第1講 集合（原卷版）

集合基礎(chǔ)知識1.集合及其表示方法(1)集合元素的性質(zhì):、、無序性.

(2)集合與元素的關(guān)系:①屬于,記為;②不屬于,記為.

(3)集合的表示方法:列舉法、、和區(qū)間法.

(4)常見數(shù)集及記法數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號

2.集合的基本關(guān)系文字語言符號語言記法基本關(guān)系子集集合A的都是集合B的元素

x∈A?x∈BA?B或

真子集集合A是集合B的子集,并且B中有一個元素不屬于A

A?B,?x0∈B,x0?AA

B或B?A相等集合A,B的元素完全

A?B,B?A

空集任何元素的集合,空集是任何集合的子集

?x,x??,??A?備注若A不是B的子集,則記作A?B(或B?A),讀作“A不包含于B”(或“B不包含A”)3.集合的基本運(yùn)算表示運(yùn)算文字語言符號語言圖形語言記法交集屬于A屬于B的元素組成的集合

{x|x∈A,x∈B}

并集屬于A

屬于B的元素組成的集合{x|x∈A,x∈B}

補(bǔ)集全集U中屬于A的所有元素組成的集合

{x|x∈U,xA}

4.集合的運(yùn)算性質(zhì)(1)交集的運(yùn)算性質(zhì):A∩B=B∩A;A∩A=A;A∩?=?∩A=?;A∩B=A?AB.

(2)并集的運(yùn)算性質(zhì):A∪B=;A∪A=A;A∪?=?∪A=A;A∪B=?B?A.

(3)補(bǔ)集的運(yùn)算性質(zhì):A∪(?UA)=U;A∩(?UA)=;

?U(?UA)=;?U(A∪B)=(?UA)(?UB);?U(A∩B)=∪.

常用結(jié)論(1)集合的關(guān)系①一個集合的真子集必是其子集,一個集合的子集不一定是其真子集.②任何一個集合是它本身的子集.③子集的傳遞性:A?B,B?C,則A?C(真子集也滿足).④若A?B,則有A=?和A≠?兩種可能.(2)子集個數(shù)和元素個數(shù)①集合子集的個數(shù):集合A中有n個元素,則集合A有2n個子集、2n-1個真子集、2n-1個非空子集、2n-2個非空真子集.②集合元素個數(shù):card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)(常用在實際問題中).(3)集合的運(yùn)算A?B?A∩B=A?A∪B=B??UA??UB.分類訓(xùn)練探究點一集合及其表示例1(1)[2020·濟(jì)南章丘四中模擬]若集合A={1,2,3},B={(x,y)|x+y-4>0,x,y∈A},則集合B中的元素個數(shù)為 ()A.9 B.6C.4 D.3(2)非空有限數(shù)集S滿足:若a,b∈S,則必有a2,b2,ab∈S.則滿足條件且含有兩個元素的數(shù)集S=.(寫出一個即可)

[總結(jié)反思]解決集合含義問題的關(guān)鍵有三點:一是確定構(gòu)成集合的元素是什么;二是看這些元素的限制條件是什么;三是根據(jù)元素的特征(滿足的條件)構(gòu)造關(guān)系式解決相應(yīng)問題.特別提醒:含字母的集合問題,在求出字母的值后,需要驗證集合的元素是否滿足互異性.變式題(1)[2020·榆林模擬]設(shè)集合A=[0,m],若1∈A且2?A,則實數(shù)m的取值范圍是.

(2)[2020·武漢一模]用列舉法表示集合:A=xx∈Z,且86-x∈N=.

探究點二集合的基本關(guān)系例2(1)[2020·西安模擬]若集合M=xx=π4+k·π2,k∈Z,N=xx=π2+k·π4,k∈Z,則 ()A.M=N B.M?NC.N?M D.M∩N=?(2)[2021·新高考八省聯(lián)考]已知M,N均為R的子集,且?RM?N,則M∪(?RN)=()A.? B.M C.N D.R[總結(jié)反思](1)一般利用數(shù)軸法、維恩圖法以及結(jié)構(gòu)法判斷兩集合的關(guān)系,如果集合中含有參數(shù),需要對式子進(jìn)行變形,有時需要進(jìn)一步對參數(shù)進(jìn)行分類討論.(2)確定非空集合A的子集的個數(shù),需先確定集合A中的元素的個數(shù).特別提醒:不能忽略任何非空集合是它自身的子集,空集是非空集合的真子集.(3)根據(jù)集合的關(guān)系求參數(shù)值(或取值范圍)的關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素滿足的式子或區(qū)間端點間的關(guān)系.變式題(1)[2020·大連一模]設(shè)集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},若A=B,則a2021+b2021的值為 ()A.0 B.-1C.-2 D.0或-1(2)[2021·新高考八省聯(lián)考]已知M,N均為R的子集,且?RM?N,則M∪(?RN)=()A.? B.M C.N D.R

