專題09成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性一元線性回歸模型及其應(yīng)用（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)5個(gè)拓展1個(gè)突破5種題型3個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)）

專題09成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性、一元線性回歸模型及其應(yīng)用（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)5個(gè)拓展1個(gè)突破5種題型3個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.相關(guān)關(guān)系知識(shí)點(diǎn)2.樣本相關(guān)系數(shù)知識(shí)點(diǎn)3.經(jīng)驗(yàn)回歸方程拓展1.判斷變量相關(guān)關(guān)系的三種方法拓展2.回歸系數(shù)的含義拓展3.最小二乘法求回歸方程及回歸方程的逆用拓展4.經(jīng)驗(yàn)回歸分析“三步曲”拓展5.樣本相關(guān)系數(shù)、決定系數(shù)的應(yīng)用突破：非線性相關(guān)問題【方法二】實(shí)例探索法題型1.變量間相關(guān)關(guān)系的判斷題型2.樣本相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用題型3.經(jīng)驗(yàn)回歸方程及其應(yīng)用題型4.回歸效果的刻畫題型5.非線性回歸分析【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1.混淆相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系致誤易錯(cuò)點(diǎn)2.對(duì)經(jīng)驗(yàn)回歸方程的理解不到位致誤易錯(cuò)點(diǎn)3.線性相關(guān)系數(shù)理解不正確致誤【方法四】成果評(píng)定法【知識(shí)導(dǎo)圖】【倍速學(xué)習(xí)四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.相關(guān)關(guān)系一相關(guān)關(guān)系1．相關(guān)關(guān)系的定義：兩個(gè)變量有關(guān)系，但沒有確切到可由其中一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系．2．相關(guān)關(guān)系的分類(1)按變量間的增減性分為正相關(guān)和負(fù)相關(guān)．①正相關(guān)：當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢；②負(fù)相關(guān)：當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢．(2)按變量間是否有線性特征分為線性相關(guān)和非線性相關(guān)(曲線相關(guān))．①線性相關(guān)：如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，我們稱這兩個(gè)變量線性相關(guān)；②非線性相關(guān)或曲線相關(guān)：如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，我們稱這兩個(gè)變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān)．二、相關(guān)關(guān)系的直觀表示散點(diǎn)圖：為了直觀描述成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的變化特征，把每對(duì)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)都用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來，由這些點(diǎn)組成的統(tǒng)計(jì)圖，叫做散點(diǎn)圖．例1．（1）單選題（2023下·河南省直轄縣級(jí)單位·高二?？计谀┫铝袃蓚€(gè)變量中能夠具有相關(guān)關(guān)系的是（

）A．人所站的高度與視野 B．人眼的近視程度與身高C．正方體的體積與棱長 D．某同學(xué)的學(xué)籍號(hào)與考試成績【答案】A【分析】利用相關(guān)關(guān)系的定義判斷.【詳解】A.人所站的高度越高則視野越開闊，具有正相關(guān)關(guān)系，故正確；B.人眼的近視程度與身高不具有相關(guān)關(guān)系，故錯(cuò)誤；C.正方體的體積與棱長是一種確定關(guān)系，故錯(cuò)誤；D.某同學(xué)的學(xué)籍號(hào)與考試成績不具有相關(guān)關(guān)系，故錯(cuò)誤；故選：A（2）單選題（2022上·新疆和田·高二?？计谀?duì)于變量，有以下四個(gè)散點(diǎn)圖，由這四個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷變量與成負(fù)相關(guān)的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)各圖中點(diǎn)的分布，分析變量的相關(guān)關(guān)系即可.【詳解】A：各點(diǎn)分布沒有明顯相關(guān)性，不符；B：各點(diǎn)分布在一條直線附近，且有負(fù)相關(guān)性，符合；C：各點(diǎn)分布在一條拋物線附近，變量之間先呈正相關(guān)，后呈負(fù)相關(guān)，不符；D：各點(diǎn)分布在一條直線附近，且有正相關(guān)性，不符.故選：B知識(shí)點(diǎn)2.樣本相關(guān)系數(shù)r(1)（2）樣本相關(guān)系數(shù)的數(shù)字特征：當(dāng)時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)；當(dāng)越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；當(dāng)越接近0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.線性相關(guān)系數(shù)是從數(shù)值上來判斷變量間的線性相關(guān)程度，是定量的方法．與散點(diǎn)圖相比較，線性相關(guān)系數(shù)要精細(xì)得多，需要注意的是線性相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值小，只是說明線性相關(guān)程度低，但不一定不相關(guān)，可能是非線性相關(guān)．利用相關(guān)系數(shù)r來檢驗(yàn)線性相關(guān)顯著性水平時(shí)，通常與0.75作比較，若|r|>0.75，則線性相關(guān)較為顯著，否則不顯著．（2024上·天津·高三校聯(lián)考期末）學(xué)習(xí)于才干信仰，猶如運(yùn)動(dòng)于健康體魄，持之已久、行之愈遠(yuǎn)愈受益．為實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興，全國各行各業(yè)掀起了“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的高潮．某老師很喜歡“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”中“挑戰(zhàn)答題”模塊，他記錄了自己連續(xù)七天每天一次最多答對(duì)的題數(shù)如下表：天數(shù)x1234567一次最多答對(duì)題數(shù)y12151618212427參考數(shù)據(jù)：，，，，，相關(guān)系數(shù)由表中數(shù)據(jù)可知該老師每天一次最多答對(duì)題數(shù)y與天數(shù)x之間是相關(guān)（填“正”或“負(fù)”），其相關(guān)系數(shù)（結(jié)果保留兩位小數(shù)）【答案】正0.99【分析】根據(jù)正相關(guān)和負(fù)相關(guān)的定義即可得出結(jié)論；根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式求相關(guān)系數(shù)即可.【詳解】由表中數(shù)據(jù)得隨的增大而增大，所以該老師每天一次最多答對(duì)題數(shù)y與天數(shù)x之間是正相關(guān)，.故答案為：正；.知識(shí)點(diǎn)3.經(jīng)驗(yàn)回歸方程一元線性回歸模型稱eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋a＋e，,Ee＝0，De＝σ2))為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型．其中Y稱為因變量或響應(yīng)變量，x稱為自變量或解釋變量，a稱為截距參數(shù)，b稱為斜率參數(shù)；e是Y與bx＋a之間的隨機(jī)誤差，如果e＝0，那么Y與x之間的關(guān)系就可以用一元線性函數(shù)模型來描述．2.經(jīng)驗(yàn)回歸方程：(1)相關(guān)概念：經(jīng)驗(yàn)回歸直線：經(jīng)驗(yàn)回歸方程也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線.最小二乘估計(jì)：求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做的最小二乘估計(jì).殘差：對(duì)于響應(yīng)變量，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的稱為預(yù)測值，觀測值減去預(yù)測值稱為殘差.（2）（3）決定系數(shù)：越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好；越小，表示殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差；方法技巧經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求法及應(yīng)用

