壓軸大題12 數(shù)據(jù)分析解決概率與統(tǒng)計(jì)綜合問題（解析版）

壓軸大題12數(shù)據(jù)分析解決概率與統(tǒng)計(jì)綜合問題壓軸壓軸秘籍?dāng)?shù)字樣本特征眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果為奇數(shù)個(gè)，中位數(shù)為中間數(shù)；若為偶數(shù)個(gè)，中位數(shù)為中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)平均數(shù)：，反映樣本的平均水平方差：反映樣本的波動(dòng)程度，穩(wěn)定程度和離散程度；越大，樣本波動(dòng)越大，越不穩(wěn)定；越小，樣本波動(dòng)越小，越穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差：，標(biāo)準(zhǔn)差等于方差的算術(shù)平方根，數(shù)學(xué)意義和方差一樣極差：等于樣本的最大值最小值求隨機(jī)變量X的分布列的步驟：(1)理解X的意義，寫出X可能取得全部值；(2)求X取每個(gè)值的概率；(3)寫出X的分布列；(4)根據(jù)分布列的性質(zhì)對結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn).還可判斷隨機(jī)變量滿足常見分布列：兩點(diǎn)分布，二項(xiàng)分布，超幾何分布，正態(tài)分布.求隨機(jī)變量的期望和方差的基本方法：（1）已知隨機(jī)變量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；（2）已知隨機(jī)變量的期望、方差，求的期望與方差，利用期望和方差的性質(zhì)（，）進(jìn)行計(jì)算；（3）若能分析出所給的隨機(jī)變量服從常用的分布（如：兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式進(jìn)行計(jì)算，若～,則，.4.求解概率最大問題的關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造出不等關(guān)系，結(jié)合組合數(shù)公式求解結(jié)果5.線性回歸分析解題方法：（1）計(jì)算的值；（2）計(jì)算回歸系數(shù)；（3）寫出回歸直線方程.線性回歸直線方程為：，，其中為樣本中心，回歸直線必過該點(diǎn)（4）線性相關(guān)系數(shù)（衡量兩個(gè)變量之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱），正相關(guān)；，負(fù)相關(guān)獨(dú)立性檢驗(yàn)解題方法：（1）依題意完成列聯(lián)表；（2）用公式求解；（3）對比觀測值即可得到所求結(jié)論的可能性獨(dú)立性檢驗(yàn)計(jì)算公式：壓軸訓(xùn)練壓軸訓(xùn)練一、解答題1．（2023秋·江蘇南京·高三南京外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）某市正在創(chuàng)建全國文明城市，學(xué)校號召師生利用周末從事創(chuàng)城志愿活動(dòng)．高三（1）班一組有男生4人，女生2人，現(xiàn)隨機(jī)選取2人作為志愿者參加活動(dòng)，志愿活動(dòng)共有交通協(xié)管員、創(chuàng)建宣傳員、文明監(jiān)督員三項(xiàng)可供選擇．每名女生至多從中選擇參加2項(xiàng)活動(dòng)，且選擇參加1項(xiàng)或2項(xiàng)的可能性均為；每名男生至少從中選擇參加2項(xiàng)活動(dòng)，且選擇參加2項(xiàng)或3項(xiàng)的可能性也均為．每人每參加1項(xiàng)活動(dòng)可獲得綜合評價(jià)10分，選擇參加幾項(xiàng)活動(dòng)彼此互不影響，求(1)在有女生參加活動(dòng)的條件下，恰有一名女生的概率；(2)記隨機(jī)選取的兩人得分之和為X，求X的期望．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件概率的計(jì)算公式即可求得答案；（2）方法一：根據(jù)女生參加活動(dòng)的人數(shù)確定變量的可能取值，計(jì)算每個(gè)取值對應(yīng)的概率，可得變量的分布列，即可求得期望；方法二：分別計(jì)算出一名女生和一名男生參加活動(dòng)可獲得分?jǐn)?shù)的期望，設(shè)恰有Y名女生參加活動(dòng)，則男生有名參加活動(dòng)，，計(jì)算出變量Y的期望，即可求X的期望.【詳解】（1）設(shè)“有女生參加活動(dòng)”為事件A，“恰有一名女生參加活動(dòng)”為事件B．則，，所以．（2）方法一:“選取的兩人中女生人數(shù)為i”記為事件，，則，，．由題意知X的可能值為，“得分為分”分別記為事件，，，，，則，，；，，；，，．；；；；，所以X的分布列為X2030405060P所以．方法二：根據(jù)題意，一名女生參加活動(dòng)可獲得分?jǐn)?shù)的期望為，一名男生參加活動(dòng)可獲得分?jǐn)?shù)的期望為．設(shè)恰有Y名女生參加活動(dòng)，則男生有名參加活動(dòng)，，則，，．所以Y的分布列為Y012P則有，所以．【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了條件概率的計(jì)算，比較基礎(chǔ)，第二問考查隨機(jī)變量的期望的求解，求解的思路并不困難，但難點(diǎn)在于要根據(jù)變量的取值的可能情況，計(jì)算每種情況相應(yīng)的概率，計(jì)算較復(fù)雜，計(jì)算量較大，需要思維縝密，計(jì)算仔細(xì)。2．（2023秋·江蘇連云港·高三校考階段練習(xí)）甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，經(jīng)過以往的比賽分析，甲乙對陣時(shí)，若甲發(fā)球，則甲得分的概率為，若乙發(fā)球，則甲得分的概率為．該局比賽中，甲乙依次輪換發(fā)球（甲先發(fā)球），每人發(fā)兩球后輪到對方進(jìn)行發(fā)球．(1)求在前4球中，甲領(lǐng)先的概率；(2)12球過后，雙方戰(zhàn)平，已知繼續(xù)對戰(zhàn)奇數(shù)球后，甲獲得勝利（獲勝要求至少取得11分并凈勝對方2分及以上）．設(shè)凈勝分（甲，乙的得分之差）為X，求X的分布列．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】(1)分別求出甲與乙的比分是和的概率，即可得答案；(2)依題意，甲或獲勝，即在接下來的比賽中，甲乙的比分為5：0或5：2，且最后一球均為甲獲勝，分別求出5：0和5：2的概率，即可得X的分布列.【詳解】（1）解：甲與乙的比分是的概率為比分是的概率為，故前4球中，甲領(lǐng)先的概率（2）解：依題意，接下來由甲先發(fā)球．繼續(xù)對戰(zhàn)奇數(shù)球后，甲獲得勝利，則甲或獲勝，即在接下來的比賽中，甲乙的比分為5：0或5：2，且最后一球均為甲獲勝．記比分為5：0為事件A，則，記比分為5：2為事件B，即前6球中，乙獲勝兩球，期間甲發(fā)球4次，乙發(fā)球兩次，，故依題意甲獲勝的概率為X的所有可能取值為3，5，由條件概率有，故X的分布列為X35P3．