2024屆陜西省安康市高三下學(xué)期第三次質(zhì)量聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題

2023—2024學(xué)年安康市高三年級(jí)第三次質(zhì)量聯(lián)考文科數(shù)學(xué)考試滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．全部答案在答題卡上完成，答在本試卷上無(wú)效。3．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案用0.5mm黑色筆跡簽字筆寫(xiě)在答題卡上。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)，則（）A．B．C．D．2．集合，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．B．C．D．3．已知函數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，則（）A．1012B．2024C．3036D．40484．若實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為（）A．0B．2C．9D．115．甲、乙、丙三人被隨機(jī)的安排在周六、周日值班，每天至少要有一人值班，每人只在其中一天值班．則甲、乙被安排在同一天值班的概率為（）A．B．C．D．6．在中，是的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則（）A．B．C．D．7．已知正數(shù)滿足，則（）A．B．C．D．8．已知，則（）A．B．C．D．9．側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)均為的正三棱柱的外接球的表面積為，則（）A．12B．8C．6D．410．已知直線與橢圓在第四象限交于兩點(diǎn)，與軸，軸分別交于兩點(diǎn)，若，則的傾斜角是（）A．B．C．D．11．折扇是我國(guó)古老文化的延續(xù)，在我國(guó)已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字畫(huà)的形式體現(xiàn)我國(guó)的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖1）．圖2是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖（扇形的一部分），若兩個(gè)圓弧所在圓的半徑分別是6和12，且，則該圓臺(tái)的體積為（）圖1圖2A．B．C．D．12．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓上，為圓的直徑，點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A．4B．12C．16D．18二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．寫(xiě)出一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為的奇函數(shù)___________．14．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則___________．15．直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若，則___________．16．已知函數(shù)，都有，則的取值范圍為_(kāi)__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）作為一個(gè)基于大型語(yǔ)言處理模型的文字聊天工具，ChatGPT走紅后，大模型的熱度持續(xù)不減，并日漸形成了“千模大戰(zhàn)”的局面。百度的文心一言、阿里的通義千問(wèn)、華為的盤(pán)古、騰訊的混元以及科大訊飛的星火等多種大模型正如火如茶的發(fā)布上線?，F(xiàn)有某大模型給出了會(huì)員有效期30天的兩種不同費(fèi)用，100次的使用費(fèi)為6元，500次的使用費(fèi)為24元。后臺(tái)調(diào)取了購(gòu)買(mǎi)會(huì)員的200名用戶基本信息，包括個(gè)人和公司兩種用戶，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)購(gòu)買(mǎi)24元的用戶數(shù)是140，其中個(gè)人用戶數(shù)比公司用戶數(shù)少20，購(gòu)買(mǎi)6元的公司用戶數(shù)是個(gè)人用戶數(shù)的一半．（1）完成如下用戶類(lèi)別與購(gòu)買(mǎi)意向的列聯(lián)表；購(gòu)買(mǎi)6元購(gòu)買(mǎi)24元個(gè)人用戶公司用戶總計(jì)（2）能否有的把握認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)意向與用戶類(lèi)別有關(guān)?（運(yùn)算結(jié)果保留三位小數(shù)）附：，臨界值表如下：0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）在三邊均不相等的中，角對(duì)應(yīng)的邊分別為，若．點(diǎn)在線段上，且平分角．（1）求；（2）若，求的長(zhǎng)度．19．（12分）如圖，在四棱雉中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，且，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離．20．（12分）已知函數(shù)的反函數(shù)為，令（1）求曲線在處的切線的方程；（2）證明：．21．（12分）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，兩條漸近線的夾角為是雙曲線上一點(diǎn)，且的面積為．（1）求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)在以為直徑的圓上，求的最小值．（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），（1）分別求曲線和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線交曲線于兩點(diǎn)，過(guò)線段的中點(diǎn)作軸的平行線交于一點(diǎn)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．23．[選修4-5：不等式選講]（10分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小值；（2）若為正實(shí)數(shù)，且，求的最小值．

