壓軸小題01 學(xué)以致用函數(shù)的4大基本性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性）（解析版）

壓軸小題01學(xué)以致用函數(shù)的4大基本性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性）壓軸壓軸秘籍定義域①分式函數(shù)定義域：②偶次根式函數(shù)的定義域：③次冪型函數(shù)的定義域：④對數(shù)函數(shù)的定義域：⑤正切函數(shù)的定義域：單調(diào)性單調(diào)性的運算①增函數(shù)（↗）增函數(shù)（↗）增函數(shù)↗②減函數(shù)（↘）減函數(shù)（↘）減函數(shù)↘③為↗，則為↘，為↘④增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）增函數(shù)↗⑤減函數(shù)（↘）增函數(shù)（↗）減函數(shù)↘⑥增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）未知（導(dǎo)數(shù)）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性奇偶性①具有奇偶性的函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱（大前提）②奇偶性的定義：奇函數(shù)：，圖象關(guān)于原點對稱偶函數(shù)：，圖象關(guān)于軸對稱③奇偶性的四則運算周期性（差為常數(shù)有周期）①若，則的周期為：②若，則的周期為：③若，則的周期為：（周期擴倍問題）④若，則的周期為：（周期擴倍問題）對稱性（和為常數(shù)有對稱軸）軸對稱①若，則的對稱軸為②若，則的對稱軸為點對稱①若，則的對稱中心為②若，則的對稱中心為周期性對稱性綜合問題①若，，其中，則的周期為：②若，，其中，則的周期為：③若，，其中，則的周期為：奇偶性對稱性綜合問題①已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則的周期為：②已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則的周期為：壓軸訓(xùn)練壓軸訓(xùn)練一、單選題1．（2023秋·江蘇南京·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則下列等式一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性以及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)運算，利用舉反例的形式，逐一判斷，可得答案.【詳解】由函數(shù)為偶函數(shù)，可得，則，所以函數(shù)關(guān)于成軸對稱；由函數(shù)為偶函數(shù)，可得，所以函數(shù)關(guān)于成軸對稱；對于A，設(shè)，，顯然符合題意，但，故A錯誤；對于B，因為為偶函數(shù)，故，故，故（為常數(shù)），令，則，故，故的圖象關(guān)于成中心對稱，由，且為函數(shù)圖象的對稱軸，則，由，則函數(shù)圖象的對稱軸為直線，由，則，所以，故B正確；對于C，設(shè)，令，解得，則的對稱軸為；，令，解得，則的對稱中心為；所以此時函數(shù)符合題意，，故C錯誤；對于D，由選項C，符合題意，則，，故D錯誤.故選：B.2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對稱，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對稱性和已知條件得到，從而得到，，然后根據(jù)條件得到的值，再由題意得到從而得到的值即可求解.【詳解】因為的圖像關(guān)于直線對稱，所以，因為，所以，即，因為，所以，代入得，即，所以，.因為，所以，即，所以.因為，所以，又因為，聯(lián)立得，，所以的圖像關(guān)于點中心對稱，因為函數(shù)的定義域為R，所以因為，所以.所以.故選：D【點睛】含有對稱軸或?qū)ΨQ中心的問題往往條件比較隱蔽，考生需要根據(jù)已知條件進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，然后得到所需的一些數(shù)值或關(guān)系式從而解題.3．（2023秋·江蘇揚州·高三揚州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，且是偶函數(shù)，記，也是偶函數(shù)，則的值為（

）A．－2 B．－1 C．0 D．2【答案】C【分析】根據(jù)是偶函數(shù)，可得，求導(dǎo)推得，從而求得，再根據(jù)為偶函數(shù)，可推得，即4是函數(shù)的一個周期，由此可求得答案.【詳解】因為是偶函數(shù)，所以，兩邊求導(dǎo)得，即，所以，即，令可得，即，因為為偶函數(shù)，所以，即，所以，即，，所以4是函數(shù)的一個周期，所以,故選∶C．【點睛】方法點睛：此類有關(guān)抽象函數(shù)的求值問題，一般方法是要根據(jù)題意推導(dǎo)出函數(shù)具有的性質(zhì)，比如函數(shù)的奇偶性單調(diào)性以及周期性，然后利用周期性求值.4．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，且為奇函數(shù)，，，則（