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）一只口袋裝有形狀、大小完全相同的5只小球，其中紅球、黃球、綠球、黑球、白球各1只．現(xiàn)從口袋中先后有放回地取球2n次，且每次取1只球．(1)當(dāng)時(shí)，求恰好取到3次紅球的概率；(2)X表示2n次取球中取到紅球的次數(shù)，，求Y的數(shù)學(xué)期望（用n表示）.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出從裝有5只小球的口袋中有放回的取球6次，共包含幾種情況，再求出恰好取到3次紅球的取法種數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式即可求得答案.（2）確定隨機(jī)變量Y的所有可能取值，求得的表達(dá)式，繼而計(jì)算，并結(jié)合二項(xiàng)式定理化簡計(jì)算，即可求得答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，從裝有5只小球的口袋中有放回的取球6次，共包含種情況．記“恰好取到3次紅球”為事件A，事件A包含種情況，故即當(dāng)時(shí)，恰好取到3次紅球的概率為（2）由題意知，隨機(jī)變量Y的所有可能取值為0，1，3，5，…，，則，則所以，令，，則，，所以，所以，故Y的數(shù)學(xué)期望為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求解隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望時(shí)，按照期望的計(jì)算公式可得的表達(dá)式，關(guān)鍵在于根據(jù)該表達(dá)式化簡求值時(shí)，要令，，從而可結(jié)合二項(xiàng)式定理求出結(jié)果.4．（2022·江蘇鹽城·江蘇省濱海中學(xué)校考模擬預(yù)測）甲、乙兩人組成“虎隊(duì)”代表班級參加學(xué)校體育節(jié)的籃球投籃比賽活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙兩人各投籃一次，在一輪活動(dòng)中，如果兩人都投中，則“虎隊(duì)”得3分；如果只有一個(gè)人投中，則“虎隊(duì)”得1分；如果兩人都沒投中，則“虎隊(duì)”得0分.已知甲每輪投中的概率是，乙每輪投中的概率是；每輪活動(dòng)中甲、乙投中與否互不影響.各輪結(jié)果亦互不影響.（1）假設(shè)“虎隊(duì)”參加兩輪活動(dòng)，求：“虎隊(duì)”至少投中3個(gè)的概率；（2）①設(shè)“虎隊(duì)”兩輪得分之和為，求的分布列；②設(shè)“虎隊(duì)”輪得分之和為，求的期望值.（參考公式）【答案】（1）；（2）①答案見解析；②.【解析】（1）設(shè)甲、乙在第輪投中分別記作事件，，“虎隊(duì)”至少投中3個(gè)記作事件，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式，即可求解.（2）①“虎隊(duì)”兩輪得分之和的可能取值為：0，1，2，3，4，6，求得相應(yīng)的概率，得到分布列；②得到，求得相應(yīng)的概率，結(jié)合期望的公式，即可求解.【詳解】（1）設(shè)甲、乙在第輪投中分別記作事件，，“虎隊(duì)”至少投中3個(gè)記作事件，則.（2）①“虎隊(duì)”兩輪得分之和的可能取值為：0，1，2，3，4，6，則，，，，，.故的分布列如下圖所示：012346②，，，，∴，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，以及離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，其中解答中熟記相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算公式，以及求得隨機(jī)變量取值的概率，得到分布列是解答的關(guān)鍵，著重考查分析問題和解答問題的能力.5．（2022秋·江蘇淮安·高三馬壩高中校考階段練習(xí)）某學(xué)校招聘在職教師，甲?乙兩人同時(shí)應(yīng)聘.應(yīng)聘者需進(jìn)行筆試和面試，筆試分為三個(gè)環(huán)節(jié)，每個(gè)環(huán)節(jié)都必須參與，甲筆試部分每個(gè)環(huán)節(jié)通過的概率均為，乙筆試部分每個(gè)環(huán)節(jié)通過的概率依次為，，，筆試三個(gè)環(huán)節(jié)至少通過兩個(gè)才能夠參加面試，否則直接淘汰；面試分為兩個(gè)環(huán)節(jié)，每個(gè)環(huán)節(jié)都必須參與，甲面試部分每個(gè)環(huán)節(jié)通過的概率依次為，，乙面試部分每個(gè)環(huán)節(jié)通過的概率依次為，，若面試部分的兩個(gè)環(huán)節(jié)都通過，則可以成為該學(xué)校的在職教師.甲?乙兩人通過各個(gè)環(huán)節(jié)相互獨(dú)立.（1）求乙未能參與面試的概率；（2）記甲本次應(yīng)聘通過的環(huán)節(jié)數(shù)為，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望；（3）若該校僅招聘1名在職教師，試通過概率計(jì)算，判斷甲?乙兩人誰更有可能入職.【答案】（1）；（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：；（3）甲更可能成為該校的在職教師.【分析】（1）根據(jù)事件的互斥性及每一次是否通過相互獨(dú)立求解即可；（2）首先確定隨機(jī)變量的可能取值，再分別求出相應(yīng)的概率值，列出分布列計(jì)算數(shù)學(xué)期望；（3）分別計(jì)算甲乙通過成為在職教師的概率值，比較大小，得出結(jié)論.【詳解】（1）若乙筆試部分三個(gè)環(huán)節(jié)一個(gè)都沒有通過或只通過一個(gè)，則不能參與面試，故乙未能參與面試的概率.（2）的可能取值為0，1，2，3，4，5，，，，，，.則的分布列為012345故.（3）由（2）可知，甲成為在職教師的概率，乙成為在職教師的概率.因?yàn)椋约赘赡艹蔀樵撔５脑诼毥處?【點(diǎn)睛】本題考查相互獨(dú)立事件的概率?離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望.在求解過程中需清楚互斥事件的概率加法計(jì)算公式和相互獨(dú)立事件的概率乘法計(jì)算公式，分布列中需要準(zhǔn)確計(jì)算每個(gè)可能取值的概率值，最后計(jì)算數(shù)學(xué)期望.6．（2022秋·江蘇常州·高三常州市第三中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）某單位在“全民健身日”舉行了一場趣味運(yùn)動(dòng)會，其中一個(gè)項(xiàng)目為投籃游戲．游戲的規(guī)則如下：每局游戲需投籃3次，若投中的次數(shù)多于未投中的次數(shù)，該局得3分，否則得1分．已知甲投籃的命中率為，且每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求甲在一局游戲中投籃命中次數(shù)X的分布列與期望；（2）若參與者連續(xù)玩局投籃游戲獲得的分?jǐn)?shù)的平均值大于2，即可獲得一份大獎(jiǎng)．現(xiàn)有和兩種選擇，要想獲獎(jiǎng)概率最大，甲應(yīng)該如何選擇？請說明理由．