陜西省商洛市2024屆高三尖子生學(xué)情診斷考試（第二次）數(shù)學(xué)（理科）試卷

商洛市2024屆高三尖子生學(xué)情診斷考試（第二次）數(shù)學(xué)試卷（理科）考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：高考范圍.一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754年）發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)，，則.設(shè)，則的虛部為（）A.B.C.1D.03.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A.3B.9C.-9D.-34.設(shè)向量的夾角的余弦值為，則（）A.-1B.1C.-5D.55.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）A.70B.112C.168D.2406.已知，則（）A.B.C.D.7.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點(diǎn)為是上的一點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的一點(diǎn)，且，則的面積為（）A.B.C.D.8.已知函數(shù)的定義域均為，若均為偶函數(shù)，則（）A.B.C.D.9.小張每天早上在任一時(shí)刻隨機(jī)出門上班，他訂購的報(bào)紙每天在任一時(shí)刻隨機(jī)送到，則小張?jiān)诔鲩T時(shí)能拿到報(bào)紙的概率為（）A.B.C.D.10.數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一個(gè)數(shù)列，其中從第3項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)之和，即，這樣的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”.若，則（）A.175B.176C.177D.17811.某圓柱的軸截面是面積為12的正方形為圓柱底面圓弧的中點(diǎn)，在圓柱內(nèi)放置一個(gè)球，則當(dāng)球的體積最大時(shí)，平面與球的交線長為（）A.B.C.D.12.已知，則（）A.B.C.D.二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，設(shè)函數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間是__________.14.的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為__________.15.已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線與圓交于兩點(diǎn)，則__________.16.如圖1，已知是邊長為的等邊三角形，分別在線段上滑動(dòng)，且，將沿折起，使得點(diǎn)翻折到點(diǎn)的位置，連接，如圖2所示，則四棱錐的體積的最大值為__________.三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.（本小題滿分12分）已知某校高一有600名學(xué)生（其中男生320名，女生280名）.為了給學(xué)生提供更為豐富的校園文化生活，學(xué)校增設(shè)了兩門全新的校本課程，學(xué)生根據(jù)自己的興趣愛好在這兩門課程中任選一門進(jìn)行學(xué)習(xí).學(xué)校統(tǒng)計(jì)了學(xué)生的選課情況，得到如下的列聯(lián)表.選擇課程選擇課程總計(jì)男生200女生60總計(jì)（1）請將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為選擇課程與性別有關(guān)？說明你的理由；（2）在所有男生中按列聯(lián)表中的選課情況采用分層抽樣的方法抽出8名男生，再從這8名男生中抽取3人做問卷調(diào)查，設(shè)這3人中選擇課程的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：.0.010.0050.0016.6357.87910.82818.（本小題滿分12分）在中，角所對的邊分別為.（1）求角的大??；（2）若的面積為，周長為，求邊上的高.19.（本小題滿分12分）如圖所示，四棱錐中，底面為矩形，與交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且平面，二面角，二面角均為直二面角.（1）求證：；（2）若，且平面與平面夾角的余弦值為，求的長度.20.（本小題滿分12分）設(shè)分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）作直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)是線段垂直平分線上一點(diǎn)，且滿足，求實(shí)數(shù)的值.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，其中，曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切于點(diǎn).（1）若，求；（2）證明：.（二）選考題：共10分.請考生在第22，23兩題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.22.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線的普通方程和極坐標(biāo)方程；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且傾斜角為的直線與曲線交于兩點(diǎn)，證明：.23.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.商洛市2024屆高三尖子生學(xué)情診斷考試（第二次）?數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案?提示及評分細(xì)則1.A因?yàn)?，所?故選A.2.B，所以，所以的虛部為.故選B.3.D當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.，又是等比數(shù)列，所以，解得.故選D.4.B設(shè)與的夾角為，因?yàn)榕c的夾角的余弦值為，即，又，所以，所以.