）A．13 B．16 C．25 D．51【答案】C【分析】根據(jù)題意利用賦值法求出、、、的值，推出函數(shù)的周期，結(jié)合，每四個值為一個循環(huán)，即可求得答案.【詳解】由，令，得，所以．由為奇函數(shù)，得，所以，故①．又②，由①和②得，即，所以，③令，得，得，令，得，得．又④，由③-④得，即，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，故，所以，所以，故選：C．【點睛】方法點睛：解決此類抽象函數(shù)的求值問題時，涉及到函數(shù)的性質(zhì)，比如奇偶性和對稱軸以及周期性等問題，綜合性較強，有一定難度，解答時往往要采用賦值法求得某些特殊值，繼而推出函數(shù)滿足的性質(zhì)，諸如對稱性和周期性等，從而解決問題.5．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測）函數(shù)的定義域均為，且，關(guān)于對稱，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用已知、方程、函數(shù)的對稱性、周期性進(jìn)行計算求解.【詳解】因為，

，對于②式有：，由①+有：，即，又關(guān)于對稱，所以，由④⑤有：，即，，兩式相減得：，即，即，因為函數(shù)的定義域為，所以的周期為8，又，所以，由④式有：，所以，由，有：，所以，由⑤式有：，又，所以，由②式有：，所以，故A，B，D錯誤.故選：C.6．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)?？既＃┰O(shè)函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)為，若，則下列結(jié)論不一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意令可得，即函數(shù)圖象關(guān)于對稱，即可判斷A；根據(jù)抽象函數(shù)的奇偶性和對稱性可得函數(shù)的周期為2，即可判斷BD；由知函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，舉例說明即可判斷C.【詳解】A：令，得，則函數(shù)圖象關(guān)于點對稱.若，則函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，符合題意，故A正確；B：由選項A的分析知，等式兩邊同時求導(dǎo)，得，即①，又，為偶函數(shù)，所以②，由①②得，所以函數(shù)的周期為2.所以，即，故B正確；C：由選項B的分析知，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱.令，若，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，不符合題意，故C錯誤；D：由選項B的分析可知函數(shù)的周期為2，則，所以，故D正確.故選：C.7．（2023秋·江蘇·高三宿遷中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)定義域均為R，滿足，記，其導(dǎo)函數(shù)為且的圖象關(guān)于原點對稱，則（

）A．0 B．3 C．4 D．1【答案】D【分析】根據(jù)題設(shè)知關(guān)于、對稱且，即可求，再由已知有關(guān)于、對稱，求，即可得解.【詳解】由關(guān)于原點對稱，則關(guān)于軸對稱，且，所以關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，且，又，即，則關(guān)于對稱，綜上，，，則，所以，而，故，又，則關(guān)于對稱，即，所以，則，所以.故選：D8．（2023秋·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且滿足，，，若，則（

