蘇科版七年級數學下冊舉一反三系列 專題7.5 三角形的外角【十大題型】（原卷版）

專題7.5三角形的外角【十大題型】【蘇科版】TOC\o"1-1"\h\u【題型1三角形的外角】 1【題型2三角形的外角性質（比較角的大?。?2【題型3三角形的外角性質（求角）】 3【題型4三角形的外角性質（含角平分線）】 4【題型5三角形的外角性質（含垂直關系）】 5【題型6三角形的外角性質（含三角板）】 6【題型7三角形的外角性質（含平行線）】 7【題型8三角形的外角性質（折疊問題）】 8【題型9三角形的外角性質（內外角平分線模型）】 9【題型10三角形的外角性質（內外角平分線規(guī)律問題）】 11【知識點1三角形的外角】三角形外角的概念：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．【題型1三角形的外角】【例1】（2022?海滄區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點D，E分別是邊AB，BC上的點，連接AE和DE，則下列是△BDE的外角的是（）A．∠AED B．∠AEC C．∠ADE D．∠BAE【變式1-1】（2022?思明區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，E是BC邊上一點，連接AE，OE，則下列角中是△AEO的外角的是（）A．∠AEB B．∠AOD C．∠OEC D．∠EOC【變式1-2】如圖，有個三角形，∠1是的外角，∠ADB是的外角．【變式1-3】（2022?江北區(qū)校級月考）如圖，在∠1、∠2、∠3和∠4這四個角中，屬于△ABC外角的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【知識點2三角形的外角性質】①三角形的外角和為360°；②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內角．【題型2三角形的外角性質（比較角的大?。俊纠?】（2022?通川區(qū)期末）如圖，∠A、∠1、∠2的大小關系是（）A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1【變式2-1】（2022?臨淄區(qū)期中）點P是△ABC內任意一點，則∠APC與∠B的大小關系是（）A．∠APC＞∠B B．∠APC＝∠B C．∠APC＜∠B D．不能確定【變式2-2】（2022春?興隆縣期末）如圖所示，下列結論正確的是（）A．∠1＞∠B＞∠2 B．∠B＞∠2＞∠1 C．∠2＞∠1＞∠B D．∠1＞∠2＞∠B【變式2-3】（2022?雙流區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠1是它的一個外角，E為邊AC上一點，延長BC到D，連接DE．則下列結論正確的是（）A．∠1＞∠D B．∠D＞∠2 C．∠1＝∠2+∠3 D．∠3＝∠A【題型3三角形的外角性質（求角）】【例3】（2022?石阡縣模擬）如圖，已知△ABC的外角∠CAD＝120°，∠C＝80°，則∠B的度數是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【變式3-1】（2022?梁子湖區(qū)期末）三角形中，三個內角的比為1：3：6，它的三個外角的比為（）A．1：3：6 B．6：3：1 C．9：7：4 D．3：5：2【變式3-2】（2022春?光明區(qū)期末）某零件的形狀如圖所示，按照要求∠B＝20°，∠BCD＝110°，∠D＝30°，那么∠A的度數是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【變式3-3】（2022春?江陰市期中）小棗一筆畫成了如圖所示的圖形，若∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，則∠D+∠E等于（）A．100° B．110° C．120° D．130°【題型4三角形的外角性質（含角平分線）】【例4】（2022?沈陽模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC交BC邊于點D，若∠C＝26°，則∠ADB的度數是（）A．61° B．64° C．71° D．109°【變式4-1】（2022春?宜興市校級月考）如圖，在△ABC中，在AB上存在一點D，使得∠ACD＝∠B，角平分線AE交CD于點F．△ABC的外角∠BAG的平分線所在直線MN與BC的延長線交于點M，若∠M＝35°，則∠CFE＝．【變式4-2】（2022春?邗江區(qū)期中）如圖，∠ABD，∠ACD的角平分線交于點P，若∠A＝50°，∠D＝10°，則∠P的度數為（）A．15° B．20° C．25° D．30°【變式4-3】（2022?武岡市期末）如圖，已知P是三角形ABC內一點，∠BPC＝120°，∠A＝70°，BD是∠ABP的角平分線，CE是∠ACP的角平分線，BD與CE交于點F，則∠BFC等于（）A．100° B．90° C．85° D．95°【題型5三角形的外角性質（含垂直關系）】【例5】（2022?赤峰）如圖，點D在BC的延長線上，DE⊥AB于點E，交AC于點F．若∠A＝35°，∠D＝15°，則∠ACB的度數為（）A．65° B．70° C．75° D．85°【變式5-1】（2022春?鄂州校級期中）如圖，BD，CE是△ABC的兩條高，且交于點O，問：（1）∠1和∠2大小如何？（2）若∠A＝50°，∠ABC＝70°，求∠3和∠4度數．【變式5-2】（2022春?