高考數(shù)學(xué)理北師大版一輪復(fù)習(xí)測(cè)評(píng)8-5-2數(shù)列與函數(shù)不等式的綜合問(wèn)題

核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)四十二數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.已知遞增的等比數(shù)列{an}的公比為q,其前n項(xiàng)和Sn<0,則 ()A.a1<0,0<q<1 B.a1<0,q>1C.a1>0,0<q<1 D.a1>0,q>1【解析】選A.因?yàn)镾n<0,所以a1<0,又?jǐn)?shù)列{an}為遞增等比數(shù)列,所以an+1>an,且|an|>|an+1|,則an>an+1>0,則q=QUOTE∈(0,1),所以a1<0,0<q<1.2.已知等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,則“d>0”是“S4+S6>2S5”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選C.由S4+S62S5=10a1+21d2(5a1+10d)=d,可知當(dāng)d>0時(shí),有S4+S62S5>0,即S4+S6>2S5,反之,若S4+S6>2S5,則d>0,所以“d>0”是“S4+S6>2S5”的充分必要條件.【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,通過(guò)套入公式與簡(jiǎn)單運(yùn)算,可知S4+S62S5=d,結(jié)合充分必要性的判斷,若p?q,則p是q的充分條件,若p?q,則p是q的必要條件,該題“d>0”?“S4+S62S5>0”,故互為充要條件.3.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,若a2·a6·a10=3QUOTE,b1+b6+b11=7π,則tanQUOTE的值是 ()A.1B.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】選D.因?yàn)镼UOTE是等比數(shù)列,所以a2·a6·a10=QUOTE=3QUOTE,所以a6=QUOTE.因?yàn)閧bn}是等差數(shù)列,所以b1+b6+b11=3b6=7π.所以b6=QUOTE,所以tanQUOTE=tanQUOTE=tanQUOTE=tanQUOTE=tanQUOTE=QUOTE.4.數(shù)列{an}滿足an=n2+kn+2,若不等式an≥a4恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.[9,8] B.[9,7]C.(9,8) D.(9,7)【解析】選B.由已知得n2+kn+2≥4k+18,即(4n)k≤n216,其中n∈N*.當(dāng)n=1,2,3時(shí),k≤(n4)min=7;當(dāng)n=4時(shí),等號(hào)成立;當(dāng)n≥5時(shí),k≥(n4)max=9,所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是[9,7].5.已知數(shù)列{an}滿足a1+QUOTEa2+QUOTEa3+…+QUOTEan=n2+n(n∈N*),設(shè)數(shù)列QUOTE滿足:bn=QUOTE,數(shù)列QUOTE的前n項(xiàng)和為Tn,若Tn<QUOTEλ(n∈N*)恒成立,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為()導(dǎo)學(xué)號(hào)A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.數(shù)列{an}滿足a1+QUOTEa2+QUOTEa3+…+QUOTEan=n2+n,①當(dāng)n≥2時(shí),a1+QUOTEa2+QUOTEa3+…+QUOTEan1=(n1)2+(n1),②①②得QUOTEan=2n,故an=2n2,數(shù)列QUOTE滿足:bn=QUOTE=QUOTE=QUOTE則:Tn==QUOTE,由于Tn<QUOTEλ(n∈N*)恒成立,故:QUOTE<QUOTEλ,整理得λ>QUOTE,因?yàn)閥=QUOTE=QUOTE在n∈N*上單調(diào)遞減,故當(dāng)n=1時(shí),QUOTE=QUOTE,所以λ>QUOTE.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知f(x)=QUOTE,各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1=1,an+2=f(an).若a2010=a2012,則a20+a11的值是________________.

【解析】因?yàn)閍n+2=f(an)=QUOTE,a1=1,所以a3=QUOTE,a5=QUOTE=QUOTE,a7=QUOTE=QUOTE,a9=QUOTE=QUOTE,a11=QUOTE=QUOTE,又a2010=a2012,即a2010=QUOTE?QUOTE+a20101=0,所以a2010=QUOTE.又a2010=QUOTE=QUOTE,所以1+a2008=QUOTE=QUOTE,即a2008=QUOTE,依次類推可得a2006=a2004=…=a20=QUOTE,故a20+a11=QUOTE+QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7.已知{an}是遞增的等差數(shù)列,a2,a4是方程x25x+6=0的根.(1)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______________.

(2)數(shù)列QUOTE的前n項(xiàng)和為_(kāi)_______________.

【解析】(1)方程x25x+6=0的根為2,3.又{an}是遞增的等差數(shù)列,故a2=2,a4=3,可得2d=1,d=QUOTE,故an=2+(n2)×QUOTE=QUOTEn+1.(2)設(shè)數(shù)列QUOTE的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE,①Q(mào)UOTESn=QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE,②①②得QUOTESn=QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTEQUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTEQUOTE=QUOTE+QUOTEQUOTE,所以Sn=QUOTE+QUOTEQUOTE=2QUOTE.答案:(1)an=QUOTEn+1(2)2QUOTE8.(2020·成都模擬)數(shù)列QUOTE是等差數(shù)列,a1=1,公差d∈QUOTE,且a4+λa10+a16=15,則實(shí)數(shù)λ的最大值為_(kāi)_______________. 導(dǎo)學(xué)號(hào)

【解析】因?yàn)閍4+λa10+a16=15,所以a1+3d+λ(a1+9d)+a1+15d=15,令λ=f(d)=QUOTE2,因?yàn)閐∈QUOTE,所以令t=1+9d,t∈[10,19],因此λ=f(t)=QUOTE2,當(dāng)t∈[10,19]時(shí),函數(shù)λ=f(t)是減函數(shù),故當(dāng)t=10時(shí),實(shí)數(shù)λ有最大值,最大值為f(10)=QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2018·北京高考)設(shè){an}是等差數(shù)列,且a1=ln2,a2+a3=5ln2.(1)求{an}的通項(xiàng)公式.(2)求QUOTE+QUOTE+…+QUOTE.【解析】(1)由已知,設(shè){an}的公差為d,則a2+a3=a1+d+a1+2d=2a1+3d=5ln2,又a1=ln2,所以d=ln2,所以{an}的通項(xiàng)公式為an=ln2+(n1)ln2=nln2(n∈N*).(2)由(1)及已知,QUOTE=enln2=(eln2)n=2n,所以QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=21+22+…+2n=QUOTE=2n+12(n∈N*).10.(2020·武漢模擬)數(shù)列{an}滿足:QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=n2+n,n∈N*. 導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)求{an}的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)bn=QUOTE,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,求滿足Sn>QUOTE的最小正整數(shù)n.【解析】(1)因?yàn)镼UOTE+QUOTE+…+QUOTE=n2+n,n=1時(shí),可得a1=4,n≥2時(shí),QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=(n1)2+n1.與QU