）A． B． C．88 D．90【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運算求得正確答案.【詳解】由得，①，則關(guān)于直線對稱.另外②，則關(guān)于點對稱.所以，所以，所以是周期為的周期函數(shù).，，則，由②，令，得.所以，由②，令，得；所以，由①，令，得；令，得.由②，令，得；令，得，則，；，，以此類推，是周期為的周期函數(shù).所以.故選：B【點睛】函數(shù)的對稱性有多種呈現(xiàn)方式，如，則關(guān)于直線對稱；如，則關(guān)于直線對稱；如，則關(guān)于點對稱；如，則關(guān)于點對稱.二、多選題9．（2023秋·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)定義域為，是奇函數(shù)，，，分別是函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由是奇函數(shù)，，令可求判斷選項A，兩邊求導(dǎo)判斷選項B，由，得到和的關(guān)系，求導(dǎo)判斷選項C，利用單調(diào)性判斷選項D.【詳解】對于A，由是奇函數(shù)，則，令，有，A正確.對于B，由是奇函數(shù)，則，有，所以，B正確.對于C，由，有，，∴，∴，C錯.對于D，由知關(guān)于直線對稱，∵在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞減，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，令，則，解得，在上單調(diào)遞增，則，即，有.令，，時，在上單調(diào)遞減，所以，有，即.而，∴，D正確.故選：ABD.10．（2023秋·江蘇鹽城·高三鹽城市伍佑中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的定義域也為.若，且為奇函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由題意可以推出的周期以及對稱中心，根據(jù)，可得的周期是4，又是由向左平移1個單位得到的，且注意到為奇函數(shù)，因此的對稱中心為；然后對每一選項逐一驗證判斷即可.【詳解】對于A選項：注意到，又是由向左平移1個單位得到的，且注意到為奇函數(shù)，因此的對稱中心為即，因此；故A選項符合題意.對于B選項：令，此時滿足題意，但，故B選項不符題意.對于C選項：因為的對稱中心為，所以，又已知，所以，這表明了關(guān)于直線對稱，即，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則且同時兩邊對求導(dǎo)得；故C選項符合題意.對于D選項：由的對稱中心為，即，兩邊對求導(dǎo)得，結(jié)合C選項分析結(jié)論，可知，所以這表明了的周期為4，因此，注意到，所以；故D選項符合題意.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題有兩個關(guān)鍵之處，一方面：的周期以及對稱中心并舉反例排除B選項；另一方面：得出的對稱軸，進(jìn)而求出的奇偶性、周期性.11．（2023秋·江蘇常州·高三常州高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若函數(shù)，都為偶函數(shù)，令，則下列結(jié)論正確的有（

）A．的圖象關(guān)于對稱 B．的圖象關(guān)于點對稱C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性可求得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，的圖象關(guān)于點成中心對稱，即AB正確；又可知，所以，即C錯誤；經(jīng)計算可知，又，，即可得是等差數(shù)列，由前項和公式可得D正確.【詳解】根據(jù)題意為偶函數(shù)可得，即可知，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，即A正確；由是偶函數(shù)可得為奇函數(shù)，所以滿足，即，因此的圖象關(guān)于點成中心對稱，所以B正確；由可知，所以；即，所以的圖象關(guān)于點成中心對稱，因此，即C錯誤；易知，，由可得，聯(lián)立可得；所以；即，易知是以為首項，公差的等差數(shù)列；所以代入等差數(shù)列前項和公式可知，即D正確；故選：ABD【點睛】方法點睛：求解函數(shù)性質(zhì)綜合問題時，往往借助函數(shù)奇偶性、對稱性、周期性等性質(zhì)進(jìn)行推理證明，結(jié)合對稱軸、對稱中心等實現(xiàn)求和計算即可.12．（2023秋·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是定義在上的奇函數(shù)，，設(shè)函數(shù)，若是偶函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由題意推出函數(shù)的奇偶性以及周期，進(jìn)而推出的周期，由此結(jié)合賦值法判斷A；賦值，結(jié)合可判斷B；利用賦值結(jié)合已知判斷C；利用函數(shù)的周期性求函數(shù)值，即可判斷D.【詳解】因為是上的奇函數(shù)，所以，則定義域為R，且故也是上的奇函數(shù)，，因為是偶函數(shù)，所以，即，即，則，所以是以4為周期的周期函數(shù).因為周期為4，則，則，所以也是以4為周期的周期函數(shù).對于A，因為，令得，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，由，，知，所以，故C正確；對于D，因為，令，故；；同理；而；所以，所以，故D錯誤.故選：【點睛】關(guān)鍵點睛：本題是關(guān)于抽象函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用問題，解答的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)具有的性質(zhì)推出函數(shù)的周期性，從而利用周期性求函數(shù)值.13．（2023秋·江蘇徐州·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知是定義域為的奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則（