普陀區(qū)期末）如圖，已知△ABC中，BD、CE分別是邊AC、AB上的高，BD與CE交于O點，如果設∠BAC＝n°，那么用含n的代數式表示∠BOC的度數是（）A．45°+n° B．90°﹣n° C．90°+n° D．180°﹣n°【變式5-3】（2022春?騰沖縣期末）已知：如圖所示，∠ABC＝66°，∠ACB＝54°，BE是AC邊上的高，CF是AB邊上的高，H是BE和CF的交點，求：∠ABE，∠ACF和∠BHC的度數．【題型6三角形的外角性質（含三角板）】【例6】（2022春?宿城區(qū)期末）將一副直角三角板如圖放置，∠A＝30°，∠F＝45°．若邊AB經過點D，則∠EDB＝°．【變式6-1】（2022?亭湖區(qū)校級一模）將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則∠α的大小為（）A．105° B．75° C．65° D．55°【變式6-2】（2022?丹東期末）如圖所示，一副三角板疊放在一起，則圖中∠α等于（）A．105° B．115° C．120° D．135°【變式6-3】（2022?安徽二模）一副三角板如圖放置，則∠1+∠2的度數為（）A．30° B．45° C．60° D．75°【題型7三角形的外角性質（含平行線）】【例7】（2022?沙灣區(qū)模擬）如圖，直線a∥b，則∠1＝（）A．100° B．110° C．125° D．135°【變式7-1】（2022春?東西湖區(qū)校級月考）如圖所示，l1∥l2，則下列式子中值為180°的是（）A．α+β+γ B．α+β﹣γ C．β+γ﹣α D．α﹣β+γ【變式7-2】（2022?瀘州）如圖，直線a∥b，直線c分別交a，b于點A，C，點B在直線b上，AB⊥AC，若∠1＝130°，則∠2的度數是（）A．30° B．40° C．50° D．70°【變式7-3】（2022?細河區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分線BE交AC的延長線于點E．（1）求∠CBE的度數；（2）過點D作DF∥BE，交AC的延長線于點F，求∠F的度數．【題型8三角形的外角性質（折疊問題）】【例8】（2022?東城區(qū)校級期末）如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點A落在△ABC外的A'處，折痕為DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正確的是（）A．γ＝2α+β B．γ＝α+2β C．γ＝α+β D．γ＝180°﹣α﹣β【變式8-1】（2022?武昌區(qū)月考）如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，則（）A．∠A＝∠1+∠2 B．2∠A＝∠1+∠2 C．3∠A＝2∠1+∠2 D．3∠A＝2（∠1+∠2）【變式8-2】（2022春?宜興市校級期末）如圖，將△ABC的∠C折疊，使C點在AC邊上，折痕為DE，則（）A．∠BDC＝∠DCE+90° B．∠BDC＝2∠DCE C．∠BDC+∠DCE＝180° D．∠BDC＝3∠DCE【變式8-3】（2022春?長安區(qū)期末）如圖1和圖2，在三角形紙片ABC中，點D，E分別在邊AC，AB上，沿DE折疊，點A落在點A'的位置．（1）如圖1，當點A′落在CD邊上時，∠DAE與∠1之間的數量關系為（只填序號），并說明理由；①∠DAE＝∠1②∠DAE＝2∠1③∠1＝2∠DAE（2）如圖2，當點A落在△ABC內部時，直接寫出∠DAE與∠1，∠2之間的數量關系．【題型9三角形的外角性質（內外角平分線模型）】【例9】（2022春?茌平區(qū)期末）．如圖，在中，，的平分線交于點，是與平分線的交點，是的兩外角平分線的交點，若，則的度數為A． B． C． D．【變式9-1】（2022?中原區(qū)校級期末）如圖，BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，則∠P＝°．【變式9-2】（2022?郟縣期末）如圖在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE為外角∠ACD的平分線，BO的延長線交CE于點E，記∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，則以下結論①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④【變式9-3】（2022春?江都區(qū)月考）如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P．（1）如果∠A＝70°，求∠BPC的度數；（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點Q，試探索∠Q，∠A之間的數量關系．（3）如圖③，延長線段BP，QC交于點E，在△BQE中，存在一個內角等于另一個內角的3倍，求∠A的度數．【題型10三角形的外角性質（內外角平分線規(guī)律問題）】【例10】（2022春?靖江市月考）如圖1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分線交于點O，則∠BOC＝90°+∠A＝×180°+∠A．如圖2，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的兩條三等分角線分別對應交于O1，O2，則∠BO1C＝×180°+∠A，∠BO2C＝×180°+∠A．根據以上閱讀理解，你能猜想（n等分時，內部有n﹣1個點）（用n的代數式表示）∠BOn﹣1C＝（）A．