在散點(diǎn)圖中，樣本點(diǎn)大致分布在一條直線附近，利用公式求出,可寫出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，利用經(jīng)驗(yàn)回歸模型進(jìn)行研究，可近似地利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程來預(yù)測。方法技巧一元線性回歸模型擬合問題的求解策略

在一元線性回歸模型中,R2與相關(guān)系數(shù)r都能刻畫模型擬合數(shù)據(jù)的效果.|r|越大,R2就越大,用模型擬合數(shù)據(jù)的效果就越好.例3．（2024上·青海西寧·高三統(tǒng)考期末）家居消費(fèi)是指居民在日常生活中購買和使用的家具、家電、建材、裝修等產(chǎn)品和服務(wù)所形成的消費(fèi)行為.長期以來，家居消費(fèi)一直是居民消費(fèi)的重要組成部分，對(duì)于帶動(dòng)居民消費(fèi)增長和經(jīng)濟(jì)恢復(fù)具有重要意義.某家居店為了迎接周年慶舉辦促銷活動(dòng)，統(tǒng)計(jì)了半個(gè)月以來天數(shù)x與銷售額y（萬元）的一組數(shù)據(jù)：.通過分析發(fā)現(xiàn)x與y呈線性相關(guān).(1)求x與y的樣本相關(guān)系數(shù)r（結(jié)果保留三位小數(shù)）；(2)求x與y的線性回歸方程（，的結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）.參考公式：相關(guān)系數(shù)，，.參考數(shù)據(jù)：，，，.【答案】(1)0.984；(2).【分析】（1）根據(jù)給定數(shù)據(jù)，求出樣本中心點(diǎn)，再代入公式計(jì)算即得.（2）由（1）的信息，結(jié)合最小二乘法公式計(jì)算即得.【詳解】（1）依題意，，，所以.（2）因?yàn)?，則，所以y關(guān)于x的線性回歸方程為.拓展1.判斷變量相關(guān)關(guān)系的三種方法解答題．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)（2014年修訂）》中，體能監(jiān)測包含身高、體重、肺活量、50米跑、坐位體前屈、引體向上（女：仰臥起坐）、立定跳遠(yuǎn)、1000米跑（女：800米跑），據(jù)此得到的每項(xiàng)指標(biāo)都可以按照相應(yīng)的單項(xiàng)指標(biāo)評(píng)分表進(jìn)行測量和計(jì)分，分別得到相應(yīng)的數(shù)據(jù)．(1)這些數(shù)據(jù)中的任意兩組是否都可以作為成對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)分析？(2)依據(jù)你的經(jīng)驗(yàn)，哪兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)程度可能最高？哪兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)程度可能最低？如何通過統(tǒng)計(jì)方法檢驗(yàn)?zāi)愕呐袛?？【答案?1)都可以(2)肺活量和50米跑相關(guān)程度最高，身高和肺活量相關(guān)程度最低（答案不唯一）【分析】（1）根據(jù)相關(guān)關(guān)系的定義判斷即可；（2）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)找到合理的案例，結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)分析即可.【詳解】（1）都可以，因?yàn)槊宽?xiàng)指標(biāo)都可以按照相應(yīng)的單項(xiàng)指標(biāo)評(píng)分表進(jìn)行測量和計(jì)分，且任意兩項(xiàng)指標(biāo)之間存在一定的關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個(gè)精確地決定另一個(gè)的程度，所以任意兩組數(shù)據(jù)均可以作為成對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)分析，只是有些數(shù)據(jù)相關(guān)性較弱..（2）依據(jù)經(jīng)驗(yàn)可知肺活量和米跑相關(guān)程度最高，身高和肺活量相關(guān)程度最低，（答案不唯一），通過測量出米成績與肺活量的數(shù)據(jù)，作出散點(diǎn)圖，即可判斷.通過測量出身高與肺活量的數(shù)據(jù)，作出散點(diǎn)圖，即可判斷.拓展2.回歸系數(shù)的含義2．單選題（2023上·天津武清·高三天津英華國際學(xué)校?？茧A段練習(xí)）有人調(diào)查了某高校14名男大學(xué)生的身高及其父親的身高，得到如下數(shù)據(jù)表：編號(hào)1234567891011121314父親身高/cm174170173169182172180172168166182173164180兒子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182利用最小二乘法計(jì)算的兒子身高關(guān)于父親身高的回歸直線為.根據(jù)以上信息進(jìn)行的如下推斷中，正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，，若一位父親身高為，則他兒子長大成人后的身高一定是B．父親身高和兒子身高是正相關(guān)，因此身高更高的父親，其兒子的身高也更高C．從回歸直線中，無法判斷父親身高和兒子身高是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)D．回歸直線的斜率可以解釋為父親身高每增加，其兒子身高平均增加【答案】D【分析】由回歸直線中的為估計(jì)值并不絕對(duì)，可排除A、B，可排除C.【詳解】對(duì)A選項(xiàng)：為估計(jì)值，并不一定，故錯(cuò)誤；對(duì)B選項(xiàng)：同上，該值為估計(jì)值，并不絕對(duì)，故錯(cuò)誤；對(duì)C選項(xiàng)：由，故可判斷父親身高和兒子身高是正相關(guān)，故錯(cuò)誤；都D選項(xiàng)：回歸直線的斜率可以解釋為父親身高每增加，其兒子身高平均增加，故正確.故選：D.拓展3.最小二乘法求回歸方程及回歸方程的逆用3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）近年來，我國新能源汽車技術(shù)水平不斷進(jìn)步、產(chǎn)品性能明顯提升，產(chǎn)銷規(guī)模連續(xù)六年位居世界首位．某汽車城從某天開始連續(xù)的營業(yè)天數(shù)x與新能源汽車銷售總量y（單位：輛）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：從某天開始連續(xù)的營業(yè)天數(shù)x1020304050新能源汽車銷售總量y/輛6268758189(1)已知可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明（結(jié)果精確到0.001）；(2)求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測該汽車城連續(xù)營業(yè)130天的汽車銷售總量．參考數(shù)據(jù)：，，．參考公式：相關(guān)系數(shù)，經(jīng)驗(yàn)回歸方程中斜率與截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．【答案】(1)答案見解析(2)，142輛．【分析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式代入數(shù)據(jù)即可求解，（2）由最小二乘法的計(jì)算公式求解線性回歸方程，即可代入求解.【詳解】（1）（1），，，，則相關(guān)系數(shù)，.y與x的相關(guān)系數(shù)近似為0.999，說明y與x的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系．（2）（2）由（1）得，，所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為．將代入，得，所以預(yù)測該汽車城連續(xù)營業(yè)130天的汽車銷售總量為142輛．拓展4.經(jīng)驗(yàn)回歸分析“三步曲”4．（2021下·廣東河源·高二河源市河源中學(xué)?？奸_學(xué)考試）現(xiàn)有一環(huán)保型企業(yè)，為了節(jié)約成本擬進(jìn)行生產(chǎn)改造，現(xiàn)將某種產(chǎn)品產(chǎn)量x與單位成本y統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：月份123456產(chǎn)量千件234345單位成本元件737271736968(1)試確定回歸方程；(2)指出產(chǎn)量每增加1000件時(shí)，單位成本平均下降多少？(3)假定單位成本為70元件時(shí)，產(chǎn)量應(yīng)為多少件？參考公式：參考數(shù)據(jù)【答案】(1)(2)1.818元(3)4050件【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，根據(jù)公式算出相應(yīng)的即可得解.（2）直接代入預(yù)測模型預(yù)測即可.（3）直接代入預(yù)測模型解方程即可.【詳解】（1）設(shè)x表示每月產(chǎn)量單位：千件，y表示單位成本單位：元件，作散點(diǎn)圖如圖．由圖知y與x間呈線性相關(guān)關(guān)系．