）A．是周期為2的函數(shù)B．C．的值域為[-1，1]D．的圖象與曲線在上有4個交點【答案】BCD【分析】對于A，由為R上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，得，則是周期為4的周期函數(shù)，可判斷A；對于B，由是周期為4的周期函數(shù)，則，，可判斷B．對于C，當(dāng)時，，有，又由為R上的奇函數(shù)，則時，，可判斷C．對于D，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求出單調(diào)區(qū)間，結(jié)合零點存在性定理，即可判斷D．【詳解】根據(jù)題意，對于A，為R上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于對稱，即則是周期為4的周期函數(shù)，A錯誤；對于B，定義域為R的奇函數(shù)，則，是周期為4的周期函數(shù)，則；當(dāng)時，，則，則，則；故B正確．對于C，當(dāng)時，，此時有，又由為R上的奇函數(shù)，則時，，，函數(shù)關(guān)于對稱，所以函數(shù)的值域．故C正確．對于D，，且時，，，，，是奇函數(shù)，，的周期為，，，，設(shè)，當(dāng)，，設(shè)在恒成立，在單調(diào)遞減，即在單調(diào)遞減，且，存在，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，，所以在有唯一零點，在沒有零點，即，的圖象與曲線有1個交點，當(dāng)時，，，則，，則，所以在上單調(diào)遞增，且，所以存在唯一的，使得，所以，，在單調(diào)遞減，，，在單調(diào)遞增，又，所以，又，所以在上有一個唯一的零點，在上有唯一的零點，所以當(dāng)時，的圖象與曲線有2個交點，，當(dāng)時，同，的圖象與曲線有1個交點，當(dāng)，的圖象與曲線沒有交點，所以的圖象與曲線在上有4個交點，故D正確；故選：BCD．【點睛】本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、周期性、兩函數(shù)圖像的交點，屬于較難題.14．（2023秋·江蘇宿遷·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】方法一：轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對稱性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可得解.【詳解】[方法一]：對稱性和周期性的關(guān)系研究對于，因為為偶函數(shù)，所以即①，所以，所以關(guān)于對稱，則，故C正確；對于，因為為偶函數(shù)，，，所以關(guān)于對稱，由①求導(dǎo)，和，得，所以，所以關(guān)于對稱，因為其定義域為R，所以，結(jié)合關(guān)于對稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯誤；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.由方法一知周期為2，關(guān)于對稱，故可設(shè)，則，顯然A，D錯誤，選BC.故選：BC.[方法三]：因為，均為偶函數(shù)，所以即，，所以，，則，故C正確；函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線對稱，又，且函數(shù)可導(dǎo)，所以，所以，所以，所以，，故B正確，D錯誤；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.【點評】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項的真假，轉(zhuǎn)化難度較高，是該題的通性通法；方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構(gòu)造特殊函數(shù)，再驗證選項，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．15．（2023秋·江蘇揚州·高三儀征中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)定義在上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和，若，，且為奇函數(shù)，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)逆向思維得到，代入推出的對稱軸，即可判斷A選項；根據(jù)為奇函數(shù)推出對稱中心，進(jìn)一步得出，即的周期為4，即可判斷C選項；由是由的圖像變換而來，所以的周期也為4，進(jìn)而判斷B選項；再算出時的函數(shù)值以及一個周期內(nèi)的值即可求解，判斷D選項.【詳解】因為，所以.因為，所以，用去替，所以，所以.因為，取代入得到，得，所以，所以，所以的圖象關(guān)于直線對稱，所以，故A正確；因為為奇函數(shù)，則過,圖像向右移動兩個單位得到過，故圖像關(guān)于對稱，，所以，且.