×180°+∠A B．×180°+∠A C．×180°+∠A D．×180°+∠A【變式10-1】（2022?曲靖期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝128°，P是△ABC的內角∠ABC的平分線BP1與外角∠ACE的平分線CP1的交點；P2是△BP1C的內角∠P1BC的平分線BP2與外角∠P1CE的平分線CP2的交點；P3是△BP2C的內角∠P2BC的平分線BP3與外角∠P2CE的平分線CP3的交點；依次這樣下去，則∠P6的度數為（）A．2° B．4° C．8° D．16°【變式10-2】（2022?市北區(qū)期末）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，在△ABC中，點P是內角∠ABC和外角∠ACD的角平分線的交點，試猜想∠P與∠A之間的數量關系，并證明你的猜想．【遷移拓展】如圖2，在△ABC中，點P是內角∠ABC和外角∠ACD的n等分線的交點，即∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，試猜想∠P與∠A之間的數量關系，并證明你的猜想．【應用創(chuàng)新】已知，如圖3，AD、BE相交于點C，∠ABC、∠CDE、∠ACE的角平分線交于點P，∠A＝35°，∠E＝25°，則∠BPD＝．【變式10-3】（2022春?寶應縣期中）【問題引入】（1）如圖1，△ABC，點O是∠ABC和∠ACB相鄰的外角平分線的交點，若∠A＝40°，請求出∠BOC的度數．【深入探究】（2）如圖2，在四邊形ABCD中，點O是∠BAC和∠ACD的角平分線的交點，若∠B+∠D＝110°，請求出∠AOC的度數．【類比猜想】（3）如圖3，在△ABC中，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，則∠BOC＝（用α的代數式表示，直接寫出結果，不需要寫出解答過程）．（4）如果BO，CO分別是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分線，它們交于點O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB則∠BOC＝（用n、a的代數式表示，直接寫出結果，不需要寫出解答過程）．專題7.5三角形的外角【十大題型】【蘇科版】TOC\o"1-1"\h\u【題型1三角形的外角】 1【題型2三角形的外角性質（比較角的大?。?3【題型3三角形的外角性質（求角）】 5【題型4三角形的外角性質（含角平分線）】 7【題型5三角形的外角性質（含垂直關系）】 9【題型6三角形的外角性質（含三角板）】 11【題型7三角形的外角性質（含平行線）】 13【題型8三角形的外角性質（折疊問題）】 16【題型9三角形的外角性質（內外角平分線模型）】 19【題型10三角形的外角性質（內外角平分線規(guī)律問題）】 23【知識點1三角形的外角】三角形外角的概念：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．【題型1三角形的外角】【例1】（2022?海滄區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點D，E分別是邊AB，BC上的點，連接AE和DE，則下列是△BDE的外角的是（）A．∠AED B．∠AEC C．∠ADE D．∠BAE【分析】根據三角形外角的定義可判斷求解．【解答】解：由題意得，∠ADE，∠DEC是△BDE的外角．故選：C．【變式1-1】（2022?思明區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，E是BC邊上一點，連接AE，OE，則下列角中是△AEO的外角的是（）A．∠AEB B．∠AOD C．∠OEC D．∠EOC【分析】根據三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角解答即可．【解答】解：△AEO的外角是∠EOC，故選：D．【變式1-2】如圖，有8個三角形，∠1是△BDC的外角，∠ADB是△ADE的外角．【分析】根據三角形的定義數出三角形的個數，由外角的定義找出三角形的外角．【解答】解：圖中的三角形有：△ABD，△ADE，△ABE，△CBD，△CDE，△CBE，△ABC，△ADC，共8個三角形．∠1是△BDC的外角，∠ADB是△ADE的外角．故空中填：8，△BDC，△ADE．【變式1-3】（2022?江北區(qū)校級月考）如圖，在∠1、∠2、∠3和∠4這四個角中，屬于△ABC外角的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據三角形的一條邊的延長線于另一邊的夾角叫做這個三角形的外角判斷．【解答】解：屬于△ABC外角的有∠4共1個．故選：A．【知識點2三角形的外角性質】①三角形的外角和為360°；②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內角．【題型2三角形的外角性質（比較角的大?。俊纠?】（2022?通川區(qū)期末）如圖，∠A、∠1、∠2的大小關系是（）A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1【分析】根據三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角解答．【解答】解：∵∠1是三角形的一個外角，∴∠1＞∠A，又∵∠2是三角形的一個外角，∴∠2＞∠1，∴∠2＞∠1＞∠A．故選：B．【變式2-1】（2022?