設(shè)線性回歸方程為，其中，，由公式可求得，，回歸方程為.（2）由回歸方程知，每增加1000件產(chǎn)量，單位成本下降1.818元．（3）當(dāng)時(shí)，，得千件．單位成本是70元件時(shí)，產(chǎn)量約為4050件．拓展5.樣本相關(guān)系數(shù)、決定系數(shù)的應(yīng)用5．填空題（2021下·安徽六安·高二安徽省舒城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）甲、乙、丙、丁4位同學(xué)各自對(duì)A，B兩變量進(jìn)行回歸分析，分別得到散點(diǎn)圖與殘差平方和如下表：甲乙丙丁散點(diǎn)圖殘差平方和115106124103則試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)擬合A，B兩變量關(guān)系的模型擬合精度高的同學(xué)是.【答案】丁【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖中各樣本點(diǎn)條狀分布越均勻，同時(shí)殘差平方和越小，即可判斷其線性回歸模型的擬合效果越好.【詳解】對(duì)于已經(jīng)獲取的樣本數(shù)據(jù)，表達(dá)式中為確定的數(shù)，則殘差平方和越小，越大，由此知丁同學(xué)的線性回歸模型的擬合效果最好，故答案為：丁.6．（2021下·黑龍江哈爾濱·高二哈九中?？计谀┤蚧瘯r(shí)代，中國企業(yè)靠什么在激烈的競爭中成為世界一流企業(yè)呢？由人民日?qǐng)?bào)社指導(dǎo)，《中國經(jīng)濟(jì)周刊》主辦的第十八屆中國經(jīng)濟(jì)論壇在人民日?qǐng)?bào)社舉行，就中國企業(yè)如何提升全球行業(yè)競爭力進(jìn)行了研討．?dāng)?shù)據(jù)顯示，某企業(yè)近年加大了科技研發(fā)資金的投入，其科技投入（百萬元）與收益（百萬元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：科技投入1234567收益19202231405070根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)，甲認(rèn)為樣本點(diǎn)分布在指數(shù)型曲線的周圍，據(jù)此他對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了一些初步處理．如下表：514012391492134130其中，．（1）請(qǐng)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0.1，用的近似值算）；（2）①乙認(rèn)為樣本點(diǎn)分布在直線的周圍，并計(jì)算得回歸方程為，以及該回歸模型的決定系數(shù)（即相關(guān)指數(shù)），試計(jì)算，比較甲乙兩人所建立的模型，誰的擬合效果更好？（精確到0.001）②由①所得的結(jié)論，計(jì)算該企業(yè)欲使收益達(dá)到1億元，科技投入的費(fèi)用至少要多少百萬元？（精確到0.1）附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為，，決定系數(shù)：．參考數(shù)據(jù)：．【答案】（1）；（2）①；甲建立的回歸模型擬合效果更好；②科技投入的費(fèi)用至少要9.3百萬元．【分析】(1)兩邊取對(duì)數(shù)得，令，利用最小二乘法可求得，由此可得回歸方程；(2)①根據(jù)公式計(jì)算可得相關(guān)指數(shù)，由此可得結(jié)論；②由，解不等式可求得范圍，由此可得結(jié)果．【詳解】(1)將兩邊取對(duì)數(shù)得：，令，則，∵，∴根據(jù)最小二乘估計(jì)可知：，∴，∴回歸方程為，即．(2)①甲建立的回歸模型的．∴甲建立的回歸模型擬合效果更好．②由①知，甲建立的回歸模型擬合效果更好．設(shè)，解得：，解得：．∴科技投入的費(fèi)用至少要9.3百萬元，下一年的收益才能達(dá)到1億．突破：非線性相關(guān)問題1．（2023·全國·模擬預(yù)測）一座城市的夜間經(jīng)濟(jì)不僅有助于拉動(dòng)本地居民內(nèi)需，還能延長外地游客、商務(wù)辦公者等的留存時(shí)間，帶動(dòng)當(dāng)?shù)亟?jīng)濟(jì)發(fā)展，是衡量一座城市生活質(zhì)量、消費(fèi)水平、投資環(huán)境及文化發(fā)展活力的重要指標(biāo)．?dāng)?shù)據(jù)顯示，近年來中國各地政府對(duì)夜間經(jīng)濟(jì)的扶持力度加大，夜間經(jīng)濟(jì)的市場發(fā)展規(guī)模保持穩(wěn)定增長，下表為2017—2022年中國夜間經(jīng)濟(jì)的市場發(fā)展規(guī)模（單位：萬億元），其中2017—2022年對(duì)應(yīng)的年份代碼依次為1~6．年份代碼123456中國夜間經(jīng)濟(jì)的市場發(fā)展規(guī)模萬億元20.522.926.430.936.442.4(1)已知可用函數(shù)模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)建立關(guān)于的回歸方程（的值精確到0.01）；(2)某傳媒公司預(yù)測2023年中國夜間經(jīng)濟(jì)的市場規(guī)模將達(dá)到48.1萬億元，現(xiàn)用（1）中求得的回歸方程預(yù)測2023年中國夜間經(jīng)濟(jì)的市場規(guī)模，若兩個(gè)預(yù)測規(guī)模誤差不超過1萬億元，則認(rèn)為（1）中求得的回歸方程是理想的，否則是不理想的，判斷（1）中求得的回歸方程是否理想．參考數(shù)據(jù)：3.36673.28217.251.162.83其中．參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為．【答案】(1)；(2)是理想的【分析】（1）通過對(duì)所給的的函數(shù)模型取對(duì)數(shù)，轉(zhuǎn)換為求回歸直線方程即可，再結(jié)合題中所給的直線方程與數(shù)據(jù)即可得解.（2）利用（1）中求得的函數(shù)模型進(jìn)行預(yù)測，結(jié)合回歸方程理想的定義判斷即可.【詳解】（1）將的等號(hào)左右兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)得，所以．，而，所以，．所以，即，所以．（2）2023年對(duì)應(yīng)的年份代碼為7，當(dāng)時(shí)，，，所以（1）中求得的回歸方程是理想的．【方法二】實(shí)例探索法題型1.變量間相關(guān)關(guān)系的判斷1．多選題（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）下列說法正確的是（）A．闖紅燈與交通事故發(fā)生率的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系B．同一物體的加速度與作用力是函數(shù)關(guān)系C．產(chǎn)品的成本與產(chǎn)量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系D．廣告費(fèi)用與銷售量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系【答案】ABD【分析】利用相關(guān)關(guān)系的定義判斷.【詳解】闖紅燈與發(fā)生交通事故之間不是因果關(guān)系，但具有相關(guān)性，是相關(guān)關(guān)系，所以A正確；物體的加速度與作用力的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系，B正確；產(chǎn)品的成本與產(chǎn)量之間是相關(guān)關(guān)系，C錯(cuò)誤；廣告費(fèi)用與銷售量之間是相關(guān)關(guān)系，D正確．故選：ABD題型2.樣本相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用2．多選題（2023上·遼寧沈陽·高二?？计谀?duì)兩個(gè)變量和進(jìn)行回歸分析，則下列結(jié)論正確的為（）A．回歸直線至少會(huì)經(jīng)過其中一個(gè)樣本點(diǎn)B．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好C．建立兩個(gè)回歸模型，模型的相關(guān)系數(shù)，模型的相關(guān)系數(shù)，則模型的擬合度更好D．以模型去擬合某組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)，將其變換后得到線性方程，則的值分別為【答案】BD【分析】根據(jù)回歸方程、殘差、相關(guān)系數(shù)、非線性回歸等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，回歸直線不一定經(jīng)過樣本點(diǎn)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，，所以模型的擬合度更好，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，由，得，D選項(xiàng)正確.故選：BD題型3.經(jīng)驗(yàn)回歸方程及其應(yīng)用3．單選題（2023上·四川成都·高三成都七中?？计谥校┠彻疽环N型號(hào)的產(chǎn)品近期銷售情況如表：月份23456銷售額（萬元）15.116.317.017.218.4根據(jù)上表可得到回歸直線方程，據(jù)此估計(jì)，該公司7月份這種型號(hào)產(chǎn)品的銷售額為（