探究點三集合的基本運(yùn)算角度1集合的運(yùn)算例3(1)[2020·沈陽二中模擬]已知集合M={x|y=log2(x-5)},N=yy=x+1x,x>0,則M∪N= ()A.(-∞,5) B.[2,+∞)C.[2,5) D.(5,+∞)(2)[2020·全國卷Ⅲ]已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},則A∩B中元素的個數(shù)為 ()A.2 B.3 C.4 D.6(3)若全集U=R,集合A={x|y=lg(6-x)},B={x|2x>1},則圖1-1-1中陰影部分表示的集合是()圖1-1-1A.(2,3) B.(-1,0]C.[0,6) D.(-∞,0][總結(jié)反思]對于已知集合的運(yùn)算,可根據(jù)集合的交集、并集和補(bǔ)集的定義直接求解,必要時可結(jié)合數(shù)軸以及維恩圖求解.角度2利用集合運(yùn)算求參數(shù)例4(1)[2020·全國卷Ⅰ]設(shè)集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},則a= ()A.-4 B.-2 C.2 D.4(2)[2020·開封一模]設(shè)集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a-1)x+(a2-5)=0}.①若A∩B={2},則實數(shù)a=;

②若A∪B=A,則實數(shù)a的取值范圍是.

[總結(jié)反思]根據(jù)集合運(yùn)算求參數(shù),要把集合語言轉(zhuǎn)換為方程或不等式,然后解方程或不等式,再利用數(shù)形結(jié)合求解.角度3集合語言的運(yùn)用例5(1)[2020·全國新高考Ⅰ卷]某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉,其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳,60%的學(xué)生喜歡足球,82%的學(xué)生喜歡游泳,則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是 ()A.62% B.56%C.46% D.42%(2)(多選題)當(dāng)一個非空數(shù)集F滿足條件“若a,b∈F,則a+b,a-b,ab∈F,且當(dāng)b≠0時,ab∈F”時,稱F為一個數(shù)域.以下說法正確的是 (A.0是任何數(shù)域的元素B.若數(shù)域F有非零元素,則2020∈FC.集合P={x|x=3k,k∈Z}為數(shù)域D.有理數(shù)集為數(shù)域[總結(jié)反思]以集合語言為背景的新定義問題,需正確理解新定義(即分析新定義的特點,把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚),轉(zhuǎn)化成熟知的數(shù)學(xué)情境,并能夠應(yīng)用到具體的解題過程中,這是破解新定義集合問題的關(guān)鍵所在.同步作業(yè)1.[2020·合肥模擬]已知集合A={-2,-1,0,1,2},集合B={x||x-1|≤2},則A∩B= ()A.{0,1,2} B.{-1,0,1,2}C.{1,2} D.{-1,0,1,3}2.[2020·北京海淀區(qū)二模]若全集U=R,A={x|x<1},B={x|x>-1},則 ()A.A?B B.B?AC.B??UA D.?UA?B3.[2020·北京東城區(qū)一模]已知集合A={x∈R|x2-2x=0},則滿足A∪B={0,1,2}的集合B的個數(shù)是 ()A.2 B.3 C.4 D.54.[2020·景德鎮(zhèn)模擬]已知集合A=x∈N1x-2>0,則集合?NA的子集的個數(shù)為 ()A.3 B.4 C.7 D.85.[2020·成都三診]已知集合A={0,x},B={0,2,4},若A?B,則實數(shù)x的值為 ()A.0或2 B.0或4C.2或4 D.0或2或46.[2020·遼陽期末]若集合A={x|x>2},B={x|x≤m+1},A∪B=R,則m的取值范圍為7.[2020·河北衡水中學(xué)一調(diào)]已知全集U=R,集合A={y|y=x2+2,x∈R},集合B={x|y=lg(x-1)},則圖K1-1中陰影部分所表示的集合為 ()圖K1-1A.[1,2] B.(1,2) C.(1,2] D.[1,2)8.[2020·隴南模擬]若集合A={1,m},B={m2,m+1},且A=B,則m= ()A.0 B.1 C.±1 D.0或19.[2020·長沙雅禮中學(xué)月考]設(shè)集合A=(x,y)y=13x,B={(x,y)|y=-x2+3},則集合A∩B中元素的個數(shù)為 ()A.0 B.1 C.2 D.310.[2020·南昌二模]設(shè)集合A={x||x-a|=1},B={-1,0,b}(b>0),若A∩B=A,則實數(shù)對(a,b)有 ()A.1對 B.2對C.3對 D.4對11.學(xué)校舉辦秋季運(yùn)動會時,高一(2)班共有24名同學(xué)參加比賽,有12人參加游泳比賽,有9人參加田賽,有13人參加徑賽,同時參加游泳比賽和田賽的有3人,同時參加游泳比賽和徑賽的有3人,沒有人同時參加三項比賽,則同時參加田賽和徑賽的有 ()A.4人 B.6人C.8人 D.9人12.(多選題)已知集合A={x|ax≤2},B={2,2},若B?A,則實數(shù)a的值可能是 ()A.-1 B.1C.-2 D.213.(多選題)[2020·膠州期末]設(shè)集合A={y|y=x-2,x∈R},集合B={x|x2+x-2<0,x∈R},則 ()A.A∩B=(0,1)B.A∪B=(-2,+∞)C.A∩(?RB)=(0,+∞)D.A∪(?RB)=R14.設(shè)集合M={x|x=3k,k∈Z},P={x|x=3k+1,k∈Z},Q={x|x=3k-1,k∈Z},若a∈M,b∈P,c∈Q,則a+b-c∈.(填“M”“P”或“Q”)

15.(多選題)已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若對于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,則稱集合M是“互