跳點到入水點的水平距離的長.

杪

一

跳

臺

支

柱

【分析】(1)用待定系數(shù)法可得函數(shù)解析式;

（2）結合（1）,令y=0解得x的值即可.

解：（1）根據(jù)題意可得，拋物線過（0,10）和（3,7）,對稱軸為直線尤=1,

設y關于尤的函數(shù)表達式為y=ax1+bx+c,

'c=10

.9a+3b+c=7

??s,

b《

------=1

2a

'a=-l

解得：，b=2,

.c=10

關于x的函數(shù)表達式為y=-N+2r+]o；

（2）在y=-N+Zx+lO中，令y=0得0=-N+2X+10,

解得尤=JTI+i或x=-Til+i（舍去），

???運動員從起跳點到入水點的水平距離OB的長為（JI1+1）米.

【點評】本題考查二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是讀懂題意，能將實際問題轉化為數(shù)學

問題解決.

21.某水產經銷商以每千克30元的價格購進一批某品種淡水魚，由銷售經驗可知，這種淡

水魚的日銷售量y（千克）與銷售價格x（元/千克）（30W尤＜60）存在一次函數(shù)關系，

部分數(shù)據(jù)如表所示：

銷售價格x（元/千克）5040

日銷售量y（千克）100200

（1）試求出y關于x的函數(shù)表達式.

（2）設該經銷商銷售這種淡水魚的日銷售利潤為W元，如果不考慮其他因素，求當銷

售價格x為多少時，日銷售利潤W最大？最大的日銷售利潤是多少元？

【分析】（1）設y與x之間的函數(shù)關系式為y=fcv+b,由表中數(shù)據(jù)即可得出結論；

（2）根據(jù)每日總利潤=每千克利潤義銷售量列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質求最值即

可.

解：（1）設y關于尤的函數(shù)表達式為（左/0）.

f50k+b=100

將x=50,y=100和x=40,y=200分別代入，得:

140k+b=200,

fk=-10

解得:

lb=600

.'.y關于x的函數(shù)表達式是:y=-10x+600.

（2）W=（x-30）（-lOx+600）=-10x2+900.r-18000.

當x=-2毀=45時，在30Wx<60的范圍內，W取到最大值，最大值是2250.

-20

答：銷售價格為每千克45元時，日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是2250元.

【點評】本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)的應用，關鍵是根據(jù)等量關系寫出函數(shù)解析式.

22.閱讀與思考

下面是小宇同學的數(shù)學小論文，請仔細閱讀并完成相應的任務.

用函數(shù)觀點認識一元二次方程根的情況

我們知道，一元二次方程aN+bx+c=0（aWO）的根就是相應的二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a

。0）的圖象（稱為拋物線）與x軸交點的橫坐標.拋物線與無軸的交點有三種情況：有

兩個交點、有一個交點、無交點.與此相對應，一元二次方程的根也有三種情況：有兩

個不相等的實數(shù)根、有兩個相等的實數(shù)根、無實數(shù)根.因此可用拋物線與無軸的交點個

數(shù)確定一元二次方程根的情況.

下面根據(jù)拋物線的頂點坐標（-與,4ac-b）和一元二次方程根的判別式△=吩-4ac,

2a4a

分別分a>0和a<0兩種情況進行分析：

（1）a>0時，拋物線開口向上.

①當A=〃-4℃>0時，W4ac-b2<0,,：a>0,.?.頂點縱坐標駟*￡<0.

4a

???頂點在1軸的下方，拋物線與％軸有兩個交點（如圖1）.

②當A=b2-4ac=0時，有4ac-b2=o.?.?cz>0,頂點縱坐標