）A．18.85萬元 B．19.3萬元 C．19.25萬元 D．19.05萬元【答案】D【分析】根據(jù)題意，由回歸直線方程過樣本點(diǎn)的中心，即可求得，然后代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由表中數(shù)據(jù)可得，，因?yàn)榛貧w直線過樣本點(diǎn)的中心，所以，解得，所以回歸直線方程為，則該公司7月份這種型號(hào)產(chǎn)品的銷售額為萬元.故選：D題型4.回歸效果的刻畫4．單選題（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）為研究某地區(qū)疫情結(jié)束后一段時(shí)間內(nèi)的復(fù)工率，用模型（1）和模型（2）模擬復(fù)工率y（%）與復(fù)工時(shí)間x（x的取值為5，10，15，20，25，30天）的回歸關(guān)系：模型（1），模型（2），設(shè)兩模型的決定系數(shù)依次為和.若兩模型的殘差圖分別如下，則（

）A．< B．=C．> D．、關(guān)系不能確定【答案】A【分析】根據(jù)殘差點(diǎn)圖分析擬合效果，從而得到答案.【詳解】根據(jù)殘差點(diǎn)圖，模型（2）殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，帶狀區(qū)域?qū)挾日?，擬合精度較高，所以<，故選：A.題型5.非線性回歸分析5．（2023·全國·高二課堂例題）在實(shí)驗(yàn)室中，獲得了某化學(xué)品的化學(xué)反應(yīng)時(shí)間和轉(zhuǎn)化率的數(shù)據(jù)，見表41，試建立轉(zhuǎn)化率y關(guān)于反應(yīng)時(shí)間x的回歸方程．時(shí)間x/min6080100120140150160170轉(zhuǎn)化率y/%6.139.9915.0220.9231.1138.8547.2555.05【答案】【分析】先作出表41數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，從散點(diǎn)圖可以看出變量y與x之間的關(guān)系可以近似的用指數(shù)曲線來表示，設(shè)，然后用求回歸直線的辦法進(jìn)行求解.【詳解】根據(jù)收集的數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖（圖4.24）．觀察散點(diǎn)圖可知，樣本點(diǎn)并沒有分布在某條直線附近，因而變量y與x之間沒有明顯的線性相關(guān)關(guān)系，所以不能直接利用線性回歸模型來刻畫這兩個(gè)變量之間的關(guān)系．根據(jù)已有的數(shù)學(xué)知識(shí)，可以認(rèn)為樣本點(diǎn)分布在指數(shù)曲線的附近，其中和是待定參數(shù)．為估計(jì)參數(shù)和，在的兩端取對(duì)數(shù)，得到．再令，，，則得到直線方程．將表41中的數(shù)據(jù)進(jìn)行代換，得到的數(shù)據(jù)見表42.表42x60801001201401501601701.8132.3022.7093.0413.4383.6603.8554.008圖4.25是根據(jù)表42中數(shù)據(jù)作出的散點(diǎn)圖.從圖4.25中可以看出，變換后的樣本點(diǎn)分布在一條直線的附近，說明z和x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程來擬合.對(duì)表42中的數(shù)據(jù)，用最小二乘法可得線性回歸方程為再利用可得到轉(zhuǎn)化率y關(guān)于反應(yīng)時(shí)間x的非線性回歸方程①為【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)1.混淆相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系致誤1．（2023下·寧夏固原·高二校考階段練習(xí)）下圖中的兩個(gè)變量，具有相關(guān)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)相關(guān)關(guān)系的概念逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.對(duì)于A、C：兩個(gè)變量具有函數(shù)關(guān)系，是一種確定性關(guān)系，故A、C錯(cuò)誤；對(duì)于D：圖中的散點(diǎn)分布沒有什么規(guī)律，故兩個(gè)變量之間不具有相關(guān)關(guān)系，故D錯(cuò)誤；對(duì)于B：圖中的散點(diǎn)分布在從左下角區(qū)域到右上角區(qū)域，兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系，故B正確；故選：B.易錯(cuò)點(diǎn)2.對(duì)經(jīng)驗(yàn)回歸方程的理解不到位致誤2．（2023上·遼寧丹東·高三統(tǒng)考期中）哈爾濱冰雪大世界于2022年9月投入使用，總投資高達(dá)25億元，號(hào)稱“永不落幕”的冰雪游樂場，從“一季繁榮”到“四季綻放”2023年1月至5月的游客數(shù)以及對(duì)游客填寫滿意與否的調(diào)查表，統(tǒng)計(jì)如下：月份12345游客人數(shù)萬人）1309080滿意率0.50.40.40.30.35已知關(guān)于的線性回歸直線方程為．(1)求2月份，3月份的游客數(shù)的值；(2)在1月至5月的游客中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行調(diào)查，把滿意率視為概率，求評(píng)價(jià)為滿意的人數(shù)的分布列與期望．（參考公式：）【答案】(1)(2)分布列見解析；【分析】（1）根據(jù)題意中調(diào)查表及回歸直線方程，可以分別求出的值；（2）根據(jù)題意得滿意率為概率，即可列出分布列，求解出期望.【詳解】（1）由題意可得，且，所以得：，①又因?yàn)椋?，，，所以得：，化簡得：，②?lián)立①②得：.（2）任取1個(gè)人滿意的概率，所以滿意的人數(shù)服從二項(xiàng)分布，即，隨機(jī)變量的取值分別為：0，1，2，從而得：，，，所以可得滿意人數(shù)的分布列如下表所示：012所以期望.易錯(cuò)點(diǎn)3.線性相關(guān)系數(shù)理解不正確致誤3．（2022上·四川遂寧·高二校聯(lián)考期末）某地隨著經(jīng)濟(jì)發(fā)展，居民收入逐年增長，下表是該地一建設(shè)銀行連續(xù)五年的儲(chǔ)蓄存款，如表1年份x20162017201820192020儲(chǔ)蓄存款y（千億元）567810為了研究計(jì)算的方便，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，，得到表2：時(shí)間代號(hào)t12345z01235(1)求z關(guān)于t的線性回歸方程：(2)通過（1）中的方程，求出y關(guān)于x的回歸方程：(3)用所求回歸方程預(yù)測到2021年年底，該地儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)多少？附：對(duì)于一組樣本數(shù)據(jù)、、…、，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)值分別為，【答案】(1)；(2)；(3)（千億元）.【分析】（1）由已知表格中的數(shù)據(jù)求得，得到與，則線性回歸方程可求；（2）將，代入，即可得到關(guān)于的回歸方程；（3）代入求得值即可.【詳解】（1），，，，∴.（2）將，代入，得，即.所以y關(guān)于x的回歸方程為.（3）當(dāng)時(shí)，，所以預(yù)測到2021年年底，該地儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)（千億元）.【方法四】成果評(píng)定法一、單選題1．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）下列關(guān)于回歸分析的說法中錯(cuò)誤的是（

