專題05解三角形在幾何與實際中的應(yīng)用（原卷版）

專題05解三角形在幾何與實際中的應(yīng)用知識點1三角形中的最值范圍問題處理方法1、利用基本不等式求最值化角為邊余弦定理公式里有“平方和”和“積”這樣的整體，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范圍，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的條件。2、轉(zhuǎn)為三角函數(shù)求最值化邊為角如果所求整體結(jié)構(gòu)不對稱，或者角度有更細致的要求，用余弦定理和基本不等式難以解決，這時候可以轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，消元后使得式子里只有一個角，變?yōu)槿呛瘮?shù)最值問題進行解決。要注意三角形隱含角的范圍、三角形兩邊之和大于第三邊。知識點2邊化角與角化邊的變換原則在解三角形的問題中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；（6）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到三角形的內(nèi)角和定理.知識點3實際測量中的有關(guān)名稱、術(shù)語1、仰角與俯角：（1）仰角：在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線上方時與水平線的夾角（2）俯角：在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線下方時與水平線的夾角2、方向角：從指定方向線到目標方向線的水平角（指定方向線是指正北或正南或正東或正西，方向角小于90°）3、方位角：從正北的方向線按順時針到目標方向線所轉(zhuǎn)過的水平角知識點4利用解三角形解決實際問題的方法步驟1、實際問題的解決方法：選擇合適的輔助測量點，構(gòu)造三角形，將問題轉(zhuǎn)化為某個三角形的邊長問題，從而利用正、余弦定理求解。2、應(yīng)用正、余弦定理解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟（1）分析：理解題意，分清已知與位置，畫出示意圖；（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型中；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解；（4）檢驗：檢驗上述所求的解是否具有實際意義，從而得出實際問題的解?？键c1角度與三角值的最值范圍【例1】（2023春·云南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式11】（2023·全國·高一專題練習(xí)）在銳角中，角的對邊分別為，.則的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式12】（2022春·河南安陽·高一安陽縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若的內(nèi)角，，滿足，則的最大值為______.【變式13】（2023春·湖北武漢·高一武漢外國語學(xué)校（武漢實驗外國語學(xué)校）?？茧A段練習(xí)）的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，若．（1）求角的大??；（2）若角為銳角，求的取值范圍．考點2邊長與周長的最值范圍【例2】（2023春·上海浦東新·高一上海市建平中學(xué)?？茧A段練習(xí)）平面四邊形ABCD中，，，則邊AB長度的取值范圍是________．【變式21】（2023春·浙江寧波·高一余姚中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，角，，的對邊分別是，，，滿足（1）求角；（2）若角的平分線交于點，且，求的最小值.【變式22】（2023春·陜西西安·高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求A；（2）若為銳角三角形，且，求的取值范圍．【變式23】（2023春·重慶萬州·高一重慶市萬州第二高級中學(xué)校考階段練習(xí)）在銳角中，分別是角所對的邊，，且.（1）求；（2）若周長的范圍考點3面積的最值范圍【例3】（2023·高一課時練習(xí)）在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．若的外接圓的面積為，則三角形面積的取值范圍是____________．【變式31】（2023春·山西·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且．（1）若，求角的值；（2）若外接圓的周長為，求面積的取值范圍．【變式32】（2022春·廣東肇慶·高一統(tǒng)考期末）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，求△ABC面積的最大值．【變式33】（2022春·浙江紹興·高一統(tǒng)考期末）在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c（是常數(shù)），D是AB的中點．（1）若，求的值；（2）若且，求cosA的值；（3）若時，求△BCD面積的最大值．【變式34】（2022春·河南新鄉(xiāng)·高一新鄉(xiāng)市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，并且.（1）求b的值；（2）若，求面積的取值范圍.考點4三角形的中線問題【例4】（2023·高一單元測試）在中，，則邊上中線長度為______．【變式41】（2022春·河南駐馬店·高一統(tǒng)考期末）設(shè)中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，AD為的邊BC上的中線，且，，，則______．