壓軸小題05 一文搞定平面向量疑難問題（解析版）

壓軸小題05一文搞定平面向量疑難問題壓軸壓軸秘籍1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．（1）．基底e1，e2必須是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，零向量不能作為基底．（2）基底給定，同一向量的分解形式唯一．2.平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意的問題只要兩個向量不共線，就可以作為平面向量的一組基底，基底可以有無窮多組．利用已知向量表示未知向量，實質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減運(yùn)算或數(shù)乘運(yùn)算.形如條件的應(yīng)用（“爪子定理”）“爪”字型圖及性質(zhì)：（1）已知為不共線的兩個向量，則對于向量，必存在，使得。則三點共線當(dāng)，則與位于同側(cè)，且位于與之間當(dāng)，則與位于兩側(cè)時，當(dāng)，則在線段上；當(dāng)，則在線段延長線上（2）已知在線段上，且，則3、中確定方法（1）在幾何圖形中通過三點共線即可考慮使用“爪”字型圖完成向量的表示，進(jìn)而確定（2）若題目中某些向量的數(shù)量積已知，則對于向量方程，可考慮兩邊對同一向量作數(shù)量積運(yùn)算，從而得到關(guān)于的方程，再進(jìn)行求解（3）若所給圖形比較特殊（矩形，特殊梯形等），則可通過建系將向量坐標(biāo)化，從而得到關(guān)于的方程，再進(jìn)行求解4.平面向量系數(shù)和如圖，為所在平面上一點，過作直線，由平面向量基本定理知：存在，使得下面根據(jù)點的位置分幾種情況來考慮系數(shù)和的值=1\*GB3①若時，則射線與無交點，由知，存在實數(shù)，使得而，所以，于是=2\*GB3②若時，（i）如圖1，當(dāng)在右側(cè)時，過作，交射線于兩點，則，不妨設(shè)與的相似比為由三點共線可知：存在使得：所以（ii）當(dāng)在左側(cè)時，射線的反向延長線與有交點，如圖1作關(guān)于的對稱點，由（i）的分析知：存在存在使得：所以于是綜合上面的討論可知：圖中用線性表示時，其系數(shù)和只與兩三角形的相似比有關(guān)。我們知道相似比可以通過對應(yīng)高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑之比來刻畫。因為三角形的高線相對比較容易把握，我們不妨用高線來刻畫相似比，在圖中，過作邊的垂線，設(shè)點在上的射影為，直線交直線于點，則(的符號由點的位置確定)，因此只需求出的范圍便知的范圍5.極化恒等式恒等式右邊有很直觀的幾何意義:向量的數(shù)量積可以表示為以這兩個向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的，恒等式的作用在于向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積之間的聯(lián)系如圖在平行四邊形中,則在上述圖形中設(shè)平行四邊形對角線交于點,則對于三角形來說:極化恒等式的適用條件共起點或共終點的兩向量的數(shù)量積問題可直接進(jìn)行轉(zhuǎn)化(2)不共起點和不共終點的數(shù)量積問題可通過向量的平移，等價轉(zhuǎn)化為共起點或共終點的兩向量的數(shù)量積問題在確定求數(shù)量積的兩個向量共起點或共終點的情況下，極化恒等式的一般步驟如下第一步:取第三邊的中點，連接向量的起點與中點;第二步:利用極化恒等式公式，將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為中線長與第三邊長的一半的平方差;第三步:利用平面幾何方法或用正余弦定理求中線及第三邊的長度，從而求出數(shù)量積如需進(jìn)一步求數(shù)量積范圍，可以用點到直線的距離最小或用三角形兩邊之和大于等于第三邊，兩邊之差小于第三邊或用基本不等式等求得中線長的最值(范圍)。6.奔馳定理如圖，已知P為內(nèi)一點，則有.由于這個定理對應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.7.奔馳定理的證明如圖：延長與邊相交于點則8.奔馳定理的推論及四心問題推論是內(nèi)的一點,且,則有此定理可得三角形四心向量式（1）三角形的重心：三角形三條中線的交點叫做三角形的重心，重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1.（2）三角形的垂心：三角形三邊上的高的交點叫做三角形的垂心，垂心和頂點的連線與對邊垂直.（3）三角形的內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點叫做三角形的內(nèi)心，也就是內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r.（4）三角形的外心：三角形三條邊的垂直平分線的交點叫做三角形的外心，也就是三角形外接圓的圓心，它到三角形三個頂點的距離相等.奔馳定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題，有著決定性的基石作用.已知點在內(nèi)部，有以下四個推論：①若為的重心，則；②若為的外心，則；或③若為的內(nèi)心，則；備注：若為的內(nèi)心，則也對.