）A．回歸直線一定過樣本中心B．殘差圖中殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適C．甲、乙兩個(gè)模型的分別約為和，則模型乙的擬合效果更好D．兩個(gè)模型中殘差平方和越小的模型擬合的效果越好【答案】C【解析】根據(jù)回歸直線過樣本中心點(diǎn)可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用殘差圖與模型的擬合效果的關(guān)系可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用相關(guān)指數(shù)與模型擬合效果的關(guān)系可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用殘差平方和與模型擬合效果之間的關(guān)系可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，回歸直線一定過樣本中心，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，殘差圖中殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，甲、乙兩個(gè)模型的分別約為和，則模型甲的擬合效果更好，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，兩個(gè)模型中殘差平方和越小的模型擬合的效果越好，D選項(xiàng)正確.故選：C.2．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用萬元與銷售額萬元的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：廣告費(fèi)用2345銷售額26394954根據(jù)上表可得回歸方程，據(jù)此模型預(yù)測，廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)的銷售額為（

）萬元A．63.6 B．65.5 C．72 D．67.7【答案】B【分析】先求，代入回歸直線方程，解得，即可求解【詳解】，，代入回歸直線方程，，解得，所以回歸直線方程為，當(dāng)時(shí)，，故選：B.3．下面給出四種說法：①設(shè)、、分別表示數(shù)據(jù)、、、、、、、、、的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，則；②在線性回歸模型中，相關(guān)指數(shù)表示解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率，越接近于，表示回歸的效果越好；③繪制頻率分布直方圖時(shí)，各小長方形的面積等于相應(yīng)各組的組距；④設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則．其中不正確的是（

）．A．① B．② C．③ D．④【答案】C【分析】對(duì)于A，根據(jù)數(shù)據(jù)求出的平均數(shù)，眾數(shù)和中位數(shù)即可判斷；對(duì)于B，相關(guān)指數(shù)R2越接近1，表示回歸的效果越好；對(duì)于C，根據(jù)頻率分布直方圖判定；對(duì)于D，設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（4，22），利用對(duì)稱性可得結(jié)論；【詳解】解：①將數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：、、、、、、、、、，中位數(shù)：；；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是．因?yàn)榇私M數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是，所以是此組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；則；②越接近于，表示回歸的效果越好，正確；③根據(jù)頻率分布直方圖的意義，因?yàn)樾【匦蔚拿娣e之和等于，頻率之和也為，所以有各小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率；故③錯(cuò)；④∵隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，∴正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是，∴．故④正確．故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的真假判斷，涉及統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)：頻率分布直方圖和線性回歸及分類變量X，Y的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．4．（2023上·山東青島·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知某設(shè)備的使用年限（年）與年維護(hù)費(fèi)用（千元）的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表：2456839由所給數(shù)據(jù)分析可知：與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，且關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，求得樣本中心，把樣本中心代入回歸直線方程，即可求解.【詳解】由題意得，，因?yàn)榛貧w直線過樣本中心點(diǎn)，所以，解得.故選：B.5．實(shí)驗(yàn)機(jī)構(gòu)對(duì)人體脂肪百分比和年齡（歲）的關(guān)系進(jìn)行了研究，通過樣本數(shù)據(jù)，求得回歸方程，有下列說法：①某人年齡為40歲，有較大的可能性估計(jì)他的體內(nèi)脂肪含量約；②年齡每增加一歲，人體脂肪百分比就增加；③人體脂肪百分比和年齡（歲）成正相關(guān).上述三種說法中正確的有（