【變式42】（2023春·江蘇南通·高一?？茧A段練習(xí)）在中，，點D在邊上，.（1）若，求的值，（2）若，且點D是邊的中點，求的值.【變式43】（2023春·湖南長沙·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在中,角的對邊分別為,且滿足.（1）求角;（2）若為邊的中點,且,,求的周長.【變式44】（2023春·浙江湖州·高一湖州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，已知，，，，邊上的兩條中線，相交于點P．（1）求的長度；（2）求的余弦值．【變式45】（2022春·福建泉州·高一統(tǒng)考期末）在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并加以解答．三個內(nèi)角的對應(yīng)邊分別為，且滿足．（1）求角B的大?。唬?）若D為邊AC的中點，且，求中線BD長．注：如果選擇多個方案分別解答，按第一個解答計分．考點5三角形的角平分線問題【例5】（2022春·天津河北·高一統(tǒng)考期中）在ABC中，，，∠A的角平分線AD的長為，則|AC|＝（）A．2B．3C．D．【變式51】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求C；（2）若a，b為方程的兩個實數(shù)根，且C的角平分線交AB于點D，求CD．【變式52】（2022春·山東·高一山東師范大學(xué)附中?？计谥校┰谥校琣，b，c分別是角A，B，C的對邊，，．（1）求角B的大小及外接圓的半徑R的值；（2）若AD是的內(nèi)角平分線，當面積最大時，求AD的長．【變式53】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cos2C＝sin2A+cos2B+sinAsinC．（1）求角B的大?。唬?）若，角B的角平分線交AC于D，且BD＝1，求的周長．【變式54】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）已知△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，BD為∠ABC的角平分線．（1）求證：；（2）若且，求△ABC的面積．考點6三角形的垂線問題【例6】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在中，角的對邊分別為，，，，設(shè)邊上的高為，則=（）A．B．C．D．【變式61】（2022春·海南省直轄縣級單位·高一?？计谀┰凇鰽BC中，，，______．求BC邊上的高．①，②，③這三個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答．【變式62】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）已知向量，定義函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）在中，若，且是的邊上的高，求長度的最大值.【變式63】（2022春·全國·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知a，b，c分別為的內(nèi)角A，B，C所對的邊，且.（1）求角C；（2）若，且AB邊上的高為3，求邊c.考點7多三角形問題【例7】（2023春·安徽淮南·高一淮南第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，若，，，，．（1）求B；（2）求證：．【變式71】（2023春·安徽合肥·高一校考階段練習(xí)）如圖，在梯形中，已知，，，，，求：（1）的長；（2）的面積．【變式72】（2023春·湖南·高一衡陽市八中校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB＝2，BC＝3，AC＝4，，BC⊥CD，E為AD的中點，AC與BE相交于點F．（1）求△ACD的面積；（2）求的值．【變式73】（2022春·廣東佛山·高一校考階段練習(xí)）如圖，四邊形中，.（1）求對角線BD的長：（2）設(shè)，求的值，并求四邊形的面積.考點8測量距離問題【例8】（2023春·寧夏·高一六盤山高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在鐵路建設(shè)中需要確定隧道的長度，已測得隧道兩端的兩點到某一點的距離分別是，及，則兩點的距離為（）A．B．C．D．【變式81】（2023春·廣東東莞·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，為了測定河兩岸點與點間的距離，在點同側(cè)的河岸選定點，測得，，，則點與點間的距離為__________m.【變式82】（2023春·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，2小時后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是（）A．海里B．海里C．海里D．海里【變式83】（2023春·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）小趙同學(xué)騎自行車從A地出發(fā)向東騎行了km到達B地，然后從B地向西偏南方向騎行了一段距離到達C地，再從C地向西偏北方向騎行了km到達D地，已知C地在A地東偏南方向上，則A地與D地之間的距離為（）A．kmB．kmC．kmD．km考點9測量高度問題【例9】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）國慶期間我校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)開展了測量校園旗桿高度的活動，如圖所示，在操場上選擇了兩點，在?處測得旗桿的仰角分別為.在水平面上測得且的距離為10米，則旗桿的高度為（）A．