【答案】（1）分布列見解析，；（2）甲選擇時(shí)，獲獎(jiǎng)的概率更大，理由見解析.【分析】（1）說明，求出概率得到的分布列，然后求解期望．（2）若選擇，設(shè)局游戲中，得3分的局?jǐn)?shù)為m，推出，求出概率的表達(dá)式，推出，則，得到結(jié)論．【詳解】解：（1）由題意知，則，，，，所以X的分布列為X0123P．（2）由（1）可知在一局游戲中，甲得3分的概率為，得1分的概率為，若選擇，此時(shí)要能獲得大獎(jiǎng)，則需次游戲的總得分大于，設(shè)局游戲中，得3分的局?jǐn)?shù)為m，則，即．易知，故此時(shí)獲大獎(jiǎng)的概率同理可以求出當(dāng)，獲大獎(jiǎng)的概率為因?yàn)樗?，則答：甲選擇時(shí)，獲獎(jiǎng)的概率更大．7．（2022春·江蘇揚(yáng)州·高三揚(yáng)州中學(xué)?？奸_學(xué)考試）公元1651年，法國學(xué)者德梅赫向數(shù)學(xué)家帕斯卡請教了一個(gè)問題：設(shè)兩名賭徒約定誰先贏滿4局，誰便贏得全部賭注元，已知每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每局賭博相互獨(dú)立，在甲贏了2局且乙贏了1局后，賭博意外終止，則賭注該怎么分才合理？帕斯卡先和費(fèi)爾馬討論了這個(gè)問題，后來惠更斯也加入了討論，這三位當(dāng)時(shí)歐洲乃至全世界著名的數(shù)學(xué)家給出的分配賭注的方案是：如果出現(xiàn)無人先贏4局且賭博意外終止的情況，則甲、乙按照賭博再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部賭注的概率之比分配賭注．（友情提醒：珍愛生命，遠(yuǎn)離賭博）（1）若，甲?乙賭博意外終止，則甲應(yīng)分得多少元賭注？（2）若，求賭博繼續(xù)進(jìn)行下去甲贏得全部賭注的概率，并判斷“賭博繼續(xù)進(jìn)行下去乙贏得全部賭注”是否為小概率事件（發(fā)生概率小于的隨機(jī)事件稱為小概率事件）．【答案】（1）216元；（2），是小概率事件．【分析】（1）設(shè)賭博再繼續(xù)進(jìn)行X局且甲贏得全部賭注，則最后一局必然甲贏，由題意知，最多再進(jìn)行4局，甲、乙必然有人贏得全部賭注，利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出甲贏的概率，由此能求出甲應(yīng)分得的賭注．（2）設(shè)賭博繼續(xù)進(jìn)行Y局乙贏得全部賭注，則最后一局必然乙贏，當(dāng)時(shí)，乙以贏，，當(dāng)時(shí)，乙以贏，，求出甲贏得全部賭注的概率對其求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，求出該函數(shù)的最小值，從而判斷出“賭博繼續(xù)進(jìn)行下去乙贏得全部賭注”是小概率事件.【詳解】（1）設(shè)賭博再繼續(xù)進(jìn)行局且甲贏得全部賭注，則最后一局必然甲贏由題意知，最多再進(jìn)行4局，甲、乙必然有人贏得全部賭注．當(dāng)時(shí)，甲以贏，所以；當(dāng)時(shí)，甲以贏，所以；當(dāng)時(shí)，甲以贏，所以．所以，甲贏的概率為．所以，甲應(yīng)分得的賭注為元（2）設(shè)賭注繼續(xù)進(jìn)行局乙贏得全部賭注，則最后一局必然乙贏，則的可能取值有3、4，當(dāng)時(shí)，乙以贏，；當(dāng)時(shí)，乙以贏，；所以，乙贏得全部賭注的概率為于是甲贏得全部賭注的概率求導(dǎo)，．因?yàn)樗运栽谏蠁握{(diào)遞增，于是．故乙贏的概率最大為故是小概率事件．8．（2023·江蘇無錫·輔仁高中校聯(lián)考模擬預(yù)測）互花米草是禾本科草本植物，其根系發(fā)達(dá)，具有極高的繁殖系數(shù)，對近海生態(tài)具有較大的危害．為盡快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印發(fā)了《莆田市互花米草除治攻堅(jiān)實(shí)施方案》，對全市除治攻堅(jiān)行動(dòng)做了具體部署．某研究小組為了解甲、乙兩鎮(zhèn)的互花米草根系分布深度情況，采用按比例分層抽樣的方法抽取樣本．已知甲鎮(zhèn)的樣本容量，樣本平均數(shù)，樣本方差；乙鎮(zhèn)的樣本容量，樣本平均數(shù)，樣本方差．(1)求由兩鎮(zhèn)樣本組成的總樣本的平均數(shù)及其方差；(2)為營造“廣泛發(fā)動(dòng)、全民參與”的濃厚氛圍，甲、乙兩鎮(zhèn)決定進(jìn)行一次“互花米草除治大練兵”比賽，兩鎮(zhèn)各派一支代表隊(duì)參加，經(jīng)抽簽確定第一場在甲鎮(zhèn)舉行．比賽規(guī)則：每場比賽直至分出勝負(fù)為止，勝方得1分，負(fù)方得0分，下一場在負(fù)方舉行，先得2分的代表隊(duì)獲勝，比賽結(jié)束．當(dāng)比賽在甲鎮(zhèn)舉行時(shí)，甲鎮(zhèn)代表隊(duì)獲勝的概率為，當(dāng)比賽在乙鎮(zhèn)舉行時(shí)，甲鎮(zhèn)代表隊(duì)獲勝的概率為．假設(shè)每場比賽結(jié)果相互獨(dú)立.甲鎮(zhèn)代表隊(duì)的最終得分記為X，求．參考數(shù)據(jù)：．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用平均數(shù)的計(jì)算公式求得，再利用方差的計(jì)算公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可得解；（2）先根據(jù)題意得到的所有可能取值，再利用獨(dú)立事件的概率公式分別求得各個(gè)取值的概率，從而利用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式即可得解.【詳解】（1）根據(jù)題意，得，因?yàn)?，同理，所以，所以總樣本的平均?shù)為，方差.（2）依題意可知，的所有可能取值為，設(shè)“第場比賽在甲鎮(zhèn)舉行，甲鎮(zhèn)代表隊(duì)獲勝”為事件，“第場比賽在乙鎮(zhèn)舉行，甲鎮(zhèn)代表隊(duì)獲勝”為事件，則，所以，，，所以.9．（2022·江蘇連云港·江蘇省贛榆高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）某超市開展購物抽獎(jiǎng)送積分活動(dòng)，每位顧客可以參加（，且）次抽獎(jiǎng)，每次中獎(jiǎng)的概率為，不中獎(jiǎng)的概率為，且各次抽獎(jiǎng)相互獨(dú)立．規(guī)定第1次抽獎(jiǎng)時(shí)，若中獎(jiǎng)則得10分，否則得5分．第2次抽獎(jiǎng)，從以下兩個(gè)方案中任選一個(gè)；方案①：若中獎(jiǎng)則得30分，否則得0分；方案②：若中獎(jiǎng)則獲得上一次抽獎(jiǎng)得分的兩倍，否則得5分．第3次開始執(zhí)行第2次抽獎(jiǎng)所選方案，直到抽獎(jiǎng)結(jié)束．(1)如果，以抽獎(jiǎng)的累計(jì)積分的期望值為決策依據(jù)，顧客甲應(yīng)該選擇哪一個(gè)方案？并說明理由；(2)記顧客甲第i次獲得的分?jǐn)?shù)為，并且選擇方案②．請直接寫出與的遞推關(guān)系式，并求的值．（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：．）【答案】(1)應(yīng)選擇方案①，理由見解析；(2)，【分析】（1）分別求得兩個(gè)方案的累計(jì)積分的期望值即可進(jìn)行選擇；（2）依據(jù)題給條件即可求得的值．【詳解】（1）若甲第2次抽獎(jiǎng)選方案①，兩次抽獎(jiǎng)累計(jì)積分為，則的可能取值為40，35，10，5．