④若為的垂心，則，或研究三角形“四心”的向量表示，我們就可以把與三角形“四心”有關(guān)的問題轉(zhuǎn)化為向量問題，充分利用平面向量的相關(guān)知識解決三角形的問題，這在一定程度上發(fā)揮了平面向量的工具作用，也很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.壓軸訓(xùn)練壓軸訓(xùn)練一、單選題1．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高三?？奸_學(xué)考試）已知平面向量滿足，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，求出，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出軌跡方程，利用幾何意義即可求出的最大值.【詳解】由可知,，故，如圖建立坐標(biāo)系，，，設(shè)，由可得：，所以的終點在以為圓心,1為半徑的圓上，所以，幾何意義為到距離的2倍，由兒何意義可知，故選：D.2．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·揚(yáng)中市第二高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知與為單位向量，且⊥，向量滿足，則||的可能取值有（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，由向量的坐標(biāo)計算公式可得，進(jìn)而由向量模的計算公式可得，分析可得在以為圓心，半徑為2的圓上，結(jié)合點與圓的位置關(guān)系分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，，，以為坐標(biāo)原點，的方向為軸正方向，的方向為軸的正方向建立坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，若，則有，則在以為圓心，半徑為2的圓上，設(shè)為點，則，則有，即，則的取值范圍為；故選：D．3．（2023秋·江蘇南京·高三南京市第一中學(xué)?？计谀┮阎敲娣e為的等邊三角形，四邊形是面積為2的正方形，其各頂點均位于的內(nèi)部及三邊上，且可在內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先分別求出等邊三角形和正方形的邊長及其內(nèi)切圓半徑，根據(jù)所求結(jié)果和正方形可在內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)可知，正方形各個頂點在三角形的內(nèi)切圓上，建立合適的直角坐標(biāo)系，求出三角形的頂點坐標(biāo)和其內(nèi)切圓的方程，設(shè)出的三角坐標(biāo)，根據(jù)可得到關(guān)于坐標(biāo)中變量的關(guān)系，分類討論代入中化簡，用輔助角公式分別求出最大值，選出結(jié)果即可.【詳解】解：因為是面積為的等邊三角形，記邊長為，所以，解得，記三角形內(nèi)切圓的半徑為，根據(jù)，可得：，解得，因為正方形面積為2，所以正方形邊長為，記正方形外接圓半徑為，所以其外接圓直徑等于正方形的對角線2，即，根據(jù)正方形的對稱性和等邊三角形的對稱性可知，正方形外接圓即為等邊三角形的內(nèi)切圓，因為正方形可在內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，可知正方形各個頂點均在該三角形的內(nèi)切圓上，以三角形底邊為軸，以的垂直平分線為軸建立直角坐標(biāo)系如圖所示：故可知，圓的方程為，故設(shè)，，因為，即，化簡可得，即，解得或，①當(dāng)時，點坐標(biāo)可化為，此時，所以當(dāng)，即，即，即時，取得最大值；②當(dāng)時，點坐標(biāo)可化為，此時，因為，所以當(dāng)，即，即，即時，取得最大值，綜上可知：取得最大值.故選：D【點睛】方法點睛：該題考查平面幾何的綜合應(yīng)用，屬于難題，關(guān)于圓錐曲線中點的三角坐標(biāo)的設(shè)法有：（1）若點在圓上，可設(shè)點為，其中；（2）若點在圓上，可設(shè)點為，其中；（3）若點在橢圓上，可設(shè)點為，其中；4．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·揚(yáng)中市第二高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知直線l1：與l2：相交于點M，線段AB是圓C：的一條動弦，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直線所過定點和知，由此得軌跡是以為圓心，為半徑的圓（不含點），由垂徑定理和圓上點到定點距離最小值的求法求得，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律求得最小值.【詳解】由圓的方程知：圓心，半徑；由得：，恒過定點；由得：，恒過定點；由直線方程可知：，，即，設(shè)，則，，，整理得：，即點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，又直線斜率存在，點軌跡不包含；若點為弦的中點，則，位置關(guān)系如圖：