5B．C．10D．【變式91】（2023春·陜西西安·高一校考階段練習(xí)）一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱，為了測量噴水柱的水柱高度，某人在噴水柱正西方向的處測得水柱頂端的仰角為，沿向北偏東方向前進后到達處，在處測得水柱頂端的仰角為，則水柱的高度是（）A．25mB．50mC．60mD．75m【變式92】（2023春·湖南·高一衡陽市八中校聯(lián)考階段練習(xí)）泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列為“世界文化遺產(chǎn)”．秦姬陵是印度古代皇帝為了紀念他的皇妃建造的，于1631年開始建造，用時22年，距今已有366年歷史．如圖所示，為了估算泰姬陵的高度，現(xiàn)在泰姬陵的正東方向找一參照物AB，高約為50m，在它們之間的地面上的點Q（B，Q，D三點共線）處測得A處、泰姬陵頂端C處的仰角分別是45°和60°，在A處測得泰姬陵頂端C處的仰角為15°，則估算泰姬陵的高度CD為（）A．75mB．mC．mD．80m【變式93】（2023春·天津武清·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，中華中學(xué)某班級課外學(xué)習(xí)興趣小組為了測量某座山峰的高氣度，先在山腳A處測得山頂C處的仰角為60°，又利用無人機在離地面高400m的M處（即），觀測到山頂C處的仰角為15°，山腳A處的俯角為45°，則山高___________m.考點10測量角度問題【例10】（2023春·安徽淮南·高一淮南第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）一艘輪船航行到A處時看燈塔B在A的北偏東，距離海里，燈塔C在A的北偏西，距離為海里，該輪船由A沿正北方向繼續(xù)航行到D處時再看燈塔B在其南偏東方向，則__________．【變式101】（2023春·陜西榆林·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，兩座相距的建筑物、的高度分別為、，為水平面，求從建筑物的頂端A看建筑物的張角的大?。咀兪?02】（2023春·江蘇常州·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東30°相距海里的B處有一艘走私船，正沿東偏南45°的方向以3海里小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以海里小時的速度沿著正東方向直線追去，1小時后，巡邏艇到達C處，走私船到達D處，此時走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇，立即改變航向，以原速向正東方向逃竄，巡邏艇立即加速以海里小時的速度沿著直線追擊（1）當走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時，兩船相距多少海里（2）問巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追，才能最快追上走私船【變式103】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，甲船A處，乙船在A處的南偏東45°方向，距A有9海里并以20海里/時的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28海里/時的速度航行.（1）求甲船用多少小時能盡快追上乙船；（2）設(shè)甲船航行的方向為南偏東，求的正弦值.1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在中，若，，則C的取值范圍是（）A．B．C．D．2．（2023春·江蘇無錫·高一江蘇省太湖高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在非直角中，設(shè)角，，的對邊分別為，，，若，是角的內(nèi)角平分線，且，則等于（）A．B．C．D．3．（2022秋·寧夏銀川·高二校考期中）云臺閣，位于鎮(zhèn)江西津渡景區(qū)，云臺閣坐落于云臺山北峰，建筑形式具有宋?元古建特征.如圖，小明同學(xué)為測量云臺閣的高度，在云臺閣的正東方向找到一座建筑物AB，高為12，在它們的地面上的點M（B，M，D三點共線）測得樓頂A，云臺閣頂部C的仰角分別為15°和60°，在樓頂A處測得閣頂部C的仰角為30°，則小明估算云臺閣的高度為（）（，，精確到1）A．42B．45C．51D．574．（2022春·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）在中，若是邊上的高，，則的最大值為（）A．B．C．1D．5．（2023·高一單元測試）一艘海輪從處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿東偏南方向直線航行，30分鐘后到達B處．在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是東偏南，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東，那么B、C兩點間的距離是（）A．海里B．海里C．海里D．海里6．（2023春·河北石家莊·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，從無人機上測得正前方的峽谷的兩岸，的俯角分別為，，若無人機的高度是，則此時峽谷的寬度是（）A．60B．C．30D．7．（陜西省西安市20222023學(xué)年高一下學(xué)期3月階段檢測數(shù)學(xué)試題）在銳角中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，，則的取值范圍為______.8．（2022秋·陜西西安·高二長安一中校考期中）某教師組織本班學(xué)生開展課外實地測量活動，如圖是要測