臨淄區(qū)期中）點P是△ABC內任意一點，則∠APC與∠B的大小關系是（）A．∠APC＞∠B B．∠APC＝∠B C．∠APC＜∠B D．不能確定【分析】作出圖形，延長AP與BC相交于點D，然后根據三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角解答．【解答】解：如圖，延長AP與BC相交于點D，由三角形的外角性質得，∠PDC＞∠B，∠APC＞∠PDC，所以，∠APC＞∠B．故選：A．【變式2-2】（2022春?興隆縣期末）如圖所示，下列結論正確的是（）A．∠1＞∠B＞∠2 B．∠B＞∠2＞∠1 C．∠2＞∠1＞∠B D．∠1＞∠2＞∠B【分析】根據三角形的外角的性質即可判斷．【解答】解：如圖，在△AEF中，∠1＞∠2，在△BCE中，∠2＞∠B，∴∠1＞∠2＞∠B．故選：D．【變式2-3】（2022?雙流區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠1是它的一個外角，E為邊AC上一點，延長BC到D，連接DE．則下列結論正確的是（）A．∠1＞∠D B．∠D＞∠2 C．∠1＝∠2+∠3 D．∠3＝∠A【分析】根據三角形的外角性質得出∠2＞∠D，∠1＞∠2，∠1＝∠A+∠2，∠2＝∠3+∠D，再逐個判斷即可．【解答】解：A．∵∠2＞∠D，∠1＞∠2，∴∠1＞∠D，故本選項符合題意；B．∠2＞∠D，故本選項不符合題意；C．∠1＝∠2+∠A＝∠D+∠3+∠A，∠2+∠3＝∠D+∠3+∠3＝2∠3+∠D，又∵∠3和∠A不一定相等，∴∠1和∠2+∠3不一定相等，故本選項不符合題意；D．∠3和∠A不一定相等，故本選項不符合題意；故選：A．【題型3三角形的外角性質（求角）】【例3】（2022?石阡縣模擬）如圖，已知△ABC的外角∠CAD＝120°，∠C＝80°，則∠B的度數是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】根據三角形外角的性質可直接求解．【解答】解：∵∠CAD＝∠B+∠C，∠CAD＝120°，∠C＝80°，∴∠B＝∠CAD﹣∠C＝120°﹣80°＝40°，故選：B．【變式3-1】（2022?梁子湖區(qū)期末）三角形中，三個內角的比為1：3：6，它的三個外角的比為（）A．1：3：6 B．6：3：1 C．9：7：4 D．3：5：2【分析】由三角形中，三個內角的比為1：3：6，根據三角形的外角的性質，即可求得它的三個外角的比．【解答】解：∵三角形中，三個內角的比為1：3：6，∴它的三個外角的比為：（3+6）：（1+6）：（1+3）＝9：7：4．故選：C．【變式3-2】（2022春?光明區(qū)期末）某零件的形狀如圖所示，按照要求∠B＝20°，∠BCD＝110°，∠D＝30°，那么∠A的度數是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】延長DC交AB于E，根據三角形外角的性質可求得∠CEB的度數，再利用三角形外角的性質可求解．【解答】解：延長DC交AB于E，∵∠BCD＝∠B+∠CEB，∠BCD＝110°，∠B＝20°，∴∠CEB＝110°﹣20°＝90°，∵∠CEB＝∠A+∠D，∠D＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，故選：B．【變式3-3】（2022春?江陰市期中）小棗一筆畫成了如圖所示的圖形，若∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，則∠D+∠E等于（）A．100° B．110° C．120° D．130°【分析】設AE交BC于G，交CD于F，根據三角形的外角性質求出∠AFC，再根據對頂角的性質可求得∠DFE的度數，利用三角形的內角和定理求出∠D+∠E即可．【解答】解：如圖，∵∠A＝60°，∠B＝40°，∴∠BGF＝∠C+∠AFC＝∠A+∠B＝100°，∵∠C＝30°，∴∠AFC＝100°﹣30°＝70°，∴∠EFD＝∠AFC＝70°，∵∠E+∠D+∠EFD＝180°，∴∠D+∠E＝180°﹣70°＝110°，故選：B．【題型4三角形的外角性質（含角平分線）】【例4】（2022?沈陽模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC交BC邊于點D，若∠C＝26°，則∠ADB的度數是（）A．61° B．64° C．71° D．109°【分析】根據角平分線的定義可得∠DAC＝45°，根據三角形外角的性質可得∠ADB＝∠DAC+∠C，即可求出∠ADB的度數．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，∴∠DAC＝45°，∵∠C＝26°，∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝45°+26°＝71°，故選：C．【變式4-1】（2022春?宜興市校級月考）如圖，在△ABC中，在AB上存在一點D，使得∠ACD＝∠B，角平分線AE交CD于點F．△ABC的外角∠BAG的平分線所在直線MN與BC的延長線交于點M，若∠M＝35°，則∠CFE＝55°．【分析】由平角的性質和角平分線的定義可求∠EAN＝90°，由外角的性質可求解．【解答】證明：∵C、A、G三點共線AE、AN為角平分線，∴∠EAN＝90°，又∵∠GAN＝∠CAM，∴∠M+∠CEF＝90°，∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B，∴∠CEF＝∠CFE，∴∠M+∠CFE＝90°．∴∠CFE＝90°﹣∠M＝90°﹣35°＝55°．故答案為：55°．