連接，由知：，則，（當(dāng)在處取等號），即的最小值為.故選：A.5．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知向量，滿足的動點的軌跡為，經(jīng)過點的直線與有且只有一個公共點，點在圓上，則的最小值為（

）．A． B．C． D．1【答案】A【分析】先求出軌跡的方程，再利用直線與有且只有一個公共點，求出點的坐標(biāo)，從而得解.【詳解】根據(jù)，可得，化簡得為動點的軌跡的方程為：，設(shè)經(jīng)過點的直線為：，（可判斷斜率存在）聯(lián)立方程，得①,由于直線與有且只有一個公共點，所以，或，得，或，因為圓，圓心，所以當(dāng)點在軸上方時較小，以下只討論點在軸上方的情況,當(dāng)時，代入①式，得，再代入雙曲線方程可得，當(dāng)時，點在圓內(nèi)，可得的最小值為；當(dāng)時，代入①式，得，再代入雙曲線方程可得則，當(dāng)時，點在圓外，可得的最小值為；則的最小值為.故選：A【點睛】方法點睛：求軌跡方程的常見方法有：①直接法，設(shè)出動點的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出關(guān)于的等式即可；②定義法，根據(jù)題意動點符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把分別用第三個變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將代入.6．（2022·江蘇鹽城·江蘇省濱海中學(xué)校考模擬預(yù)測）AB為⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25的一條弦，，若點P為⊙C上一動點，則的取值范圍是（

）A．[0，100] B．[－12，48] C．[－9，64] D．[－8，72]【答案】D【分析】取AB中點為Q,利用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得，再利用圓的性質(zhì)可得取值范圍，即求.【詳解】取AB中點為Q，連接PQ，，又，，∵點P為⊙C上一動點，∴的取值范圍[－8，72].故選：D.7．（2022秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知銳角滿足，且O為的外接圓圓心，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得，將平方整理得，設(shè)，則有，再設(shè)，則有==，求解即可.【詳解】解：如圖所示：由正弦定理可得：，所以，在中，由余弦定理可得,又因為,所以.又因為，所以，即有：，即，所以，設(shè)，可得，又因為為銳角三角形，所以，所以，設(shè)，則有，所以==，所以故選：A.8．（2022秋·江蘇南通·高三開學(xué)考試）在中，，，過的外心O的直線(不經(jīng)過點)分別交線段于，且，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求得，外接圓的半徑，設(shè)，，，根據(jù)，結(jié)合和三點共線，得到，進(jìn)而求得，利用基本不等式和函數(shù)的性質(zhì)，即可求得取值范圍.【詳解】因為中，，由余弦定理可得，即，且，設(shè)，則，，所以，同理可得，，解得，所以，又因為，，所以，因為三點共線，可得，因為，所以，所以，同理可得，所以所以，設(shè)，可得，令，可得，令，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，最小值為；又由，，可得，所以當(dāng)時，取得最大值，最大值為，所以的取值范圍是.故選：B.9．（2022秋·江蘇泰州·高三姜堰中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面向量滿足對任意都有成立，且，則的值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】設(shè)，，即可得到，，設(shè)平面向量共起點，從而得到其平面圖形，由余弦定理求出，從而求出，即可得解.【詳解】解：設(shè)，，則，因為任意都有，故是向量的模的最小值，故是的最小值即，即，同理，設(shè)平面向量共起點，因為，故的終點在的終點的中垂線上，故的終點和起點可構(gòu)成如下圖形：因為，故，而，則，所以，因，，故，，，四點共圓（據(jù)此可得，在直徑的同側(cè)，否則與矛盾），故，所以；故選：A.10．（2022秋·江蘇鹽城·高三統(tǒng)考期中）已知點，及圓上的兩個動點C、D，且，則的最大值是（