故選B.5.C第一次執(zhí)行，由，則，又由，則進(jìn)入循環(huán)；第一次循環(huán)，由，則，又由，則進(jìn)入循環(huán)；第二次循環(huán)，由，則，又由，則進(jìn)入循環(huán)；第三次循環(huán)，由，則，又由，則進(jìn)入循環(huán)；第四次循環(huán)，由，則，又由，則進(jìn)入循環(huán)；第五次循環(huán)，由，則，又由，則進(jìn)入循環(huán)；第六次循環(huán)，由112，則，又由，不成立，退出循環(huán)，則輸出.故選C.6.C由，可得，即，所以.故選C.7.D由題意知，設(shè)，所以，又，所以，所以，所以，解得，所以的面積.故選D.8.C因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，所以，令得，故C正確，A無法判斷是否正確；因?yàn)闉榕己瘮?shù)，，所以，令得，故D無法判斷是否正確；因?yàn)闊o法判斷的取值情況，故B錯(cuò)誤.故選C.9.A設(shè)小張離開家的時(shí)間距離為分鐘，送報(bào)的時(shí)間距離為分鐘，則小張能拿到報(bào)紙，則.畫出區(qū)域，為如圖中的矩形中對應(yīng)區(qū)域如圖所示，設(shè)矩形的面積為，則小張?jiān)诔鲩T時(shí)能拿到報(bào)紙的概率為.故選A.10.B由從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，，由，得，所以，將這個(gè)式子左?右兩邊分別相加可得，所以.所以，所以.故選B.11.D由題意知，當(dāng)球的體積最大時(shí)，球與圓柱的上下底面及母線均相切，因?yàn)檎叫蔚拿娣e為12，所以，如圖1，記所在底面的圓心為所在底面的圓心為，平面與球的交線為圓形，如圖即為截面圓的直徑，易知，易知RtRt，故，所以，所以交線長為.故選D.12.D由題意得，又，所以.令，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以，又，所以，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，又，且，所以，所以.故選D.13.（開區(qū)間，半開半閉區(qū)間也正確）依題意，令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是.14.的展開式的通項(xiàng)為，故令，2，可得的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為.15.圓的圓心，半徑，由雙曲線的離心率為，得，解得，于是雙曲線的漸近線方程為，即.當(dāng)漸近線為時(shí)，點(diǎn)到此直線的距離，即直線與已知圓相離，不符合要求；當(dāng)漸近線為時(shí)，點(diǎn)到此直線的距離，則直線與已知圓相交，弦長.16.2依題意當(dāng)平面平面時(shí)，四棱錐的體積才會(huì)取得最大值.設(shè)，設(shè)為的中點(diǎn)，在等邊中，點(diǎn)分別為上一點(diǎn)，且，所以，又為的中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，因?yàn)?，所?所以四棱錐的體積，所以，解得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)，四棱錐的體積最大，所以.17.解：（1）由男生320名，女生280名，結(jié)合表中數(shù)據(jù)，列聯(lián)表如圖所示，選擇課程選擇課程總計(jì)男生120200320女生60220280總計(jì)180420600，所以有的把握認(rèn)為選擇課程與性別有關(guān).（2）抽出8名男生中，選擇課程的人數(shù)為：（名），選擇課程的人數(shù)為：5（名），的所有可能取值為，，，則的分布列為0123所以.18.解：（1）由已知結(jié)合正弦定理邊化角可得.又，代入整理可得.因?yàn)?，所?又，所以.（2）由及可得，.又周長為，則，所以.根據(jù)余弦定理可得，，整理可得.設(shè)邊上的高為，則，解得，所以邊上的高為.19.（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所?又因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，則.（2）解：因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所?又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫嫫矫?，所以平?因?yàn)槠矫?，所?同理，.設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)為平面的法向量，因?yàn)樗粤?，則，所以；設(shè)為平面的法向量，因?yàn)樗粤?，則，所以，所以，解得.故.20.解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為.因?yàn)?，所以，解得，因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，即，解得，則，故橢圓的方程為.（2）由，根據(jù)題意可知直線的斜率存在，可設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為.把代入橢圓的方程，消去整理得.設(shè)，則，則，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為.①當(dāng)時(shí)，，線段的垂直平分線為軸，于是.由，解得；②當(dāng)時(shí)，線段的垂直平分線的方程為.由點(diǎn)是線段的垂直平分線上一點(diǎn)，令，得.因?yàn)椋?，解得，所?綜上所述，實(shí)數(shù)的值為.21.（1）解：，所以，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，因?yàn)?，所以，即，設(shè)，則，即單調(diào)遞增，又，所以，又，所以，因?yàn)?，所以曲線在處的切線方程為，所以，解得.（2）證明：因?yàn)?，所以曲線在處的切線方程為，同理可知曲線在處的切線方程為，所以，設(shè)，則，所以，所以，即單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，，所以，由（1）可知，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，則，即，又，所以，所以，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，所以.設(shè)，則，若，則，所以單調(diào)遞減，所以時(shí)，1，與矛盾，故不符題意，所以應(yīng)有，此時(shí).綜上所