）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)代入求值、以及回歸直線方程斜率的意義可以判斷三種說法的正確性，選出正確答案.【詳解】當(dāng)，，故①正確；年齡每增加一歲，人體脂肪百分比增加約，故②錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以③正確.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸方程的斜率的意義，屬于基礎(chǔ)題.6．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）云計(jì)算是信息技術(shù)發(fā)展的集中體現(xiàn)，近年來，我國云計(jì)算市場規(guī)模持續(xù)增長．已知某科技公司2018年至2022年云計(jì)算市場規(guī)模數(shù)據(jù)，且市場規(guī)模y（單位：千萬元）與年份代碼x的關(guān)系可以用模型（其中e＝2.71828…）擬合，設(shè)，得到數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表：年份2018年2019年2020年2021年2022年x12345ym112036.654.6zn2.433.64由上表可得回歸方程，則m的值約為（

）A．2 B．7.4 C．1.96 D．6.9【答案】B【分析】根據(jù)題意，由回歸方程過點(diǎn)，可得，再由即可求得.【詳解】由題意可得，，將代入可得，且，所以，又因?yàn)?，即，所?故選:B7．（2023下·內(nèi)蒙古興安盟·高二烏蘭浩特市第四中學(xué)?？计谥校┮阎彻井a(chǎn)品的廣告投入（萬元）與利潤（萬元）的一組數(shù)據(jù)如表所示234561521395075利潤與廣告投入之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸直線方程是，據(jù)此模型估計(jì)廣告投入為9萬元時(shí)，利潤約為（

）A．112萬元 B．114.5萬元 C．115萬元 D．115.5萬元【答案】B【分析】先求出x，y的平均值，再結(jié)合線性回歸方程過樣本中心，即可求出線性回歸方程，再將代入該方程，即可求解．【詳解】由表格的數(shù)據(jù)可得，，線性回歸直線方程是，，，當(dāng)時(shí)，，故廣告投入為9萬元時(shí)，利潤約為114.5萬元．故選：B．8．（2021下·廣西河池·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知一組數(shù)據(jù)確定的回歸直線方程為且，通過殘差分析，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)數(shù)據(jù)，誤差較大，去除這兩個(gè)數(shù)據(jù)后，重新求得回歸直線的斜率為，則當(dāng)時(shí)，（

）A．6 B．7 C．8 D．13【答案】B【分析】由題可求出，根據(jù)已知兩個(gè)數(shù)據(jù)可得樣本中心沒變，利用回歸直線過樣本中心即解.【詳解】由題意，設(shè)原來有個(gè)數(shù)據(jù)，則去除兩個(gè)數(shù)據(jù)后還有個(gè)數(shù)據(jù)，這個(gè)數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)記為，則，，設(shè)新回歸直線方程，則，，即，∴當(dāng)時(shí)，.故選：B.二、多選題9．（2023·全國·模擬預(yù)測）下列說法正確的是（

）A．某校高一年級(jí)學(xué)生有800人，高二年級(jí)學(xué)生有900人，高三年級(jí)學(xué)生有1000人，為了了解高中生對(duì)亞運(yùn)會(huì)的關(guān)注程度，現(xiàn)采用分層陮機(jī)抽樣方法抽取樣本容量為270的樣本進(jìn)行問卷調(diào)查，其中高一學(xué)生抽取的樣本容量為80B．某人有10把鑰匙，其中有3把能打開門，若不放回地依次隨機(jī)抽取3把鑰匙試著開門，則第三次才能夠打開門的概率為C．對(duì)一組給定的樣本數(shù)據(jù)，，，的統(tǒng)計(jì)分析中，樣本相關(guān)系數(shù)越大，樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度越強(qiáng)D．有一組按照從小到大順序排列的數(shù)據(jù)，，，，，，，，設(shè)，，將，加入原數(shù)據(jù)中得到一組新的數(shù)據(jù)，，，，，，，，，，，，則，，，，，，，的平均數(shù)、中位數(shù)、極差和方差與，，，，，，，，，，，的平均數(shù)、中位數(shù)、極差和方差均相等【答案】AB【分析】根據(jù)分層抽樣、古典概型、相關(guān)系數(shù)、樣本的數(shù)字特征等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)楦咭荒昙?jí)、高二年級(jí)、高三年級(jí)學(xué)生人數(shù)之比為800：900：1000，即8：9：10，所以高一學(xué)生抽取的樣本容量為，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由題意得第三次才能夠打開門的概率為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，對(duì)一組給定的樣本數(shù)據(jù)，，，的統(tǒng)計(jì)分析中，樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大，樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度越強(qiáng)，故C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，，，，，，，，的方差，不一定等于，，，，，，，，，，，的方差，如1，2，3，4，5，6的平均數(shù)為，方差，1，2，2，3，4，5，5，6的平均數(shù)為，方差，兩者不相等，故D不正確.故選：AB10．（2023下·遼寧阜新·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）考研已成為當(dāng)今大學(xué)生的熱門選擇.下表統(tǒng)計(jì)了某市2017—2022年研究生的報(bào)考人數(shù)，年份201720182019202020212022年份代號(hào)x123456報(bào)考人數(shù)y/萬1.872.362.923.253.734.47由數(shù)據(jù)求得研究生報(bào)考人數(shù)y與年份代號(hào)x的回歸直線方程為，且2021年研究生報(bào)考人數(shù)的預(yù)測值比實(shí)際人數(shù)多0.12萬，則（

）A．x與y之間呈正相關(guān)關(guān)系B．C．年份每增加1年，研究生報(bào)考人數(shù)估計(jì)增加了1萬D．預(yù)測該市2023年研究生報(bào)考人數(shù)約為4.85萬【答案】ABD【分析】結(jié)合題目數(shù)據(jù)求出，再利用線性回歸直線方程過點(diǎn)，求出回歸直線方程，然后逐項(xiàng)判斷求解即可.【詳解】由表中數(shù)據(jù)知，隨的增大而增大，所以與之間呈正相關(guān)關(guān)系，A項(xiàng)正確；又，，因?yàn)榛貧w直線必過點(diǎn)，所以，因?yàn)?021年研究生報(bào)考人數(shù)的預(yù)測值比實(shí)際人數(shù)多0.12萬，所以點(diǎn)在直線上，所以，解得，，B項(xiàng)正確；因?yàn)椋阅攴菝吭黾?年，研究生報(bào)考人數(shù)估計(jì)增加了0.5萬，C項(xiàng)錯(cuò)誤；將代入，得，所以預(yù)測該市2023年研究生報(bào)考人數(shù)約為4.85萬，D項(xiàng)正確.故選：ABD11．（2023下·廣東韶關(guān)·高二統(tǒng)考期末）下列說法正確的是（

