2024屆雅安市高三數(shù)學(xué)（文）下學(xué)期開(kāi)學(xué)檢測(cè)考試卷附答案解析

屆雅安市高三數(shù)學(xué)（文）下學(xué)期開(kāi)學(xué)檢測(cè)考試卷考生注意：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分．考試時(shí)間120分鐘．2．請(qǐng)將各題答案填寫(xiě)在答題卡上．3．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容．第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．3．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．已知，，，則（

）A． B． C． D．4．已知非零向量，滿(mǎn)足，且，則與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．5．已知是三條不重合的直線(xiàn)，是三個(gè)不重合的平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則且C．若，則D．若，則6．函數(shù)的圖象大致為（

）A．B．C．D．7．一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為3和1，另一組數(shù)據(jù)（其中）的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為10和4，則（

）A．16 B．8 C． D．8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為，，，則輸出的值為（

）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，若存在，使得，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C．在內(nèi)有零點(diǎn) D．若在內(nèi)有零點(diǎn)，則10．當(dāng)兩個(gè)變量呈非線(xiàn)性相關(guān)時(shí)，有些可以通過(guò)適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換進(jìn)行線(xiàn)性相關(guān)化，比如反比例關(guān)系，可以設(shè)一個(gè)新的變量，這樣與之間就是線(xiàn)性關(guān)系．下列表格中的數(shù)據(jù)可以用非線(xiàn)性方程進(jìn)行擬合，1234562.53.64.45.46.67.5用線(xiàn)性回歸的相關(guān)知識(shí)，可求得的值約為（

）A．2.98 B．2.88 C．2.78 D．2.6811．若函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．12．我們把形如和的兩個(gè)雙曲線(xiàn)叫做共軛雙曲線(xiàn)．設(shè)共軛雙曲線(xiàn)，的離心率分別為，，則當(dāng)取得最大值時(shí)，（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線(xiàn)上．13．已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足約束條件，則其表示的封閉區(qū)域的面積為．14．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，是上一點(diǎn)，且，則．15．一個(gè)封閉的玻璃圓錐容器內(nèi)裝有部分水（如圖1），此時(shí)水面與線(xiàn)段交于點(diǎn)，將其倒置后（如圖2），水面與線(xiàn)段還是交于點(diǎn)，則．16．已知，分別是函數(shù)和的零點(diǎn)，且，，則．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．已知數(shù)列滿(mǎn)足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．為了防止注冊(cè)賬號(hào)被他人非法登錄，某系統(tǒng)在賬號(hào)登錄前，要先輸入驗(yàn)證碼．已知該系統(tǒng)登入設(shè)置的每個(gè)驗(yàn)證碼均由有序數(shù)字串組成，其中，某人非法登錄一個(gè)賬號(hào)，任選一組驗(yàn)證碼輸入．(1)求這個(gè)人輸入的驗(yàn)證碼恰有兩位正確的概率；(2)若這個(gè)人通過(guò)技術(shù)獲得了驗(yàn)證碼的第一位數(shù)，求這個(gè)人輸入的驗(yàn)證碼正確的概率．19．如圖，在四棱柱中，底面和側(cè)面均是邊長(zhǎng)為2的正方形．(1)證明：．(2)若，求點(diǎn)到平面的距離．20．已知函數(shù)．(1)若，當(dāng)時(shí)，證明：．(2)若，證明：恰有一個(gè)零點(diǎn)．21．已知橢圓的離心率為，且橢圓的短軸長(zhǎng)為．(1)求橢圓的方程．(2)設(shè)是橢圓上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，是橢圓的左頂點(diǎn)，是橢圓的上頂點(diǎn)，直線(xiàn)與軸相交于點(diǎn)，直線(xiàn)與軸相交于點(diǎn)．記的面積為，的面積為．證明：為定值．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．已知曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），與相交于，兩點(diǎn)．(1)求曲線(xiàn)的普通方程；(2)設(shè)，證明：為定值．[選修4-5：不等式選講]23．已知正實(shí)數(shù)，，滿(mǎn)足．(1)若，證明：．(2)求的最大值．1．B【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再利用共軛復(fù)數(shù)的定義可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，故?fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為.故選：B.2．B【分析】根據(jù)絕對(duì)值不等式的解法及函數(shù)定義域的求法，由集合并集可得結(jié)果.【詳解】由，解得，所以．因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，所以，故選：B.3．A【分析】根據(jù)題意，由正弦定理代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由正弦定理知，，則．因?yàn)椋裕蔬x：A4．B【分析】根據(jù)題意，由數(shù)量積的運(yùn)算律，代入計(jì)算，結(jié)合平面向量的夾角計(jì)算公式，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以．設(shè)與的夾角為，則．故選：B5．D【分析】根據(jù)線(xiàn)面以及面面平行的性質(zhì)可判斷A；根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理可判斷B；根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理可判斷C；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)以及線(xiàn)面垂直的判定定理可判斷D.【詳解】對(duì)于A，若，則或，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則當(dāng)且時(shí)，才有且，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，當(dāng)時(shí)，推不出，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖，設(shè)，在內(nèi)取點(diǎn)P，，作，垂足為，因?yàn)?，則，而，則，又，故，D正確，