因為，所以，則的周期，所以，故C錯誤；因為，，所以的周期也為4，所以，，所以，故B正確；因為，，，，所以，故D正確.故選：ABD.16．（2023·江蘇蘇州·蘇州市第五中學(xué)校校考模擬預(yù)測）設(shè)定義在R上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和，且，，且為奇函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C．D．【答案】ABD【分析】由為奇函數(shù)可得，由取導(dǎo)數(shù)可得，結(jié)合條件，判斷B，再由條件判斷函數(shù)，的周期，由此計算，，判斷C，D．【詳解】解：因為為奇函數(shù)，所以，取可得，因為，所以；所以，又，，故，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故B正確；因為，所以，所以，為常數(shù)，因為，所以，所以，取可得，所以，故關(guān)于對稱，故A正確；又，所以，所以，所以，故函數(shù)為周期為的周期函數(shù)，因為，所以，，所以，所以，所以，由已知無法確定的值，故的值不一定為，故C錯誤．因為，所以，，所以，故函數(shù)為周期為的函數(shù)，所以，所以函數(shù)為周期為4的函數(shù)，又，，，，所以，，所以，故D正確；故選：ABD．【點睛】方法點睛：抽象函數(shù)對稱性與周期性的判斷如下：若，則函數(shù)關(guān)于對稱；若，則函數(shù)關(guān)于中心對稱；若，則是的一個周期.17．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）設(shè)定義在上的函數(shù)與的導(dǎo)數(shù)分別為與，已知，，且關(guān)于直線對稱，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系式，變形賦值，逐項驗證即可.【詳解】因為，所以所以，所以，故D正確，令時，，所以，由，所以，所以B選項正確，因為，所以，所以函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，即為奇函數(shù)，所以函數(shù)（為常數(shù)）為偶函數(shù)，圖象關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，故C選項正確，函數(shù)，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，符合題意，所以，故選項A不正確，故選：BCD.【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)的定義域為D，，(1)存在常數(shù)a，b使得，則函數(shù)圖象關(guān)于點對稱.(2)存在常數(shù)a使得，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱.18．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）定義在上的函數(shù)滿足，，，則（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】對于B，首先說明，，進(jìn)而根據(jù)已知即可判斷；對于A，由函數(shù)是奇函數(shù)證明，并結(jié)合即可判斷；對于C，首先說明，但由已知條件不能夠得到的值，注意到函數(shù)是周期為4的奇函數(shù)，且，故考慮構(gòu)造反例說明C錯誤；對于D，可以通過計算，得到，從而說明D錯誤.【詳解】對于B，因為，所以，，又，所以，即，且是以4為周期的周期函數(shù)，故B選項正確；對于A，由題意函數(shù)的定義域為關(guān)于原點對稱，且由B選項分析可知，所以函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，又由B選項分析可知，所以，故A選項正確；對于C，記，因為，所以，由B選項分析可知，且注意到，所以，又由A選項分析可知，所以，又由B選項分析可知是以4為周期的周期函數(shù)，所以；而由已知條件不能得到的值，故構(gòu)造反例如下：不妨設(shè)，現(xiàn)在我們來驗證滿足題意：由于，且，，所以此時，而，故滿足題意，但；綜上所述：若，則此時，故C選項錯誤；對于D，記，由B選項分析可知是以4為周期的周期函數(shù)，所以，又，，且由C選項分析可知，所以，所以，又因為是以4為周期的周期函數(shù)，所以，故D選項錯誤.故選：AB.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題A，B選項的判斷比較常規(guī)，判斷C選項的關(guān)鍵是首先得到，但由已知條件不能夠得到的值，故通過構(gòu)造反例說明C錯誤即可，判斷D選項的關(guān)鍵是利用周期性去計算從而對比驗證即可，當(dāng)然也可以由C選項的反例，通過計算來說明D選項錯誤；總之本題的綜合性比較強，考查了周期性、奇偶性對稱性等，如果正面去證明的時候很難證明出來，這時候要想到通過構(gòu)造反例來推理，平時練習(xí)的時候可以多加留意一下.19．（2023春·江蘇揚州·高三揚州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域均為，且滿足，，，則（

