《28.2.2 利用仰俯角解直角三角形》教案、導(dǎo)學(xué)案

28.2.2應(yīng)用舉例第2課時(shí)利用仰俯角解直角三角形【教學(xué)目標(biāo)】1．使學(xué)生掌握仰角、俯角的意義，并學(xué)會(huì)正確地判斷；(重點(diǎn))2．初步掌握將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題的能力．(難點(diǎn))【教學(xué)過(guò)程】一、情境導(dǎo)入在實(shí)際生活中，解直角三角形有著廣泛的應(yīng)用，例如我們通常遇到的視線、水平線、鉛垂線就構(gòu)成了直角三角形．當(dāng)我們測(cè)量時(shí)，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，在水平線下方的角叫做俯角．今天我們就學(xué)習(xí)和仰角、俯角有關(guān)的應(yīng)用性問(wèn)題．二、合作探究探究點(diǎn)：利用仰(俯)角解決實(shí)際問(wèn)題【類型一】利用仰角求高度星期天，身高均為1.6米的小紅、小濤來(lái)到一個(gè)公園，用他們所學(xué)的知識(shí)測(cè)算一座塔的高度．如圖，小紅站在A處測(cè)得她看塔頂C的仰角α為45°，小濤站在B處測(cè)得塔頂C的仰角β為30°，他們又測(cè)出A、B兩點(diǎn)的距離為41.5m，假設(shè)他們的眼睛離頭頂都是10cm，求塔高(結(jié)果保留根號(hào))．解析：設(shè)塔高為xm，利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出PM的長(zhǎng)，再利用eq\f(CP,PN)＝tan30°，求出x的值即可．解：設(shè)塔底面中心為O，塔高xm，MN∥AB與塔中軸線相交于點(diǎn)P，得到△CPM、△CPN是直角三角形，則eq\f(x－（1.6－0.1）,PM)＝tan45°，∵tan45°＝1，∴PM＝CP＝x－1.5.在Rt△CPN中，eq\f(CP,PN)＝tan30°，即eq\f(x－1.5,x－1.5＋41.5)＝eq\f(\r(3),3)，解得x＝eq\f(83\r(3)＋89,4).答：塔高為eq\f(83\r(3)＋89,4)m.方法總結(jié)：解決此類問(wèn)題要了解角與角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形．當(dāng)圖形中沒(méi)有直角三角形時(shí)，要通過(guò)作高或垂線構(gòu)造直角三角形．【類型二】利用俯角求高度如圖，在兩建筑物之間有一旗桿EG，高15米，從A點(diǎn)經(jīng)過(guò)旗桿頂部E點(diǎn)恰好看到矮建筑物的墻角C點(diǎn)，且俯角α為60°，又從A點(diǎn)測(cè)得D點(diǎn)的俯角β為30°.若旗桿底部G點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，求矮建筑物的高CD.解析：根據(jù)點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，可判斷EG是△ABC的中位線，求出AB.在Rt△ABC和Rt△AFD中，利用特殊角的三角函數(shù)值分別求出BC、DF，繼而可求出CD的長(zhǎng)度．解：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AF于點(diǎn)F，∵點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，EG∥AB，∴EG是△ABC的中位線，∴AB＝2EG＝30m.在Rt△ABC中，∵∠CAB＝30°，∴BC＝ABtan∠BAC＝30×eq\f(\r(3),3)＝10eq\r(3)m.在Rt△AFD中，∵AF＝BC＝10eq\r(3)m，∴FD＝AF·tanβ＝10eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)＝10m，∴CD＝AB－FD＝30－10＝20m.答：矮建筑物的高為20m.方法總結(jié)：本題考查了利用俯角求高度，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識(shí)求解相關(guān)線段的長(zhǎng)度．【類型三】利用俯角求不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離如圖，為了測(cè)量河的寬度AB，測(cè)量人員在高21m的建筑物CD的頂端D處測(cè)得河岸B處的俯角為45°，測(cè)得河對(duì)岸A處的俯角為30°(A、B、C在同一條直線上)，則河的寬度AB約是多少m(精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)?解析：在Rt△ACD中，根據(jù)已知條件求出AC的值，再在Rt△BCD中，根據(jù)∠EDB＝45°，求出BC＝CD＝21m，最后根據(jù)AB＝AC－BC，代值計(jì)算即可．解：∵在Rt△ACD中，CD＝21m，∠DAC＝30°，∴AC＝eq\f(CD,tan30°)＝eq\f(21,\f(\r(3),3))＝21eq\r(3)m.