故選：D6．A【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)特殊值即可得到選項(xiàng).【詳解】由函數(shù)，，令，解得，則其定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)在定義內(nèi)為偶函數(shù)，排除C，D選項(xiàng)，因?yàn)椋^察選項(xiàng)可知，選A.故選：A7．C【分析】根據(jù)兩組數(shù)據(jù)的線(xiàn)性關(guān)系確定它們的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系列方程，即可得的值，從而可得答案.【詳解】由題可知，，解得，則．故選：C.8．D【分析】執(zhí)行程序框圖可知，輸出的值為最小值，故判斷的大小關(guān)系即可得到答案.【詳解】執(zhí)行程序框圖可知，第一次判斷輸出中較小的數(shù)記為a，再進(jìn)行第二次判斷，將a與c進(jìn)行比較，記較小的數(shù)為a，最終輸出.故輸出的值為的最小值.因?yàn)椋?，，所以輸出的值為．故選：D9．A【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理逐項(xiàng)判斷即可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，，所以，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，故C正確；又因?yàn)?，所以，故B正確；又因?yàn)椋瑒t可能大于，故A不正確；若函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，則，故D正確.故選：A.10．B【分析】設(shè)后，得到與之間的關(guān)系表格，計(jì)算出的值，利用在線(xiàn)性回歸方程上進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，則，則1491625362.53.64.45.46.67.5則，，則．故選：B.11．C【分析】利用三角恒等變換先化簡(jiǎn)函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】，令，得,由，得．因?yàn)榍∮袃山猓裕蔬x：C12．A【分析】根據(jù)題意可得，由，可設(shè)，結(jié)合三角恒等變換與正弦型函數(shù)的最值即可得答案.【詳解】由題意可知?jiǎng)t．由，可設(shè)，則，其中，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，此時(shí)．故選：A.13．2【分析】利用線(xiàn)性規(guī)劃作出約束條件所表示的封閉區(qū)域，從而得解.【詳解】根據(jù)約束條件作出的平面區(qū)域圖如圖所示，

易得，，，則，故封閉區(qū)域的面積為2.故答案為：2.14．6【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)的定義及焦半徑公式計(jì)算即可.【詳解】由題可知．故答案為：615．##【分析】由已知可得前后兩次水面的交點(diǎn)相同可得圓錐的體積是圓錐體積的一半，再由圓錐的體積公式計(jì)算可求.【詳解】由題意知，在圖1中，圓錐的體積是圓錐體積的一半，分別設(shè)圓，圓的半徑為，，則．故答案為：16．1【分析】求，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)及單調(diào)性可得，化簡(jiǎn)可得的值.【詳解】由題意可得，，又，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，，且，又，所以，所以．故答案為?.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，用替換，然后代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由錯(cuò)位相減法代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，由，得，則，則，因?yàn)橐卜仙鲜?，所以．?）由（1）可知，，則，則，兩式相減得，則．18．(1)(2)【分析】（1）利用古典概型的概率求解；（2）利用古典概型的概率求解.【詳解】（1）解：由題可知，所有的驗(yàn)證碼包括111，112，113，121，122，123，131，132，133，211，212，213，221，222，223，231，232，233，311，312，313，321，322，323，331，332，333，共27種．不妨設(shè)正確的驗(yàn)證碼為111，則恰有兩位正確的驗(yàn)證碼包括112，113，121，131，211，311，共6種，故這個(gè)人輸入的驗(yàn)證碼恰有兩位正確的概率為．（2）不妨設(shè)正確的驗(yàn)證碼為111，這個(gè)人通過(guò)技術(shù)獲得的驗(yàn)證碼的第一位數(shù)為1，則這個(gè)人輸入的驗(yàn)證碼可能為111，112，113，121，122，123，131，132，133，共9種，則這個(gè)人輸入的驗(yàn)證碼正確的概率為．19．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由線(xiàn)面垂直證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，先連接，由已知得到四邊形為菱形后推出，再證明平面，得到，推出平面，最后可證明.（2）用等體積法求點(diǎn)到面的距離，先求出，得到，再由，得到，最后由體積相等解出即可.【詳解】（1）證明：連接，因?yàn)榈酌婧蛡?cè)面均為正方形，所以四邊形為菱形，則．由底面和側(cè)面均為正方形，得，．因?yàn)?，所以平面．又平面，所以．因?yàn)?，所以平面．又平面，所以．?）因?yàn)?，，所以．又平面，所以．，，則．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，則，解得，即點(diǎn)到平面的距離為．20．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，即可得到在上單調(diào)遞增，再由，即可證明；（2）根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得，即在上單調(diào)遞增，再結(jié)合，即可證明.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，．?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，．（2）．令，則．令，則．當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，所以，則在上單調(diào)遞增．因?yàn)椋郧∮幸粋€(gè)零點(diǎn)，則恰有一個(gè)零點(diǎn)．21．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程，代入計(jì)算，即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)題意，分別表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而表示出，然后結(jié)合橢圓的方程，代入計(jì)算，即可證明.【詳解】（1）由題可知，，解得，故橢圓的方程為．（2）證明：設(shè)，則直線(xiàn)的方程為，令，得．直線(xiàn)的方程為，令，得．，，．由，得，則．故為定值．22．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）把平方后相加即可；（2）