【變式4-2】（2022春?邗江區(qū)期中）如圖，∠ABD，∠ACD的角平分線交于點P，若∠A＝50°，∠D＝10°，則∠P的度數為（）A．15° B．20° C．25° D．30°【分析】利用角平分線的性質計算．【解答】解：延長DC，與AB交于點E．∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝50°，∴∠ACD＝∠A+∠AEC＝50°+∠AEC．∵∠AEC是△BDE的外角，∴∠AEC＝∠ABD+∠D＝∠ABD+10°，∴∠ACD＝50°+∠AEC＝50°+∠ABD+10°，整理得∠ACD﹣∠ABD＝60°．設AC與BP相交于O，則∠AOB＝∠POC，∴∠P+∠ACD＝∠A+∠ABD，即∠P＝50°﹣（∠ACD﹣∠ABD）＝20°．故選：B．【變式4-3】（2022?武岡市期末）如圖，已知P是三角形ABC內一點，∠BPC＝120°，∠A＝70°，BD是∠ABP的角平分線，CE是∠ACP的角平分線，BD與CE交于點F，則∠BFC等于（）A．100° B．90° C．85° D．95°【分析】利用三角形的內角和定理求得∠ABC+∠ACB，由∠BPC＝120°，可得∠PBC+∠PCB，利用角平分線的性質可得∠FBP+∠FCP，易得∠FBC+∠FCB，由三角形的內角和定理可得結果．【解答】解：∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝110°，∵∠BPC＝120°，∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠BPC＝60°，∴∠ABP+∠ACP＝110°﹣60°＝50°，∵BD是∠ABP的平分線，CE是∠ACP的平分線，∴∠FBP+∠FCP＝25°，∴∠FBC+∠FCB＝∠PBC+∠PCB+∠FBP+∠FCP＝60°+25°＝85°，∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°﹣85°＝95°．故選：D．【題型5三角形的外角性質（含垂直關系）】【例5】（2022?赤峰）如圖，點D在BC的延長線上，DE⊥AB于點E，交AC于點F．若∠A＝35°，∠D＝15°，則∠ACB的度數為（）A．65° B．70° C．75° D．85°【分析】根據三角形外角與內角的關系及三角形內角和定理解答．【解答】解：∵DE⊥AB，∠A＝35°∴∠AFE＝∠CFD＝55°，∴∠ACB＝∠D+∠CFD＝15°+55°＝70°．故選：B．【變式5-1】（2022春?鄂州校級期中）如圖，BD，CE是△ABC的兩條高，且交于點O，問：（1）∠1和∠2大小如何？（2）若∠A＝50°，∠ABC＝70°，求∠3和∠4度數．【分析】（1）∠4即是△EOB的外角，也是△DOC的外角，根據外角的性質即可得到∠1＝∠2．（2）根據三角形內角和定理求出∠3與∠2的度數，然后利用外角的性質求出∠4．【解答】解：∵∠BEO＝∠CDO＝90°，∴∠4＝∠BEO+∠1＝∠CDO+∠2，∴∠1＝∠2；（2）∵∠3＝180°﹣∠BEC﹣∠ABC＝180°﹣90°﹣70°＝20°，∠2＝180°﹣∠A﹣∠AEC＝180°﹣90°﹣50°＝40°，∴∠4＝∠ODC+∠2＝90°+40°＝130°．【變式5-2】（2022春?普陀區(qū)期末）如圖，已知△ABC中，BD、CE分別是邊AC、AB上的高，BD與CE交于O點，如果設∠BAC＝n°，那么用含n的代數式表示∠BOC的度數是（）A．45°+n° B．90°﹣n° C．90°+n° D．180°﹣n°【分析】由垂直的定義得到∠ADB＝∠BDC＝90°，再根據三角形內角和定理得∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠A＝90°﹣n°，然后根據三角形的外角性質有∠BOC＝∠EBD+∠BEO，計算即可得到∠BOC的度數．【解答】解：∵BD、CE分別是邊AC，AB上的高，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，又∵∠BAC＝n°，∴∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠A＝180°﹣90°﹣n°＝90°﹣n°，∴∠BOC＝∠EBD+∠BEO＝90°﹣n°+90°＝180°﹣n°．故選：D．【變式5-3】（2022春?騰沖縣期末）已知：如圖所示，∠ABC＝66°，∠ACB＝54°，BE是AC邊上的高，CF是AB邊上的高，H是BE和CF的交點，求：∠ABE，∠ACF和∠BHC的度數．【分析】由三角形的內角和是180°，可求∠A＝60°．又因為BE是AC邊上的高，所以∠AEB＝90°，所以∠ABE＝30°．同理，∠ACF＝30度，又因為∠BHC是△CEH的一個外角，所以∠BHC＝120°．【解答】解：∵∠ABC＝66°，∠ACB＝54°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣66°﹣54°＝60°．又∵BE是AC邊上的高，所以∠AEB＝90°，∴∠ABE＝180°﹣∠BAC﹣∠AEB＝180°﹣90°﹣60°＝30°．同理，∠ACF＝30°，∴∠BHC＝∠BEC+∠ACF＝90°+30°＝120°．【題型6三角形的外角性質（含三角板）】【例6】（2022春?宿城區(qū)期末）將一副直角三角板如圖放置，∠A＝30°，∠F＝45°．若邊AB經過點D，則∠EDB＝75°．