∵在Rt△BCD中，∠EDB＝45°，∴∠DBC＝45°，∴BC＝CD＝21m，∴AB＝AC－BC＝21eq\r(3)－21≈15.3(m)．則河的寬度AB約是15.3m.方法總結(jié)：解決此類問(wèn)題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，把實(shí)際問(wèn)題化歸為直角三角形中邊角關(guān)系問(wèn)題加以解決．【類型四】仰角和俯角的綜合某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，為了測(cè)量某建筑物AB的高，他們來(lái)到與建筑物AB在同一平地且相距12m的建筑物CD上的C處觀察，測(cè)得此建筑物頂部A的仰角為30°、底部B的俯角為45°.求建筑物AB的高(精確到1m，可供選用的數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7)．解析：過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線CE，垂足為E，根據(jù)題意可得出四邊形CDBE是正方形，再由BD＝12m可知BE＝CE＝12m，由AE＝CE·tan30°得出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．解：過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為E，∵CD⊥BD，AB⊥BD，∠ECB＝45°，∴四邊形CDBE是正方形．∵BD＝12m，∴BE＝CE＝12m，∴AE＝CE·tan30°＝12×eq\f(\r(3),3)＝4eq\r(3)(m)，∴AB＝4eq\r(3)＋12≈19(m)．答：建筑物AB的高為19m.方法總結(jié)：本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用中仰角、俯角問(wèn)題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．三、板書(shū)設(shè)計(jì)1．仰角和俯角的概念；2．利用仰角和俯角求高度；3．利用仰角和俯角求不可到達(dá)兩點(diǎn)之間的距離；4．仰角和俯角的綜合．【教學(xué)反思】備課時(shí)盡可能站在學(xué)生的角度上思考問(wèn)題，設(shè)計(jì)好教學(xué)過(guò)程中的每一個(gè)細(xì)節(jié)．上課前多揣摩，讓學(xué)生更多地參與到課堂的教學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生體驗(yàn)思考的過(guò)程，體驗(yàn)成功的喜悅和失敗的挫折，舍得把課堂讓給學(xué)生，讓學(xué)生做課堂這個(gè)小小舞臺(tái)的主角．使課堂更加鮮活，充滿人性魅力，下課后多反思，做好反饋工作，不斷總結(jié)得失，不斷進(jìn)步．只有這樣，才能真正提高課堂教學(xué)效率.28.2.2應(yīng)用舉例第2課時(shí)利用仰俯角解直角三角形【學(xué)習(xí)目標(biāo)】⑴使學(xué)生了解仰角、俯角的概念，使學(xué)生根據(jù)直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題．⑵逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．⑶滲透數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)踐又反過(guò)來(lái)作用于實(shí)踐的觀點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】將某些實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，歸結(jié)為直角三角形元素之間的關(guān)系，從而利用所學(xué)知識(shí)把實(shí)際問(wèn)題解決．【學(xué)習(xí)難點(diǎn)】實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型【導(dǎo)學(xué)過(guò)程】一、自學(xué)提綱：1．解直角三角形指什么？2．解直角三角形主要依據(jù)什么？(1)勾股定理：(2)銳角之間的關(guān)系：(3)邊角之間的關(guān)系：tanA=二、合作交流：仰角、俯角當(dāng)我們進(jìn)行測(cè)量時(shí)，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，在水平線下方的角叫做俯角．三、教師點(diǎn)撥：例32003年10月15日“神舟”5號(hào)載人航天飛船發(fā)射成功.當(dāng)飛船完成變軌后，就在離地球表面350km的圓形軌道上運(yùn)行.如圖,當(dāng)飛船運(yùn)行到地球表面上P點(diǎn)的正上方時(shí)，從飛船上最遠(yuǎn)能直接看到的地球上的點(diǎn)在什么位置?這樣的最遠(yuǎn)點(diǎn)與P點(diǎn)的距離是多少?(地球半徑約為6400km，結(jié)果精確到0.1km)例4熱氣球的探測(cè)器顯