陜西省商洛市2024屆高三尖子生學情診斷考試（第二次）數(shù)學（理科）試卷

商洛市2024屆高三尖子生學情診斷考試（第二次）數(shù)學試卷（理科）考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：高考范圍.一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.法國數(shù)學家棣莫弗（1667-1754年）發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：設(shè)兩個復(fù)數(shù)，，則.設(shè)，則的虛部為（）A.B.C.1D.03.已知等比數(shù)列的前項和，則（）A.3B.9C.-9D.-34.設(shè)向量的夾角的余弦值為，則（）A.-1B.1C.-5D.55.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）A.70B.112C.168D.2406.已知，則（）A.B.C.D.7.在平面直角坐標系中，拋物線的焦點為是上的一點，點是軸上的一點，且，則的面積為（）A.B.C.D.8.已知函數(shù)的定義域均為，若均為偶函數(shù)，則（）A.B.C.D.9.小張每天早上在任一時刻隨機出門上班，他訂購的報紙每天在任一時刻隨機送到，則小張在出門時能拿到報紙的概率為（）A.B.C.D.10.數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一個數(shù)列，其中從第3項起，每一項都等于它前面兩項之和，即，這樣的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”.若，則（）A.175B.176C.177D.17811.某圓柱的軸截面是面積為12的正方形為圓柱底面圓弧的中點，在圓柱內(nèi)放置一個球，則當球的體積最大時，平面與球的交線長為（）A.B.C.D.12.已知，則（）A.B.C.D.二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，設(shè)函數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間是__________.14.的展開式中含的項的系數(shù)為__________.15.已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線與圓交于兩點，則__________.16.如圖1，已知是邊長為的等邊三角形，分別在線段上滑動，且，將沿折起，使得點翻折到點的位置，連接，如圖2所示，則四棱錐的體積的最大值為__________.三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.（本小題滿分12分）已知某校高一有600名學生（其中男生320名，女生280名）.為了給學生提供更為豐富的校園文化生活，學校增設(shè)了兩門全新的校本課程，學生根據(jù)自己的興趣愛好在這兩門課程中任選一門進行學習.學校統(tǒng)計了學生的選課情況，得到如下的列聯(lián)表.選擇課程選擇課程總計男生200女生60總計（1）請將列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有的把握認為選擇課程與性別有關(guān)？說明你的理由；（2）在所有男生中按列聯(lián)表中的選課情況采用分層抽樣的方法抽出8名男生，再從這8名男生中抽取3人做問卷調(diào)查，設(shè)這3人中選擇課程的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.附：.0.010.0050.0016.6357.87910.82818.（本小題滿分12分）在中，角所對的邊分別為.（1）求角的大??；（2）若的面積為，周長為，求邊上的高.19.（本小題滿分12分）如圖所示，四棱錐中，底面為矩形，與交于點，點在線段上，且平面，二面角，二面角均為直二面角.（1）求證：；（2）若，且平面與平面夾角的余弦值為，求的長度.20.（本小題滿分12分）設(shè)分別是橢圓的左?右焦點，，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）作直線與橢圓交于不同的兩點，其中點的坐標為，若點是線段垂直平分線上一點，且滿足，求實數(shù)的值.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，其中，曲線在點處的切線與曲線相切于點.（1）若，求；（2）證明：.（二）選考題：共10分.請考生在第22，23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.22.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求曲線的普通方程和極坐標方程；（2）在平面直角坐標系中，過點且傾斜角為的直線與曲線交于兩點，證明：.23.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.商洛市2024屆高三尖子生學情診斷考試（第二次）?數(shù)學試卷（理科）參考答案?提示及評分細則1.A因為，所以.故選A.2.B，所以，所以的虛部為.故選B.3.D當時，；當時，.，又是等比數(shù)列，所以，解得.