【分析】由三角形內角和定理可求解∠ABC的度數，利用三角形外角的性質可求解∠BDF的度數，進而可求解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∵∠ABC＝∠F+∠BDF，∠F＝45°，∴∠BDF＝∠ABC﹣∠F＝60°﹣45°＝15°，∵∠EDF＝90°，∴∠EDB＝∠EDF﹣∠BDF＝90°﹣15°＝75°，故答案為75．【變式6-1】（2022?亭湖區(qū)校級一模）將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則∠α的大小為（）A．105° B．75° C．65° D．55°【分析】根據三角形的外角性質解答即可．【解答】解：由三角形的外角性質可知：∠α＝30°+45°＝75°，故選：B．【變式6-2】（2022?丹東期末）如圖所示，一副三角板疊放在一起，則圖中∠α等于（）A．105° B．115° C．120° D．135°【分析】根據三角板上角的度數的特點及三角形內角與外角的關系解答．【解答】解：如圖，由題意得：∠ABG＝90°，∵∠G＝30°，∴∠BFG＝180°﹣∠ABG﹣∠G＝60°，∴∠AFH＝∠BFG＝60°，∵∠α是△AFH的外角，∠A＝45°，∴∠α＝∠A+∠AFH＝105°，故選：A．【變式6-3】（2022?安徽二模）一副三角板如圖放置，則∠1+∠2的度數為（）A．30° B．45° C．60° D．75°【分析】延長BE交AC于D，根據三角形的外角性質計算，得到答案．【解答】解：延長BE交AC于D，∵∠BEC是△CDE的外角，∴∠2+∠CDE＝∠BEC＝90°，同理：∠1+∠A＝∠CDE，∴∠2+∠1+∠A＝90°，∴∠1+∠2＝45°，故選：B．【題型7三角形的外角性質（含平行線）】【例7】（2022?沙灣區(qū)模擬）如圖，直線a∥b，則∠1＝（）A．100° B．110° C．125° D．135°【分析】依據∠1＝55°+45°，即可得到∠1的度數．【解答】解：根據三角形外角的性質得∠1＝55°+45°＝100°．故選：A．【變式7-1】（2022春?東西湖區(qū)校級月考）如圖所示，l1∥l2，則下列式子中值為180°的是（）A．α+β+γ B．α+β﹣γ C．β+γ﹣α D．α﹣β+γ【分析】本題考查三角形內角與外角的關系，根據平行線的性質得知，內錯角相等，同旁內角互補，可以計算出α+β﹣γ的值為180°．【解答】解：由題可知α＝180°﹣β+γ，所以有180°﹣α+γ+180°﹣β＝180°，即α+β﹣γ＝180°．故選B．【變式7-2】（2022?瀘州）如圖，直線a∥b，直線c分別交a，b于點A，C，點B在直線b上，AB⊥AC，若∠1＝130°，則∠2的度數是（）A．30° B．40° C．50° D．70°【分析】首先利用平行線的性質得到∠1＝∠DAC，然后利用AB⊥AC得到∠BAC＝90°，最后利用角的和差關系求解．【解答】解：如圖所示，∵直線a∥b，∴∠1＝∠DAC，∵∠1＝130°，∴∠DAC＝130°，又∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴∠2＝∠DAC﹣∠BAC＝130°﹣90°＝40°．故選：B．【變式7-3】（2022?細河區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分線BE交AC的延長線于點E．（1）求∠CBE的度數；（2）過點D作DF∥BE，交AC的延長線于點F，求∠F的度數．【分析】（1）先根據直角三角形兩銳角互余求出∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，由鄰補角定義得出∠CBD＝130°．再根據角平分線定義即可求出∠CBE＝∠CBD＝65°；（2）先根據三角形外角的性質得出∠CEB＝90°﹣65°＝25°，再根據平行線的性質即可求出∠F＝∠CEB＝25°．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∴∠CBD＝130°．∵BE是∠CBD的平分線，∴∠CBE＝∠CBD＝65°；（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°．∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°．【題型8三角形的外角性質（折疊問題）】【例8】（2022?東城區(qū)校級期末）如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點A落在△ABC外的A'處，折痕為DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正確的是（）A．γ＝2α+β B．γ＝α+2β C．γ＝α+β D．γ＝180°﹣α﹣β【分析】根據三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得結論．【解答】解：由折疊得：∠A＝∠A'，∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，故選：A．【變式8-1】（2022?武昌區(qū)月考）如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，則（）A．∠A＝∠1+∠2 B．2∠A＝∠1+∠2 C．3∠A＝2∠1+∠2 D．3∠A＝2（∠1+∠2）【分析】如圖，延長BE、CD并交于點F，連接AF．根據三角形外角的性質，得∠1＝∠EAF+∠EFA，∠2＝∠ADC+∠AFD，得∠1+∠2＝∠EAF+∠EFA+∠ADC+∠AFD，即∠1+∠2＝2∠EAD．【解答】解：如圖，延長BE、CD并交于點F，連接AF．由題可知：∠EAD＝∠EFD．