2023-2024學(xué)年安康市高三年級(jí)第三次質(zhì)量聯(lián)考文科數(shù)學(xué)參考答案1．【答案】D【解析】由條件可得，所以，即．故選D．2．【答案】A【解析】由條件可得，所以，故選A．3．【答案】B【解析】由題可知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以，所以，又，故選B．4．【答案】D【解析】由約束條件，畫(huà)出可行域，，化為斜截式方程得，聯(lián)立得，即．由題意可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最小，此時(shí)最大．把點(diǎn)代入目標(biāo)函數(shù)可得最大值，即最大值．故選D．5．【答案】C【解析】由題意可知將3人分成兩組，其中一組只有1人，另一組有2人．分別安排在周六、周日值班共有6種情況：（甲乙，丙）、（甲丙，乙）、（乙丙，甲）、（甲，乙丙）、（乙，甲丙）、（丙，甲乙）．顯然甲、乙被安排在同一天有2種情況，所以甲、乙被安排在同一天的概率為．故選C．6．【答案】B【解析】設(shè)，由是的中點(diǎn)，得，由，得．所以，且由與相交于點(diǎn)可知，點(diǎn)在線段上，也在線段上，由三點(diǎn)共線的條件可得，解得，所以，故選B．7．【答案】A【解析】由，得且，所以方程的實(shí)根為，方程的實(shí)根為，在同一坐標(biāo)系下畫(huà)出的圖象，顯然，故選A．8．【答案】A【解析】由，解得，所以，所以．故選A．9．【答案】C【解析】由球的表面積公式，解得外接球半徑．因?yàn)榈酌嫒切问沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，所以此三角形的外接圓半徑為，由正三棱柱的外接球的特點(diǎn)可得，，解得．故選C．10．【答案】C【解析】由可得線段的中點(diǎn)，也是線段的中點(diǎn)，設(shè)，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則．又點(diǎn)在橢圓上，所以，兩式相減可得，，所以，所以，即．又因?yàn)樗狞c(diǎn)共線，所以，綜上可得，由在第四象限得即，所以直線的傾斜角為．故選C．11．【答案】D【解析】設(shè)圓臺(tái)上下底面的半徑分別為，由題意可知，解得，，解得，作出圓臺(tái)的軸截面，如圖所示：圖中，過(guò)點(diǎn)向作垂線，垂足為，則，所以圓臺(tái)的高，則上底面面積，由圓臺(tái)的體積計(jì)算公式可得：故選：D．12．【答案】B【解析】曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，設(shè)圓心，由得，所以圓方程為，其圓心，半徑為圓心到直線的距離設(shè)為，則，所以最小值為4，則最小值為．故選B．13．【答案】【解析】因?yàn)槠婧瘮?shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且此函數(shù)又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以此函數(shù)可類(lèi)比于正弦函數(shù)，因?yàn)檎液瘮?shù)是奇函數(shù)，且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以可聯(lián)想到．14．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即數(shù)列是，故，所以．15．【答案】【解析】由，聯(lián)立得，所以，且顯然直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．所以，解得．16．【答案】【解析】由，不妨設(shè)，則，所以，可變形化簡(jiǎn)為，構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以恒成立，即在上恒成立，當(dāng)時(shí)，，又時(shí)，，而，所以，所以，所以的取值范圍為．故答案為：17．【解析】（1）設(shè)購(gòu)買(mǎi)24元的個(gè)人用戶數(shù)為，則購(gòu)買(mǎi)24元的公司用戶數(shù)為，設(shè)購(gòu)買(mǎi)6元的公司用戶數(shù)為，則購(gòu)買(mǎi)6元的個(gè)人用戶數(shù)為，則有，解得，所以用戶類(lèi)別與購(gòu)買(mǎi)意向列聯(lián)表如下：購(gòu)買(mǎi)6元購(gòu)買(mǎi)24元總計(jì)個(gè)人用戶4060100公司用戶2080100總計(jì)60140200（2）由（1）中列聯(lián)表得所以有的把握認(rèn)為用戶類(lèi)別與購(gòu)買(mǎi)意向有關(guān)系．18．【解析】（1）由，得化簡(jiǎn)得因?yàn)槿吘幌嗟?，所以，即由余弦定理得在中，由，得?）在中，，故由得，易得在中，，所以在中，由，得19．【解析】（1）證明：因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以，又因?yàn)槠矫妫云矫嬉驗(yàn)槠矫?，所以，同理，又因?yàn)槠矫?，所以平面，?）解：顯然由（1）可得，在直角中，同理，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，所以在中，所以，在直角中，由（1）得平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離為設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得，解得．所以點(diǎn)到平面的距離為．20．【解析】（1）函數(shù)的反函數(shù)為則，所以所以曲線在處的切線的方程為，即．（2）證明：由（1）可知，顯然為上的增函數(shù)．因?yàn)?，所以存在唯一的，使．從而有．因?yàn)闀r(shí)，時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，而，即．21．【解析】（1）由題可知雙曲線的漸近線方程為，因?yàn)椋?，所以直線的斜率大于1．由兩條漸近線的夾角為可得，因?yàn)?，所以即雙曲線方程為，因?yàn)榈拿娣e為，所以，所以．因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以將點(diǎn)的坐標(biāo)代人方程可得，解得，或．因?yàn)闂l件，所以，即雙曲線的方程為．（2）因?yàn)橐詾橹睆降膱A過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，所以，即：①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由可得，又點(diǎn)在雙曲線上，代人可得，解得．所以．②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由聯(lián)立消去整理得，因?yàn)橹本€與雙曲線交于兩點(diǎn)，所以，即判別式．設(shè)，則，由得到：，所以，即，即，所以，化簡(jiǎn)得．所以。當(dāng)時(shí)上式取等號(hào)，且方程（*）有解．綜上可得的最小值是．22．【解析】（1）由可得，代入消去參數(shù)，可得