，，，，所以．

若甲第2次抽獎(jiǎng)選方案②，兩次抽獎(jiǎng)累計(jì)積分為，則的可能取值為30，15，10，則，，，，

因?yàn)?，所以?yīng)選擇方案①．（2）依題意得，

的可能取值為10，5其分布列為105P所以，則，

由得，

所以為等比數(shù)列．其中首項(xiàng)為，公比為．

所以，故．10．（2022·江蘇南京·高三金陵中學(xué)校考學(xué)業(yè)考試）規(guī)定抽球試驗(yàn)規(guī)則如下：盒子中初始裝有白球和紅球各一個(gè)，每次有放回的任取一個(gè)，連續(xù)取兩次，將以上過程記為一輪．如果每一輪取到的兩個(gè)球都是白球，則記該輪為成功，否則記為失?。诔槿∵^程中，如果某一輪成功，則停止；否則，在盒子中再放入一個(gè)紅球，然后接著進(jìn)行下一輪抽球，如此不斷繼續(xù)下去，直至成功．(1)某人進(jìn)行該抽球試驗(yàn)時(shí)，最多進(jìn)行三輪，即使第三輪不成功，也停止抽球，記其進(jìn)行抽球試驗(yàn)的輪次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)為驗(yàn)證抽球試驗(yàn)成功的概率不超過，有1000名數(shù)學(xué)愛好者獨(dú)立的進(jìn)行該抽球試驗(yàn)，記表示成功時(shí)抽球試驗(yàn)的輪次數(shù)，表示對應(yīng)的人數(shù)，部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：1234523298604020求關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測成功的總?cè)藬?shù)（精確到1）；(3)證明：．附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程系數(shù)：，；參考數(shù)據(jù)：，，（其中，）．【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為(2)回歸方程為，預(yù)測成功的總?cè)藬?shù)為465(3)證明見解析【分析】（1）結(jié)合相互獨(dú)立、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式，計(jì)算出分布列并求得數(shù)學(xué)期望.（2）利用換元法，結(jié)合回歸直線方程的計(jì)算公式，計(jì)算出關(guān)于的回歸方程，并由求得預(yù)測值.（3）通過求“在前輪沒有成功的概率”大于，來求得“前輪就成功的概率”小于，從而證得不等式成立.【詳解】（1）由題知，的取值可能為1，2，3所以；；；所以的分布列為：123所以數(shù)學(xué)期望為.（2）令，則，由題知：，，所以，所以，，故所求的回歸方程為：，所以，估計(jì)時(shí)，；估計(jì)時(shí)，；估計(jì)時(shí)，；預(yù)測成功的總?cè)藬?shù)為.（3）由題知，在前輪就成功的概率為又因?yàn)樵谇拜啗]有成功的概率為，故.11．（2023秋·江蘇南通·高三江蘇省如皋中學(xué)?？茧A段練習(xí)）現(xiàn)代排球賽為5局3勝制，每局25分，決勝局15分.前4局比賽中，一隊(duì)只有贏得至少25分，并領(lǐng)先對方2分時(shí)，才勝1局.在第5局比賽中先獲得15分并領(lǐng)先對方2分的一方獲勝.在一個(gè)回合中，贏的球隊(duì)獲得1分，輸?shù)那蜿?duì)不得分，且下一回合的發(fā)球權(quán)屬于獲勝方.經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，甲、乙兩支球隊(duì)在每一個(gè)回合中輸贏的情況如下：當(dāng)甲隊(duì)擁有發(fā)球權(quán)時(shí)，甲隊(duì)獲勝的概率為；當(dāng)乙隊(duì)擁有發(fā)球權(quán)時(shí)，甲隊(duì)獲勝的概率為.(1)假設(shè)在第1局比賽開始之初，甲隊(duì)擁有發(fā)球權(quán)，求甲隊(duì)在前3個(gè)回合中恰好獲得2分的概率；(2)當(dāng)兩支球隊(duì)比拼到第5局時(shí)，兩支球隊(duì)至少要進(jìn)行15個(gè)回合，設(shè)甲隊(duì)在第個(gè)回合擁有發(fā)球權(quán)的概率為.假設(shè)在第5局由乙隊(duì)先開球，求在第15個(gè)回合中甲隊(duì)開球的概率，并判斷在此回合中甲、乙兩隊(duì)開球的概率的大小.【答案】(1)(2)，甲隊(duì)開球的概率大于乙隊(duì)開球的概率．【分析】（1）甲隊(duì)在前3個(gè)回合中恰好獲得2分，分為3種情況，依次求出對應(yīng)的概率，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，以及全概率公式，即可求解．【詳解】（1）在前3個(gè)回合中甲隊(duì)恰好獲得2分對應(yīng)的勝負(fù)情況如下：勝勝負(fù)，勝負(fù)勝，負(fù)勝勝，共3種情況，對應(yīng)的概率分別為，，，所以甲隊(duì)在前3個(gè)回合中恰好獲得2分的概率；（2）根據(jù)全概率公式得，即，易知，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，故，因?yàn)?，所以，而在每一個(gè)回合中，甲、乙兩隊(duì)開球的概率之和為1，從而可得在此回合中甲隊(duì)開球的概率大于乙隊(duì)開球的概率．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：甲隊(duì)在第i個(gè)回合擁有發(fā)球權(quán)的概率為，由全概率公式得，問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列的遞推公式，通過構(gòu)造等比數(shù)列，求出通項(xiàng).12．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)是一個(gè)二維離散型隨機(jī)變量，它們的一切可能取的值為，其中，令，稱是二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列．與一維的情形相似，我們也習(xí)慣于把二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列寫成下表形式：………·………………現(xiàn)有個(gè)相同的球等可能的放入編號為1，2，3的三個(gè)盒子中，記落下第1號盒子中的球的個(gè)數(shù)為X，落入第2號盒子中的球的個(gè)數(shù)為Y．(1)當(dāng)n＝2時(shí)，求的聯(lián)合分布列；(2)設(shè)且計(jì)算．【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）由題意知：可取0，1，2，可取0，1，2，直接計(jì)算概率，列出的聯(lián)合分布列即可；（2）直接計(jì)算得，結(jié)合二項(xiàng)分布的期望公式求出即可.