∵∠1＝∠EAF+∠EFA，∠2＝∠DAF+∠AFD，∴∠1+∠2＝∠EAF+∠EFA+∠DAF+∠AFD．∴∠1+∠2＝∠EAD+∠EFD．∴∠1+∠2＝2∠EAD．故選：B．【變式8-2】（2022春?宜興市校級期末）如圖，將△ABC的∠C折疊，使C點在AC邊上，折痕為DE，則（）A．∠BDC＝∠DCE+90° B．∠BDC＝2∠DCE C．∠BDC+∠DCE＝180° D．∠BDC＝3∠DCE【分析】根據三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角和以及折疊重合的兩個角相等，得B正確．【解答】解：根據折疊的性質可得：CD＝C′D，DE⊥AC．∵CD＝C′D，∴∠DCE＝∠C′，又∵∠BDC＝∠DCE+∠C′＝2∠DCE．故選：B．【變式8-3】（2022春?長安區(qū)期末）如圖1和圖2，在三角形紙片ABC中，點D，E分別在邊AC，AB上，沿DE折疊，點A落在點A'的位置．（1）如圖1，當點A′落在CD邊上時，∠DAE與∠1之間的數量關系為③（只填序號），并說明理由；①∠DAE＝∠1②∠DAE＝2∠1③∠1＝2∠DAE（2）如圖2，當點A落在△ABC內部時，直接寫出∠DAE與∠1，∠2之間的數量關系．【分析】（1）根據三角形外角的性質，得∠1＝∠EAD+∠EA′D．由題意得：∠DAE＝∠DA′E，可推斷出∠1＝2∠DAE．（2）如圖2，連接AA′．由三角形外角的性質，得∠1＝∠A′AE+∠AA′E，∠2＝∠A′AD+∠AA′D．由題意知：∠EAD＝∠EA′D，進而推斷出∠1+∠2＝2∠EAD．【解答】解：（1）由題意得：∠DAE＝∠DA′E．∵∠1＝∠EAD+∠EA′D＝2∠DAE．故答案為：③．（2）∠1+∠2＝2∠DAE，理由如下：如圖2，連接AA′．由題意知：∠EAD＝∠EA′D．∵∠1＝∠A′AE+∠AA′E，∠2＝∠A′AD+∠AA′D，∴∠1+∠2＝∠EAA′+∠A′AD+∠EA′A+∠AA′D＝∠EAD+∠EA′D＝2∠EAD．【題型9三角形的外角性質（內外角平分線模型）】【例9】（2022春?茌平區(qū)期末）．如圖，在中，，的平分線交于點，是與平分線的交點，是的兩外角平分線的交點，若，則的度數為A． B． C． D．【分析】由角平分線得，由，求得．【解答】解：由題意得：，分別平分，，，，，，，且是的外角，．故選：．【變式9-1】（2022?中原區(qū)校級期末）如圖，BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，則∠P＝30°．【分析】根據角平分線的定義以及一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角和，可求出∠P的度數．【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，∵∠PCM是△BCP的外角，∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，故答案為：30°．【變式9-2】（2022?郟縣期末）如圖在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE為外角∠ACD的平分線，BO的延長線交CE于點E，記∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，則以下結論①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④【分析】依據角平分線的定義以及三角形外角性質，即可得到∠1＝2∠2，∠BOC＝90°+∠1，∠BOC＝90°+∠2．【解答】解：∵CE為外角∠ACD的平分線，BE平分∠ABC，∴∠DCE＝∠ACD，∠DBE＝∠ABC，又∵∠DCE是△BCE的外角，∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠1，故①正確；∵BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠1）＝90°+∠1，故②、③錯誤；∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACO＝∠ACB，∠ACE＝ACD，∴∠OCE＝（∠ACB+∠ACD）＝×180°＝90°，∵∠BOC是△COE的外角，∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正確；故選：C．【變式9-3】（2022春?江都區(qū)月考）如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P．（1）如果∠A＝70°，求∠BPC的度數；（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點Q，試探索∠Q，∠A之間的數量關系．（3）如圖③，延長線段BP，QC交于點E，在△BQE中，存在一個內角等于另一個內角的3倍，求∠A的度數．【分析】（1）在△ABC中，根據三角形內角和定理求出∠ABC+∠ACB＝110°，根據角平分線的定義得出∠PBC＝ABC，∠PCB＝ACB，求出∠PBC+∠PCB＝55°，再在△BPC中，根據三角形內角和定理求出即可；（2）根據三角形外角性質得出∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，求出∠MBC+∠NCB＝180°+∠A，根據角平分線的定義得出∠QBC＝MBC，∠QCB＝NCB，求出∠QBC+∠QCB＝90°+A，根據三角形內角和定理求出即可；（3）根據角平分線的定義得出∠ACF＝2∠BCF，∠ABC＝2∠EBC，根據三角形外角性質得出∠ECF＝∠EBC+∠E，求出∠A＝2∠E，求出∠EBQ＝90°，分為四種情況：①∠EBQ＝3∠E＝90°，②∠EBQ＝3∠Q，③∠Q＝3∠E，④∠E＝3∠Q，再求出答案即可．