故選D.4.B設(shè)與的夾角為，因為與的夾角的余弦值為，即，又，所以，所以.故選B.5.C第一次執(zhí)行，由，則，又由，則進入循環(huán)；第一次循環(huán)，由，則，又由，則進入循環(huán)；第二次循環(huán)，由，則，又由，則進入循環(huán)；第三次循環(huán)，由，則，又由，則進入循環(huán)；第四次循環(huán)，由，則，又由，則進入循環(huán)；第五次循環(huán)，由，則，又由，則進入循環(huán)；第六次循環(huán)，由112，則，又由，不成立，退出循環(huán)，則輸出.故選C.6.C由，可得，即，所以.故選C.7.D由題意知，設(shè)，所以，又，所以，所以，所以，解得，所以的面積.故選D.8.C因為為偶函數(shù)，所以，即，所以，令得，故C正確，A無法判斷是否正確；因為為偶函數(shù)，，所以，令得，故D無法判斷是否正確；因為無法判斷的取值情況，故B錯誤.故選C.9.A設(shè)小張離開家的時間距離為分鐘，送報的時間距離為分鐘，則小張能拿到報紙，則.畫出區(qū)域，為如圖中的矩形中對應(yīng)區(qū)域如圖所示，設(shè)矩形的面積為，則小張在出門時能拿到報紙的概率為.故選A.10.B由從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，，由，得，所以，將這個式子左?右兩邊分別相加可得，所以.所以，所以.故選B.11.D由題意知，當球的體積最大時，球與圓柱的上下底面及母線均相切，因為正方形的面積為12，所以，如圖1，記所在底面的圓心為所在底面的圓心為，平面與球的交線為圓形，如圖即為截面圓的直徑，易知，易知RtRt，故，所以，所以交線長為.故選D.12.D由題意得，又，所以.令，則，所以當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以，又，所以，設(shè)，當時，，所以在上單調(diào)遞減，又，且，所以，所以.故選D.13.（開區(qū)間，半開半閉區(qū)間也正確）依題意，令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是.14.的展開式的通項為，故令，2，可得的展開式中含的項的系數(shù)為.15.圓的圓心，半徑，由雙曲線的離心率為，得，解得，于是雙曲線的漸近線方程為，即.當漸近線為時，點到此直線的距離，即直線與已知圓相離，不符合要求；當漸近線為時，點到此直線的距離，則直線與已知圓相交，弦長.16.2依題意當平面平面時，四棱錐的體積才會取得最大值.設(shè)，設(shè)為的中點，在等邊中，點分別為上一點，且，所以，又為的中點，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，因為，所以.所以四棱錐的體積，所以，解得，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以當，四棱錐的體積最大，所以.17.解：（1）由男生320名，女生280名，結(jié)合表中數(shù)據(jù)，列聯(lián)表如圖所示，選擇課程選擇課程總計男生120200320女生60220280總計180420600，所以有的把握認為選擇課程與性別有關(guān).（2）抽出8名男生中，選擇課程的人數(shù)為：（名），選擇課程的人數(shù)為：5（名），的所有可能取值為，，，則的分布列為0123所以.18.解：（1）由已知結(jié)合正弦定理邊化角可得.又，代入整理可得.因為，所以.又，所以.（2）由及可得，.又周長為，則，所以.根據(jù)余弦定理可得，，整理可得.設(shè)邊上的高為，則，解得，所以邊上的高為.19.（1）證明：因為平面平面，平面平面，所以.又因為四邊形為矩形，所以，則.（2）解：因為四邊形為矩形，所以.又因為平面平面，平面平面平面，所以平面.因為平面，所以.同理，.設(shè)，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，.設(shè)為平面的法向量，因為所以令，則，所以；設(shè)為平面的法向量，因為所以令，則，所以，所以，解得.故.20.解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為.因為，所以，解得，因為橢圓的離心率為，所以，即，解得，則，故橢圓的方程為.（2）由，根據(jù)題意可知直線的斜率存在，可設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為.把代入橢圓的方程，消去整理得.設(shè)，則，則，所以線段的中點坐標為.①當時，，線段的垂直平分線為軸，于是.由，解得；②當時，線段的垂直平分線的方程為.由點是線段的垂直平分線上一點，令，得.因為，所以，解得，所以.綜上所述，實數(shù)的值為.21.（1）解：，所以，又，所以曲線在點處的切線方程為，因為，所以，即，設(shè)，則，即單調(diào)遞增，又，所以，又，所以，因為，所以曲線在處的切線方程為，所以，解得.（2）證明：因為，所以曲線在處的切線方程為，同理可知曲線在處的切線方程為，所以，設(shè)，則，所以，所以，即單調(diào)遞減，且，當時，，所以，由（1）可知，此時；當時，，則，即，又，所以，所以，此時；當時，，所以.設(shè)，則，若，則，所以單調(diào)遞減，所以時，1，與矛盾，故不符題意，所以應(yīng)有，此時.綜上所