【詳解】（1）可取0，1，2，可取0，1，2，則，，，，，，，故的聯(lián)合分布列為：012012·（2）當(dāng)時(shí)，，故，所以，設(shè)服從二項(xiàng)分布，由二項(xiàng)分布的期望公式可得.13．（2022·江蘇南通·海安高級中學(xué)校考二模）我國某芯片企業(yè)使用新技術(shù)對一款芯片進(jìn)行試產(chǎn)，設(shè)試產(chǎn)該款芯片的次品率為p（0＜p＜1），且各個(gè)芯片的生產(chǎn)互不影響．(1)試產(chǎn)該款芯片共有兩道工序，且互不影響，其次品率依次為，．①求p；②現(xiàn)對該款試產(chǎn)的芯片進(jìn)行自動(dòng)智能檢測，自動(dòng)智能檢測為次品（注：合格品不會被誤檢成次品）的芯片會被自動(dòng)淘汰，然后再進(jìn)行人工抽檢已知自動(dòng)智能檢測顯示該款芯片的合格率為96%，求人工抽檢時(shí)，抽檢的一個(gè)芯片是合格品的概率．(2)視p為概率，記從試產(chǎn)的芯片中隨機(jī)抽取n個(gè)恰含m（n＞m）個(gè)次品的概率為，求證：在時(shí)取得最大值．【答案】(1)①，②(2)證明見解析【分析】（1）①由題意可知兩道生產(chǎn)工序互不影響，利用對立事件可求；②依題意可利用條件概率公式求抽檢的一個(gè)芯片是合格品的概率；（2）依題意可知，求導(dǎo)后利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可證明結(jié)論成立.【詳解】（1）①因?yàn)閮傻郎a(chǎn)工序互不影響，法一：所以．法二：所以．答：該款芯片的次品率為；②記該款芯片自動(dòng)智能檢測合格為事件A，人工抽檢合格為事件B，且．則人工抽檢時(shí)，抽檢的一個(gè)芯片恰是合格品的概率：．答：人工抽檢時(shí)，抽檢的一個(gè)芯片恰是合格品的概率為；（2）因?yàn)楦鱾€(gè)芯片的生產(chǎn)互不影響，所以，所．令，得，所以當(dāng)時(shí)，為單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為單調(diào)減函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值．14．（2022·江蘇南京·南京市江寧高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）2022年2月6日，中國女足在兩球落后的情況下，以3比2逆轉(zhuǎn)擊敗韓國女足，成功奪得亞洲杯冠軍，在之前的半決賽中，中國女足通過點(diǎn)球大戰(zhàn)驚險(xiǎn)戰(zhàn)勝日本女足，其中門將朱鈺兩度撲出日本隊(duì)員的點(diǎn)球，表現(xiàn)神勇．(1)撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向射門，門將也會等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向來撲點(diǎn)球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列和期望；(2)好成績的取得離不開平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙、丁4名女足隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接?。浀趎次傳球之前球在甲腳下的概率為，易知．①試證明為等比數(shù)列；②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為，比較與的大?。敬鸢浮?1)分布列見解析，(2)①證明見解析；②【分析】（1）先計(jì)算門將每次可以撲出點(diǎn)球的概率，再列出其分布列，進(jìn)而求得數(shù)學(xué)期望；（2）遞推求解，記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為，則當(dāng)時(shí)，第次傳球之前球在甲腳下的概率為，滿足.【詳解】（1）解析1：分布列與期望依題意可得，門將每次可以撲出點(diǎn)球的概率為，門將在前三次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X可能的取值為0，1，2，3，，，，，X的分布列為：X0123P期望．（1）解析2：二項(xiàng)分布依題意可得，門將每次可以撲出點(diǎn)球的概率為，門將在前三次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X可能的取值為0，1，2，3，易知，，．X的分布列為：X0123P期望．（2）解析：遞推求解①第n次傳球之前球在甲腳下的概率為，則當(dāng)時(shí)，第次傳球之前球在甲腳下的概率為，第次傳球之前球不在甲腳下的概率為，則，從而，又，∴是以為首項(xiàng)．公比為的等比數(shù)列．②由①可知，，，故．15．（2022秋·江蘇常州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）汽車尾氣排放超標(biāo)是全球變暖、海平面上升的重要因素．我國近幾年著重強(qiáng)調(diào)可持續(xù)發(fā)展，加大在新能源項(xiàng)目的支持力度，積極推動(dòng)新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展，某汽車制造企業(yè)對某地區(qū)新能源汽車的銷售情況進(jìn)行調(diào)查，得到下面的統(tǒng)計(jì)表：年份20172018201920202021年份代碼12345銷量萬輛1012172026(1)統(tǒng)計(jì)表明銷量與年份代碼有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測該地區(qū)新能源汽車的銷量最早在哪一年能突破50萬輛；(2)為了解購車車主的性別與購車種類（分為新能源汽車與傳統(tǒng)燃油汽車）的情況，該企業(yè)心隨機(jī)調(diào)查了該地區(qū)200位購車車主的購車情況作為樣本其中男性車主中購置傳統(tǒng)燃油汽車的有名，購置新能源汽車的有45名，女性車主中有20名購置傳統(tǒng)燃油汽車．①若，將樣本中購置新能源汽車的性別占比作為概率，以樣本估計(jì)總體，試用（1）中的線性回歸方程預(yù)測該地區(qū)2023年購置新能源汽車的女性車主的人數(shù)（假設(shè)每位車主只購買一輛汽車，結(jié)果精確到千人）；②設(shè)男性車主中購置新能源汽車的概率為，將樣本中的頻率視為概率，從被調(diào)查的所有男性車主中隨機(jī)抽取5人，記恰有3人購置新能源汽車的概率為，求當(dāng)為何值時(shí)，最大．附：為回歸方程，，．【答案】(1)，2028年(2)①萬人；②【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，結(jié)合線性回歸的公式求解方程，再令求解即可；（2）①計(jì)算該地區(qū)購置新能源汽車的車主中女性車主的頻數(shù)與總?cè)藬?shù)求解即可；②根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式可得，再求導(dǎo)分析的最大值即可.【詳解】（1）解：由題意得，，，．所以，．所以關(guān)于的線性回歸方程為，令，得，所以最小的整數(shù)為12，，所以該地區(qū)新能源汽車的銷量最早在2028年能突破50萬輛．（2）解：①由題意知，該地區(qū)200名購車者中女性有名，故其中購置新能源汽車的女性車主的有名．