【解答】解：（1）∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，∵點P是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點，∴∠PBC＝ABC，∠PCB＝ACB，∴∠PBC+∠PCB＝55°，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝125°；（2）∵∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，∴∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A，∵點Q是∠MBC和∠NCB的角平分線的交點，∴∠QBC＝MBC，∠QCB＝NCB，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（180°+∠A）＝90°+A，∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（90°+A）＝90°﹣A；（3）∵CQ為△ABC的外角∠NCB的角平分線，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分線，∴∠ACF＝2∠BCF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠BC+2∠E，∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝A，∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+MBC＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°，如果△BQE中，存在一個內角等于另一個內角的3倍，那么分為四種情況：①∠EBQ＝3∠E＝90°，則∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；②∠EBQ＝3∠Q，則∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；③∠Q＝3∠E，則∠E＝22.5°，∠A＝2∠E＝45°；④∠E＝3∠Q，則∠E＝67.5°，∠A＝2∠E＝135°，綜合上述，∠A的度數是45°或60°或120°或135°．【題型10三角形的外角性質（內外角平分線規(guī)律問題）】【例10】（2022春?靖江市月考）如圖1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分線交于點O，則∠BOC＝90°+∠A＝×180°+∠A．如圖2，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的兩條三等分角線分別對應交于O1，O2，則∠BO1C＝×180°+∠A，∠BO2C＝×180°+∠A．根據以上閱讀理解，你能猜想（n等分時，內部有n﹣1個點）（用n的代數式表示）∠BOn﹣1C＝（）A．×180°+∠A B．×180°+∠A C．×180°+∠A D．×180°+∠A【分析】本題可分別將n＝1，2，3…的情況列出來，分別解出∠BOC的度數，再進行總結歸納即可．【解答】解：n＝1時，∠BOn﹣1C＝180°﹣∠A；n＝2時，∠BOn﹣1C＝180°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A；n＝3時，∠BOn﹣1C＝180°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A；…所以當n＝n時，∠BOn﹣1C＝×180°+∠A．故選：D．【變式10-1】（2022?曲靖期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝128°，P是△ABC的內角∠ABC的平分線BP1與外角∠ACE的平分線CP1的交點；P2是△BP1C的內角∠P1BC的平分線BP2與外角∠P1CE的平分線CP2的交點；P3是△BP2C的內角∠P2BC的平分線BP3與外角∠P2CE的平分線CP3的交點；依次這樣下去，則∠P6的度數為（）A．2° B．4° C．8° D．16°【分析】根據角平分線的定義得∠PBC＝∠ABC，∠PCE＝∠ACE，再根據三角形外角性質得∠ACE＝∠A+∠ABC，∠PCE＝∠PBC+∠P，于是得到（∠A+∠ABC）＝∠PBC+∠P＝∠ABC+∠P，然后整理可得∠P＝∠A，同理得到結論．【解答】解：∵△ABC的內角平分線BP與外角平分線CP1交于P1，∴∠P1BC＝∠ABC，∠P1CE＝∠ACE，∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠P1CE＝∠P1BC+∠P1，∴（∠A+∠ABC）＝∠P1BC+∠P1＝∠ABC+∠P1，∴∠P1＝∠A＝128°＝64°，同理∠P2＝∠P1＝32°，∴∠P6＝2°，故選：A．【變式10-2】（2022?市北區(qū)期末）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，在△ABC中，點P是內角∠ABC和外角∠ACD的角平分線的交點，試