《28.2.2 解直角三角形的簡單應(yīng)用》教案、導(dǎo)學(xué)案

28.2.2應(yīng)用舉例第1課時(shí)解直角三角形的簡單應(yīng)用【教學(xué)目標(biāo)】1．通過生活中的實(shí)際問題體會銳角三角函數(shù)在解題過程中的作用；(重點(diǎn))2．能夠把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用解直角三角形求解．(難點(diǎn))【教學(xué)過程】一、情境導(dǎo)入為倡導(dǎo)“低碳生活”，人們常選擇以自行車作為代步工具．圖①所示的是一輛自行車的實(shí)物圖，圖②是這輛自行車的部分幾何示意圖，其中車架檔AC與CD的長分別為45cm和60cm，且它們互相垂直，座桿CE的長為20cm.點(diǎn)A、C、E在同一條直線上，且∠CAB＝75°.你能求出車架檔AD的長嗎？二、合作探究探究點(diǎn)：解直角三角形的簡單應(yīng)用【類型一】求河的寬度根據(jù)網(wǎng)上消息，益陽市為了改善市區(qū)交通狀況，計(jì)劃在康富路的北端修建通往資江北岸的新大橋．如圖，新大橋的兩端位于A、B兩點(diǎn)，小張為了測量A、B之間的河寬，在垂直于新大橋AB的直線型道路l上測得如下數(shù)據(jù)：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝68.2°，CD＝82米．求AB的長(精確到0.1米)．參考數(shù)據(jù)：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5.解析：設(shè)AD＝xm，則AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)得到AB＝2.5(x＋82)m，在Rt△ABD中，根據(jù)三角函數(shù)得到AB＝4x，依此得到關(guān)于x的方程，進(jìn)一步即可求解．解：設(shè)AD＝xm，則AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，tan∠BCA＝eq\f(AB,AC)，∴AB＝AC·tan∠BCA＝2.5(x＋82)．在Rt△ABD中，tan∠BDA＝eq\f(AB,AD)，∴AB＝AD·tan∠BDA＝4x，∴2.5(x＋82)＝4x，解得x＝eq\f(410,3).∴AB＝4x＝4×eq\f(410,3)≈546.7m.答：AB的長約為546.7m.方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過測量角的度數(shù)和測量邊的長度，計(jì)算出所要求的物體的高度或長度．【類型二】求不可到達(dá)的兩點(diǎn)的高度如圖，放置在水平桌面上的臺燈的燈臂AB長為30cm，燈罩BC長為20cm，底座厚度為2cm，燈臂與底座構(gòu)成的∠BAD＝60°.使用發(fā)現(xiàn)，光線最佳時(shí)燈罩BC與水平線所成的角為30°，此時(shí)燈罩頂端C到桌面的高度CE是多少(結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈1.732)?解析：首先過點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F，作BG⊥AD于點(diǎn)G，進(jìn)而求出FC的長，再求出BG的長，即可得出答案．解：過點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F，作BG⊥AD于點(diǎn)G，∴四邊形BFDG是矩形，∴BG＝FD.在Rt△BCF中，∠CBF＝30°，∴CF＝BC·sin30°＝20×eq\f(1,2)＝10cm.在Rt△ABG中，∵∠BAG＝60°，∴BG＝AB·sin60°＝30×eq\f(\r(3),2)＝15eq\r(3)cm，∴CE＝CF＋FD＋DE＝10＋15eq\r(3)＋2＝12＋15eq\r(3)≈38.0(cm)．答：此時(shí)燈罩頂端C到桌面的高度CE約是38.0cm.方法總結(jié)：將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題．【類型三】方案設(shè)計(jì)類問題小鋒家有一塊四邊形形狀的空地(如圖③，四邊形ABCD)，其中AD∥BC，BC＝1.6m，AD＝5.5m，CD＝5.2m，∠C＝90°，∠A＝53°.小鋒的爸爸想買一輛長4.9m，寬1.9m的汽車停放在這塊空地上，讓小鋒算算是否可行．小鋒設(shè)計(jì)了兩種方案，如圖①和圖②所示．(1)請你通過計(jì)算說明小鋒的兩種設(shè)計(jì)方案是否合理；(2)請你利用圖③再設(shè)計(jì)一種有別于小鋒的可行性方案，并說明理由(參考數(shù)據(jù)：sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，tan53°＝eq\f(4,3))．解析：(1)方案1，如圖①所示，在Rt△AGE中，依據(jù)正切函數(shù)求得AG的長，進(jìn)而求得DG的長，然后與汽車的寬度比較即可；方案2，如圖②所示，在Rt△ALH中，依據(jù)正切函數(shù)求得AL的長，進(jìn)而求得DL的長，然后與汽車的長度比較即可；(2)讓汽車平行于AB停放，如圖③，在Rt△AMN中，依據(jù)正弦函數(shù)求得AM的長，進(jìn)而求得DM的長．在Rt△PDM中，依據(jù)余弦函數(shù)求得PM的長，然后與汽車的長度比較即可．解：(1)如圖①，在Rt△AGE中，∵∠A＝53°，∴AG＝eq\f(EG,tan∠A)＝eq\f(4.9,\f(4,3))m≈3.68m，∴DG＝AD－AG＝5.5－3.68＝1.82m＜1.9m，故此方案不合理；如圖②，在Rt△ALH中，∵∠A＝53°，LH＝1.9m，∴AL＝eq\f(LH,tan53°)＝eq\f(1.9,\f(4,3))≈1.43m，∴DL＝AD－AL＝5.5－1.43＝4.07m＜4.9m，故此方案不合理；(2)如圖③，過DA上一點(diǎn)M作MN⊥AB于點(diǎn)N，過CD上一點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，連PM，在Rt△AMN中，∵∠A＝53°，MN＝1.9m，∴AM＝eq\f(MN,sin53°)＝eq\f(1.9,0.8)≈2.4，∴DM＝5.5－2.4＝3.1m.在Rt△PDM中，∵∠PMD＝∠A＝53°，DM＝3.1m，∴PM＝eq\f(DM,cos53°)＝eq\f(3.1,0.6)≈5.1m＞4.9m，故此方案合理．方法總結(jié)：本題主要是利用三角函數(shù)解決實(shí)際問題，關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，利用三角函數(shù)解決問題．三、板書設(shè)計(jì)1．求河寬和物體的高度；2．其他應(yīng)用類問題．【教學(xué)反思】本節(jié)課為了充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，可引導(dǎo)學(xué)生通過小組討論，大膽地發(fā)表意見，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．能夠使學(xué)生自己構(gòu)造實(shí)際問題中的直角三角形模型，并通過解直角三角形解決實(shí)際問題.28.2.2應(yīng)用舉例第1課時(shí)解直角三角形的簡單應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.使學(xué)生根據(jù)直角三角形的知識解決實(shí)際問題．2.逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力．3.滲透數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐又反過來作用于實(shí)踐的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，歸結(jié)為直角三角形元素之間的關(guān)系，從而利用所學(xué)知識把實(shí)際問題解決．【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型【導(dǎo)學(xué)過程】一、課前熱身：1.解直角三角形的類型：已知____________；已知___________________．2.如圖解直角三角形的公式：（1）三邊關(guān)系：__________________．（2）角關(guān)系：∠A+∠B＝_____，（3）邊角關(guān)系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______．cosB=____，tanA=_____，tanB=_____．3.已知，如圖，在ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=6．求BC的長.(結(jié)果保留根號).二、合作交流：要想