所購置新能源汽車的車主中，女性車主所占的比例為．所以該地區(qū)購置新能源汽車的車主中女性車主的概率為．預(yù)測該地區(qū)2023年購置新能源汽車的銷量為33萬輛，因此預(yù)測該地區(qū)2020年購置新能源汽車的女性車主的人數(shù)為萬人②由題意知，，則當(dāng)時(shí)，知所以函數(shù)單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，知所以函數(shù)單調(diào)遞減所以當(dāng)取得最大值．此時(shí)，解得，所以當(dāng)時(shí)取得最大值．16．（2022秋·江蘇南通·高三?？计谥校┖怂釞z測也就是病毒DNA和RNA的檢測，是目前病毒檢測最先進(jìn)的檢驗(yàn)方法，在臨床上主要用于新型冠狀乙肝、丙肝和艾滋病的病毒檢測.通過核酸檢測，可以檢測血液中是否存在病毒核酸，以診斷機(jī)體有無病原體感染.某研究機(jī)構(gòu)為了提高檢測效率降低檢測成本，設(shè)計(jì)了如下試驗(yàn)，預(yù)備12份試驗(yàn)用血液標(biāo)本，其中2份陽性，10份陰性，從標(biāo)本中隨機(jī)取出n份分為一組，將樣本分成若干組，從每一組的標(biāo)本中各取部分，混合后檢測，若結(jié)果為陰性，則判定該組標(biāo)本均為陰性，不再逐一檢測；若結(jié)果為陽性，需對該組標(biāo)本逐一檢測.以此類推，直到確定所有樣本的結(jié)果.若每次檢測費(fèi)用為a元，記檢測的總費(fèi)用為X元.(1)當(dāng)n=3時(shí)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(2)比較n=3與n=4兩種方案哪一個(gè)更好，說明理由.【答案】(1)分布列見解析，(2)效果好，理由見解析【分析】(1)2分陽性在一組，檢測7次，各一組，檢測10次，寫出的所有可能值，求出對應(yīng)的概率即可求解；(2)由(1)的思路求出檢測總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望并比較大小即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，共分4組，當(dāng)2份陽性在一組，第一輪檢測4次，第二輪檢測3次，共檢測7次，若2分陽性各在一組，第一輪檢測4次，第二輪檢測6次，共檢測10次，所以檢測的總費(fèi)用的所有可能值為，任意檢測有種等可能結(jié)果，2分陽性在一組有種等可能結(jié)果，，，所以檢測的總費(fèi)用的分布列為：的數(shù)學(xué)期望，（2）當(dāng)時(shí)，共分3組，當(dāng)2份陽性在一組，共檢測7次，若2分陽性各在一組，共檢測11次，檢測的總費(fèi)用的所有可能值為，任意檢測有種等可能結(jié)果，2份陽性在一組有種等可能結(jié)果，所以，，所以檢測的總費(fèi)用的分布列為：的數(shù)學(xué)期望,所以時(shí)的方案更好一些.17．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)?？寄M預(yù)測）2022年卡塔爾世界杯決賽圈共有32隊(duì)參加，其中歐洲球隊(duì)有13支，分別是德國、丹麥、法國、西班牙、英格蘭、克羅地亞、比利時(shí)、荷蘭、塞爾維亞、瑞士、葡萄牙、波蘭、威爾士．世界杯決賽圈賽程分為小組賽和淘汰賽，當(dāng)進(jìn)入淘汰賽階段時(shí)，比賽必須要分出勝負(fù)．淘汰賽規(guī)則如下：在比賽常規(guī)時(shí)間90分鐘內(nèi)分出勝負(fù)，比賽結(jié)束，若比分相同，則進(jìn)入30分鐘的加時(shí)賽．在加時(shí)賽分出勝負(fù)，比賽結(jié)束，若加時(shí)賽比分依然相同，就要通過點(diǎn)球大戰(zhàn)來分出最后的勝負(fù)．點(diǎn)球大戰(zhàn)分為2個(gè)階段．第一階段：前5輪雙方各派5名球員，依次踢點(diǎn)球，以5輪的總進(jìn)球數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)（非必要無需踢滿5輪），前5輪合計(jì)踢進(jìn)點(diǎn)球數(shù)更多的球隊(duì)獲得比賽的勝利．第二階段：如果前5輪還是平局，進(jìn)入“突然死亡”階段，雙方依次輪流踢點(diǎn)球，如果在該階段一輪里，雙方都進(jìn)球或者雙方都不進(jìn)球，則繼續(xù)下一輪，直到某一輪里，一方罰進(jìn)點(diǎn)球，另一方?jīng)]罰進(jìn)，比賽結(jié)束，罰進(jìn)點(diǎn)球的一方獲得最終的勝利．下表是2022年卡塔爾世界杯淘汰賽階段的比賽結(jié)果：淘汰賽比賽結(jié)果淘汰賽比賽結(jié)果1/8決賽荷蘭美國1/4決賽克羅地亞巴西阿根廷澳大利亞荷蘭阿根廷法國波蘭摩洛哥葡萄牙英格蘭塞內(nèi)加爾英格蘭法國日本克羅地亞半決賽阿根廷克羅地亞巴西韓國法國摩洛哥摩洛哥西班牙季軍賽克羅地亞摩洛哥葡萄牙瑞士決賽阿根廷法國注：“阿根廷法國”表示阿根廷與法國在常規(guī)比賽及加時(shí)賽的比分為，在點(diǎn)球大戰(zhàn)中阿根廷戰(zhàn)勝法國．(1)請根據(jù)上表估計(jì)在世界杯淘汰賽階段通過點(diǎn)球大戰(zhàn)分出勝負(fù)的概率．(2)根據(jù)題意填寫下面的列聯(lián)表，并通過計(jì)算判斷是否能在犯錯(cuò)的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“32支決賽圈球隊(duì)闖入8強(qiáng)”與是否為歐洲球隊(duì)有關(guān)．歐洲球隊(duì)其他球隊(duì)合計(jì)闖入8強(qiáng)未闖入8強(qiáng)合計(jì)(3)若甲、乙兩隊(duì)在淘汰賽相遇，經(jīng)過120分鐘比賽未分出勝負(fù)，雙方進(jìn)入點(diǎn)球大戰(zhàn)．已知甲隊(duì)球員每輪踢進(jìn)點(diǎn)球的概率為p，乙隊(duì)球員每輪踢進(jìn)點(diǎn)球的概率為，求在點(diǎn)球大戰(zhàn)中，兩隊(duì)前2輪比分為的條件下，甲隊(duì)在第一階段獲得比賽勝利的概率（用p表示）．參考公式：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)(2)分布列見解析，不能(3)【分析】(1)根據(jù)古典概型概率公式求解；(2)由條件數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表，提出零假設(shè)，計(jì)算，比較其與臨界值的大小，確定是否接受假設(shè)；(3)根據(jù)實(shí)際比賽進(jìn)程，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式，獨(dú)立事件概率公式和互斥事件概率公式求概率.【詳解】（1）由題意知卡塔爾世界杯淘汰賽共有16場比賽，其中有5場比賽通過點(diǎn)球大戰(zhàn)決出勝負(fù)，所以估計(jì)在世界杯淘汰賽階段通過點(diǎn)球大戰(zhàn)分出勝負(fù)的概率；（2）下面為列聯(lián)表：歐洲球隊(duì)其他球隊(duì)合計(jì)進(jìn)入8強(qiáng)538未進(jìn)入8強(qiáng)81624合計(jì)131932零假設(shè)支決賽圈球隊(duì)闖入8強(qiáng)與是否為歐洲球隊(duì)無關(guān)．．