）A． B．C．的圖象關(guān)于點對稱 D．【答案】ABD【分析】由得出的圖象關(guān)于點對稱，即；由和得出，判斷選項A正確；由函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，判斷選項B正確；由和得出的圖象關(guān)于點中心對稱，C錯誤；記，則數(shù)列和均為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的求和公式計算可得D正確．【詳解】因為，所以的圖象關(guān)于點對稱，所以，因為，所以，即，因為，所以，代入得，即，A正確；因為定義域為的函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以，B正確；由，得，即，．因為，所以，又因為，相減得，所以的圖象關(guān)于點中心對稱，C錯誤；因為函數(shù)的定義域為，所以，所以．記，結(jié)合A、C分析知：數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，故，，所以，D正確；故選：ABD．20．（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測）定義在上的函數(shù)滿足，，則（

）A．的圖象關(guān)于對稱 B．4是的一個周期C． D．【答案】ACD【分析】對于A，令可得，即可得到的對稱性，對于B，令，即可得到4為的一個周期，從而得到，對于C，令，對于D，結(jié)合前面的結(jié)論，求出函數(shù)值即可.【詳解】因為，即，令，則，所以關(guān)于對稱，則的圖象關(guān)于對稱，故A正確；因為，則，令，則，則的圖象于對稱，因為，所以，即，則的圖象關(guān)于對稱.所以，又，所以，所以，所以，所以4為的一個周期，即，則，故B不正確；對于C：因為，令可得，故C正確；對于D：因為，則，，，又，，，所以，，，，，，，，，，，，，，，所以，故D正確；故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛：令是解題的關(guān)鍵，通過研究的對稱性，周期性得到的性質(zhì).21．（2023秋·江蘇連云港·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，是偶函數(shù)，的圖象關(guān)于點中心對稱，則下列說法正確的是（

）A． B．C．， D．，【答案】BCD【分析】根據(jù)是偶函數(shù)可得函數(shù)關(guān)于直線對稱，由的圖象關(guān)于點中心對稱可得關(guān)于點成中心對稱，據(jù)此可推導(dǎo)出函數(shù)為周期函數(shù)，判斷A，再由函數(shù)的周期求出判斷B，由周期性及對稱性可判斷C，由以上分析利用求解可判斷D.【詳解】因為是偶函數(shù)，所以，可得，故關(guān)于直線對稱，因為的圖象關(guān)于點中心對稱，所以關(guān)于點成中心對稱，所以，又由可得，所以，即，所以，兩式相減可得，即，所以，故A錯誤；由周期，，又，所以，即，故B正確；由周期，，，由可得，，，故C正確；由上述分析可知，又因為，所以，所以，故D正確.故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：當(dāng)函數(shù)滿足時，函數(shù)關(guān)于直線對稱，當(dāng)函數(shù)滿足時，函數(shù)關(guān)于點成中心對稱.22．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，的定義域均為是奇函數(shù)，且，，則（