）A．事件A與事件B為互斥事件，則事件A與事件B為對(duì)立事件B．事件A與事件B為對(duì)立事件，則事件A與事件B為互斥事件C．若，，則D．一組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度越強(qiáng)，則這組數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值就越接近于1【答案】BCD【分析】A.利用互斥事件和對(duì)立事件的關(guān)系判斷；B.利用對(duì)立事件和互斥事件的關(guān)系判斷；C.由求解判斷；D.由樣本相關(guān)系數(shù)的意義判斷.【詳解】A.事件A與事件B為互斥事件，但事件A與事件B不一定是對(duì)立事件，故錯(cuò)誤；B.事件A與事件B為對(duì)立事件，則事件A與事件B為互斥事件，故正確；C.因?yàn)椋?，所以，故正確；D.如一組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度越強(qiáng)，則這組數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值就越接近于1，故正確；故選：BCD12．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考一模）下列說法正確的是（

）A．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則B．一組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為14C．若線性相關(guān)系數(shù)越接近1，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)D．對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，其線性回歸方程為，若樣本點(diǎn)的中心為，則實(shí)數(shù)的值是－4【答案】ACD【分析】根據(jù)正態(tài)分布概率性質(zhì)計(jì)算判斷A，由百分位數(shù)定義計(jì)算判斷B，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的概念判斷C，把中心點(diǎn)代入回歸方程求解后判斷D．【詳解】選項(xiàng)A，由已知，因此，A正確；選項(xiàng)B，總共有10個(gè)數(shù)，由于，因此第60百分位數(shù)為，B錯(cuò)；選項(xiàng)C，線性相關(guān)系數(shù)越接近1，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，越接近0，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越弱，C正確；選項(xiàng)D，由已知，解得，D正確．故選：ACD．三、填空題13．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知與之間的一組數(shù)據(jù)：01337根據(jù)數(shù)據(jù)可求得關(guān)于的線性回歸方程為，則的值為．【答案】/【分析】根據(jù)題意求出,關(guān)于的表達(dá)式，代入回歸方程即可解得的值．【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可得，，由于回歸直線過樣本的中心點(diǎn)，所以，解得，所以的值為.故答案為：.14．（2022·全國·高二專題練習(xí)）2013年1月，北京經(jīng)歷了59年來霧霾天氣最多的一個(gè)月.據(jù)氣象局統(tǒng)計(jì)，北京市2013年從1月1日至1月30日這30天里有26天出現(xiàn)霧霾天氣，《環(huán)境空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）技術(shù)規(guī)定（試行）》將空氣質(zhì)量指數(shù)分為六級(jí)，如表1：表1AQI組別狀況0~50Ⅰ優(yōu)51~100Ⅱ良101~150Ⅲ輕度污染151~200Ⅳ中度污染201~300Ⅴ重點(diǎn)污染Ⅵ嚴(yán)重污染表2是某氣象觀測點(diǎn)記錄的連續(xù)4天里AQI與當(dāng)天的空氣水平可見度y（km）的情況.表2AQI900700300100空氣水平可見度0.53.56.59.5設(shè)，其中M為AQI，根據(jù)表2的數(shù)據(jù)，那么y關(guān)于x的回歸方程為.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出最小二乘法公式中的相關(guān)量，再代公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，，，，，于是得，，所以y關(guān)于x的回歸方程為.故答案為：15．（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）用模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出線性回歸方程，設(shè)，求得線性回歸方程為，則的值為.【答案】/【分析】根據(jù)，兩邊取自然對(duì)數(shù)，轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系，和線性回歸方程為比較，可得答案.【詳解】由題意知，，故，設(shè)，求得線性回歸方程為，兩式相比較，，故答案為：16．（2023·湖南郴州·安仁縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知某種商品的直播平臺(tái)支出（單位：萬元）與農(nóng)產(chǎn)品銷售額（單位：萬元）之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：2346787.511.531.536.543.5根據(jù)上表可得線性回歸方程，但由于操作員不慎，導(dǎo)致一個(gè)數(shù)據(jù)丟失，但可以知道在函數(shù)的圖象上，據(jù)此估計(jì)，可以得到的值為；當(dāng)投入12萬元時(shí)，銷售額大約為萬元.【答案】19.567【分析】由表中數(shù)據(jù)求出，代入可得，樣本點(diǎn)的中心滿足回歸直線的方程求解即可.【詳解】由上表可知：在函數(shù)的圖象上，，解得19.5，又滿足線性回歸方程，則，當(dāng)時(shí)，（萬元）.故答案為：；.四、解答題17．（2022上·四川德陽·高二統(tǒng)考期末）2021年2月25日，全國脫貧攻堅(jiān)表彰大會(huì)在北京隆重召開，習(xí)近平總書記在講話中指出，現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)下，9899萬農(nóng)村貧困人口全部脫貧，832個(gè)貧困縣全部摘帽，12.8萬個(gè)貧困村全部出列，區(qū)域性整體貧困得到解決，完成了消除貧困的艱巨任務(wù)．脫貧攻堅(jiān)決戰(zhàn)取得了全面勝利．為了防止返貧監(jiān)測和建立幫扶機(jī)制，采取有效舉措鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，某市統(tǒng)計(jì)局統(tǒng)計(jì)出該市居民2016至2020年人均年收入如下表：（為了使運(yùn)算簡單，年份用末尾數(shù)字減5表示，2020年用5表示）年份20162017201820192020年份簡寫12345人圴年收入（萬元）1.31.51.82.12.3(1)由表畫散點(diǎn)圖易知，人均年收入（萬元）與年份簡寫之間具有較強(qiáng)的線性關(guān)系，試用最小二乘法求關(guān)于的回歸直線方程，并依此預(yù)測2021年該市人均年收入；(2)從2016到2020年五個(gè)年份的人均年收入中隨機(jī)抽取兩個(gè)數(shù)據(jù)作進(jìn)一步分析，求所取得的兩個(gè)數(shù)據(jù)中，人均年收入恰好有一個(gè)超過2萬元的概率．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式：，．【答案】(1)，2.58萬元(2)【分析】（1）求出，的值，根據(jù)最小二乘法的估計(jì)公式求出，，即可得回歸方程，將代入回歸方程，即可預(yù)測2021年該市人均年收入；（2）寫出從2016到2020年五個(gè)年份的人均年收入中隨機(jī)抽取兩個(gè)數(shù)據(jù)的所有可能的取法，再寫出恰好有一個(gè)超過2萬元的可能的取法，根據(jù)古典概型的概率公式，即可求得答案.【詳解】（1）由題意得，，，，故關(guān)于的回歸直線方程為；當(dāng)時(shí)，，即預(yù)測2021年該市人均年收入為2.58萬元.（2）從2016到2020年五個(gè)年份的人均年收入中隨機(jī)抽取兩個(gè)數(shù)據(jù)共有：，共10種可能的取法，其中恰有一個(gè)超過2萬元的可能取法有共6種，故人均年收入恰好有一個(gè)超過2萬元的概率為．18.（2023上·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）隨著時(shí)代的不斷發(fā)展，社會(huì)對(duì)高素質(zhì)人才的需求不斷擴(kuò)大，我國本科畢業(yè)生中考研人數(shù)也不斷攀升，年的考研人數(shù)是萬人，年考研人數(shù)是萬人.某省統(tǒng)計(jì)了該省其中四所大學(xué)年的畢業(yè)生人數(shù)及考研人數(shù)（單位：千人），得到如下表格：A大學(xué)B大學(xué)C大學(xué)D大學(xué)年畢業(yè)人數(shù)（千人）年考研人數(shù)（千人）(1)已知與具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；(2)假設(shè)該省對(duì)選擇考研的大學(xué)生每人發(fā)放萬元的補(bǔ)貼.（i）若該省大學(xué)年畢業(yè)生人數(shù)為千人，估計(jì)該省要發(fā)放多少萬元的補(bǔ)貼？（ii）若A大學(xué)的畢業(yè)生中小江、小沈選擇考研的概率分別為p、2p－1，該省對(duì)小江、小沈兩人的考研補(bǔ)貼總金額的期望不超過萬元，求p的取值范圍.參考公式：，.【答案】(1)(2)（i）5028萬元（ii）【分析】（1）利用題中的數(shù)據(jù)代入?yún)⒖脊剑辞蟪鼍€性回歸方程；（2）（i）直接將將x=120代入（1）中所求的線性回歸方程計(jì)算即可；（ii）先求出小江、小沈兩人中考研人數(shù)的數(shù)學(xué)期望，再求出考研補(bǔ)貼的總期望，根據(jù)題意列出不等式組求解p的范圍.【詳解】（1）由題意得，，又，