根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，即不能在犯錯(cuò)的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“決賽圈球隊(duì)闖入8強(qiáng)”與是否為歐洲球隊(duì)有關(guān)．（3）根據(jù)實(shí)際比賽進(jìn)程，假定點(diǎn)球大戰(zhàn)中由甲隊(duì)先踢．兩隊(duì)前2輪比分為的條件下，甲在第一階段獲得比賽勝利，則后3輪有5種可能的比分，．當(dāng)后3輪比分為時(shí)，甲乙兩隊(duì)均需踢滿5輪，．當(dāng)后3輪比分為時(shí)，有如下3種情況：345345345甲√√甲√×√甲×√√乙××乙××乙××則．當(dāng)后3輪比分為時(shí)，有如下6種情況：345345345甲√√×甲√√×甲√×√乙√××乙×√×乙√××345345345甲√×√甲×√√甲×√√乙×√×乙√××乙×√×則．當(dāng)后3輪比分為時(shí)，有如下2種情況：345345甲√√√甲√√√乙√×乙×√則當(dāng)后3輪比分為時(shí)，有如下1種情況：345甲√√√乙√√×則．綜上，在點(diǎn)球大戰(zhàn)中兩隊(duì)前2輪比分為的條件下，甲在第一階段獲得比賽勝利的概率.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)．（1）基本事件總數(shù)較少時(shí)，用列舉法把所有基本事件一一列出時(shí)，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉；（2）注意區(qū)分排列與組合，以及計(jì)數(shù)原理的正確使用.18．（2023春·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）設(shè)數(shù)軸上有一只兔子，從坐標(biāo)開始，每秒以的概率向正方向跳一個(gè)單位，以的概率向反方向跳一個(gè)單位，記兔子第n秒時(shí)的位置為．(1)證明：；(2)記是表達(dá)式的最大值，證明：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】(1)若n次跳動(dòng)中一共向右跳了k次，則．得到，若n次跳動(dòng)中一共向左跳了k次，則．得到，再利用，討論或即可得證；(2)先計(jì)算，再利用，，進(jìn)行放縮可以得證.【詳解】（1）若n次跳動(dòng)中一共向右跳了k次，則．因此，，1，2，…，n．若n次跳動(dòng)中一共向左跳了k次，則．故，，1，2，…，n．于是，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故，即．（2）因此．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第一問中借助，從而討論或即可得證；第二問中借助，，多次放縮才得證.19．（2023秋·江蘇常州·高三江蘇省前黃高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在一個(gè)典型的數(shù)字通信系統(tǒng)中，由信源發(fā)出攜帶著一定信息量的消息，轉(zhuǎn)換成適合在信道中傳輸?shù)男盘枺ㄟ^信道傳送到接收端.有干擾無記憶信道是實(shí)際應(yīng)用中常見的信道，信道中存在干擾，從而造成傳輸?shù)男畔⑹д?在有干擾無記憶信道中，信道輸入和輸出是兩個(gè)取值的隨機(jī)變量，分別記作和.條件概率，描述了輸入信號和輸出信號之間統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)系，反映了信道的統(tǒng)計(jì)特性.隨機(jī)變量的平均信息量定義為：.當(dāng)時(shí)，信道疑義度定義為(1)設(shè)有一非均勻的骰子，若其任一面出現(xiàn)的概率與該面上的點(diǎn)數(shù)成正比，試求扔一次骰子向上的面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的平均信息量；(2)設(shè)某信道的輸入變量與輸出變量均取值0，1.滿足：.試回答以下問題：①求的值；②求該信道的信道疑義度的最大值.【答案】(1)2.40(2)①；②1【分析】（1）充分理解題意，利用隨機(jī)變量的平均信息量定義解決本小題；（2）由全概率和條件概率公式解決本小題.【詳解】（1）設(shè)表示扔一非均勻股子點(diǎn)數(shù)，則123456扔一次平均得到的信息量為.（2）①由全概率公式，得②由題意，.所以，;其中.令.時(shí)時(shí)，,.20．（2023秋·江蘇·高三淮陰中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）某高校數(shù)學(xué)系計(jì)劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測試活動(dòng)，分別由李老師和張老師負(fù)責(zé)，已知該系共有位學(xué)生，每次活動(dòng)均需該系位學(xué)生參加（和都是固定的正整數(shù)）.假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動(dòng)通知的信息獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給該系位學(xué)生，且所發(fā)信息都能收到.記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的學(xué)生人數(shù)為(1)求該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的概率；(2)求使取得最大值的整數(shù).【答案】(1)(2)【分析】（1）由于A和B是相互獨(dú)立，，沒有收到信息的概率正好是，所以最后的結(jié)果就能求出；（2）要從和兩個(gè)角度考慮.【詳解】（1）設(shè)事件A：“學(xué)生甲收到李老師所發(fā)信息”，事件B：“學(xué)生甲收到張老師所發(fā)信息”，由題意A和B是相互獨(dú)立的事件，則與相互獨(dú)立，而所以，因此，學(xué)生甲收到活動(dòng)通知信息的概率為.（2）當(dāng)時(shí)，只能取，有當(dāng)，整數(shù)滿足，其中是和中的較小者.“李老師和張老師各自獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)活動(dòng)通知信息給位同學(xué)”所包含的基本事件總數(shù)為.當(dāng)時(shí)，同時(shí)收到李老師和張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)恰為，僅收到李老師或僅收到張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)為，則由乘法計(jì)數(shù)原理知：事件所含基本事件數(shù)為此時(shí)當(dāng)，化簡解得假如成立，則當(dāng)能被整除時(shí)，，故在和處達(dá)到最大值；則當(dāng)不能被整除時(shí)，在處達(dá)最大值.（注：表示不超過的最大整數(shù)）.下證：因?yàn)椋?，，故，顯然.因此.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是用高斯取整函數(shù)證明.21．