）A．6 B．12 C．24 D．32【答案】C【分析】求出兩點坐標(biāo)，設(shè)，計算，由弦的中點在以原點為圓心3為半徑的圓上，求得圓方程，然后用三角換元法化為三角函數(shù)式，利用和與差的正弦公式化簡后可得最大值．【詳解】，，，，，同理，，，設(shè)，，，則中點到圓心的距離為，中點的軌跡方程為，中點在上，∴，令（），，時等號成立，故選：C．【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，解題關(guān)鍵是確定中點在圓上，這樣可用元法把與用一個變量表示，把與之有關(guān)的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題求解．本題才學(xué)生運(yùn)算求解能力要求較高，屬于難題．11．（2022·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，，，，則線段CD長度的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】D【分析】本題通過正弦定理得到，再通過余弦定理得到，對向量式整理得，通過平方，將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系即，利用基本不等式即可求解.【詳解】解：由及正弦定理，得，即，由余弦定理得，，∵，∴．由，，兩邊平方，得即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即，∴線段CD長度的最小值為．故選：D．12．（2022秋·江蘇蘇州·高三蘇州中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，，，點在該三角形的內(nèi)切圓上運(yùn)動，若（，為實數(shù)），則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由可得，再結(jié)合余弦定理，面積公式可求出、、邊上高，內(nèi)切圓半徑，最后根據(jù)平行線等比關(guān)系即可求解.【詳解】，由在內(nèi)切圓上，故，假設(shè)，由于，，則，且為上一點，，，三點共線，由平行線等比關(guān)系可得，要使，即與之間的比例最小，則在內(nèi)切圓的最高點，如圖所示，由，因為，所以，設(shè)邊上高為，內(nèi)切圓半徑為，由，所以，，可得的最小值為，故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：這道題關(guān)鍵的地方是轉(zhuǎn)化得到，令，觀察到分母的系數(shù)相加為1，則可得到為上一點，再結(jié)合平行線等比關(guān)系以及圖象可得到比例最小的具體位置13．（2023·江蘇常州·校考一模）已知、是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上任意一點，以為直徑作圓，直線與圓交于點（點不在橢圓內(nèi)部），則A． B．4 C．3 D．1【答案】C【分析】利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可得，利用，進(jìn)一步利用橢圓的定義可轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而得解.【詳解】連接,設(shè)橢圓的基本量為，,故答案為：3.【點睛】本題考查橢圓的定義與平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬中檔題，關(guān)鍵是利用向量的數(shù)量積運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，并結(jié)合橢圓的定義計算.14．（2023秋·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，，，E是AB的中點，EF與AD交于點P，若，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】利用向量的線性運(yùn)算求得，由此求得m，n，進(jìn)而求得.【詳解】因為，所以，則.因為A，P，D三點共線，所以.因為，所以.因為E是邊AB的中點，所以.因為E，P，F(xiàn)三點共線，所以，則，解得，從而，，故.故選：A二、多選題15．（2023春·江蘇南京·高三南京市第二十九中學(xué)校考階段練習(xí)）已知為所在的平面內(nèi)一點，則下列命題正確的是（

）A．若為的垂心，，則B．若為銳角的外心，且，則C．若，則點的軌跡經(jīng)過的重心D．若，則點的軌跡經(jīng)過的內(nèi)心【答案】ABC【分析】根據(jù)，計算可判斷A；設(shè)為中點，則根據(jù)題意得三點共線，且，進(jìn)而得判斷B；設(shè)中點為，進(jìn)而結(jié)合正弦定理得可判斷C；設(shè)中點為，根據(jù)題意計算得，進(jìn)而得可判斷D.【詳解】解：對于A選項，因為，，又因為為的垂心，所以，所以，故正確；對于B選項，因為且，所以，整理得：，即，設(shè)為中點，則，所以三點共線，又因為，所以垂直平分，故，正確；對于C選項，由正弦定理得，所以，設(shè)中點為，則，所以，所以三點共線，即點在邊的中線上，故點的軌跡經(jīng)過的重心，正確；對于D選項，因為，設(shè)中點為，則，所以，所以，所以，即，所以，故在中垂線上，故點的軌跡經(jīng)過的外心，錯誤.故選：ABC16．（2023秋·江蘇泰州·高三統(tǒng)考期末）過圓：內(nèi)一點作兩條互相垂直的弦，，得到四邊形，則（

）A．的最小值為4B．當(dāng)時，C．四邊形面積的最大值為16D．為定值【答案】ABD【分析】當(dāng)為中點時最小，即可求出，從而判斷A；設(shè)到，的距離分別為，，則，求出，即可得到，從而求出，即可判斷B；根據(jù)利用基本不等式求出四邊形面積的最大值，即可判斷C；分別取，的中點，，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出的值，即可判斷D.【詳解】解：當(dāng)為中點時最小，，，故A正確；設(shè)到，的距離分別為，，，∴，又，∴，，故B正確；因為，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，故C錯誤.分別取，的中點，，則為定值，故D正確.故選：ABD.17．（2023·江蘇南通·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知O為坐標(biāo)原點，曲線在點處的切線與曲線相切于點，則（

）A． B．C．的最大值為0 D．當(dāng)時，【答案】AB【分析】先利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切線方程，利用切線斜率和截距相等建立方程，然后利用指對互化判斷A、B，由數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算化簡，判斷函數(shù)值符號即可判斷C，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，判斷D【詳解】因為，所以，又，所以，切線：，即，因為，所以，又，所以，切線：，即，由題意切線重合，所以，所以，即，A正確；當(dāng)時，兩切線不重合，不合題意，所以，，，所以，，B正確；，當(dāng)時，，，則，當(dāng)時，，，則，，所以，C錯誤；設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，∴，記，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以，D錯誤.故選：AB【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題需要表示出兩條切線方程，然后比較系數(shù)，再進(jìn)行代換，在代換過程中要盡量去消去指數(shù)或?qū)?shù)，朝目標(biāo)化簡.18．（2022秋·江蘇蘇州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在△中，內(nèi)角所對的邊分別為a、b、c，則下列說法正確的是（