）A．為奇函數(shù) B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)已知等式關(guān)系結(jié)合函數(shù)的奇偶性與對稱性即可求得函數(shù)均是周期為4的周期函數(shù)，利用周期性與對稱性計算，逐項判斷即可得答案.【詳解】因為，所以，又，則有；因為是奇函數(shù)，所以，可得，即有，所以，所以是周期為4的周期函數(shù)，故也是周期為4的周期函數(shù)，因為，所以，所以為偶函數(shù)，故A錯誤；由是奇函數(shù)，則，所以，又，所以，所以C選項正確；由，得，所以B選項正確；因為，，所以，所以，所以D選項正確．故選：BCD．23．（2023秋·江蘇徐州·高三徐州市第七中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)是奇函數(shù)B．函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱C．函數(shù)是最小正周期為2的周期函數(shù)D．若函數(shù)滿足，則【答案】ABD【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的對稱性，以及條件的變形，即可判斷ABC；首先判斷函數(shù)的周期性，再利用周期性和函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故A正確；因為，所以，又，所以，所以，所以，所以為偶函數(shù).故B正確；因為，所以是最小正周期為4的周期函數(shù)，故C錯誤；因為，所以，那么，所以也是周期為4的函數(shù)，，因為，所以，，所以，所以，故D正確.故選：ABD.【點睛】思路點睛：本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，理解抽象函數(shù)，理解自變量的任意性，從而學(xué)會變形，達(dá)到判斷性質(zhì)的目的.24．（2023秋·江蘇徐州·高三?？茧A段練習(xí)）已知定義域為的函數(shù)滿足，且，，則（

）A． B．是偶函數(shù)C． D．【答案】BC【分析】通過賦值法求值，判斷函數(shù)的奇偶性、對稱性及周期性，利用周期性求值，對選項逐一判斷即可求解.【詳解】，令，，則，故選項A錯誤；令，則，又，所以，令，則，所以函數(shù)關(guān)于對稱，令，則，令，則，，又函數(shù)的定義域R，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故選項B正確；令，則，又，，，所以，選項C正確；因為，所以，所以函數(shù)的一個周期為8，令，，則，所以，所以，所以，，，所以，，所以，故選項D錯誤.故選：BC【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)關(guān)于直線對稱，則有；函數(shù)關(guān)于中心對稱，則有，函數(shù)的周期為，則有.25．（2023秋·江蘇南京·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，且，，則（

）A．為偶函數(shù) B．的圖象關(guān)于直線對稱C． D．【答案】BC【分析】A選項，假設(shè)為偶函數(shù)，得到，與條件矛盾，A錯誤；B選項，假設(shè)的圖象關(guān)于直線對稱，得到，求導(dǎo)后得到，滿足題目條件，B正確；C選項，兩邊求導(dǎo)得，賦值得到答案；D選項，由得到，結(jié)合得到，求導(dǎo)得到D錯誤.【詳解】A選項，假設(shè)為偶函數(shù)，則有，變形為，與矛盾，故假設(shè)不成立，不是偶函數(shù)，A錯誤；B選項，假設(shè)的圖象關(guān)于直線對稱，則有，兩邊求導(dǎo)得到，即，由于題目條件中有，故假設(shè)成立，B正確；C選項，兩邊求導(dǎo)得，令得，解得，C正確；D選項，因為，將代替，得，又，故，即，兩邊求導(dǎo)得，，D錯誤.故選：BC【點睛】函數(shù)的對稱性：若，則函數(shù)關(guān)于中心對稱，若，則函數(shù)關(guān)于對稱，26．（2022秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，記，，，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】代入，找到含有的等式可判斷A正確，令，建立等式并求導(dǎo)，可得到關(guān)于對稱，利用，用換得到方程組解得，可知為偶函數(shù)，進(jìn)而可判斷周期為2，容易判斷D正確，利用為周期為2的偶函數(shù)，結(jié)合選項變換函數(shù)值，可求得，判斷不一定相等.【詳解】令，得，所以A正確.令，則求導(dǎo)數(shù)得，，即所以關(guān)于對稱，又因為所以為偶函數(shù).，的周期為2.因為為周期為2的偶函數(shù)，所以令時，令，得，所以B不正確，C正確.因為的周期為2，，所以D正確.故選：ACD.【點睛】解決函數(shù)性質(zhì)綜合問題，要認(rèn)真分