（2023·江蘇宿遷·江蘇省沭陽高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）為豐富學(xué)生課外生活，某市組織了高中生鋼筆書法比賽，比賽分兩個(gè)階段進(jìn)行：第一階段由評委給出所有參賽作品評分，并確定優(yōu)勝者；第二階段為附加賽，參賽人員由組委會按規(guī)則另行確定.數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)員對第一階段的分?jǐn)?shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，這些分?jǐn)?shù)都在內(nèi)，在以組距為5畫分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖（設(shè)“”)時(shí)，發(fā)現(xiàn)滿足.（1）試確定的所有取值，并求；（2）組委會確定：在第一階段比賽中低于85分的參賽者無緣獲獎(jiǎng)也不能參加附加賽；分?jǐn)?shù)在的參賽者評為一等獎(jiǎng)；分?jǐn)?shù)在的同學(xué)評為二等獎(jiǎng)，但通過附加賽有的概率提升為一等獎(jiǎng)；分?jǐn)?shù)在的同學(xué)評為三等獎(jiǎng)，但通過附加賽有的概率提升為二等獎(jiǎng)（所有參加附加賽的獲獎(jiǎng)人員均不降低獲獎(jiǎng)等級）.已知學(xué)生和均參加了本次比賽，且學(xué)生在第一階段評為二等獎(jiǎng).（）求學(xué)生最終獲獎(jiǎng)等級不低于學(xué)生的最終獲獎(jiǎng)等級的概率；（）已知學(xué)生和都獲獎(jiǎng)，記兩位同學(xué)最終獲得一等獎(jiǎng)的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）（）；（）分布列見解析，.【分析】（1）在內(nèi)，按組距為5可分成6個(gè)小區(qū)間，分別是,,，，，.由，，能求出的所有取值和；（2）（）由于參賽學(xué)生很多，可以把頻率視為概率.學(xué)生的分?jǐn)?shù)屬于區(qū)間，，，，，的概率分別是，，，，，.用符號或（）表示學(xué)生（或）在第一輪獲獎(jiǎng)等級為，通過附加賽最終獲獎(jiǎng)等級為，其中，記“學(xué)生最終獲獎(jiǎng)等級不低于學(xué)生的最終獲獎(jiǎng)等級”為事件，由此能求出學(xué)生最終獲獎(jiǎng)等級不低于學(xué)生的最終獲獎(jiǎng)等級的概率；（）學(xué)生最終獲得一等獎(jiǎng)的概率是，學(xué)生最終獲得一等獎(jiǎng)的概率是，的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，求出的分布列和.【詳解】（1）根據(jù)題意，在內(nèi)，按組距為5可分成6個(gè)小區(qū)間，分別是，，由，.每個(gè)小區(qū)間的頻率值分別是.由，解得.的所有取值為，.（2）（）由于參賽學(xué)生很多，可以把頻率視為概率.由（1）知，學(xué)生的分?jǐn)?shù)屬于區(qū)間的概率分別是：，，，，，.我們用符號（或)表示學(xué)生（或）在第一輪獲獎(jiǎng)等級為，通過附加賽最終獲獎(jiǎng)等級為，其中.記“學(xué)生最終獲獎(jiǎng)等級不低于學(xué)生的最終獲獎(jiǎng)等級”為事件，則.（）學(xué)生最終獲得一等獎(jiǎng)的概率是，學(xué)生最終獲得一等獎(jiǎng)的概率是，，，，的分布列為：.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖、條件概率、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬于難題.22．（2023春·江蘇南京·高三南京市第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）為了有針對性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素是否對學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此隨機(jī)抽查了男女生各100名，得到如下數(shù)據(jù)：性別鍛煉不經(jīng)常經(jīng)常女生4060男生2080(1)依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；(2)從這200人中隨機(jī)選擇1人，已知選到的學(xué)生經(jīng)常參加體育鍛煉，求他是男生的概率；(3)為了提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，集團(tuán)設(shè)置了“學(xué)習(xí)女排精神，塑造健康體魄”的主題活動(dòng)，在該活動(dòng)的某次排球訓(xùn)練課上，甲乙丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人.求第次傳球后球在甲手中的概率.附：0.0100.0050.0016.6357.87910.828【答案】(1)可以認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系，理由見解析(2)(3)【分析】（1）計(jì)算卡方，與6.635比較后得到結(jié)論；（2）利用事件，利用條件概率求出答案；（3）設(shè)n次傳球后球在甲手中的概率為，，得到，利用構(gòu)造法得到，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而求出通項(xiàng)公式，得到答案.【詳解】（1），故依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系；（2）設(shè)從這200人中隨機(jī)選擇1人，設(shè)選到經(jīng)常鍛煉的學(xué)生為事件A，選到的學(xué)生為男生為事件B，則，則已知選到的學(xué)生經(jīng)常參加體育鍛煉，他是男生的概率；（3）設(shè)n次傳球后球在甲手中的概率為，，則有，，設(shè)，則，所以，解得：，所以，其中，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，故，故第次傳球后球在甲手中的概率為.23．（2023秋·江蘇·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）第22屆世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔爾舉辦．在決賽中，阿根廷隊(duì)通過點(diǎn)球戰(zhàn)勝法國隊(duì)獲得冠軍．(1)撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會等可能地隨機(jī)選擇球門的左?中?右三個(gè)方向射門，門將也會等可能地隨機(jī)選擇球門的左?中?右三個(gè)方向來撲點(diǎn)球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲到點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列和期望；(2)好成績的取得離不開平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲?乙?丙三名前鋒隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外