，，，

所以，故得y關(guān)于x的線性回歸方程為；（2）（i）將x=120代入，估計(jì)該省要發(fā)放補(bǔ)貼的總金額為（萬元）；（ii）設(shè)小江、小沈兩人中選擇考研的人數(shù)為，則的所有可能值為、、，，，，

，，可得，

又因?yàn)?，可得，?19．（2022上·廣東深圳·高三校聯(lián)考期中）紅蜘蛛是柚子的主要害蟲之一，能對(duì)柚子樹造成嚴(yán)重傷害，每只紅蜘蛛的平均產(chǎn)卵數(shù)y（個(gè)）和平均溫度x（℃）有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與（其中…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）哪一個(gè)更適合作為平均產(chǎn)卵數(shù)y（個(gè)）關(guān)于平均溫度x（℃）的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)由（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程.（計(jì)算結(jié)果精確到0.1）附：回歸方程中，，參考數(shù)據(jù)（）5215177137142781.33.6(3)根據(jù)以往每年平均氣溫以及對(duì)果園年產(chǎn)值的統(tǒng)計(jì)，得到以下數(shù)據(jù)：平均氣溫在22℃以下的年數(shù)占60%，對(duì)柚子產(chǎn)量影響不大，不需要采取防蟲措施；平均氣溫在22℃至28℃的年數(shù)占30%，柚子產(chǎn)量會(huì)下降20%；平均氣溫在28℃以上的年數(shù)占10%，柚子產(chǎn)量會(huì)下降50%.為了更好的防治紅蜘蛛蟲害，農(nóng)科所研發(fā)出各種防害措施供果農(nóng)選擇.在每年價(jià)格不變，無蟲害的情況下，某果園年產(chǎn)值為200萬元，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，以得到最高收益（收益＝產(chǎn)值－防害費(fèi)用）為目標(biāo)，請(qǐng)為果農(nóng)從以下幾個(gè)方案中推薦最佳防害方案，并說明理由.方案1：選擇防害措施A，可以防止各種氣溫的紅蜘蛛蟲害不減產(chǎn)，費(fèi)用是18萬；方案2：選擇防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛蟲害，但無法防治28℃以上的紅蜘蛛蟲害，費(fèi)用是10萬；方案3：不采取防蟲害措施.【答案】(1)更適宜(2)(3)選擇方案1最佳，理由見解析【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖的形狀，可判斷更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度x的回歸方程類型；（2）將兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，即可得到答案；（3）求出三種方案的收益的均值，根據(jù)均值越大作為判斷標(biāo)準(zhǔn).【詳解】（1）由散點(diǎn)圖可以判斷，更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度x的回歸方程類型.（2）將兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，可得，由題中的數(shù)據(jù)可得，，，所以，則，所以z關(guān)于x的線性回歸方程為，故y關(guān)于x的回歸方程為；（3）用，和分別表示選擇三種方案的收益.采用第1種方案，無論氣溫如何，產(chǎn)值不受影響，收益為萬，即采用第2種方案，不發(fā)生28℃以上的紅蜘蛛蟲害，收益為萬，如果發(fā)生，則收益為萬，即，同樣，采用第3種方案，有所以，，，.顯然，最大，所以選擇方案1最佳.20．（2023上·重慶·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）混凝土的抗壓強(qiáng)度x較容易測定，而抗剪強(qiáng)度y不易測定，工程中希望建立一種能由x推算y的經(jīng)驗(yàn)公式，下表列出了現(xiàn)有的9對(duì)數(shù)據(jù)，分別為，，…，．x141152168182195204223254277y23.124.227.227.828.731.432.534.836.2以成對(duì)數(shù)據(jù)的抗壓強(qiáng)度x為橫坐標(biāo)，抗剪強(qiáng)度y為縱坐標(biāo)作出散點(diǎn)圖，如圖所示．(1)從上表中任選2個(gè)成對(duì)數(shù)據(jù)，求該樣本量為2的樣本相關(guān)系數(shù)r．結(jié)合r值分析，由簡單隨機(jī)抽樣得到的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)是否一定能確切地反映變量之間的線性相關(guān)關(guān)系？(2)根據(jù)散點(diǎn)圖，我們選擇兩種不同的函數(shù)模型作為回歸曲線，根據(jù)一元線性回歸模型及最小二乘法，得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程分別為：①，②．經(jīng)驗(yàn)回歸方程①和②的殘差計(jì)算公式分別為，，．（