）A．B．若，則C．D．若，且，則△為等邊三角形【答案】ACD【分析】A由正弦定理及等比的性質(zhì)可說明；B令可得反例；C由和角正弦公式及三角形內(nèi)角和的性質(zhì)有，由正弦定理即可證；D若，，根據(jù)單位向量的定義，向量加法的幾何意義及垂直表示、數(shù)量積的定義易知△的形狀.【詳解】A：由，根據(jù)等比的性質(zhì)有，正確；B：當(dāng)時，有，錯誤；C：，而，即，由正弦定理易得，正確；D：如下圖，是單位向量，則，即、，則且平分，的夾角為，易知△為等邊三角形，正確.故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點點睛：D選項，注意應(yīng)用向量在幾何圖形中所代表的線段，結(jié)合向量加法、數(shù)量積的幾何意義判斷夾角、線段間的位置關(guān)系，說明三角形的形狀.19．（2022秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，是圓上兩個不同的動點，是的中點，且滿足．設(shè)到直線的距離之和的最大值為，則下列說法中正確的是（

）A．向量與向量所成角為B．C．D．若，則數(shù)列的前n項和為【答案】ACD【分析】對于A，用與表示，結(jié)合給定向量等式計算判斷；對于B，求出的值即可判斷；對于C，轉(zhuǎn)化為點到直線距離最大值并計算判斷；對于D，求出數(shù)列的通項，代入并利用裂項相消法計算判斷作答.【詳解】依題意，，而點是弦的中點，則，，而，于是得，，即，A正確；顯然是頂角的等腰三角形，則，B不正確；依題意，點到直線的距離之和等于點到直線距離的2倍，由知，點在以原點O為圓心，為半徑的圓上，則點到直線距離的最大值是點O到直線的距離加上半徑，而點O到直線距離，則點到直線距離的最大值是，因此，，C正確；由得，，則，因此，數(shù)列的前n項和，D正確.故選：ACD20．（2023秋·江蘇南京·高三南京外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）半圓形量角器在第一象限內(nèi)，且與軸、軸相切于、兩點.設(shè)量角器直徑，圓心為，點為坐標(biāo)系內(nèi)一點.下列選項正確的有（

）

A．點坐標(biāo)為 B．C． D．若最小，則【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合平面向量的運(yùn)算以及坐標(biāo)運(yùn)算，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意得，量角器與軸、軸相切于、兩點，且，則，故A正確；由A可知，，則，則，故B錯誤；記，則C選項，故C正確；設(shè)，則，當(dāng)時，，故D正確；故選：ACD21．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知向量．則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．存在，使得C．與共線的單位向量為 D．向量與夾角的余弦值范圍是【答案】ABD【分析】對于A，由特殊角的三角函數(shù)值與的取值范圍可得到，故A正確；對于B，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算由易得，從而得到，故，即說法成立，故B正確；對于C，利用易求得與共線的單位向量有兩個，故C錯誤；對于D，利用向量數(shù)量積運(yùn)算求得夾角的余弦值的表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)的圖像即可得到其取值范圍是，故D正確.【詳解】對于A，由題意得，又，故，故A正確；對于B，因為，即，即，整理得，即，故，即，得，又，所以，即存在，使得，故B正確；對于C，因為，所以，故與共線的單位向量為，故C錯誤；對于D，，又，所以，所以，即向量與夾角的余弦值范圍是，故D正確.故選：ABD.三、填空題22．（2023秋·江蘇蘇州·高三常熟中學(xué)?？计谀┮阎瞧矫嫦蛄浚c是單位向量，且，若，則的最小值為．【答案】【分析】把條件的二次方程分解成兩個向量的積，得到這兩個向量互相垂直，結(jié)合圖形確定的最小值.【詳解】如下圖所示，設(shè)且點B在以F為圓心，DE為直徑的圓上又當(dāng)點B為圓F和線段FA的交點的時候，最短故答案為：23．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考模擬預(yù)測）平面向量，，滿足，，，則．【答案】/【分析】數(shù)形結(jié)合，利用題干條件及正余弦定理求出答案.【詳解】可變